|{<>∈x a
x x x 或
.
当a>2时，}12
|{><∈x a
x x x 或
4.已知f (x )在(－1，1)上有定义，f (
21
)＝－1，且满足x ，y ∈(－1，1)有f (x )＋f (y )＝f (xy
y x ++1) ⑴证明：f (x )在(－1，1)上为奇函数； ⑵对数列x 1＝
21
，x n ＋1＝212n
n x x +，求f (x n ); ⑶求证
25
2)(1)(1)(121++-
>+++n n x f x f x f n
(Ⅰ)证明：令x ＝y ＝0，∴2f (0)＝f (0)，∴f (0)＝0
令y ＝－x ，则f (x )＋f (－x )＝f (0)＝0 ∴f (x )＋f (－x )＝0 ∴f (－x )＝－f (x ) ∴f (x )为奇函数
%
(Ⅱ)解：f (x 1)＝f (
21
)＝－1，f (x n ＋1)＝f (2
12n
n x x +)＝f (n n n n x x x x ?++1)＝f (x n )＋f (x n )＝2f (x n )
∴
)
()
(1n n x f x f +＝2即{f (x n )}是以－1为首项，2为公比的等比数列
∴f (x n )＝－2n －
1 (Ⅲ)解：
)21
21211()(1)(1)(11
221-++++=+++n n
x f x f x f 221
2)212(2112111
1->+-=--=---=--n n n
而2
2
12)212(252-<+--=++-=++-n n n n ∴25
2)(1)(1)(121++-
>+++n n x f x f x f n
5.已知函数N x f N x x f y ∈∈=)(,),(，满足：对任意,,,2121x x N x x ≠∈都有
)()()()(12212211x f x x f x x f x x f x +>+；
…
（1）试证明：)(x f 为N 上的单调增函数；
（2）n N ?∈，且(0)1f =，求证：()1f n n ≥+；
（3）若(0)1f =，对任意,m n N ∈,有1)())((+=+n f m f n f ，证明：
∑
=<-n
i i
f 1
4
1
)13(12. 证明：（1）由①知，对任意*
,,a b a b ∈--b f a f b a ，
由于0<-b a ，从而)()(b f a f <，所以函数)(x f 为*N 上的单调增函数. （2）由（1）可知n N ?∈都有f(n+1)>f(n),则有f(n+1)≥f(n)+1 ∴f(n+1)-f(n)1≥, ∴f(n)-f(n-1)1≥
??? ∴ f(2)-f(1)1≥
∴f(1)-f(0)1≥由此可得f(n)-f(0)≥n ∴f(n)≥n+1命题得证
（3）（3）由任意
,m n N ∈,有1)())((+=+n f m f n f :
得()1f m = 由f(0)=1得m=0
则f(n+1)=f(n)+1,则f(n)=n+1
21
)311(21311)
311(313
13131)13(121
<-=--=+???++=-∑
=n
n n n
i i f
6.已知函数()f x 的定义域为[]0,1，且同时满足：
(1)对任意[]0,1x ∈，总有()2f x ≥； (2)(1)3f =
(3)若120,0x x ≥≥且121x x +≤，则有1212()()()2f x x f x f x +≥+-. (I)求(0)f 的值； (II)求()f x 的最大值； (III)设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足*
12(3),n n S a n N =--∈.
#
求证：1231
12332
()()()()2n n f a f a f a f a n -?+++
+≤+-.
解：（I ）令120x x ==，由(3),则(0)2(0)2,(0)2f f f ≥-∴≤
由对任意[]0,1x ∈，总有()2,(0)2f x f ≥∴= （II ）任意[]12,0,1x x ∈且12x x <，则212101,()2x x f x x <-≤∴-≥
22112111()()()()2()f x f x x x f x x f x f x ∴=-+≥-+-≥
max ()(1)3f x f ∴==
(III)
*12(3)()n n S a n N =--∈1
112(3)(2)n n S a n --∴=--≥
1111133(2),10n n n n a a n a a --∴=≥=≠∴= 1
1
1112113333333()(
)()()()23()4n n n n n n n
n f a f f f f f -∴==+≥+-≥-+ 1
111
43
333()()n n f f -∴≤+，即11433())(n n f a f a +≤+。
|
2211221
14144
144441
12133333333333()()()()2n n n n n n n f a f a f a f a ------∴≤+≤++≤≤+++++=+ 故1
13
()2n n f a -≤+
1213
13
1()1()()()2n n
f a f a f a n --∴++
+
≤+即原式成立。
7. 对于定义域为[]0,1的函数()f x ，如果同时满足以下三条：①对任意的[]0,1x ∈，总有
()0f x ≥；②(1)1f =；③若12120,0,1x x x x ≥≥+≤，都有1212()()()f x x f x f x +≥+成
立，则称函数()f x 为理想函数．
(1) 若函数()f x 为理想函数，求(0)f 的值；
(2)判断函数()21x
g x =-])1,0[(∈x 是否为理想函数，并予以证明；
(3) 若函数()f x 为理想函数，
假定?[]00,1x ∈，使得[]0()0,1f x ∈，且
00(())f f x x =，求证00()f x x =．
解：（1）取021==x x 可得0)0()0()0()0(≤?+≥f f f f ．
又由条件①0)0(≥f ，故0)0(=f ．
（2）显然12)(-=x
x g 在[0，1]满足条件①0)(≥x g ；-
也满足条件②1)1(=g ．
（
若01≥x ，02≥x ，121≤+x x ，则
)]12()12[(12)]()([)(21212121-+---=+-++x x x x x g x g x x g 0)12)(12(1222122121≥--=+--=+x x x x x x ，即满足条件③，
故)(x g 理想函数．
（3）由条件③知，任给m 、∈n [0，1]，当n m <时，由n m <知∈-m n [0，1]，
)()()()()(m f m f m n f m m n f n f ≥+-≥+-=∴
若)(00x f x <，则000)]([)(x x f f x f =≤，前后矛盾； 若)(00x f x >，则000)]([)(x x f f x f =≥，前后矛盾． 故)(00x f x =
8.#
9.
已知定义在R 上的单调函数()f x ,存在实数0x ,使得对于任意实数12,x x ,总有
0102012()()()()f x x x x f x f x f x +=++恒成立。
(Ⅰ)求0x 的值；
(Ⅱ)若0()1f x =,且对任意正整数n ,有1
(
)12n n
a f =+, ,求数列{a n }的通项公式； (Ⅲ)若数列{
b n }满足12
21n n b og a =+，将数列{b n }的项重新组合成新数列{}n c ，具体法则如
下：112233456,,,c b c b b c b b b ==+=++478910,c b b b b =+++……，求证：
123
11112924
n c c c c ++++
<。 解：(Ⅰ)令120x x ==，得0()(0)f x f =-，①
令121,0x x ==，得00()()(1)(0)f x f x f f =++，(1)(0)f f ∴=-，② 由①、②得0()(1)f x f =，又因为()f x 为单调函数，01x ∴= (Ⅱ)由（1）得121212()()()(1)()()1f x x f x f x f f x f x +=++=++，
1111
(1)()()()(1),2222f f f f f =+=++
111
()0,()1122
f a f ==+= —
11111111111(
)()()()(1)2()1222222n n n n n n f f f f f f +++++=+=++=+， 1111
()1[()1],222n n f f ++=+ 112n n a a +=，1
12n n a -??= ?
??
，
1
112212121212n n n b og a og n -??=+=+=+ ?
??
(Ⅲ)由{C n }的构成法则可知，C n 应等于{b n }中的n 项之和，其第一项的项数为
[1+2+…+(n －1)]+1=
2)1(n n -+1，即这一项为2×[2
)1(n
n -+1]－1=n(n －1)+1 C n =n(n －1)+1+n(n －1)+3+…+n(n －1)+2n －1=n 2(n －1)+2
)121(-+n n =n 3
3192912824
+=<
当3n ≥时，322
111111
[](1)2(1)(1)
n n n n n n n n n =<=---+ 3
3331111111111
11[]
234
822334
(1)(1)
n n n n n ∴+
++++
<++-++
-??-??+111111291[]18223(1)81224
n n <++-<++=??+
《
解法2：
3234(1)(2)0,4(1)n n n n n n n n --=-≥∴≥-
3333311111()4(1)411111111111
11()234842311111119291181648161624
n n n n n
n n n
n <=---∴+++++<++-+
+
--<++-<++=<
9.设函数()f x 是定义域在(0,)+∞上的单调函数，且对于任意正数,x y 有
()()()f xy f x f y =+，已知(2)1f =
.
