材料现代分析方法-X射线晶体学基础
云 南 大 学 材料科学与工程系
云南大学材料科学与工程系
主要基础知识
2.1 晶体的基本概念与性质 2.2 晶体空间点阵结构 2.3 晶向与晶面 2.4 倒易点阵 2.5 晶带与晶带定律
第三章 材料现代分析晶体学 基础知识——晶体几何学 ——晶体几何学
云南大学物理科学与技术学院 材料科学与工程系
任课教师：赵鹤云
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1.1 晶体的基本概念与性质
1.1.1 晶体的定性描述
● 物质主要分为四种聚集状态： 气态、液态、固态和等离子体状态 ● 固态：晶态物质；无定形态(非晶态) 固态：晶态物质；无定形态( 非晶态) ● 无定型体：内部质点排列不规则，没有 一定的结晶外型 ● 晶体：具有规则的几何外形的多面体，内部质点 排列长程有序
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晶体的概念
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X射线衍射的结果表明，一切固体物质不论其外形 及透明度如何，不论是单质还是化合物，是天然还是 人工合成的，只要是晶体，它的结构基元——构成晶 体物质的原子、离子或分子等在空间的排列是周期性 的，有规律的。
1912年，X射线晶体衍射实验证明了晶体内部质点 1912年，X 在三维空间排列的规律性，提示了晶体结构的本质： 周期性结构。 晶体：晶体是内部质点在三维空间成周期性重复排 晶体：晶体是内部质点在三维空间成周期性重复排 列的固体，即晶体是具有格子构造的固体。 不论晶体的组成如何不同，也不论其是否具有规则 的几何外形，晶体的共同特征是内部质点在三维空间 按周期性的重复排列。不具备这一特征的物体就不是 晶体。
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晶体的定义
由原子、分子或离子等微粒在空间按一定 规律、周期性重复排列所构成的固体物质。
氯化钠晶体的点阵结构（5.640埃)
晶态结构示意图
非晶态结构示意图
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晶体是由许多质点(严格说来应是无穷多个质点)在三维 空间作周期性排列的固体物质
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NaCl晶体结构
图中大球代表Cl-离子，小球代表Na+离子。C1-离子和Na+ 离子以相同的间隔交替排列。这种规则的交替排列在三维空间 是完全相同的。Cl-离子和Na+离子在三维空间周期性重复的规 则就形成了一种格子状的构造。
1.1.2 晶体的基本特性
(1) 晶体的结晶均匀性 晶体在其任一部位上都具有相同的性质。例如，在 晶体的不同部位任意取下两小块测定其密度时，它们应 该完全相同。晶体的一些与方向无关的量（如密度、化 学组成等），同样，它们在相应方向上的光学、电学、 热学等性能也完全相同。 注意：非晶体的各种性质均具有均匀性, 但与晶体的均 注意：非晶体的各种性质均具有均匀性, 匀性的起源并不相同, 前者是等同晶胞在空间按同一方 匀性的起源并不相同,
NaCl晶体结构
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式重复排列的结果, 而后者则是质点的杂乱无章排列所 式重复排列的结果, 致.
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(2) 晶体的各向异性 晶体在不同的方向上表现出性质的差异称为晶体的 各向异性。这也是由于晶体的格子构造所决定的。因为 在晶体的不同方向上，质点的排列方式和距离可以是不 同的，所以反映在晶体的性能上，不同方向就有差别。 例如晶体的刻划硬度，在不同的方向上是不相同的。另 外一些与方向有关的量（如电导、热导等）在各个方向 上并不相同.例如:云母的传热速率, 石墨的导电性能等 上并不相同. 例如: 云母的传热速率, 晶体的结晶均一性和各向异性二者是统一的，它们从不 同的侧面反映了晶体性质的方向性特点。
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(3) 晶体的自限性 晶体能自发地形成封闭的凸几何多面体外形的特征， 称为晶体的自限性或自范性。结晶多面体上的平面称为晶 面(F)。晶面的交棱称为晶棱(E)。晶棱的顶点(V).对应于 晶体的空间格子构造，晶面相当于最外层的面网，晶棱就 相当于最外层面网相交的行列。晶体的自限性也是由晶体 的本质所决定的。只要有足够的条件，晶体就能生成一定 的规则几何外形。
(4)
晶体的对称性
F+V=E+2
例如，四面体有4个面，6条棱，4个顶点；立方体有6个面，12 条棱，8个顶点；八面体有8个面，12条棱，6个顶点。
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晶体中的相同部分(包括晶面、晶棱等)以及 晶体中的相同部分( 包括晶面、晶棱等) 晶体的性质能够在不同的方向或位置上有规律的 重复出现，称为晶体的对称性。这也是晶体内部 质点按周期性重复排列的结果。 晶体的对称性质说明晶体的性质随方向变化 并非杂乱无章。而是表现出某种规律性，即同 样的性质又会在对称性所指示的一定方向上重复 出现，这就表现出晶体的对称性。 出现，这就表现出晶体的对称性。
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5、晶体的固定熔点性（锐熔性）
晶体具有固定的熔点, 反映在步冷曲线上出 晶体具有固定的熔点, 现平台, 而非晶体没有固定的熔点, 反映在步冷 现平台, 而非晶体没有固定的熔点, 曲线上不会出现平台. 曲线上不会出现平台.
