(完整版)2018考研数学二真题.docx
2018 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题
一、选择题：1~8 小题，每小题 4 分，共32 分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.
1
（ 1）若lim( e x ax2bx) x21,则（）
x 0
(A) a 1
， b1(B) a
1
,b1(C) a
11
, b 1 (D) a,b 1 2222
（ 2）下列函数中，在x 0 处不可导的是（）
(A) f x x sin x(B)f x x sin x (C)f x cos x(D)f x cos x
1,x02ax, x1
（ 3）设函数
f (x)x,1x 0 ,
若
f ( x)g(x)
在上连续，则
（）1,x0, g ( x)R
x b, x0
(A) a 3,b1(B)a3,b2 (C)a3, b1(D)a3,b2
（ 4）设函数f (x)在[0,1]上二阶可导，且
1
0,则（）f ( x)dx
(A) 当f( x)0时 , f (1
0(B)当 f(x)0时 , f (
1
0 ))
22
(C)当 f( x)0时 , f
(
1
0(D)当 f(x)0时 , f (
1
0 ))
22
1x
2
1x
x
dx, K
（ 5）设M22dx, N2 2 1cos x dx, 则（）21x2e2
(A) M N K(B) M K N
(C) K M N(D) K N M
02x2
xy)dy12x2
xy)dy
（ 6）dx(1
0dx(1（）
1x x
5
(B)5
(C)
77
(A)
363(D)
6
110
（ 7）下列矩阵中与矩阵01 1 相似的为（）
001
111101
(A)011(B)011
001001
1 1
1 1 0 1
(C) 0
1 0
(D) 0
1 0
0 0 1 0 0 1
（ 8）设 A, B 为n 阶矩阵，记 r
X 为矩阵 X 的秩， X ,Y 表示分块矩阵，
）
则（
(A) r A, AB r A
(B)
r A, BA
r A
(C)
r A, B
max r A ,r B
(D) r
A, B
r A T B T
二、填空题： 9~14 题，每小题 4 分，共 24 分 .
（ 9） lim x 2 [arctan(x
1) arctanx]
x
（ 10） 曲线 y x 2 2ln x 在其拐点处的切线方程是 （ 11）
1
dx
2
5
x 4x
3
（ 12） 曲线
x
cos 3 t ，在t 对应点处的曲率为
y sin 3 t
4
（ 13） 设函数 z
x, y 由方程 ln z e z 1
xy 确定 ,则
z
x (2, 1 )
2
（ 14） 设 A 为3阶矩阵 ,
1,
2 , 3是线性无关的向量组 , 若 A 1 2 12
则 A 的实特征值为
.
三、解答题： 15~23 小题，共 94 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（ 15）（本题满分 10 分）
求不定积分
e 2 x arctan e x 1dx.
（ 16）（本题满分 10 分）
已知连续函数 f ( x)满足
x x 2
f (t) dt
tf ( x t)dt ax
3, A
2 2
2 3
, A
3 2 3 ,
.
（ I ） 求 f ( x)；
（ II ） 若f (x)在区间 [0,1]上的平均值为 1,求
a 的值.
（ 17）（本题满分 10 分）
设平面区域 由曲线
x
t sin t, (0 t 2 ) 与 轴围成 计算二重积分
( x 2y)d .
D
1 cost
y
D
（ 18）（本题满分10 分）
已知常数 k ln 2 1. 证明：( x1)( x ln 2 x 2k ln x 1)0.
（ 19）（本题满分10 分）
将长为 2m的铁丝分成三段，依次围成圆、正方形与正三角形. 三个图形的面积之和是否存在最小值？若存在，求出最小值.
（ 20）（本题满分 11分）
已知曲线L : y4x2 ( x 0),点 O 0,0, 点 A 0,1 .设 P是 L上的动点， S是直线 OA与直线 AP及曲线L
9
所围成图形的面积，若 P运动到点3,4 时沿 x轴正向的速度是 4，求此时 S关于时间 t的变化率 .
（ 21）（本题满分11 分）
设数列 x n满足： x1 0, x n e x n 1e x n 1(n 1,2,L ), 证明 x n收敛，并求 lim x n .
n
（ 22）（本题满分 11 分）
设实二次型 f (x1, x2 , x3 ) ( x1 , x2x3 ) 2( x2 x3 ) 2(x1 ax3)2 ,其中 a是参数 .
(I) 求f ( x1, x2, x3)0的解；
(II)求 f (x1, x2 , x3 )的规范形 .
（23）（本题满分 11 分）
12a1a2
已知是常数，且矩阵
A= 130可经初等列变换化为矩阵
B= 01 1 .
a
27a111 (I)求a;
(II)求满足AP B的可逆矩阵 P.