（1）求1()
2f 的值；
（2）一个各项均为正数的数列
{}n a 满足：()()(1)1(*)n n n f S f a f a n N =++-∈，其中n
S 是数列
{}n a 的前n 项的和，求数列{}n a 的通项公式；
（3）在（2）的条件下，是否存在正数M ，使
122n n a a a ???
?11)a ≥- 2(21)
a ?-(21)
n a ?-
对一切*n N ∈成立若存在，求出M 的取值范围；若不存在，说明理由.
解：（1）∵()()()f xy f x f y =+，令1x y ==，有(1)(1)(1)2(1)f f f f =+=，∴(1)0f =.
)
再令12,2x y ==，有1(1)(2)()2f f f =+，∴1()(1)(2)011
2f f f =-=-=-，∴1()12f =-
（2）∵()()(1)1n n n f S f a f a =++-11
[(1)]()[(1)]22n n n n f a a f f a a =++=+,
又∵()f x 是定义域(0,)+∞上单调函数，∵0n S >，1
(1)0
2n n a a +>，∴
1
(1)
2n n n S a a =+ ……①
当
1n =时，由
1111
(1)
2
S a a =+，得
11a =，当
2
n ≥时，
1111
(1)2n n n S a a ---=
+ ……②
由①－②，得11111
(1)(1)22n n n n n n n
S S a a a a a ----=+-+=，
化简，得
22
11()0
n n n n a a a a ----+=，∴
11()(1)0
n n n n a a a a --+--=，
∵0n a >，∴110
n n a a ---=，即11n n a a --=，∴数列{}n a 为等差数列. 11a =，公差1d =. ∴
1(1)1(1)1n a a n d n n =+-=+-?=，故n a n =.
（3）∵
12
2212
2!
n n n n a a a n n ???=???=?，
12(21)(21)(21)13
(21)
n a a a n ---=??-
令
21)(21)n n n n b a a =
--3(21)n n ?- ,
而
113(21)(2n n b
n ++?-.
∴1n n b b
+==1>，
∴
1n n
b b +>，数列
{}n b 为单调递增
函数，由题意n M b ≤恒成立，
则只需
min
()n M b ≤=
1
b =
∴ M ∈，存在正数M ，使所给定的不等式恒成立，M 的取值范围为.
10.定义在R 上的函数f （x ）满足fxy fx fy f ()()()()++=+=11
20，，且x >
1
2
时，f （x ）<0。
（1）设a fnn N n =∈()()*
，求数列的前n 项和S n ； （2）判断f （x ）的单调性，并证明。
解：（1）f f f ()11212
11
=?? ?
??+?? ?
??-=- 令x =n ，y =1，则f n f n f f n ()()()()+=+-=-1112
：
所以，a a a n n 1112=--=-+，
故数列{}a n 是首项为－1，公差为－2的等差数列。
因此，()()
S n n n n n
=-+-?-=-·()112
22
（2）设x x R 12、∈，且x x 12<，则x x 210-> 所以 x x 21121
2-+> 于是f x x ()2112
0-+<
又f x f x f x x ()()()2121
1-=-- =-+-=-+21211211
2
0 所以f x f x ()()21
<，而函数f （x ）在R 上是减函数。 11. 设函数f （x ）定义在R 上，对于任意实数m 、n ，恒有fm n fm fn ()()()+=·，且当x >0时，0*
（1）求证：f （0）=1，且当x <0时，f （x ）>1； （2）求证：f （x ）在R 上单调递减；
（3）设集合{
}
A x y f xf y f =>(,)|()()()
22
1·， {}
B x y f a x y a R =-+=∈(,)|()21，，若A B ∩=?，求a 的取值范围。 解：（1）令m=1，n=0，得f （1）= f （1）·f （0） 又当x >0时，0< f （x ）<1，所以f （0）=1 设x <0，则－x >0
令m=x ，n=－x ，则f （0）= f （x ）·f （－x ） 所以f （x ）·f （－x ）=1
又0< f （－x ）<1，所以f x f x ()()
=
->1
1
】
（2）设x x R 12、∈，且x x 12<，则x x 210-> 所以0121
<-0恒成立
所以
f x f x f x x ()()()21
21
=- 所以0121<
()
所以f （x 2）< f （x 1），故f （x ）在R 上是单调递减的。
（3）由
得：f x y f ()()22
1
+> 因为f （x ）在R 上单调递减
所以x y 221+<，即A 表示圆x y 22
1+=的内部
、
由f （ax －y +2）=1= f （0）得：ax －y +2=0 所以B 表示直线ax －y +2=0
所以A B ∩=?
，所以直线与圆相切或相离，即2112
+≥a
解得：-≤≤33a
12.定义在R 上的函数f （x ）对任意实数a 、b 都有f （a +b ）+ f （a －b ）=2 f （a ）·f （b ）
成立，且f ()00≠。
（1）求f （0）的值； （2）试判断f （x ）的奇偶性；
（3）若存在常数c >0使f c
()2
0=，试问f （x ）是否为周期函数若是，指出它的一个周期；若不是，请说明理由。
解：（1）令a =b =0
则f （0）+ f （0）=2 f （0）·f （0）
。
所以2 f （0）·[f （0）－1]=0
又因为f ()00≠，所以f （0）=1
（2）令a =0，b =x ，则f （x ）+ f （－x ）=2 f （0）·f （x ） 由f （0）=1可得f （－x ）= f （x ） 所以f （x ）是R 上的偶函数。 （3）令a x c
b c =+=22
，，则
f x c c f x c c fx c f c +?? ???+??????++?? ???-?????
?=+?? ????? ?
??2222222· 因为f c 20?? ?
?
?=
所以f （x +c ）+ f （x ）=0 所以f （x +c ）=－ f （x ）
》
所以f （x +2c ）=－ f （x +c ）= －[－f （x ）]= f （x ） 所以f （x ）是以2c 为周期的周期函数。
13.已知函数f （x ）的定义域关于原点对称，且满足：
（1）f x x f x f x f x f x ()()()()()12
12
21
1-=+-·
（2）存在正常数a ，使f （a ）=1 求证：（1）f （x ）是奇函数；
（2）f （x ）是周期函数，并且有一个周期为4a 证明：（1）设t x x =-12
，则 f t f x x f x f x f x f x f x f x f x f x f x x f t ()()()()()()
()()()()()()-=-=
+-=-
+-=--=-2121121221121
1
··
《
所以函数f （x ）是奇函数。
（2）令x a x a 122==
，，则f a f a f a f a f a ()()()()()
=+-21
2·
即121
12=
+-f a f a ()()
解得：f （2a ）=0
所以f x a f x f a f a f x f x fa fa f x f x ()()()()()()[()]()()()
+=
-+--=-+--=-22122121
··
所以()
f x a f x a f x
f x +=-+=--=4121
1()
()()
因此，函数f （x ）是周期函数，并且有一个周期为4a 。
14.已知f x ()对一切x y ，，满足f f x y f x f y ()()()()00≠+=?，，且当x <0时，
f x ()>1，求证：（1）x >0时，01<证明： 对一切x y R ，∈有f x y f x f y ()()()+=?。 且f ()00≠，令x y ==0，得f ()01=，
\
现设x >0，则-1， 而f f x f x ()()()01=?-= ∴-=
>f x f x ()()
1
1 ∴<<01f x ()， 设x x R 12，∈且x x 12<， 则0121<-f x f x ()()12， 即f x ()为减函数。
？
15.已知函数f x ()是定义在(]-∞，1上的减函数，且对一切实数x ，不等式
fk x fk x
(s i n )(s i n)-≥-22
恒成立，求k 的值。 分析：由单调性，脱去函数记号，得
k x k x k x k x k k x 22
222222
1111412-≤-≤-??????≤+-+≥-????
?sin sin sin sin ()
(sin )(2)
由题意知(1)(2)两式对一切x R
∈恒成立，则有 k x k k x k 22
22
111412941≤+=-+≥-=????????
?