T/K
晶体具有周期性结构，各个部分都按同一方式排列， 当温度升高，热震动加剧，晶体开始熔化时，各部分需要 同样的温度，因而晶体具有一定的熔点。非晶态固体和晶 体不同，它们没有一定的熔点。 (6) 晶体的最小内能和最大稳定性
(b)
T/K
(a)
在相同的热力学条件下，晶体与同组成的气 体、液体及非晶质固体相比其内能为最小。晶体 是最稳定的。
t/min
t/min
晶体(a)与非晶体(b)的步冷曲线
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1.1.3 晶体与非晶体
在通常的温度和压力下，大多数材料为固态，即物质的凝 聚态。其特征在于原子间有足够强的相互作用，从而使材料有 确定的体积和形状。固体内邻近原子的间距，与原子周围电子 云的直径有相同的数量级。 固体可以是晶态的也可以是非晶态: 固体可以是晶态的也可以是非晶态: 晶态物质(或称晶体、结晶体)的一个基本特点是它们内部 晶态物质( 或称晶体、结晶体 ) 结构具有明显的空间排列上的周期性，这种周期性的结构，赋 予它们许多的特殊性质。 非晶态在一定的温度条件下会自发转变为晶态，晶态是平 衡条件下的固态，晶体是物质存在的一种基本的稳定的形式。
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(2) 非晶体(非晶) 非晶体是在微米量级范围内，三维空间方向上原子无序排列 构成的固体——长程无序。 (3) 非晶态固体又叫做过冷液体，它们在凝结过程中不经过结 晶(即有序化)的阶段，非晶体中分子与分子的结合是无规则的 Be2O3晶体和Be2O3玻璃的内部结构。由图可以看出，两者间 具有显著的不同，组成Be2O3晶体的粒子在空间的排列具有周期 性，是长程有序的。 而Be2O3玻璃中的粒子只有在近邻的范围内的粒子间保持着一 定的短程有序，当隔开三四个粒子后就不再保持这种关系，由于 键角键长的畸变破坏了长程有序，形成无规则网络。晶格结构已 不复存在。这是非晶态的显著而重要的特征。
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原子的有序排列使晶体成为天然的衍射光栅，在衍射实验 中可以观察到清晰的衍射花样。 非晶体和液体有模糊的衍射花样，表明非晶体的原子排列 和液体的原子排列类似，是短程有序的，短到几个原子的尺 度，并且还会随时间变化。 气体看不到衍射花样，说明组成它的质点处于完全无序状 态。图所示的是晶体、非晶体(液体)、气体的X射线衍射图谱 态。图所示的是晶体、非晶体(液体)、气体的X
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1.1.3 单晶体和多晶体 晶态和非晶态之间很难有绝对严格的界线。譬如说 : 晶体内部存在各种缺陷，局部地破坏了质点排列 的有序性。 在一些橡胶等高聚物中以及一些液晶中，可遇到 分子呈一维方向的有序排列，而其他二维方向则观察 不到有序。
同一晶体结构的固体物质，有多晶体和单晶体之分，例如: 同一晶体结构的固体物质，有多晶体和单晶体之分，例如: 硅有多晶硅和单晶硅两种. 硅有多晶硅和单晶硅两种. 虽然从微观的晶体结构来看，多晶硅和单晶硅都具有相同的 结构(金刚石结构)，多晶硅和单晶硅的某些性质是不同的. 结构( 金刚石结构) ，多晶硅和单晶硅的某些性质是不同的. 在单晶硅中，整个一块固体中硅原子都是有规则地呈周期性 排列. 排列. 多晶硅是由无数个微小的单晶硅呈无规则地排列而成的一块 固体. 固体.
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单晶硅
单晶体：结构基元的周期性排列贯穿在整个物质之中的固体 (各向异性) 多晶体：若干单晶体杂乱无章地形成的集体(各向同性)
请注意： 区分单晶体和多晶体不是根据其尺寸的大小和几何外形， 而是根据其内部质点的排列的周期性是不贯彻整个物质，单晶 体可大到几厘米到几十米，而小至几个纳米。
多晶硅
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1.2 晶体的对称性(略)
本节主要内容: 1.2.1 晶体宏观对称性与对称操作 1.2.2 晶体微观对称性与对称操作 1.2.2 晶体的对称分类
晶体的对称分类
一切晶体的对称要素组合均不能超越32种对称型范围之 外，根据晶体是否具有高次轴而将其划分为三大晶族；根据主 轴的轴次再将其分为七大晶系。 划分晶族 (1)高级晶族——高次轴(n>2)多于一个； (2)中级晶族——高次轴只有一个； (3)低级晶族——无高次轴。 划分晶系 在每个晶族下又可按旋转轴和倒转轴的轴次和数目将晶体划 分为七个晶系： (1)高级晶族：仅有等轴(立方)晶系；
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(2)中级晶族: 1)六方晶系(有一个上L6或Li6 )； 2)四方晶系(有一个L4或Li4)； 3)三方晶系(有一个L3)。 (3)低级晶族： 1)正交(斜方)晶系(L2或P多于一个)； 2)单斜晶系(只有一个L2或P)； 3)三斜晶系(无L2，无P)。 如六方晶系的晶体，它唯一的高次轴为六次轴; 正交晶系\的晶体中，必须是高次轴(没有高次轴仅为二次轴) 和对称面之和不少于三个 等轴晶系的晶体对称性最高，而三斜晶系的晶体对称性最低。
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14 种布拉维格子就是在满足划分原则的条件下得到 的格子, 称为正当格子. 因此, 按照宏观对称性分类, 晶体结构可分为：
7大晶系
14种空间点阵型式 32个点群(点对称类型) 230个空间群(微观对称性)
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2.3 晶体空间结构基本特征
1.3.1 晶体结构的点阵理论 1.3.2 单位平行六面体的选取 1.3.3 十四种布拉维点阵 1.3.4 晶胞
1.4.1 晶体结构的点阵理论
(1) 周期性与点阵
点阵的定义
按连接其中任意两点的向量进行平移能够复原的一组 点, 称为点阵. 由此推断：点阵的环境必须相同, 阵点是无限的. 晶体结构 = 点阵 + 结构基元
结构基元 ( structural motif )
每个点阵点所代表的具体内容 （包括粒子的种类、数量及其在空间的排列方式等）.
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重复的大小与方向 周期性的两个要素 周期性重复的内容
A
同一点阵因 结构基元不 同形成多种 晶体结构
如果在上述的平行六面体中引入具体的晶体构造，就形成所谓的晶 胞。a、b、c称为晶轴。实际晶体可以认为是晶胞在三维空间中堆垛起来 胞。a 的。显然，由于平行六面体不同的选取方法，晶胞中可以有一个或多个 的基元，所以，晶胞是人为选取的实际晶体的基本结构单元，它不一定 是晶体最基本的结构单元。
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直线点阵
以直线连接各个阵点形成的点阵称为直线点阵. 相邻两阵点的矢量a, a是这直线点阵的单位矢量, 长度 称为点阵参数, 因是平移时阵点复原的最小距离, 故a 为 平移素向量.
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直线点阵对应的平移群
Tm = ma
m = 0, ±1, ±2, ???
点阵是晶体结构周期性的几何表达. 平移群则是代数表达.
如何从点阵结构中抽取点阵是从具体到抽象的过 程. 只有从点阵的定义出发, 来判断抽出的点是否构
一维周期排列的结构及其点阵
成点阵.
