计算方法练习题与答案

练习题与答案

练习题一

练习题二

练习题三

练习题四

练习题五

练习题六

练习题七

练习题八

练习题答案

练习题一

一、是非题

1.*x=–1

2.0326作为x的近似值一定具有6位有效数字，且其误差限

≤

4

10

2

1

-

?

。()

2.对两个不同数的近似数，误差越小，有效数位越多。( )

3.一个近似数的有效数位愈多，其相对误差限愈小。( )

4.用

2

1

2

x

-

近似表示cos x产生舍入误差。( )

5. 3.14和 3.142作为π的近似值有效数字位数相同。 ( ) 二、填空题

1. 为了使计算

()()2334912111y x x x =+

-+

---的乘除法次数尽量少，应将该

表达式改写为 ；

2. *

x =–0.003457是x 舍入得到的近似值，它有 位有效数字，误差限

为 ，相对误差限为 ； 3. 误差的来源是 ；

4. 截断误差为 ；

5. 设计算法应遵循的原则是 。 三、选择题

1．*

x =–0.026900作为x 的近似值，它的有效数字位数为( ) 。

(A) 7； (B) 3； (C) 不能确定 (D) 5. 2．舍入误差是( )产生的误差。

(A) 只取有限位数 (B) 模型准确值与用数值方法求得的准确值 (C) 观察与测量 (D) 数学模型准确值与实际值 3．用 1+x 近似表示e x 所产生的误差是( )误差。

(A). 模型 (B). 观测 (C). 截断 (D). 舍入

4．用s *=21

g t 2表示自由落体运动距离与时间的关系式 (g 为重力加速度)，s t 是在

时间t 内的实际距离，则s t - s *是（ ）误差。 (A). 舍入 (B). 观测 (C). 模型 (D). 截断 5．1.41300作为2的近似值，有( )位有效数字。

(A) 3； (B) 4； (C) 5； (D) 6。 四、计算题

1． 3.142，3.141，22

7分别作为π的近似值，各有几位有效数字？

2． 设计算球体积允许的相对误差限为1%，问测量球直径的相对误差限最大为多少？

3． 利用等价变换使下列表达式的计算结果比较精确：

(1)1||,11211<<+-++x x x x ， (2)

1

||11

12<<+?+x dt t x x

(3) 1||,1<<-x e x ， (4)

1)1ln(2

>>-+x x x

4．真空中自由落体运动距离s 与时间t 的关系式是s =21

g t 2，g 为重力加速

度。现设g 是精确的，而对t 有0.1±秒的测量误差，证明：当t 增加时，距离的绝对误差增加，而相对误差却减少。

5*.

采用迭代法计算

??

?

??+==+)7(21210k k k x x x x k =0,1,…,

若k x

n 位有效数字的近似值，求证1k x +

2n 位有效数字的近似值。

练 习 题 二

一、是非题

1. 单点割线法的收敛阶比双点割线法低。 ( )

2. 牛顿法是二阶收敛的。 ( )

3. 求方程3

10x x --=在区间[1, 2]内根的迭代法总是收敛的。 ( )

4. 迭代法的敛散性与迭代初值的选取无关。 ( )

5. 求非线性方程 f (x )=0根的方法均是单步法。 ( ) 二、填空题

1. 1. 用二分法求非线性方程f (x )=0在区间(a ,b )内的根时，二分n 次后的误差限为 ；

1. 2. 设)(x f 可微,求方程)(x f x =的牛顿迭代格式是 ；

2. 3. 用二分法求方程3

10x x +-=在区间[0,1]内的根,进行一步后根的所在区

间为 ，要求准确到3

10-，则至少应二分 次；

3. 4.