??=-(s i n )(s i n )m i n m a x 16.设定义在R 上的函数()f x 对于任意,x y 都有()()()f x y f x f y +=+成立，且
(1)2f =-，当0x >时，()0f x <。
（1）判断f(x)的奇偶性，并加以证明；
（2）试问：当-2003≤x ≤2003时，()f x 是否有最值如果有，求出最值；如果没有，说明理由；
（3）解关于x 的不等式
2211
()()()()22
f bx f x f b x f b ->-，其中22b ≥. 分析与解：⑴令x=y=0，可得f(0)=0
[
令y=-x ，则f(0)=f(－x)+f(x)，∴f(－x)= －f(x)，∴f(x)为奇函数 ⑵设－3≤x 1＜x 2≤3，y=－x 1，x=x 2
则f(x 2－x 1)=f(x 2)+f(－x 1)=f(x 2)－f(x 1)，因为x ＞0时，f(x)＜0， 故f(x 2－x 1)＜0，即f(x 2)－f(x 1)＜0。
∴f(x 2)＜f(x 1)、f(x)在区间[－2003、2003]上单调递减
∴x=－2003时，f(x)有最大值f(－2003)=－f(2003)=－f(2002+1)=－[f(2002)+f(1)]=－[f(2001)+f(1)+f(1)]=…=－2003f(1)=4006。
x=2003时，f(x)有最小值为f(2003)= －4006。 ⑶由原不等式，得
2
1
[f(bx 2) －f(b 2x)]＞f(x) －f(b)。 即f(bx 2)+f(－b 2x)＞2[f(x)+f(－b)]
∴f(bx 2－b 2x)＞2 f(x －b)，即f[bx(x －b)]＞f(x －b)+f(x －b) \
∴f[bx(x －b)]＞f[2 f(x －b)]
由f(x)在x ∈R 上单调递减，所以bx(x －b)＜2(x －b)，∴(x －b)(bx －2) ＜0 ∵b 2≥2, ∴b ≥2或b ≤－2 当b ＞2时，b ＞
b 2，不等式的解集为????????b x b x 2| 当b ＜－2时，b ＜
b 2，不等式的解集为????
??
??b x b x x 2|或
当b=－2时，不等式的解集为{}
R x x x ∈-≠且,2| 当b=2时，不等式解集为φ
17.已知定义在R 上的函数()f x 满足：
（1）值域为()1,1-，且当0x >时，()10f x -<<； （2）对于定义域内任意的实数,x y ，均满足：()()()
()()
1f m f n f m n f m f n ++=
+
-
试回答下列问题：
（Ⅰ）试求()0f 的值；
（Ⅱ）判断并证明函数()f x 的单调性；
（Ⅲ）若函数()f x 存在反函数()g x ，求证：21111511312g g g g n n ??
??
????+++> ?
? ? ?++????????
．
分析与解：（Ⅰ）在()()()()()
1f m f n f m n f m f n ++=+中，令0,0m n >=，则有()()()()()
010f m f f m f m f +=+．即：
()()()()()100f m f m f f m f +=+????．也即：()()()2
010f f m ??-=??
． 由于函数()f x 的值域为()1,1-，所以，()
()
2
10f m ??-≠?
?
，所以()00f =． （Ⅱ）函数()f x 的单调性必然涉及到()()f x f y -，于是，由已知
()()()()()1f m f n f m n f m f n ++=
+，我们可以联想到：是否有()()()
()()
1f m f n f m n f m f n --=-（＊）
这个问题实际上是：()()f n f n -=-是否成立
为此，我们首先考虑函数()f x 的奇偶性，也即()()f x f x -与的关系．由于()00f =，所以，在()()()
()()
1f m f n f m n f m f n ++=
+中，令n m =-，得()()0f m f m +-=．所以，函数()
f x 为奇函数．故（＊）式成立．所以，()()()()()1f m f n f m n f m f n -=--????．任取
12,x x R ∈，且12x x <，则210x x ->，故()210f x x -<且()()211,1f x f x -<<．所以，
()()()()()21212110f x f x f x x f x f x -=--
;
（Ⅲ）由于函数()f x 在R 上单调递减， 所以，函数()f x 必存在反函数()g x ，
由原函数与反函数的关系可知：()g x 也为奇函数；()g x 在()1,1-上单调递减；且当
10x -<<时，()0g x >．
为了证明本题，需要考虑()g x 的关系式．
在（＊）式的两端，同时用g 作用，得：()()()()1f m f n m n g f m f n ??
--=?
?-??
，
令()(),f m x f n y ==，则()(),m g x n g y ==，则上式可改写为：()()1x y g x g y g xy ??--= ?-??
． 不难验证：对于任意的(),1,1x y ∈-，上式都成立．（根据一一对应）． 这样，我们就得到了()g x 的关系式． 这个式子给我们以提示：即可以将2131n n ++写成1x y
xy
--的形式，则可通过裂项相消的方
法化简求证式的左端．
事实上，由于
()()()()
()()
2
1
1
1
1211
121
1131
121
111212n n n n n n n n n n n n -
++++=
=
=
++++--
-?++++???? ? ?????
，
…
所以，2
1113112g g g n n n n ??????
=-
? ? ?++++??????． 所以，211151131g g g n n ????
??
+++ ?
? ?++??
??
??
1111112334121111122222g g g g g g n n g g g g g n n ??????????????????=-+-+- ? ? ? ? ? ???????
++??????????
??????????????????
=-=+-> ? ? ? ? ?
++??????????
点评：一般来说，涉及函数奇偶性的问题，首先应该确定()0f 的值．
18.已知函数f （x ）对任意实数x 、y 都有f （xy ）＝f （x ）·f （y ），且f （－1）＝1，f （27）＝9，当
时，
。
（1）判断f （x ）的奇偶性；
（2）判断f （x ）在［0，＋∞）上的单调性，并给出证明； （3）若
，求a 的取值范围。
分析：由题设可知f （x ）是幂函数的抽象函数，从而可猜想f （x ）是偶函数，且在
［0，＋∞）上是增函数。 $
解：（1）令y＝－1，则f（－x）＝f（x）·f（－1），∵f（－1）＝1，∴
f（－x）＝f（x），f（x）为偶函数。
（2）设，∴，，
∵时，，∴，∴f（x1）＜f（x2），故f（x）在0，＋∞）上是增函数。
（3）∵f（27）＝9，又，
∴，∴，∵，∴，
∵，∴，又，故。
19.设函数的定义域为全体R，当x<0时，，且对任意的实数x，
y∈R，有成立，数列满足，且
（n∈N*）
（Ⅰ）求证：是R上的减函数；
（Ⅱ）求数列的通项公式；
]
（Ⅲ）若不等式对一切n∈N*均成立，求k的最大值．
解析：（Ⅰ）令，得，
由题意知，所以，故．
当时，，，进而得．设且，则，
．即，所以是R上的减函数．
（Ⅱ）由得，
所以．
（
因为是R上的减函数，所以，
即，进而，
所以是以1为首项，2为公差的等差数列．
所以，
所以．
（Ⅲ）由对一切n∈N*均成立．
知对一切n ∈N *均成立．
设，
知且
又
．
?
故为关于n 的单调增函数，．
所以，k 的最大值为
20.函数f (x )的定义域为D {}0x x =>, 满足: 对于任意,m n D ∈，都有 ()()()f mn f m f n =+，且f (2)=1.
(1)求f (4)的值；
(2)如果(26)3,()(0,)f x f x -≤+∞且在上是单调增函数，求x 的取值范围. (1)(4)(22)(2)(2)11 2.f f f f =?=+=+= (2) 3＝2＋1＝(4)(2)(42)(8).f f f f +=?= 因为()(0,)f x +∞在上是增函数，所以
(26)3(26)(8)026837.f x f x f x x -≤?-≤?<-≤?<≤ /
21.函数)(x f 的定义域为R ，并满足以下条件：①对任意R x ∈，有0)(>x f ； ②对任意x 、R y ∈，有y
x f xy f )]([)(=；③.1)3
1(>f 则
（1）求)0(f 的值； （2）求证：)(x f 在R 上是单调增函数； （3）若ac b c b a =>>>2
,0且，求证：).(2)()(b f c f a f >+ 9.解：解法一：（1）令2,0==y x ，得：2
)]0([)0(f f =
1)0(0)0(=∴>∴f f
（2）任取1x 、),(2+∞-∞∈x ，且21x x <. 设,3
1,3
12211p x p x ==则21p p < 21)]31
([)]31([)31()31()()(2121p p f f p f p f x f x f -=-=-
)()
()(,1)3
1
(212
1x f x f x f p p f ∴<∴<> 在R 上是单调增函
:
（3）由（1）（2）知1)0()(=>f b f 1)(>b f b a
b f b
c
b f a f )]([)()(=?=
b c
b f b
c b f c f )]([)()(=?= b
c a b
c
b a b f b f b f
c f a f +>+=+∴)]
([2)]([)]([)()(
而)(2)]
([2)]
([2222
22
b f b f b f b
b a
c c a b
b b
c a =>∴==>++
)(2)()(b f c f a f >+∴
解法二：（1）∵对任意x 、y ∈R ，有y
x f xy f )]([)(=
x
f x f x f )]1([)1()(=?=∴………1分 ∴当0=x 时0
)]1([)0(f f = ∵任意x ∈R ， 0)(>x f …………3分 1)0(=∴f
（2）1)]3
1([)313()1(,1)31(3>=?=∴>f f f f
x f x f )]1([)(=∴是R 上单调增函数 即)(x f 是R 上单调增函数； (3)
c a c a f f f c f a f +>+=+)]1([2)]1([)]1([)()(
而)(2)]1([2)]1([222222b f f f b
b a
c c a b c a =>∴==>++
)(2)()(b f c f a f >+∴
，
22. 定义在区间（0，∞）上的函f(x)满足：（1）f(x)不恒为零；（2）对任何实数x 、q,都有
)()(x qf x f q =.