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B
平面点阵
在二维方向上排列的阵点, 即为平面点阵. 最简单的情况是等径圆球密置层. 每个球抽取为一个 点. 这些点即构成平面点阵.
b a
(a)
(b)
(c)
(d)
二维点阵格子的划分
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平面点阵参数
C
a = a , b = b , γ = a∧b
空间点阵
向空间三维方向伸展的点阵称为空间点阵. 选取三个不平行、不共面的单位向量 a, b, c,
a, b的选取方式不同平面格子的划分就不同
当一个格子中只有一个点阵点时, 称为素格子； 当一个格子中含有一个以上点阵点时, 称为复格子 平面点阵对应的平移群
可将空间点阵划分为空间格子。空间格子一定是平 行六面体。
空间点阵对应的平移群
Tmnp = ma + nb + pc m,n, p =0, ±
Tmn = ma + nb m,n = 0, ±1, ±2, ???
空间点阵与正当空间格子
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2 晶体结构的点阵理论
为了讨论晶体空间格子构造,不管重复单元的具体内容,将 其抽象为几何点（无质量、无大小、不可区分),则晶体中重复 单元在空间的周期性排列就可以用几何在空间排列来描述。
基本概念： 等同点：如果在NaCl晶体结构中任意选一个几何点那么，一定 可以在整个结构中找出所有这样的点，等同点在晶体结构中占 据相同的位置和具有相同的环境。 空间点阵：按晶体的定义，从晶体结构中找出的一系列等同 点，必定在三维空间呈周期性重复排列，称为空间点阵 。将 空间点阵中的几何点或等同点称为阵点或结点。 对于每一种晶体结构均可以做出一个相应的空间点阵。不 同的晶体可以具有不同的结构，对应的空间点阵也有所不同， 而它们的差别仅在于结点产生重复的方向和间距不同。
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结点间距：在空间点阵中，分布在同一直线上的结点构成一个 行列。由任意两个结点可以决定一个行列，行列中两个相邻结 点间的距离称为结点间距。 构成面网：分布在同一平面内的结点连接起来，即构成面网。 由两个任意相交的行列可以决定一个面网。 空间格子：连接分布在三维空间的结点就构成了空间格子。由 三个不共面的行列就可以决定一个空间格子，空间格子是由一 系列平行叠置的平行六面体构成。结点分布在平行六面体的角 顶上，平行六面体的三组棱长恰好就是三个相应的结点间距。
空间点阵
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空间点阵实际上是由晶体结构抽象而得到的几何图形。空 间格子或空间点阵是几何上的无限图形。而对于实际晶体来 说，构成晶体的内部质点是具有实际内容的原子或离子。晶体 的宏观形态也是有限的，但是空间格子中结点在空间分布的规 律性表征了晶体格子构造中具体质点在空间排列的规律性。
空间点阵也称空间格子!
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构成点阵的几何点称为点阵点，简称阵点。 用点阵的性质来研究晶体的几何结构的理论称为点阵理论.
点阵的含义
按连接其中任意两点的向量进行平移能够复原的一组 点, 称为点阵. 推断：点阵的环境必须相同, 阵点是无限的. 构成点阵的条件： ①阵点数无穷大； ②每个阵点周围具有相同的环境； ③平移后能复原：结构的周期性 平移：所有点阵点在同一方向移动同一距离且使图形复原 的操作。
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1.4.3 十四种布拉维点阵(Bravais Lattice)
在空间点阵中，选取出来的能够符合这几条原则的平行六 面体称为单位平行六面体，可以用三条互不平行的棱a、b、c和 棱间夹角αγβ来描述其大小和形状。 Z 1.以某一顶点为坐标原点 2.三个棱边为a、b、c 3.三轴间夹角α、β、γ β
点阵常数 （晶体参数）
1.4.2 单位平行六面体的选取(略)
c
α b γ Y
a
X
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14种布拉维点阵，根据结点在其中分布的情况可以分为 四类： (1)简单(原始)点阵：仅在单位平行六面体的八个顶点上有 结点，由于顶点上每一个结点分属于邻近的八个单位平行六 面体，所以每一个简单点阵的单位平行六面体内只含有一个 结点，用符号P表示，菱面体用符号R表示。 (2)体心点阵：除了八个顶点外，在单位平行六面体的中心 处还有一个结点，这个结点只属于这个单位平行六面体所 有，故体心点阵的单位平行六面体内包含两个结点，用符号
(3)面心点阵：除了八个顶点外，六面体的每个面中心都各有 二个结点，用符号F 表示。 (4)单面心点阵：除了八个顶点外，在平行六面体的三对面中 心各还有一个结点，称为单面心点阵。(100)面心用A 表示， (010)面心用B 表示，(001)面心用 C 表示。 在单位平行六面体中，除上述三种非原始格子外，其他位 置上存在结点的情况是不可能的。它们是不符合单位平行六面 体选择原则，或是违反空间格子排列规律。
I 表示。
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布拉菲点阵
七个晶系，14个布拉菲点阵
1.三斜晶系：
a ≠ b ≠ c,
α ≠ β ≠γ
2.单斜晶系：
简单三斜(1)
a ≠ b ≠ c,
α = γ = 900 ≠ β
3.三角晶系：
简单单斜(2)
底心单斜(3)
a=b=c
α = β = γ ≠ 90 0 < 120 0
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三角(4)
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4.正交晶系：
a ≠ b ≠ c,
6.六角晶系：
a=b≠c
简单正交(5) 底心正交(6)
α = β = γ = 90 0
α = β = 900 γ = 1200
7.立方晶系：
六角(11)
a=b=c
α = β = γ = 900
体心正交(7) 面心正交(8) 简立方(12) 体心立方(13)
5.四角系：(正方晶系)
a=b≠c
α = β = γ = 90 0
简单四角(9) 体心四角(10)
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面心立方(14)
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立方
a
a
六方
1.4.4 晶 胞
三方
a
四方
1、基本概念
晶体格子：把晶体中质点的中心用直线联起来构成的空 间格架即晶体格子，简称晶格。 结点：质点的中心位置称为晶格的结点。
c
a
a
单斜
c
a a a
a a a
三斜
晶体点阵：由这些结点构成的空间总体称为晶体点阵
正交
（空间格子或空间点阵）。结点又叫阵点。点阵中结点
c
a
b
c
a
b
c
b
仅有几何意义，并不真正代表任何质点。如图1-1所示.
a
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晶体中质点排列具有周期性和对称性 晶体中质点排列具有周期性和 晶体的周期性：整个晶体可看作由结点沿三 个不同的方向按一定间距重复出现形成的， 结点间的距离称为该方向上晶体的周期。 同一晶体不同方向的周期不一定相同。可以 从晶体中取出一个单元，表示晶体结构的特 征。取出的最小晶格单元称为晶胞。 晶胞是从晶体结构中取出来的反映晶体周期 性和对称性的重复单元
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选取结晶学晶胞的原则：
单元应能充分表示出晶体 的对称性； 1. 单元的三条相交棱边应尽量 相等，或相等的数目尽可能地 多； 2. 单元的三棱边的夹角要尽可 能地构成直角； 3. 单元的体积应尽可能地小。 晶体点阵及晶胞的不同取法
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(2)
晶胞及晶胞的两个基本要素
2. 晶胞与晶胞参数
晶胞—晶体中的重复单元，平行堆积可充满三维空间，形成 空间点阵；晶胞是指晶体结构中的平行六面体单位，其形状 大小与对应的空间点阵中的平行六面体一致。 晶胞与平行六面体的区别： 空间点阵是由晶体结构抽象而成，空间点阵中的平行六面 体是由不具有任何物理、化学性质的几何点构成，而晶体结构 中的晶胞则由实在的具体质点构成。 点阵常数值也就是晶胞参数值。
晶胞的定义
晶体结构的基本重复单元称为晶胞.