2

()(5)x x x ?α=+-，要使迭代格式1()k k x x ?+=局部收敛到*x =，则α的取值范围是 ；

4. 5. 求方程3

40x x +-=根的单点割线法是 ，其收敛阶为 ；

双点割线法是 ，其收敛阶为 。 三、计算题

1. 用二分法求方程2

10x x --=的正根，使误差小于0.05。

2. 求方程32

10x x --=在0 1.5x =附近的一个根，将方程改写为下列等价形

式，并建立相应迭代公式。

(1)

211x x =+

，迭代公式

12

11k k x x +=+； (2) 321x x =+，迭代公式(

)

1231

1k k

x x

+=+；

(3)

2

11x x =

-，迭代公式1k x +=

试分析每种迭代公式的收敛性，并选取收敛最快的方法求具有4位有效数字的近似值。

3. 02x =, 计算三次，保留三位小数。

4. 用割线法求方程3

310x x --=的在0 1.5x =附近的一个根，精确到小数点

后第二位。

四*、证明题

已知方程()0f x =，试导出求根公式

122()()

2[()]()()k k k k k k k f x f x x x f x f x f x +'=-

'''-

并证明：当*

x 是方程()0f x =的单根时，公式是3阶收敛的。

练 习 题 四

一、是非题

1．矩阵

??

???

?????--=521352113A 具有严格对角优势。 ( ) 2．

??

???

?????---=521351113A 是弱对角优势矩阵。 ( ) 3．高斯—塞德尔迭代法一定比雅可比迭代法收敛快。 ( )

4．1||||

(1)()

k k M +=+x x f 收敛的必要条件。 ( ) 5*. 逐次超松弛迭代法是高斯—赛德尔迭代法的一种加速方法。 ( ) 二、填空题

1. 解方程组 ??

?=+=+021532121x x x x 的雅可比迭代格式（分量形式）为

， 该迭代矩阵的谱半径=)(1B ρ ；

2. 解方程组??

?=+=+021532121x x x x 的高斯—赛德尔迭代格式（分量形式）为 ，迭代矩阵=2B ， 该迭代矩阵 的谱半径=)(2B ρ ；

3. 幂法的迭代公式为 ；

4*．QR 算法是用来求 矩阵的全部特征值的一种方法。 5*．雅可比方法是用来求 矩阵的全部特征值及特征向量的一种变换方法。 三、选择题

1. 解方程组b Ax =的迭代格式(1)

()k k M +=+x

x f 收敛的充要条件是( )

（A ）1||||

（A ）有关； （B ）无关； （C ）不一定。 3．幂法是用来求矩阵（ ）特征值及特征向量的迭代法。 （A ）按模最大； （B ）按模最小； （C ）任意一个； （D ）所有的。

4．解代数线性方程组的松弛法收敛的必要条件是 （ ） （A ）10<<ω； （B ）10<≤ω； （C ）20<<ω； （D ）20≤≤ω。

5．反幂法是用来求矩阵（ ）特征值及特征向量的迭代法。 （A ）按模最大； （B ）按模最小； （C ）任意一个； （D ）所有的。 四、计算题

1．用简单迭代法（雅可比迭代法）解线性方程组

???

??-=+--=+-=+8

4135332132131

x x x x x x x x

取(0)(0,0,0)T

=x ，列表计算三次，保留三位小数。

2．用高斯—赛德尔迭代法解线性方程组

1

3123123353148x x x x x x x x +=??

-+=-??-+=-?

取(0)

(0,0,0)T =x

，列表计算三次，保留三位小数。

3．用幂法求矩阵

??

????????---=210121004

A 按模最大特征值及相应特征向量，列表计算三次，取(0)

(1,1,1)T =x ，保留两位小数。

4*．取46.1=ω，用松弛法解线性方程组

??????

?=+-=-+-=-+-=-0412021

24343232121x x x x x x x x x x

取(0)(0,0,0)T

=x ，列表计算三次，保留三位小数。

5*．用雅可比方法求实对称矩阵

??

???

?????=110121014A 的特征值及相应特征向量（按四位小数计算，1.0=ε）。

6*．用QR 算法求矩阵

??

???