圆与二次函数难度题(含答案)
水尾中学中考专项训练（压轴题）答案 1．（四川模拟）如图，Rt △ABC 内接于⊙O ，∠ACB ＝90°，AC ＝23，BC ＝1．以AC 为一边，在AC 的右侧作等边△ACD ，连接BD ，交⊙O 于点E ，连接AE ，求BD 和AE 的长． 解：过D 作DF ⊥BC ，交BC 的延长线于F ∵△ACD 是等边三角形 ∴AD ＝CD ＝AC ＝23，∠ACD ＝60° ∵∠ACB ＝90°，∴∠ACF ＝90° ∴∠DCF ＝30°，∴DF ＝ 1 2 CD ＝3，CF ＝3DF ＝3 ∴BF ＝BC ＋CF ＝1＋3＝4 ∴BD ＝ BF 2 ＋DF 2 ＝ 16＋3 ＝19 ∵AC ＝23，BC ＝1，∴AB ＝ AC 2 ＋BC 2 ＝ 13 ∵BE ＋DE ＝BD ，∴AB 2 －AE 2 ＋ AD 2 －AE 2 ＝BD 即 13－AE 2 ＋ 12－AE 2 ＝19 ∴13－AE 2 ＝19－ 12－AE 2 两边平方得：13－AE 2＝19＋12－AE 2－2 19(12－AE 2 ) 整理得：19(12－AE 2 ) ＝9，解得AE ＝ 7 19 57 2．（四川模拟）已知Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠B ＝60°，D 为△ABC 外接圆⊙O 上 AC ︵ 的中点． （1）如图1，P 为 ABC ︵ 的中点，求证：PA ＋PC ＝3PD ； （2）如图2，P 为 ABC ︵ 上任意一点，（1）中的结论还成立吗？请说明理由． （1）证明：连接AD ∵D 为AC ︵ 的中点，P 为 ABC ︵ 的中点 ∴PD 为⊙O 的直径，∴∠PAD ＝90° D D P 图1 图2
抽象函数经典综合题33例(含详细解答)
抽象函数经典综合题33例（含详细解答） 抽象函数，是指没有具体地给出解析式，只给出它的一些特征或性质的函数，抽象函数型综合问题，一般通过对函数性质的代数表述，综合考查学生对于数学符号语言的理解和接受能力，考查对于函数性质的代数推理和论证能力，考查学生对于一般和特殊关系的认识，是考查学生能力的较好途径。抽象函数问题既是教学中的难点，又是近几年来高考的热点。 本资料精选抽象函数经典综合问题33例（含详细解答） 1.定义在R 上的函数y=f(x)，f(0)≠0，当x>0时，f(x)>1，且对任意的a 、b ∈R ，有f(a+b)=f(a)f(b)， （1）求证：f(0)=1； （2）求证：对任意的x ∈R ，恒有f(x)>0； （3）证明：f(x)是R 上的增函数； （4）若f(x)·f(2x-x 2 )>1，求x 的取值范围。 解 （1）令a=b=0，则f(0)=[f(0)]2 ∵f(0)≠0 ∴f(0)=1 （2）令a=x ，b=-x 则 f(0)=f(x)f(-x) ∴) (1 )(x f x f = - 由已知x>0时，f(x)>1>0，当x<0时，-x>0，f(-x)>0 ∴0) (1 )(>-= x f x f 又x=0时，f(0)=1>0 ∴对任意x ∈R ，f(x)>0 (3)任取x 2>x 1，则f(x 2)>0，f(x 1)>0，x 2-x 1>0 ∴ 1)()()() () (121212>-=-?=x x f x f x f x f x f ∴f(x 2)>f(x 1) ∴f(x)在R 上是增函数 （4）f(x)·f(2x-x 2 )=f[x+(2x-x 2 )]=f(-x 2 +3x)又1=f(0)， f(x)在R 上递增 ∴由f(3x-x 2 )>f(0)得：3x-x 2 >0 ∴ 0含导函数的抽象函数的构造
含导函数的抽象函数的构造 1．对于()()'0f x a a >≠，可构造()()h x f x ax =- 例1：函数()f x 的定义域为R ，()12f -=，对任意R x ∈，()2f x '>，则 ()24f x x >+的解集为（ ） A ．()1,1- B ．()1-+∞， C ．()1-∞-， D ．()-∞+∞， 【答案】B 【解析】构造函数()()24G x f x x =--，所以()()2G x f x ''=-，由于对任意 R x ∈，()2f x '>， 所以()()20G x f x ''->=恒成立，所以()()24G x f x x =--是R 上的增函数， 又由于()()()112140G f -=----?=，所以()()240G x f x x -->=， 即()24f x x >+的解集为()1-+∞，．故选B ． 2．对于()()'0xf x f x +>，构造()()h x xf x =；对于()()'0xf x f x ->，构造 ()()f x h x x = 例2：已知函数()y f x =的图象关于y 轴对称，且当(),0x ∈-∞， ()()0f x xf x '+<成立，()0.20.2 22a f =，()log 3log 3b f π π=，()33log 9log 9c f =，则a ， b ， c 的大小关系是（ ） A ．a b c >> B ．a c b >> C ．c b a >> D ．b a c >> 【答案】D 【解析】因为函数()y f x =关于y 轴对称，所以函数()y xf x =为奇函数． 因为()()()xf x f x xf x ''=+????，所以当(),0x ∈-∞时，()()()0xf x f x xf x ''=+
二次函数综合题经典习题(含答案及基本讲解)
二次函数综合题训练题型集合 1、如图1，已知二次函数图象的顶点坐标为C(1,0)，直线m x y+ =与该二次函数的图象交于A、B两点，其中A点的坐标为(3,4)，B点在轴y上. （1）求m的值及这个二次函数的关系式； （2）P为线段AB上的一个动点（点P与A、B不重合），过P作x轴的垂线与这个二次函数的图象交于点E点，设线段PE的长为h，点P的横坐标为x，求h与x之间 的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （3）D为直线AB与这个二次函数图象对称轴的交点，在线段AB上是否存在一点P，使得四边形DCEP是平行四边形？若存在，请求出此时P点的坐标；若不存在，请说 明理由. 2、如图2，已知二次函数24 y ax x c =-+的图像经过点A和点B．（1）求该二次函数的表达式； （2）写出该抛物线的对称轴及顶点坐标； （3）点P（m，m）与点Q均在该函数图像上（其中m＞0），且这两点关于抛物线的对称轴对称，求m的值及点Q 到x轴的距离 E B A C P 图1 O x y D x y O 3 －9 －1 －1 A B 图2
P B A C O x y Q 图3 3、如图3，已知抛物线c x b x a y ++=2经过O(0,0)，A(4,0),B(3,3)三点，连结AB ，过点B 作BC ∥x 轴交该抛物线于点C. （1） 求这条抛物线的函数关系式. （2） 两个动点P 、Q 分别从O 、A 两点同时出发,以每秒1个单位长度的速度运动. 其中，点P 沿着线段0A 向A 点运动，点Q 沿着折线A →B →C 的路线向C 点运动. 设这两个动点运动的时间为t （秒) (0＜t ＜4)，△PQA 的面积记为S. ① 求S 与t 的函数关系式； ② 当t 为何值时，S 有最大值，最大值是多少？并指出此时△PQA 的形状； ③ 是否存在这样的t 值，使得△PQA 是直角三角形?若存在，请直接写出此时P 、Q 两点的坐标；若不存在，请说明理由. 7、（07海南中考）如图7，直线43 4 +- =x y 与x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ，已知二次函数的图象经过点A 、C 和点()0,1-B . （1）求该二次函数的关系式； （2）设该二次函数的图象的顶点为M ，求四边形AOCM 的面积； （3）有两动点D 、E 同时从点O 出发，其中点D 以每秒 2 3 个单位长度的速度沿折线OAC 按O →A →C 的路线运动，点E 以每秒4个单位长度的速度沿折线OCA 按O →C → A 的路线运动， 当D 、E 两点相遇时，它们都停止运动.设D 、E 同时从点O 出发t 秒时，ODE ?的面积为S . ①请问D 、E 两点在运动过程中，是否存在DE ∥OC ，若存在，请求出此时t 的值；若不存在，请说明理由； ②请求出S 关于t 的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围； ③设0S 是②中函数S 的最大值，那么0S = . C A M y B O x C A M y B O x C A M y B O x
二次函数与圆结合的压轴题Word版
图6 x y F E H N M P D C B A O 二次函数和圆 【例题1】 (芜湖市) 已知圆P 的圆心在反比例函数k y x = (1)k >图象上，并与x 轴相交于A 、B 两点． 且始终与y 轴相切于定点C (0，1)． (1) 求经过A 、B 、C 三点的二次 函数图象的解析式; (2) 若二次函数图象的顶点为 D ，问当k 为何值时，四边形ADBP 为菱形． 【例题2】(湖南省韶关市) 25.如图6，在平面直角坐标系中，四边形OABC 是矩形，OA=4，AB=2，直线3 2 y x =-+ 与坐标轴交于D 、E 。设M 是AB 的中点，P 是线段DE 上的动点. （1）求M 、D 两点的坐标； （2）当P 在什么位置时，PA=PB ？求出此时P 点的坐标； （3）过P 作PH ⊥BC ，垂足为H ，当以PM 为直径的⊙F 与BC 相切于点N 时，求梯形PMBH 的面积.