整个晶体就是晶胞在三维空间周期性地重复排列堆砌而成. 晶胞对应于正当格子只有7种形状. 一定是平行六面体.
晶 胞 的 两 个 要 素
晶胞的大小与形状
由晶胞参数a, b, c；α, β, γ表达
晶胞的内容
晶胞中原子的种类,数目及位置, 由分数坐标表达
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晶胞参数：晶胞的形状和大小可以用6个参数来表示，此 晶胞类型 ： 固体物理学原胞：仅反映周期性最小的 结晶学原胞：反映周期性和对称性，不一定是最小的。 不同晶体的差别：不同晶体的晶胞，其形状、大小可能不 同；围绕每个结点的原子种类、数量、分布可能不同。 即晶格特征参数，简称晶胞参数。它们是3条棱边的长度a、 b、c和3条棱边的夹角α、β、γ，如图1-2所示。
图1-2 晶胞坐标及晶胞参数 任课教课：赵鹤云 任课教课：赵鹤云
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例：氯化钠的晶胞
2.5. 点阵几何元素的表示法
2.5.1 2.5.2 2.5.3 2.5.4 空间点阵中坐标系的选取和晶体中质 晶面的表示法 晶向的表示法 晶面与晶向关系与晶带轴定理
点的表示法
氯化钠的晶体结构:(a)一立方面心格子；(b)晶胞；?晶胞绘制图
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2.5.1
空间点阵坐标系的选取
2、决定坐标轴的轴单位 轴单位就是在结晶轴(坐标轴)上作为长度计 轴单位就是在结晶轴(坐标轴) 量单位的线段。在讨论晶体外形几何特征时只 涉及晶面、晶棱的方向问题，并不考虑它们的 具体位置和大小。因而不需知道三个轴单位的 绝对长度，只需求得三个轴单位之间的比值即 可。 把a轴、b轴、c轴的轴单位的连比(a：b：c) 轴、b轴、c轴的轴单位的连比(a： 称为轴率。通常都以b为单位长度写成连比式A： 称为轴率。通常都以b 为单位长度写成连比式A 1：C的形式。其中A＝a/b，C＝c/b。 的形式。其中A a/b， c/b。 在晶体定向中，轴率a：b：c 和轴角αβγ合称 和轴角αβγ合称 在晶体定向中，轴率a 为晶体几何常数。它是表示晶体坐标系特征的 一组参数。
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一、晶体定向和坐标的选取
晶体定向就是在晶体中选定一个三维坐标系 三维坐标系的方法： 1、首先是在晶体中选择三根直线作为结晶轴，也就是晶体 1、首先是在晶体中选择三根直线作为结晶轴，也就是晶体 中的坐标轴 一般选对称轴或平行于晶棱的直线等。作为晶体的坐标 轴，一般标记为X(或a)轴、Y(或b)轴、Z(或c)轴。三个坐标轴 轴，一般标记为X(或a)轴、Y(或b)轴、Z(或c)轴。三个坐标轴 的交点应位于晶体的中心。每两个坐标轴之间的交角称为轴 角，通常用αβγ表示。轴角与相交的坐标轴之间的关系为：α 角，通常用αβγ表示。轴角与相交的坐标轴之间的关系为：α =b ∧c，β=c∧a，γ=a∧b 。 =c∧ =a∧
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3、晶体点阵的坐标系选择的方法(这个坐标系统要考虑到晶体 的对称情况): 以任一点阵结点作为坐标原点，以平行六面体(在晶体结构 中即为晶胞)的三个互不平行的棱作为坐标轴，点阵常数a、b、 c所代表的三个方向依次为x、y、z轴，用点阵常数a、b、c 作 为相应的坐标单位。 根据上述原则所选坐标系统，在不同的晶系是有区别。 例如，立方晶系的三根轴是互相垂直的，三个方向的坐标单位 在尺度上也是相等的。其他晶系情况就不同了，如对于三斜晶 系，三个坐标轴相互间均不垂直，坐标单位的长度也不等。 立方晶系的坐标系统 三斜晶系的坐标系统
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二、结点位置的表示
点阵结点的位置是以它们的坐标 值来表示的。如图中的P点，通过P点 作平行于x、y、z轴的三条平行线， 它们与yOz、xOz、xoy平面分别相交 于L、M、N点，那么PL=a’=2a， PM= b’=4b,PL=c’=3c，即为这个点在 空间坐标的位置。所以P点的坐标为2 4 3。 根据以上的表示方法，面心立方 点阵中A、B、C、D四个结点的坐标 就是：000；0 1/2 1/2； 1/2 0 ?; 1/2 1/2 0 。
例：金刚石原子坐标 金刚石晶胞内共有八个碳原子，这八个碳原子可以分成两 组其中画成空心圆的那组(四个)分布成面心立方，另一组带阴 影的四个碳原子也是分布成面心立方，这可以从它们和标上①、 ②、③、④四个碳原子的关系看出。这两组碳原子在空间的几 何环境是不一样的，因此，这两组碳原子组成两套不同的等同 点。这个晶体结构可用八个碳原子(C)来表示： C 000; 0 1/2 ?; ? 0 ?; ? ? 0 C ? ? ?; ? ? ?; ? ? ? ; 3/4 ? 1/4
结点在空间坐标中的表示法
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金刚石晶胞图
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NaCl 三维周期排列的结构及其点阵
1.5.2
晶面的表示法 ----晶体结构的定量描述之一
NaCl晶胞： 各离子的分数坐标为（可互换）
Cl(0, 0, 0) (1/2, 1/2, 0) (1/2, 0, 1/2) (0, 1/2, 1/2) 在顶点及面心上 Na+ (1/2,0,0) (0,1/2, 1/2) (0, 0, 1/2) (1/2,1/2,1/2) 在棱心及体心上
晶面——晶体是由组成质点在空间按照一定的周期性有规 律的排列而成，晶体在任意方向上分解为相互平行的结点 平面，这样的结点平面称为晶面。 晶面上的结点，在空间构成一个二维点阵， 同一取向上的晶面，不仅相互平行，间距相等，而且结点 的分布也相同。 结晶学中常用米勒(https://www.360docs.net/doc/366677272.html,ler) (https://www.360docs.net/doc/366677272.html,ler)指数(hkl)来表示一组平行的晶面, 称为晶面指数
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晶面指数：结晶学中经常用（hkl）来表示一组平行晶面，称 为晶面指数。数字hkl是晶面在三个坐标轴（晶轴）上 截距的倒数的互质整数比。 一、确定晶面指数（hkl）的步骤如下： 1. 设坐标：原点设在待求晶面以外。 2. 求截距：求晶面在三个轴上的截距 3. 取倒数 4. 化整数：h、k、l 5. 加括号：（hkl），如果所求晶面在晶 轴上截距为负数则在指数上加一负号
晶面指标（h*k*l*）的定义
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晶面在三个晶轴上的倒易截数之比.