?????=410131012A 的全部特征值。 练 习 题 五

一、是非题

1. 在求插值多项式时，插值多项式的次数越高，误差越小。 ( )

2. 120102()()

()()x x x x x x x x ----表示节点0x 处的二次插值基函数。 ( )

3. 牛顿插值多项式的优点是：在计算时，高一级的插值多项式可利用前一次插值的结果。 ( )

4. 在拉格朗日插值中，插值节点01,,,n x x x 必须按顺序排列。 ( )

5. 利用等距节点的牛顿插值公式计算0x 附近的)(x f ，用后插公式。 ( ) 二、填空题

1. 已知3=n ，则三次插值基函数)(2x l =_____________________。

2. n +1个节点的拉格朗日插值基函数)(x l i 的和∑==n

i i x l 0

______

)(。

3. 已知4

)(x x f =，取节点(0,1,2,k x k k ==…），用线性插值求)1.2(f 的近似

值，其计算公式1(2.1)(2.1)________________f P

≈=。 4. ______________插值不仅要求插值函数和被插值函数在节点取已知函数值而

且取已知导数值。

5. 已知(1)2,(0)1,(2)3,f f f -===则=-]0,1[f __________________，

=]2,0[f ___________，[1,0,2]__________f -=，牛顿二次插值多项式

2()N x =_____________________________。 三、选择题

1．函数101

x x x x --表示线性插值( )点的基函数. (A) 0x ； (B) 0y ； (C) 1x (D) 1y 。

2．过点)4,2(),3,0(),1,1(-的二次插值多项式)(2x p 中2

x 的系数为( ).

(A) –0.5 (B) 0.5 (C) 2 (D) -2

3．给定互异的节点01,,,,n x x x )(x p 是以它们为插值节点的插值多项式，则

)(x p 是一个( ).

(A). n +1次多项式 (B). n 次多项式

(C). 次数小于n 的多项式 (D). 次数不超过n 的多项式 4．差商,7503)(6

99

x x x x f -+-=(]2,,2,2,1[100

2

= f ) (A) 0 (B) -3 (C) 50 (D) -7

5．对于次数不超过n 的多项式为次插值多项式它的)(),(x p n x f ( ). (A) 任意n 次多项式 (B) 任意不超过n 次的多项式

(C) )(x f 本身 (D) 无法确定 四、计算题

1. 已知,4)2(,3)1(,2)1(-===-f f f 求)(x f 的牛顿插值多项式)(2x N ，及)5.1(f 的近似值，取三位小数。

2. 证明：若f (x )二阶连续可微，则对于f (x )的以10,x x 为节点的一次插值多项

式1()P

x ，插值误差 012

101()()()()max 8x x x x x f x P x f x ≤≤-''-≤

3. 设

12)(4

-+=x x x f ，利用拉格朗日插值余项求以-1，0，1，2为插值节点的三次插值多项式。

4*．已知函数)(x f y =的数据010)1(,)2(,)1(m f y f y f ='==，用基函数法求 f

(x )的二次插值多项式)(2x H 使20212

0(1),(2),(1)H y H y H m '===.

5*．要给出()x f x e =在区间[-2,2]上的等距节点函数表，用分段三次Hermite 插

值求的近似值x e ，要使误差不超过8

10-，问函数表的步长h 应为多少？

6. 已知的f (x )函数表

(1) 求f (x )(2) 用反插值求x ，使f (x )=0。

练 习 题 六

一、判断题

1． 在等距节点的情况下，才能计算函数的差分。 ( ) 2． 向前差分与向后差分不存在等量关系。 ( ) 3． 已知观察值),(i i y x (,2,1,0=i …,n )，用最小二乘法求得的拟合多项式其次数为n 次。 ( ) 4． 利用最小二乘原理对一组数据找出合适的数学公式来拟合，首先应确定公式的类型。 ( ) 5． 数据拟合的步骤首先是建立正规方程组。 ( ) 二、填空题

1． 已知某函数的二阶向前差分12

f ?为0.15,则其二阶向后差分

32f ?为_______。

2． 利用牛顿前插公式计算某点的近似值，应首先确定公式中的t ，其计算公式为t =____________。

3． 已知函数i i y x n b a x f y 处的函数值

个节点上的在1],[)(+=，则其三次样条插值函数满足的条件为)(x s ________________________。

4． 已知),(i i y x (,2,1=i …,30)，其线性拟合的正规方程组为_________。 5． 用形如

b ax x

y +=

的非线性拟合数据),(i i y x 做变换_____________后为线性

拟合y =x b a +。 三．选择题

1. ( )是利用函数的值求自变量的值。

(A) 三次样条插值 (B) 反插值

(C) 分段插值 (D) 爱尔米特插值

2．记

*

,1,2,,i i i y y i n δ=-= ,最小二乘法原理要求下列哪个为最小 ( ) (A) i

n

i δ≤≤1max (B)∑=n

i i

1

δ

(C) ∑=n

i i

1

2δ

(D)∑=n

i i

1

δ

3．当线性方程组满足 ( )时称为超定方程组。

(A) (A) 未知数的个数等于方程的个数 (B) (B) 未知数的个数大于方程的个数 (C) (C) 未知数的个数小于方程的个数 (D) (D) 未知数的个数与方程的个数大小任意