【例题3】(甘肃省白银等7市新课程)28. 在直角坐标系中，⊙A的半径为4，圆心A的坐标为（2，0），⊙A与x轴交于E、F两点，与y轴交于C、D两点，过点C作⊙A的切线BC，交x轴于点B． （1）求直线CB的解析式； （2）若抛物线y=ax2+b x+c的顶点在直线BC上，与x 轴的交点恰为点E、F，求该抛物线的解析式； （3）试判断点C是否在抛物线上？ （4）在抛物线上是否存在三个点，由它构成的三角形与 △AOC相似？直接写出两组这样的点． 【例题4】（绵阳市）25.如图，已知抛物线y = ax2 + bx－3与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，经过A、B、C三点的圆的圆心M（1，m）恰好在此抛物线的对称轴上，⊙M的半径为5．设⊙M与y轴交于D，抛物线的顶点为E． （1）求m的值及抛物线的解析式； （2）设∠DBC = α，∠CBE = β，求sin（α－β）的值； （3）探究坐标轴上是否存在点P，使得以P、A、C为顶点的三角形与△BCE相似？若存在，请指出点P的位置，并直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【例题5】（南充市）25.如图，点M（4，0），以点M为圆心、2为半径的圆与x轴交于点A、
抽象函数经典综合题33例(含详细解答)
抽象函数经典综合题33例（含详细解答） 整理：河南省郸厂城县才源高中 王保社 抽象函数，是指没有具体地给出解析式，只给出它的一些特征或性质的函数，抽象函数型综合问题，一般通过对函数性质的代数表述，综合考查学生对于数学符号语言的理解和接受能力，考查对于函数性质的代数推理和论证能力，考查学生对于一般和特殊关系的认识，是考查学生能力的较好途径。抽象函数问题既是教学中的难点，又是近几年来高考的热点。 本资料精选抽象函数经典综合问题33例（含详细解答） 1.定义在R 上的函数y=f(x)，f(0)≠0，当x>0时，f(x)>1，且对任意的a 、b ∈R ，有f(a+b)=f(a)f(b)， （1）求证：f(0)=1； （2）求证：对任意的x ∈R ，恒有f(x)>0； （3）证明：f(x)是R 上的增函数； （4）若f(x)·f(2x-x 2 )>1，求x 的取值范围。 解 （1）令a=b=0，则f(0)=[f(0)]2 ∵f(0)≠0 ∴f(0)=1 （2）令a=x ，b=-x 则 f(0)=f(x)f(-x) ∴) (1 )(x f x f = - 由已知x>0时，f(x)>1>0，当x<0时，-x>0，f(-x)>0 ∴0) (1 )(>-= x f x f 又x=0时，f(0)=1>0 ∴对任意x ∈R ，f(x)>0 (3)任取x 2>x 1，则f(x 2)>0，f(x 1)>0，x 2-x 1>0 ∴ 1)()()() () (121212>-=-?=x x f x f x f x f x f ∴f(x 2)>f(x 1) ∴f(x)在R 上是增函数 （4）f(x)·f(2x-x 2 )=f[x+(2x-x 2 )]=f(-x 2 +3x)又1=f(0)， f(x)在R 上递增 ∴由f(3x-x 2 )>f(0)得：3x-x 2 >0 ∴ 0(完整版)初中数学二次函数综合题及答案
二次函数题 选择题： 1、y=(m-2)x m2- m 是关于x 的二次函数，则m=（ ） A -1 B 2 C -1或2 D m 不存在 2、下列函数关系中，可以看作二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)模型的是（ ） A 在一定距离内，汽车行驶的速度与行驶的时间的关系 B 我国人中自然增长率为1%，这样我国总人口数随年份变化的关系 C 矩形周长一定时，矩形面积和矩形边长之间的关系 D 圆的周长与半径之间的关系 4、将一抛物线向下向右各平移2个单位得到的抛物线是y=-x 2，则抛物线的解析式是（ ） A y=—（ x-2）2+2 B y=—（ x+2）2+2 C y=— （ x+2）2+2 D y=—（ x-2）2—2 5、抛物线y= 2 1 x 2 -6x+24的顶点坐标是（ ） A （—6，—6） B （—6，6） C （6，6） D （6，—6） 6、已知函数y=ax 2+bx+c,图象如图所示，则下列结论中正确的有（ ）个 ①abc 〈０ ②a ＋c 〈b ③ a+b+c 〉０ ④ ２c 〈３b A １ B ２ C ３ D ４ 7、函数y=ax 2-bx+c （a ≠0）的图象过点（-1，0），则 c b a + =c a b + =b a c + 的值是（ ） A -1 B 1 C 21 D -2 1 8、已知一次函数y= ax+c 与二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0），它们在同一坐标系内的大致图象是图中的（ ） A B C D 二填空题： 13、无论m 为任何实数，总在抛物线y=x 2＋2mx ＋m 上的点的坐标是————————————。 16、若抛物线y=ax 2+bx+c （a ≠0）的对称轴为直线x ＝２，最小值为－２，则关于方程ax 2+bx+c ＝－２的根为————————————。 17、抛物线y=（k+1）x 2+k 2-9开口向下，且经过原点，则k ＝————————— 解答题：（二次函数与三角形） 1、已知：二次函数y=x 2 +bx+c ，其图象对称轴为直线x=1，且经过点（2，﹣）． （1）求此二次函数的解析式． （2）设该图象与x 轴交于B 、C 两点（B 点在C 点的左侧），请在此二次函数x 轴下方的图象上确定一点E ，使△EBC 的面积最大，并求出最大面积． 1 —1 0 x y y x -1 x y y x y x y
抽象函数经典综合题33例(含详细解答)
抽象函数经典综合题３3例(含详细解答) 抽象函数,是指没有具体地给出解析式,只给出它的一些特征或性质的函数,抽象函数型综合问题，一般通过对函数性质的代数表述,综合考查学生对于数学符号语言的理解和接受能力,考查对于函数性质的代数推理和论证能力,考查学生对于一般和特殊关系的认识,是考查学生能力的较好途径。抽象函数问题既是教学中的难点，又是近几年来高考的热点。 本资料精选抽象函数经典综合问题33例(含详细解答） 1.定义在R 上的函数ｙ=ｆ(x)，f(0)≠0，当x ＞０时,f(x)>1，且对任意的a 、ｂ∈Ｒ，有f(a+b ）=f(a)f(b), （1）求证：ｆ(0)=1; （2）求证:对任意的x ∈Ｒ,恒有f(x)>0; (3)证明：ｆ(x)是R 上的增函数; （4)若f(x)·f(２x-ｘ２ )>1，求x 的取值范围。 解 (１)令a=ｂ=0，则ｆ（０）=[f(０)]2 ∵f(0)≠0 ∴ｆ（０)＝1 (２)令ａ=x ，b=-x 则 ｆ(0)=f(x)ｆ（－x ） ∴) (1 )(x f x f = - 由已知x>０时，f(x ）>1>0,当x ＜0时,－ｘ>0,f （－x)>0 ∴0) (1 )(>-= x f x f 又x=0时，f(0）=1>0 ∴对任意x ∈R ，f(x)>0 （3)任取x 2>x 1，则ｆ(x ２)>０,f(ｘ1)＞0，x ２-ｘ1＞0 ∴ 1)()()() () (121212>-=-?=x x f x f x f x f x f ∴f(x 2)>f （x 1) ∴f(x ）在R 上是增函数 (4)ｆ(x)·f(2ｘ-ｘ2 )=f[x+(2ｘ-x ２ )]=f(－ｘ2 ＋3ｘ）又1=f （0)， ｆ(ｘ)在Ｒ上递增 ∴由ｆ(3ｘ-x 2 )＞f(0）得:3x-x 2 >0 ∴ 0＜ｘ<3 ２．已知函数()f x ,()g x 在 R 上有定义，对任意的,x y R ∈有 ()()()()()f x y f x g y g x f y -=- 且(1)0f ≠ (1）求证:()f x 为奇函数 （2)若(1)(2)f f =, 求(1)(1)g g +-的值 解（1）对x R ∈,令x=u-v 则有f(-x)=f(v-u)=ｆ（v)g(u ）-ｇ(v)f(u ）=ｆ(u-v)=-[f(u ）g （v ）- g(ｕ)f(v ）］=－f(x) ? ? ?? ? (2）ｆ（2）=f{1－(-1)}=f （1)g （-1）-g(1)ｆ（-１)=ｆ(1)ｇ(-1)+ｇ(1)f(１)=f （１)｛g （-１）+g(1)}