1 1 1 : : = h* : k *: l * r s t
z c (553)
1 1 1 1 1 1 : : = : : = 5:5:3 r s t 3 3 5
晶面指标为（553） a x
b
y
图8-9 平面点阵(553)的取向 任课教课：赵鹤云 任课教课：赵鹤云
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例：晶面指数的标注
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几点说明： 晶面符号必须用整数表示； 如截距出现负号，表示与相应坐标轴方向相反，则在该指 数上也加上相应的负号； 如果晶面与某坐标轴平行，那么它与该轴交于∞，其倒数 就是0; hkl分别对应xyz上的截距，不可互换; hkl表示沿三个坐标单位长度范围内所含该晶面的个数， 即晶面线密度. 按以上方法定义的晶面指数，既能表示晶面的取向，也能 表示晶面距。不过，在许多场合，如果不要求表示晶面距 的话，也可以把它们简化为同比例的三个互质整数。
截距——取倒数——化整数
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二、晶面族
晶面族：晶体结构中原子排列状况相同但不平行的两 组以上的晶面，构成一个等效晶面族。常存在对称性 高的晶体（如立方晶系）中。 晶面族指数（符号）：通常用晶面族中某个最简便的 晶面指数填在大括号{ 号{hkl}表示。 将{hkl}中的±h、±k、±l，改变符号和顺序，进行任意 排列组合，就可构成这个晶面族所包括的所有晶面的 指数。 }内，称为晶面族指数，用符
三、几种晶面的特殊性质 1、不完整晶面与完整晶面
在布拉维点阵中，有些整数指数的晶面是得不到的，例 如，体心点阵中的 (010) 晶面就得不到。根据晶面指数的定 义，(010)在b 轴上截距等于1，即(010)的晶面距等于b。(010) 义，(010)在 轴上截距等于1 ，即(010)的晶面距等于b 晶面指的是一组相互平行的间距为 b的结点面，显然这样的结 点面没有包括所有的点阵结点(漏掉了体心的结点)。这种晶面 点面没有包括所有的点阵结点 ( 漏掉了体心的结点)
???
{111} = (111) + (111) + (111) + (111) + (111) + (111) + (111) + (111)
同一晶面族各平行晶面的面间距相等。
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?
?
?
??
??
?
?
称为不完整晶面。 称为不完整晶面。
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欲求图2．11中所示结点面的 欲求图2 11中所示结点面的 晶面指数，原点应该选距离该面最 近的结点，即体心结点，这样，该 结点面在b轴上的截距等于1／2， 结点面在b轴上的截距等于1 晶面指数应该表示作(020)，显然 晶面指数应该表示作(020)，显然 (020)晶面包括了点阵所有的结点， (020)晶面包括了点阵所有的结点， 故称为完整晶面。 故称为完整晶面。 判断一个晶面是完整的或是不完整？
2 广义晶面
定义
已经定义了晶面为结点面，再定义： 结点面及其二等分面称为二级晶面； 结点面及其三等分面称为三级晶面； 如此……等。 如此……等。 广义晶面：晶面、二级晶面、三级晶面……的集合称广义晶 广义晶面：晶面、二级晶面、三级晶面 ……的集合称广义晶 面。 广义晶面是完整晶面，它将所有的结点都包罗无遗。
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3、干涉指数
(1) 干涉指数讨论的问题是： 在(hkl)晶面组(其晶面间距记为dhkl)同一空间方位上，设 (hkl)晶面组(其晶面间距记为d 若有晶面间距为dhkl/n(n为任意整数)的晶面(组)，应如何标识? 若有晶面间距为d /n(n为任意整数)的晶面( ，应如何标识?