4．*

x 是超定方程组A =x b 的最小二乘解的充分必要条件是( ).

(A) *T T A A A =x x b 是的解 (B)*T T

AA A =x x b 是的解

(C) *T T

A =x x b 是的解 (D) 三者都不对

5．勒让德多项式21d ()[(1)]2!d n

n n n n

P x x n x =-是 ( )

(A) 小于n 次的多项式 (B) 等于n 次的多项式

(C) 大于n 次的多项式 (D) 小于等于n 次的多项式 四、计算题

1． 已知函数解答下列问题的函数表如下

,)(x f y =

(1) (2) 分别写出四次牛顿向前插值公式和牛顿向后插值公式； (3) 用三次插值多项式求)32.0()04.0(f f 和的近似值。

2． 已知0.20)1.3(,5.18)4.2(,4.17)6.1(,8.14)3.1(====f f f f ，按最小二乘原理求一次多项式拟合上述数据。

3． 求超定方程组 ?

??

??=+=-=+112354223212121x x x x x x 的最小二乘解。

4．已知观察值

4

3

2

1

21012y y y y y y x i

i

--

利用的二次拟合多项式)(x f )0(),(2f x p '求的近似值。 5．用形如b x a y +=ln

一、填空题

1. 已知(1)

1.1f =，(2) 1.2f =，(3) 1.5f =，则三点式高斯求积公式为3

1

()d f x x ≈

?

( )，用抛物线求积公式求得3

1()d f x x ≈?（ ）。

2. 已知()30=f ，()45.0=f ，()31=f ，则用三点式可求得

(0)f '≈（ ），(0.5)f '≈（ ），(1)f '≈（ ），且()f x ''≈

（ ）。

3. 复合梯形求积公式为()d b

a f x x ≈

?（ ），当2()[,]f x C a b ∈时,其余项=)(f R n ( )。

4. 数值积分代数精确度的定义是（ ）。

5. 求积公式

0()d ()

n

b

k k a

k f x x A f x =≈∑?的代数精度以（ ）求积公式为最高，具

有（ ）次代数精度，其节点称为（ ）点。 二、选择题

1. 求积公式研究的误差为（ ） 。

A.观测误差

B.模型误差

C.舍入误差

D.截断误差

2. 已知在[a ,b ]上，()2f x ''≤，且],[)(2

b a C x f ∈，步长

n a b h -=，则复合梯形求积公式的误差限为（ ）。

A.6)(3a b --

B. 6)(3a b --

C. 2

6h a b - D. 63h

3. 梯形公式、抛物线公式及n 阶C N -求积公式的代数精度分别至少为（ ）。

A. 1,2,n

B. 2,3,n

C. 1,3,n

D. 1,4,n +1

4. 数值微分的二点公式中，其误差限为（ ），其中01x x h -=

01x x ξ<<。

A ．)(2

h O B. ()2h

f ξ''-

C. ()2h f ξ''

D. 01max ()

2x x x h f x <<''

5. 已知]2,0[)(4

C x f ∈，在[0，2]内1)()

4(≤x f ，2

0()d f x x

?有两位整数，用复合抛物线求积公式计算要保证有5位有效数字，步长最多应为（ ）。 A. 0.1 B. 0.2 C. 0.3 D. 0.4 三、判断题

1、 高斯求积公式

)

()(1k n

k k b

a

x f A dx x f ∑?=≈的代数精度为2n +1。 ( )

2、 梯形求积公式和抛物线求积公式都是高精度方法。 ( )

3、 在使用插值型求积公式时，勿须进行误差分析。 ( )

4、 n 越大，C N -求积公式的代数精确度就越高，相应地求积公式的稳定性也越好。 ( )