中考数学压轴题专题复习—二次函数的综合含答案
一、二次函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．已知：如图，抛物线y=ax2+bx+c与坐标轴分别交于点A（0，6），B（6，0），C（﹣2，0），点P是线段AB上方抛物线上的一个动点． （1）求抛物线的解析式； （2）当点P运动到什么位置时，△PAB的面积有最大值？ （3）过点P作x轴的垂线，交线段AB于点D，再过点P做PE∥x轴交抛物线于点E，连结DE，请问是否存在点P使△PDE为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1）抛物线解析式为y=﹣1 2 x2+2x+6；（2）当t=3时，△PAB的面积有最大值； （3）点P（4，6）． 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法进行求解即可得； （2）作PM⊥OB与点M，交AB于点N，作AG⊥PM，先求出直线AB解析式为y=﹣x+6， 设P（t，﹣1 2 t2+2t+6），则N（t，﹣t+6），由 S△PAB=S△PAN+S△PBN=1 2 PN?AG+ 1 2 PN?BM= 1 2 PN?OB列出关于t的函数表达式，利用二次函数 的性质求解可得； （3）由PH⊥OB知DH∥AO，据此由OA=OB=6得∠BDH=∠BAO=45°，结合∠DPE=90°知若△PDE为等腰直角三角形，则∠EDP=45°，从而得出点E与点A重合，求出y=6时x的值即可得出答案． 【详解】（1）∵抛物线过点B（6，0）、C（﹣2，0）， ∴设抛物线解析式为y=a（x﹣6）（x+2）， 将点A（0，6）代入，得：﹣12a=6， 解得：a=﹣1 2 ， 所以抛物线解析式为y=﹣1 2 （x﹣6）（x+2）=﹣ 1 2 x2+2x+6； （2）如图1，过点P作PM⊥OB与点M，交AB于点N，作AG⊥PM于点G，
-圆与二次函数综合题精练(带答案)教学文案
圆与二次函数综合题 1、已知：二次函数y=x2-kx+k+4的图象与y轴交于点c，且与x轴的正半轴交于A、B两点（点A 在点B左侧）。若A、B两点的横坐标为整数。 （1）确定这个二次函数的解析式并求它的顶点坐标；（2）若点D的坐标是(0,6），点P（t,0)是线段AB上的一个动点，它可与点A重合，但不与点B重合。设四边形PBCD的面积为S，求S与t的函数关系式； （3）若点P与点A重合，得到四边形ABCD，以四边形ABCD的一边为边，画一个三角形，使它的面积等于四边形ABCD的面积，并注明三角形高线的长。再利用“等底等高的三角形面积相等”的知识，画一个三角形，使它的面积等于四边形ABCD的面积（画示意图，不写计算和证明过程）。 2、（1）已知：关于x、y的方程组有两个实数解，求m的取值范围； (2）在（1）的条件下，若抛物线y=-(m-1)x2+(m-5)x+6与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且△ABC的面积等于12，确定此抛物线及直线y=(m+1)x-2的解析式； （3）你能将（2）中所得的抛物线平移，使其顶点在（2）中所得的直线上吗？请写出一种平移方法。 3、已知：二次函数y=x2-2(m-1)x+m2-2m-3，其中m为实数。 （1）求证：不论m取何实数，这个二次函数的图像与x轴必有两个交点；（2）设这个二次函数的图像与x轴交于点A(x1,0)、B(x2,0),且x1、x2的倒数和为,求这个二次函数的解析式。 4、已知二次函数y1=x2-2x-3. (1)结合函数y1的图像，确定当x取什么值时，y1>0,y1=0,y1<0; (2)根据（1）的结论，确定函数y2= (|y1|-y1)关于x的解析式； （3）若一次函数y=kx+b(k 0)的图像与函数y2的图像交于三个不同的点，试确定实数k与b应满足的条件。 5、已知：如图，直线y= x+ 与x轴、y轴分别交于A、B两点，⊙M经过原点O及A、B两点。 （1）求以OA、OB两线段长为根的一元二次方程； （2）C是⊙M上一点，连结BC交OA于点D，若∠COD=∠CBO, 写出经过O、C、A三点的二次函数的解析式； （3）若延长BC到E，使DE=2,连结EA，试判断直线EA与 ⊙M的位置关系，并说明理由。（河南省） 6、如图，已知点A（tan ,0）B(tan ,0)在x轴正半轴上，点A在点B的左 边，、是以线段AB为斜边、顶点C在x轴上方的Rt△ABC的两个锐角。 （1）若二次函数y=-x2- 5/2kx+(2+2k-k2)的图像经过A、B两点，求它的解析式； （2）点C在（1）中求出的二次函数的图像上吗？请说明理由。（陕西省）
2014高中数学抽象函数专题
2014高三数学专题 抽象函数 特殊模型和抽象函数 特殊模型 抽象函数 正比例函数f(x)=kx (k ≠0) f(x+y)=f(x)+f(y) 幂函数 f(x)=x n f(xy)=f(x)f(y) [或) y (f )x (f )y x (f =] 指数函数 f(x)=a x (a>0且a ≠1) f(x+y)=f(x)f(y) [) y (f )x (f )y x (f =-或 对数函数 f(x)=log a x (a>0且a ≠1) f(xy)=f(x)+f(y) [)]y (f )x (f )y x (f -=或 正、余弦函数 f(x)=sinx f(x)=cosx f(x+T)=f(x) 正切函数 f(x)=tanx )y (f )x (f 1) y (f )x (f )y x (f -+= + 余切函数 f(x)=cotx ) y (f )x (f )y (f )x (f 1)y x (f +-= + 一.定义域问题 --------多为简单函数与复合函数的定义域互求。 例1.若函数y = f （x ）的定义域是[－2，2]，则函数y = f （x+1）+f （x －1）的定义域为 11≤≤-x 。 解：f(x)的定义域是[]2,2-，意思是凡被f 作用的对象都在[]2,2- 中。评析：已知f(x)的定义域是A ，求()()x f ?的定义域问题，相当于解内函数()x ?的不等式问题。 练习：已知函数f(x)的定义域是[]2,1- ，求函数()? ?? ? ? ?-x f 3log 2 1 的定义域。 例2：已知函数()x f 3log 的定义域为[3，11]，求函数f(x)的定义域 。 []11log ,13 评析： 已知函数()()x f ?的定义域是A ，求函数f(x)的定义域。相当于求内函数()x ?的值域。
抽象函数习题精选精讲1
含有函数记号“ ()f x ”有关问题解法 由于函数概念比较抽象，学生对解有关函数记号 ()f x 的问题感到困难，学好这部分知识，能加深学生对函数概念的理解，更好地 掌握函数的性质，培养灵活性；提高解题能力，优化学生数学思维素质。现将常见解法及意义总结如下： 一、求表达式： 1.换元法：即用中间变量表示原自变量x 的代数式，从而求出 ()f x ，这也是证某些公式或等式常用的方法，此法解培养学生 的灵活性及变形能力。 例1：已知 ( )211x f x x =++,求()f x . 解：设1x u x =+,则1u x u =-∴2()2111u u f u u u -=+=--∴ 2()1x f x x -= - 2.凑合法：在已知 (())()f g x h x =的条件下，把()h x 并凑成以()g u 表示的代数式，再利用代换即可求()f x .此解法简洁， 还能进一步复习代换法。 例2：已知 33 11()f x x x x +=+，求 ()f x 解：∵ 22211111()()(1)()(()3)f x x x x x x x x x x +=+-+=++-又∵11 ||||1|| x x x x +=+≥ ∴ 23()(3)3f x x x x x =-=-，(|x |≥1) 3.待定系数法：先确定函数类型，设定函数关系式，再由已知条件，定出关系式中的未知系数。 例3． 已知()f x 二次实函数，且2(1)(1)f x f x x ++-=+2x +4,求()f x . 解:设 ()f x =2ax bx c ++，则22(1)(1)(1)(1)(1)(1)f x f x a x b x c a x b x c ++-=+++++-+-+ =22 222()24ax bx a c x x +++=++比较系数得2()4 1321 ,1,2222 a c a a b c b +=??=?===??=? ∴213()22f x x x =++ 4.利用函数性质法:主要利用函数的奇偶性,求分段函数的解析式. 例4.已知y =()f x 为奇函数,当 x >0时,()lg(1)f x x =+,求()f x 解:∵ ()f x 为奇函数，∴()f x 的定义域关于原点对称，故先求x <0时的表达式。∵-x >0,∴()lg(1)lg(1)f x x x -=-+=-, ∵ ()f x 为奇函数，∴lg(1)()()x f x f x -=-=-∴当x <0时()lg(1)f x x =--∴ lg(1),0 ()lg(1),0x x f x x x +≥?=? --