引例: 引例:
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若仅考虑晶面的空间方位，则A1，Bl，A2，B2，…，与 若仅考虑晶面的空间方位，则A1，Bl，A2，B2， A1，A2，A3，…一样，均以晶面指数(010)标识，但若进一步 A1， A2，A3， 一样，均以晶面指数(010)标识，但若进一步 考虑二者晶面间距之不同，则可分别用(010)和(020)标识，此 考虑二者晶面间距之不同，则可分别用(010)和(020)标识，此 即为干涉指数。
引例: 引例:
图中之A1，A2，A3，…为(010)晶面(组)(其面间距记为 图中之A1，A2，A3， (010)晶面( )(其面间距记为 ，在此组晶面中分别插入Bl，B2，B3， d010)，在此组晶面中分别插入Bl，B2，B3，…晶面，则形成晶 面间距为d010/2的A1，Bl，A2，B2，…，晶面(组)。A1，Bl， 面间距为d /2的A1，Bl，A2，B2， ，晶面( A1，Bl， A2，B2，…，最靠近坐标原点的晶面(B1)在3个坐标轴上截距 A2，B2， ，最靠近坐标原点的晶面(B1)在 的倒数分别为0，2，0，加圆括号可表示为(020)，化为互质整 ，加圆括号可表示为(020)，化为互质整 的倒数分别为0 数则仍为(010)。 数则仍为(010)。
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(2)干涉指数与晶面指数的关系 (2)干涉指数与晶面指数的关系
若将(hkl)晶面间距记为dhkl，则晶面间距为dhkl/n(n为正整 若将(hkl)晶面间距记为d ，则晶面间距为d /n(n为正整 数)的晶面干涉指数为(nh nk nl)，记为（HKL）（dhkl/n则记 的晶面干涉指数为(nh nl)，记为（HKL）（d /n则记 为dHKL）。例如晶面间距分别为d110/2，d110/3的晶面，其干涉 ）。例如晶面间距分别为d /2， /3的晶面，其干涉 指数分别为（220）和（330） 指数分别为（220）和（330） 干涉指数(HKL)可以认为是可带公约数(n)的晶面指数[即 干涉指数(HKL)可以认为是可带公约数(n)的晶面指数[ (nh nk nl),或写为n(hkl)]，即广义的晶面指数: nl),或写为n(hkl)]，即广义的晶面指数:
(3)干涉指数的物理意义 (3)干涉指数的物理意义 干涉指数是对晶面空间方位与晶面间距的标识 注意:
对于一定方位的晶面组[以（hkl）标识]，若将其划分（或 对于一定方位的晶面组[ 以（hkl）标识] 插入）为不同晶面间距之晶面组时，可进而以(nh nk nl)标 插入）为不同晶面间距之晶面组时，可进而以(nh nl)标 识。若将干涉指数按比例化为最小整数(互质整数)，即， 识。若将干涉指数按比例化为最小整数(互质整数) n=1，则不论晶面间距如何，其干涉指数均还原为晶面指 n=1，则不论晶面间距如何，其干涉指数均还原为晶面指 数(hkl)，此时意味着只以晶面空间方位来标识晶面． (hkl)，此时意味着只以晶面空间方位来标识晶面． 干涉指数表示的晶面并不一定是晶体中的真实原子面，即 干涉指数表示的晶面上不一定有原子分布。干涉指数概念 的建立是出于衍射分析等工作的实际需要，它使许多问题 的解决得以简化(如简化布拉格方程；建立倒易阵点与正点 的解决得以简化( 阵晶面的一一对应关系等。
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(H, K, L) ? n(h, k, l) ? (nh, nk, nl)
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四、晶面间距及晶面间夹角
1、 晶面间距公式的推导
两相邻近平行晶面 间的垂直距离—晶面间 距，用dhkl表示。从原点 作（h k l）晶面的法线， 则法线被最近的（h k l） 面所交截的距离即是。
晶面(hkl)晶面间距dhkl 晶面(hkl)晶面间距d 通常用表示，简写为d． 通常用表示，简写为d 假定图中的ABC面为 假定图中的ABC面为 某平行晶面族中最靠近坐 标原点的一个晶面(hkl)。 标原点的一个晶面(hkl)。 根据晶面指数的定义，可 知，ABC面在晶轴a、b、 知，ABC面在晶轴a c上截距分别为1/h、1/k、 上截距分别为1/h、1/k、 1/l。 1/l。 a/H在晶面法线nhkl上 a/H在晶面法线n 的投影就等于这个晶面的 画间距dhkl。 画间距d
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d hkl =
a b c ? n hkl = ? n hkl = ? n hkl h k l
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nhkl =
AB × BC AB × BC
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nhkl =
h(b × c) + k (c × a) + l (a × b) h(b × c) + k (c × a) + l (a × b)
在晶面(hkl)中相邻的两个平面的间距用d表示，这个d值是 表示在由(hkl)规定的平面族中相邻的两个平面的垂直距离。当 点阵常数a，b，c 和角α、β、γ 已知时，可用下列公式计算 晶面间距d，晶面间距也是结构测试中的一个重要参数。式中， V为单位晶胞体积。
?h 2b 2 c 2 sin 2 α + k 2 a 2 c 2 sin 2 β + l 2b 2 a 2 sin 2 γ + 2hkabc 2 (cos α cos β ? cos γ )? d =V ? ? 2 2 ?+ 2kla bc(cos β cos γ ? cos α ) + 2hlab c(cos α cos γ ? cos β ) ? ? ?
? 1 2
? b a ? ? c b ? h(b × c) + k (c × a ) + l ( a × b) AB × BC = ? ? ? × ? ? ? = hkl ?k h? ? l k ?
d hkl
a b c = ? n hkl = ? n hkl = ? n hkl h k l
d hkl =
v h(b × c) + k (c × a ) + l (a × b)
v = a ? (b × c ) = b ? (c × a ) = c ? ( a × b)
v
ν就是由a、b、c构 就是由a 成的晶胞的体积 由上式求得的各晶 系的晶面距公式
V = abc 1 ? cos 2 α ? cos 2 β ? cos 2 γ + 2 cos α cos β cos γ
(
)
1 2
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2 晶面间夹角
直角坐标系d hkl＝ 1 h 2 k 2 l 2 （ ） ＋（ ） ＋（ ） a b c
1.低指数的晶面面间距较 大，高指数的则较小。 2.面间距越大，该面上原子 排列愈密集，否则越疏。
晶面夹角可以用晶面法线的夹角来表示。若两个晶面的 单位法向量为n1、n2，设两个晶面为(h1k1l1)和(h2k2l2)则: 单位法向量为n1、n2，设两个晶面为(h
立方晶系 d hkl＝
a h 2＋k 2＋l2
1 4 h 2＋hk＋k 2 l 2 （ ）＋（ ） 3 a2 c
cos ? = n1 ? n2
nhkl =
h(b × c) + k (c × a) + l (a × b) h(b × c) + k (c × a) + l (a × b)
六方晶系 d hkl＝
cos ? =
h1 (b × c) + k1 (c × a ) + l1 ( a × b) h2 (b × c) + k 2 (c × a ) + l 2 (a × b) ? h1 (b × c) + k1 (c × a ) + l1 ( a × b) h2 (b × c) + k 2 (c × a ) + l 2 (a × b)
由上式可以求得各晶系的晶面夹角公式。
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1.5.3