5、 具有n +1各节点的插值型求积公式至少具有n +1次代数精度。 ( ) 四、计算题

1、 分别用梯形公式和抛物线公式计算积分dx x ?+10

41

，[0，1]八等分，并估计误差。

2、 n =4，用复合梯形公式求2

30

(2)d x x

+?的近似值，取四位小数，并估计误

差。

3、 用复合抛物线公式计算 1.5

0d x

e x

?，要使截断误差不超过41021

-?，应至少

将区间[0，1.5]多少等份？

4、 设有求积公式2

0120()d (0)2(1)3(2)

f x x A f A f A f ≈++?，求210,,A A A 使代数

精度尽量高。

5、 利用二次插值推导出数值微分的三点公式，并由此计算2

)1()(-+=x x f 在1.0,1.1x =和2.1处的导数值。

练 习 题 八

一、填空题

1. 用Euler 方法解常微分方程初值问题 ??

?=++-='1)0(1y x y y ，步长1.0=h ，计算格式为1+n y =（ ），1y =（ ）。

2. 求解常微分方程初值问题 ??

?=='00)(),(y x y y x f y 改进的欧拉公式为（ ）

3. 常微分方程初值问题的数值解法一般分为（ ）法和（ ）法。

4. 求解常微分方程初值问题的Adams 公式是（ ）步法。

5. 求解常微分方程初值问题的四阶R-K 方法的局部截断误差为（ ）。 二、选择题

1、已知一个求解常微分方程的差分公式的局部截断误差为

)(2h O ，则该方法的阶是（ ）。

A ．1

B ．2

C ．0

D ．3

2、求解一阶常微分方程初值问题的梯形公式为（ ）步法。

A ．多

B ．2

C ．3

D ．1 3、梯形公式是求解常微分方程的（ ）阶方法。

A ．2

B ．4

C ．3

D ．5 4、四阶R-K 方法每步要计算（ ）次f 的值。

A ．4

B ．5

C ．2

D ．3 5、改进的Euler 公式的局部截断误差为（ ）。

A. )(2h O

B. )(3h O

C. )(4h O

D.

)(5

h O 三、判断题

1、R-K 法是一类低精度的方法。 ( )

2、求解微分方程初值问题的二阶R-K 方法是多步法。 ( )

3、梯形方法是一种隐式的多步法。 ( )

4、求解微分方程初值问题的向后Euler 法是隐式方法。 ( )

5、求解常微分方程初值问题的预估—校正公式的局部截断误差为

)(2

h O 。 ( )

四、计算题

1、 用Euler 法求解

??

?=+='1)0(2y y x y （10≤≤x ）

2.0=h ，保留两位小数。

2、 用Euler 法求

2

()d x

t y x e t

-=?

在0.2,5.1,0.1,5.0=x 处的近似值，保留5位小数。

3、 用改进的Euler 法（梯形公式）解初值问题

??

?=-='2)1(38y y y （21≤≤x ）

取步长2.0=h ，至少保留5位小数。

4、 用预估—校正公式求初值问题

??

?=='1)0(2y xy y （10≤≤x ）

的数值解，取步长2.0=h ，以四位有效数字计算。

五*、证明题

对常微分方程初值问题

??

?==+'1)0(0y y y

证明梯形公式求得的近似解为

n

n h h y ?

?? ??+-=22，并进一步证明当步长0→h 时，x

n e y -→。

计算方法练习册答案

习题一

一、1．?； 2．?； 3．∨； 4．?； 5．?．

二、1．11,))94(3(12-=+-++=x t t t t y ； 2．3

61061

,1021,4--??；

3．略；

4．略； 5．略．

三、1．C ； 2．A ； 3．C ； 4．C ； 5．A ．

四、1．4位，3位，3位； 2．%333.0； 3．（1）2

2

2312x x x ++， （2）

)1(11arctan ++x x ，（3） +++32!31!21x x x ， （4）)1ln(2

x x ++-；4．略； 5．略．

习题二

一、1．∨； 2．?； 3．?； 4．?．

二、1．n a b 2-； 2．)(1)(1n n n n n x f x f x x x '---=+； 3．10],1,21[；

4．

)0,55(-

； 5．,1),(4

003

033

1x x x x x x x x x x n n n n n n n ---+-+-=+

618

.1),(411

3

13

3

1---+---+-+-

=n n n n n n n n n n x x x x x x x x x x ．

三、1．59375.1； 2．（1）收敛，（2）收敛，（3）发散，（2）收敛速度

快，467.1*

=x ； 3．236.2；4．88.1． 四、略．

习题三

一、1．?； 2．∨； 3．?； 4．?；5．∨． 二、1．6,

4,2； 2．56,7,8；

3．

?????????????????