初中数学二次函数综合题及答案(经典题型)
二次函数试题 论：①抛物线y lx21 是由抛物线y-x2怎样移动得到的22 ②抛物线y2(x 2 1）是由抛物线y 1 x2 2 :怎样移动得到的 ③抛物线y[(x1)21是由抛物线y 1 2 x21怎样移动得到的 22 ④抛物线 y ](x1)21是由抛物线 y 1 2 （x 1）2怎样移动得到22 ⑤抛物线y2(x1)21是由抛物线y 1 2 -x2怎样移动得到的 22 选择题：1、y=（m-2）x m2- m是关于x的二次函数，贝U m=（） A -1 B 2 C -1 或2 D m 不存在 2、下列函数关系中，可以看作二次函数y=ax2+bx+c（a丰0）模型的是（） 在一定距离内，汽车行驶的速度与行驶的时间的关系 我国人中自然增长率为1%这样我国总人口数随年份变化的关系 矩形周长一定时，矩形面积和矩形边长之间的关系 圆的周长与半径之间的关系 4、将一抛物线向下向右各平移2个单位得到的抛物线是y=-x2,则抛物线的解析式是（ A y= —( x-2 ) 2+2 B y= —(x+2 )2+2 C y= (x+2 ) 2+2 D y= —( x-2 1 2 5、抛物线y= x -6x+24 2 的顶点坐标是（ A (—6,—6) B(—6, 6) C(6,6) D (6，—6) 6、已知函数y=ax2+bx+c,图象如图所示，则下列结论中正确的有 ①abc〈0 ②a+ c〈 b ③ a+b+c > 7、函数y=ax2-bx+c (a丰 0) 的图象过点（ A -1 B 1 C - 的值是 b 1 ）个 -1 ,
填空题: 13、无论m为任何实数，总在抛物线y=x2+ 2mx+ m上的点的坐标是------------ 。 16、若抛物线y=ax2+bx+c（0）的对称轴为直线x =2,最小值为—2,则关于方程ax2+bx+c =-2的根为一 17、抛物线y= （k+1）x2+k2-9开口向下，且经过原点，则k= ---------------- 解答题：（二次函数与三角形） 1、已知：二次函数y==x2+bx+c，其图象对称轴为直线x=1，且经过点 4 （1）求此二次函数的解析式. （2）设该图象与x轴交于B、C两点（B点在C点的左侧），请在此二次函数x轴下方的图象上确定一点并求出最大面积. 2、如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A B两点（A在B的左侧），与y轴 9 交于点C （0，4），顶点为（1，2）? （1）求抛物线的函数表达式； （2）设抛物线的对称轴与轴交于点D,试在对称轴上找出点卩，使厶CDP为等腰三角形，请直接写岀满足条件的所有点P的坐标. （3）若点E是线段AB上的一个动点（与A B不重合），分另U连接AC BC过点E作EF // AC交线段BC于点F，连接CE记厶CEF的面积为S S是否存在最大值若存在，求出 存在，请说明理由. 4 2 3、如图，一次函数y=—4x—4的图象与x轴、y轴分别交于A、C两点，抛物线y= + bx+ c的图象经过A C两点，且与x轴交于点B （1）求抛物线的函数表达式；己，使厶EBC的面积最大, （第2题图） S的最大值及此时E点的坐标；若不
二次函数与圆综合训练(含解析)
二次函数与圆综合提高（压轴题） 1、如图，在等边△ABC中，AB=3，D、E分别是AB、AC上的点， 且DE∥BC，将△ADE沿DE翻折，与梯形BCED重叠的部分记作图 形L． （1）求△ABC的面积； （2）设AD=x，图形L的面积为y，求y关于x的函数解析式； （3）已知图形L的顶点均在⊙O上，当图形L的面积最大时，求⊙O的面积．解 解：（1）如图3，作AH⊥BC于H， 答： ∴∠AHB=90°． ∵△ABC是等边三角形， ∴AB=BC=AC=3． ∵∠AHB=90°， ∴BH=BC= 在Rt△ABC中，由勾股定理，得 AH=． ∴S△ABC==； （2）如图1，当0＜x≤1.5时，y=S△ADE． 作AG⊥DE于G， ∴∠AGD=90°，∠DAG=30°， ∴DG=x，AG=x， ∴y==x2， ∵a=＞0，开口向上，在对称轴的右侧y随x的增大而增大，
∴x=1.5时，y 最大=， 如图2，当1.5＜x＜3时，作MG⊥DE于G， ∵AD=x， ∴BD=DM=3﹣x， ∴DG=（3﹣x），MF=MN=2x﹣3， ∴MG=（3﹣x）， ∴y=， =﹣； （3），如图4，∵y=﹣； ∴y=﹣（x2﹣4x）﹣， y=﹣（x﹣2）2+， ∵a=﹣＜0，开口向下， ∴x=2时，y最大=， ∵＞， ∴y最大时，x=2， ∴DE=2，BD=DM=1．作FO⊥DE于O，连接MO，ME．∴DO=OE=1， ∴DM=DO． ∵∠MDO=60°， ∴△MDO是等边三角形， ∴∠DMO=∠DOM=60°，MO=DO=1． ∴MO=OE，∠MOE=120°，
∴∠OME=30°， ∴∠DME=90°， ∴DE是直径， S⊙O=π×12=π． 2、（2013?压轴题）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（0，4）， 点B的坐标为（4， 0），点C的坐标为 （﹣4，0），点P在 射线AB上运动，连 结CP与y轴交于点 D，连结BD．过P， D，B三点作⊙Q与 y轴的另一个交点 为E，延长DQ交⊙Q于点F，连结EF，BF． （1）求直线AB的函数解析式； （2）当点P在线段AB（不包括A，B两点）上时． ①求证：∠BDE=∠ADP； ②设DE=x，DF=y．请求出y关于x的函数解析式； （3）请你探究：点P在运动过程中，是否存在以B，D，F为顶点的直角三角形，满足两条直角边之比为2：1？如果存在，求出此时点P的坐标：如果不存在，请说明理由． 解：（1）设直线AB的函数解析式为y=kx+4， 代入（4，0）得：4k+4=0， 解得：k=﹣1， 则直线AB的函数解析式为y=﹣x+4； （2）①由已知得： OB=OC，∠BOD=∠COD=90°， 又∵OD=OD， ∴△BOD≌△COD，
二次函数综合题训练(含答案)
二次函数综合题训练 一、综合题（共24题；共305分） 1.如图，在平面直角坐标系中，二次函数图象的顶点坐标为，该图象与轴相交于点、，与轴相交于点，其中点的横坐标为1． （1）求该二次函数的表达式； （2）求． 2.如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交x轴于点A，B（点A在点B的左侧）． （1）求点A，B的坐标，并根据该函数图象写出y≥0时x的取值范围； （2）把点B向上平移m个单位得点B1．若点B1向左平移n个单位，将与该二次函数图象上的点B2重合；若点B1向左平移(n＋6)个单位，将与该二次函数图象上的点B3重合．已知m＞0，n＞0，求m，n 的值． 3.已知抛物线y＝2x2-4x＋c与x轴有两个不同的交点. （1）求c的取值范围； （2）若抛物线y＝2x2-4x＋c经过点A(2，m)和点B(3，n)，试比较m与n的大小，并说明理由. 4.如图，已知二次函数y=x2+ax+3的图象经过点P(-2，3）. （1）求a的值和图象的顶点坐标。 （2）点Q（m，n)在该二次函数图象上. ①当m=2时，求n的值；