晶向的表示法 ----晶体结构的定量描述之二
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晶向指数的确定：
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晶向：点阵可在任何方向上分解为相互平行的直线组，结 点等距离地分布在直线上。位于一条直线上的结点构成一 个晶向。 同一直线组中的各直线，其结点分布完全相同，故其中任 何一直线，可作为直线组的代表。不同方向的直线组，其 质点分布不尽相同。 任一方向上所有平行晶向可包含晶体中所有结点，任一结 点也可以处于所有晶向上。 晶向指数：用[uvw]来表示。其中u、v、w三个数字是晶向 矢量在参考坐标系X、Y、Z轴上的矢量分量经等比例化简而 得出。
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将坐标原点选在OP的任一结点O点，把OP的另一结点P的坐标经 等比例化简后按X、Y、Z坐标轴的顺序写在方括号[ ]内，则 [uvw]即为OP的晶向指数。 求法： 1） 确定坐标系 2） 过坐标原点，作直线（OP）与 待求晶向平行； 3） 在该直线上取点（距原点最 近），并确定该点P的坐标（x， y，z） 晶向指数的确定 4）该值乘最小公倍数化成最小整 数u，v，w并加以方括号[u v w]即 设坐标，求坐标，化整数，列括号 是。
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如图所示，B点的坐标为111，所以OB点晶向符号为[111]， 这是晶胞中体对角线的方向。x、y、z轴的方向分别为[100]、 [010]、[001]。由于A点的坐标为1 2/3 1，所以0A的晶向符号 为[323]。 如果在坐标位置中有负值， 则表示为，如图中所表示的 [1ī0]。 通过任意两点M(x1，y1，z1) 及N(x2，y2，z2)，MN方向的晶 向符号为[x2-x1，y2-y1，z2z1]。C点的坐标为110，A点的 坐标为1 2/3 1，xA-XC=0，yAyC=-1/3，zA-zC=1，故CA晶向 符号为[013]
晶向指数说明： (1)一个晶向指数代表着相互平行、方向一致的所有晶 向； (2)若晶体中两晶向相互平行但方向相反，则晶向指数 中的数字相同而符号相反。如[112]和[112]等； (3)晶体中原子排列情况相同但空间位向不同的一组晶 向称为晶向族，用
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例如: 立方晶系中的[111]、[111]、[111]、[111)、[111)、 [111]、[111]、[111]八个晶向是立方体中四个体对角线的方 向，它们的原子排列情况完全相同，属于同一晶向族，故用 <111>表示。 如果不是立方晶系，改变晶向指数的顺序所表示的晶向可 能不是等同的。如正交晶系中，[100]、[010]、[001]这三个晶 向就不是等同晶向，因为在这三个晶向上的原子间距分别为a、 b、c，其上的原子排列情况不同，性质亦不相同，故不能属于 同一晶向族。
例:立方晶系晶向指数的标注
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晶向族：
晶向族：晶体中原子排列周期相同的所有晶向为一个 晶向族，用〈uvw〉表示。 同一晶向族中不同晶向的指数，数字组成相同。 已知一个晶向指数后，对±u、±v、±w进行排列组合， 就可得出此晶向族所有晶向的指数。如〈111〉晶向族 的8个晶向指数代表8个不同的晶向；〈110〉晶向族的 12个晶向指数代表12个不同的晶向。
立方晶系的晶向指数与晶面指数关系
在立方晶系中，同指数的晶向与晶面之间有严格的对应 关系，即同指数的晶向与晶面相互垂直，即[hkl]晶向是(hkl) 晶面的法向。
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1.5.4 六方晶系的晶面指数和晶向指数
六方晶系的晶胞如图所示，是边长 为a，高为c的六方棱柱体。这样的 晶格，也可以用图中粗实线所标志 的平行六面体晶胞来表示，即采用 三轴定向，其中a、b的夹角为1 1200，c与a、b的夹角均为900。 三轴定向的缺点： 不能显示晶体的6次对称及等同晶面的关系 例1：六方晶系的六个柱面是等同的，但在三轴定向中，其指数 却分别为(100)、(010)、 (110)、(100)、(010)及(110)。 例2：在晶向表示上也存在同样缺点，如[100]和[110]实际上是 等同晶向。
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为了更清楚地表明六方晶系的对称性，对六方晶系的晶面 和晶向通常采用米勒·布拉维 (Miller·Bravais)指数表示。该种 表示方法采用四轴定向。 四轴定向：晶面符号一般写为（hkil），指数的排列顺序依 次与a轴、b轴、d轴、c轴相对应，其中a、b、d三轴间夹角 为120o，c轴与它们垂直.
a3 ＝－（a1＋a2）
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四轴指数的晶面指数：
晶面指数的标定方法与三轴坐标系相同，但需用(h k i l)四个数 来表示。四轴定向的前三个指数中只有两个是独立的。 晶面指数：（hkil） 或者： （hk?l） i= - (h＋k)
四轴指数的晶向指数：
在四轴坐标系中晶向指数的确定方法也和三轴坐标系相 同，但需要用[uvtw]和﹤uvtw﹥四个数来表示。并且，u， v，t中也只能有两个是独立的. 晶向指数: [uvtw] 其中t=-（u+v）
晶向指数的确定可以采用同步平移的方法来进行，方法是： 六个柱面的指数分别为(1010)、(0110)、(1100)、(1010)、 (0110)和(1100)。这六个晶面具有明显的等同性，可归入｛1100｝ 晶面族。 ①把坐标原点放在特定晶向的任一节点上； ②从原点出发，按a、b、d、 c轴的顺序，以各轴的晶体周期为 单位，沿与各轴平行的方向平移到待定晶向的另一个节点上； ③将平移的步数依次记下来，等比例化简成最小整数，写进方 括号内，即可得到特定的晶向指数。
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例：确定图中OA晶向的指数时，由O点出发，沿a平移2个周 期，再沿-b方向平移1个周期，然后沿-d方向平移1个周期，即回 到OA晶向上来。显然，沿c轴平移为零。于是，OA的晶向指数 为[2 1 1 0] 图 六方晶系的晶面指数和晶向指数
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总结：
三指数系统→四指数系统
（ k l） h （ k il） i＝- h＋ h （ k）
[U V W] [u v t w] U=u-t, V=v-t, W=w 1 1 u= [2U-V],v= [2V-U],t=-(u+v), w=W 3 3
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1.6 倒易点阵
1.6.1、倒易点阵的含义与本质
倒易点阵的含义
倒易点阵是傅立叶空间中的点阵，倒易点阵的阵点告诉我 们一个具有晶体点阵周期性的函数傅立叶级数中的波矢在波矢 空间的分布情况，倒易点阵阵点分布决定于晶体点阵的周期性 质，一个给定的晶体点阵，其倒易点阵是一定的. 质，一个给定的晶体点阵，其倒易点阵是一定的. 一种晶体结构有两种类型的点阵与之对应： 晶体点阵是真实空间中的点阵，量纲为[L]； 晶体点阵是真实空间中的点阵，量纲为[L]； 倒易点阵是傅立叶空间中的点阵,量纲为[L-1] 倒易点阵是傅立叶空间中的点阵,量纲为[L
1.6.2 倒易点阵的定义
定义：对于一个由 a b c 定义的正点阵，都有一个对应 的倒易点阵[a*,b*,c*]，其基轴满足
[
]
? K ( K为常数），i a * ? ai = ? j ?0，i ≠ j时
= j
a · a* = b · b* = c · c* =1， a · b* = a · c* = b · c* = 0，
?a ? ?b ? a * ? ? ?c ? ? ?