?

-

-=????????????????--???????????????

?

--

==323

20

0232100

2

,3400123001213200121

001L LU A ；

4．7； 5．?

?????????-??????????-310210,03

2210． 三、1．B ； 2．B ； 3．B ； 4．B ； 5．D ．

四、1．x=（2, -2, 1）T ； 2．x=（1, 1,1）T ； 3．x=（1, 1, 1, 1）T ；4．x=（2, 1, -1）T ．

习题四

一、1．?； 2．?； 3．?； 4．?；5．∨．

二、1．

6

5

,213

135)(1)1(2)(2)

1(1??????

?-=+-=++k k k k x x x x ；

2．6

5,650350,213

135)

1(1

)1(2)(2)

1(1?

????????

?-?

?????

?-=+-=+++k k k k x x x x ；

3．?????

????

===-k k k k k k k y m x y m Ax y 1)max(1； 4．任意实的非奇异； 5．实对称．

三、1．D ； 2．A ； 3．A ； 4．C ； 5．B ．

四、1．x=（2.444, 0.333, -2.531）T ； 2．x=（2.399, 0.401, -2.499）T ； 3．)14.0,47.0,1(,411-==v λ 4．略； 5．略；6．略．

习题五

一、1．?； 2．∨； 3．∨； 4．?；5．?．

二、1．))()(()

)()((321202310x x x x x x x x x x x x ------； 2．1； 3．5.22；

4．Hermite ； 5．x x x )1(32

)1(2,32,

1,1+++--．

三、1．A ； 2．A ； 3．D ； 4．A ； 5．C ．

四、1．125

.0,521

25)1)(1(25)1(212)(22++-=-+-++=x x x x x x N ； 2．略；

3．122

3-+x x 4．)23()12()2()(2021202-+-++-++-=x x m x x y x x y x H ；

5．0.03；6．(1)1523315

82++-x x , (2)2171-

．

习题六

一、1．∨； 2．?； 3．?； 4．?；5．?．

二、1．15.0； 2．h x x 0

-； 3．略；

4．????????????=??????????????????∑∑∑∑∑=====3013011030

12301

30

130i i i i i i i i i

i i y x y a a x x x ； 5．x x y y 1,1==． 三、1．B ； 2．C ； 3．C ； 4．A ； 5．B ．

四、1．略； 2．x 53.236.12+； 3．x=（1.6530, 0.6612）T

4．)22(101

4310y y y y ++--； 5．93748.2ln 53084.0+=x y ．

习题七

一、1．467.2),552(95)2(98)552(95+++-f f f ； 2．8,4,0,4--；

3．)(12)(),)(2)()((22

31

10ηf n a b x f x f x f h n i i n ''--++∑-=；

4．略； 5．高斯（Gauss ）， 12+n ，高斯（Gauss ）．

二、1．D ； 2．C ； 3．C ； 4．D ； 5．D ． 三、1．?； 2．?； 3．?； 4．?；5．?．

四、1．7

448103179.0,18595.0,1040691.0,22316.0--?≤=?≤=R S R T ；

2．5.0,25.84≤=R T ； 3．8；4．

91,3

2

,31310=

=

=A A A ；

5．187.0,217.0,247.0---．

习题八

一、1．1,1.01.09.0++n n x y ； 2．

)),(),((2111+++++

=n n n n n n y x f y x f h

y y ；

3．单步，多步； 4．多； 5．)(05

h ．

二、1．A ； 2．D ； 3．A ； 4．A ； 5．B ．

三、1．?； 2．?； 3．?； 4．∨；5．?．

2．

3．

4．

五、略．