②若点Q到y轴的距离小于2，请根据图象直接写出n的取值范围. 5.若二次函数图象的顶点在一次函数的图象上，则称 为的伴随函数，如：是的伴随函数. （1）若是的伴随函数，求直线与两坐标轴围成的三角形的面积；（2）若函数的伴随函数与轴两个交点间的距离为4，求，的值. 6.已知k是常数，抛物线y＝x2＋(k2＋k－6)x＋3k的对称轴是y轴，并且与x轴有两个交点. （1）求k的值： （2）若点P在抛物线y＝x2＋(k2＋k－6)x＋3k上，且P到y轴的距离是2，求点P的坐标. 7.如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点、点，与轴交于点． （1）求拋物线的解析式； （2）过点作直线轴，点在直线上且，直接写出点的坐标．8.在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点A，将点A向右平移2个单位长度，得到点B，点B在抛物线上． （1）求点B的坐标（用含的式子表示）； （2）求抛物线的对称轴； （3）已知点，．若抛物线与线段PQ恰有一个公共点，结合函数图象，求的取值范围． 9.如图，直线与轴、轴分别交于两点，抛物线经过点 ，与轴另一交点为，顶点为． （1）求抛物线的解析式； （2）在轴上找一点，使的值最小，求的最小值；
抽象函数经典习题
经典习题1 1. 若函数 (21)f x +的定义域为31,2? ?- ?? ?,则函数2(log )f x 的定义域为 ( ) A. 1 ,22?? ??? B. 1,22?????? C. 12? ? D.12 ??? 2. 若*(1)()1(f n f n n N +=+∈),且f(1)=2,则f(100)的值是( ) A ．102 B ．99 C ．101 D ．100 3. 定义R 上的函数 ()f x 满足：()()(),(9)8,f xy f x f y f f = +== 且则（ ） A B ．2 C ．4 D ．6 4. 定义在区间（-1，1）上的减函数()f x 满足：()()f x f x -=-。若 2(1)(1)0 f a f a -+-<恒成立，则实数a 的取值范围是 ___________________. 5. 已知函数()f x 是定义在(0,+∞)上的增函数,对正实数,x y ,都 有: ()()() f xy f x f y =+成立.则不等式 2(log )0 f x <的解集是 _____________________. 6. 已知函数 () f x 是定义在（-∞，3]上的减函数，已知 22(sin )(1cos )f a x f a x -≤++对x R ∈恒成立，求实数a 的取值范围。 7. 已知()f x 是定义在R 上的不恒为零的函数,且对于任意的 ,,a b R ∈都满足: ()()()f a b af b bf a ?=+. (1)求(0),(1),(1)f f f -的值; (2)判断()f x 的奇偶性,并证明你的结论;
二次函数综合题经典习题(含答案)
二次函数综合题训练题 1、如图1,已知二次函数图象的顶点坐标为C(1,0),直线y x m与该二次函数的图象交 于A、B两点，其中A点的坐标为(3,4) ，B点在轴y上. (1 )求m的值及这个二次函数的关系式； (2)P为线段AB上的一个动点(点P与A、B不重合)，过P作x轴的垂线与这个二次 函数的图象交于点E点，设线段PE的长为h，点P的横坐标为x，求h与x之间的函数关 系式，并写出自变量x的取值范围； (3)D为直线AB与这个二次函数图象对称轴的交点，在线段AB上是否存在一点P,使得四边形DCEP是平行四边形？若存在，请求出此时P点的坐标；若不存在，请说 明理由? 2、如图3,已知抛物线y ax2 bx c经过0(0,0) , A(4,0),B(3, 3)三点，连结AB,过 点B作BC// x轴交该抛物线于点 C. (1) 求这条抛物线的函数关系式? (2) 两个动点P、Q分别从O A两点同时出发，以每秒1个单位长度的速度运动.其中，点P沿着线段0A向A点运动，点Q沿着折线A T B T C的路线向C点运动.设这两个动点运动的时间为t (秒)(0 V t V 4) , △ PQA的面积记为S. ①求S与t的函数关系式； ②当t为何值时，S有最大值，最大值是多少？并指出此时△PQA的形状； ③是否存在这样的t值，使得△ PQA是直角三角形？若存在，请直接写出此时P、Q两点的坐标；若不存在，请说明理由
图3
4 3、如图7,直线y —x 4与x轴交于点A，与y轴交于点C，已知二次函数的图象经过 3 点A、C和点B 1,0 .（1）求该二次函数的关系式； （2）设该二次函数的图象的顶点为M，求四边形AOCM的面积； 3 （3）有两动点D、E同时从点O出发，其中点D以每秒3个单位长度的速度沿折线OAC 2 按O T A T C的路线运动，点E以每秒4个单位长度的速度沿折线OCA按O T C A的路线运动，当D、E两点相遇时，它们都停止运动?设D、E同时从点O出发t秒时，ODE的面积为S . ①请问D、E两点在运动过程中，是否存在DE // OC，若存在，请求出此时t的值；若不存在， 请说明理由； ②请求出S关于t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围； 4、如图5,已知抛物线y a x2 b x c的顶点坐标为E（ 1,0 ），与y轴的交点坐标为（0,1 ）. （1）求该抛物线的函数关系式? （2）A、B是x轴上两个动点，且A、B间的距离为AB=4, A在B的左边，过A作ADL x轴交抛物线于D,过B作BC L x轴交抛物线于 C.设A点的坐标为（t,0 ）,四边形ABCD 的面积为S. ①求S与t之间的函数关系式■ ②求四边形ABCD勺最小面积，此时四边形ABCD是什么四边形？ ③当四边形ABCD面积最小时，在对角线BD上是否存在这样的点P,使得△ PAE的周 长最小，若存在，请求出点P的坐标及这时△ PAE的周长；若不存在，说明理由. A O E B x 图5
专题63 构造圆与隐形圆在二次函数中的综合问题(解析版)
专题63 构造圆与隐形圆在二次函数中的综合问题 1、如图，在直角坐标系中，直线y=﹣1 3x ﹣1与x 轴，y 轴的交点分别为A 、B ，以x=﹣1为对称轴的抛物线 y=x 2+bx+c 与x 轴分别交于点A 、C ，直线x=﹣1与x 轴交于点D ． （1）求抛物线的解析式； （2）在线段AB 上是否存在一点P ，使以A ，D ，P 为顶点的三角形与△AOB 相似？若存在，求出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由； （3）若点Q 在第三象限内，且tan△AQD=2，线段CQ 是否存在最小值，如果存在直接写出最小值；如果不存在，请说明理由． 【答案】（1）y=x 2+2x ﹣3；（2）存在；点P 坐标为（﹣1，?23 ）或（-65 ，-3 5 ）； （3）存在，CQ 最小值为 √37?√5 2 . 【解析】（1）△直线y=﹣1 3x ﹣1与x 轴交于A 点， △点A 坐标为（﹣3，0）， 又△直线x=﹣1为对称轴， △点C 坐标为（1，0）， △抛物线解析式为：y=（x+3）（x ﹣1）=x 2+2x ﹣3； （2）存在；
由已知，点D 坐标为（﹣1，0），点B 坐标为（0，﹣1）， 设点P 的坐标为（a ，﹣13 a ﹣1）， △当△AOB△△ADP 时， AD AO = DP OB ，即23 = 1 3 a+11 ， 解得：a=﹣1； 点P 坐标为（﹣1，?2 3）； △当△AOB△△APD 时， 过点P 作PE△x 轴于点E ， 则△APE△△PED ， △PE 2=AE?ED ， △（﹣1 3a ﹣1）2=（a+3）（﹣a ﹣1）， 解得a 1=﹣3（舍去），a 2=﹣6 5， △点P 坐标为（﹣6 5 ，﹣3 5 ）； （3）存在，CQ 最小值为 √37?√5 2 ； 如图，取点F （﹣1，﹣1），过点ADF 作圆，则点E （﹣2，﹣1 2）为圆心，