[
b*
?1 c * = ?0 ? ?0 ?
]
0 1 0
0? 0? ? 1? ?
构成倒易点阵
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2、 倒易点阵基矢表达式
，
* * * * * * a1 ? a 2 = a1 ? a 3 = a 2 ? a1 = a 2 ? a 3 = a 3 ? a1 = a3 ? a 2 = 0
* a1 =
? * (a 2 a3 sin α ) (a 2 × a3 ) (a × a ) ?a1 = V = 2 3 ? a1 ? (a 2 × a3 ) V ? * ( a 3 a1 sin α )
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a ⊥ a2 a ⊥ a3
* 1
* 1
* a1 = α ( a 2 × a 3 )
a1*垂直于a2和a3所构成的平面 垂直于a
* a2 =
(a3 × a1 ) (a × a ) = 3 1 a 2 ? (a3 × a1 ) V
* a3 =
(a1 × a 2 ) (a × a ) = 1 2 a3 ? (a1 × a 2 ) V
a = ? 2 V ? ? * (a1 a 2 sin α ) ?a 3 = V ? ?cos α * [ = (a * ? a * ) a * a * ] = (cos β cos γ ? cos α ) sin β sin γ 2 3 2 3 ? * * * ?cos β * [ = (a3 ? a * ) a3 a1 ] = (cos γ cos α ? cos β ) sin γ sin α ? * * * ?cos γ * [ = (a1* ? a 2 ) a1 a 2 ] = (cos α cos β ? cos γ ) sin α sin β ?
* a1 ? a1 = αa1 ? ( a 2 × a 3 ) = 1
，
，
，
α=
* a1 =
1 1 = a1 ? (a 2 × a 3 ) V
(a 2 × a3 ) (a × a ) = 2 3 a1 ? (a 2 × a3 ) V
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* * ? (a 2 × a3 ) (a * × a * ) = 2 * 3 ?a1 = * * * a1 ? (a 2 × a3 ) V ? * * ? (a3 × a1* ) (a3 × a1* ) ? = ?a 2 = * * a 2 ? (a3 × a1* ) V* ? * * * ? (a × a ) (a × a * ) ?a 3 = * 1 * 2 * = 1 * 2 ? a3 ? (a1 × a 2 ) V ?
立方晶系: 立方晶系:
a = b = c V = a3 α = β = γ = 90 0
1 ? * * * ?a = b = c = a ? ?α * = β * = γ = 90 0 ?
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云南大学材料科学与工程系
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1.6.3、倒易坐标系及倒易矢量 1.6.3、倒易坐标系及倒易矢量
1、倒易点阵中建立坐标系：
以任一倒易阵点为坐标原点(称倒易原点，一般取其与正 点阵坐标原点重合)，以(a*、b*、c*)分别为三坐标轴单位矢 量．由倒易原点向任意倒易阵点(简称为倒易点)的连接矢量称 为倒易矢量，用r*表示. r*终点(倒易点)坐标为(H，K，L)(此时可将r*记作 r*HKL) 终点( 倒易点)坐标为(H， L)(此时可将r r* r*在倒易点阵中的坐标表达式为: 在倒易点阵中的坐标表达式为:
? rhkl = Ha ? + Kb ? + Lc ?
2、倒易矢量的性质：
(1) (2)
* r HKL
⊥ ( HKL
)
* rhkl = 1 d hkl
又称波矢空间
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性质一证明:
性质二证明:
c n
C
M
OA = a / h
OB = b / k
OC = c / l
性质一成立，OM垂直于ABC面， OM方向上的单位矢量为
n b
B
r
? hkl
? AB = (ha ? + kb ? + lc ? ) (b / k ? a / h) = 1 ? 1 = 0
? rhkl ⊥ AB
? rhkl ⊥ AC
C B O A
∴
同理可证：
OM
= d hkl
O A
a
c b a
? ? n = rhkl / rhkl
r ⊥ BC
∴
* r hkl ⊥ ( hkl )
? hkl
d hkl = OA ? n = a / h ? (
∴
* rhkl = 1 d hkl
ha ? + kb ? + lc ?
? rhkl
)=
1
? rhkl
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1、晶面间距计算公式
1 = rhkl .rhkl = ( H a * + K b * + L c *) ? ( H a * + K b * + L c *) d2 = H 2 ( a *) 2 + K 2 ( a *) 2 H 2 ( b *) 2 + L 2 ( c *) 2 + 2 HK ( a * ? b *) + + 2 HL ( a * ? c *) + 2 KL ( b * ? c *)
立方晶系 d hkl＝
a h ＋k2＋l2
2
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2 晶面间夹角
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两晶面(H1K1L1)与(H2K2L2)之间夹角(φ)可用两晶面法 两晶面(H 之间夹角( 线夹角表示,也即可用两晶面对应之倒易矢量夹角表示. 线夹角表示,也即可用两晶面对应之倒易矢量夹角表示.
cos ? = n1 ? n2 = = =
* * rH1K1L1 ? rH 2 K 2 L2 * * rH1K1L1 ? rH 2 K 2 L2
( H 1a * + K1b * + L1c * ) ? ( H 2 a + * K 2 b * + L2 c * ) * * rH1K1L1 ? rH 2 K 2 L2 1 [ H 1 H 2 (a * ) 2 + K1 K 2 (b * ) 2 + L1 L2 (c * ) 2 + K1 H 2 b * ? a * + * * rH1K1L1 ? rH 2 K 2 L2
L1 H 2 c * ? a * + H 1 K 2 a * ? b * + L1 K 2 c * ? b * + H 1 L2 c * ? b * + K1 L2 b * ? c * ]
晶面间角倒易点阵表达式,适用于各晶系
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1.6.4 倒易点阵与正点阵的关系
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1.6.4.1、倒易阵点与正点阵(HKL)晶面的对应关系 r*的基本性质确切表达了其与(HKL)的一一对应关系，即: 一个r*与一组(HKL)对应； r*的方向与大小表达了(HKL)在正点阵中的方位与晶面间 距；反之，(HKL)决定了的方向与大小． r*的基本性质建立了作为终点的倒易(阵)点与(HKL)的一一对 应关系： 正点阵中每一(HKL)对应着一个倒易点，该倒易点在倒易 点阵中的坐标(可称阵点指数)即为HKL； 反之，一个阵点指数为HKL的倒易点对应正点阵中一组 (HKL)，(HKL)方位与晶面间距由该倒易点相应的决定．
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晶面与倒易矢量(倒易点)的对应关系 晶面与倒易矢量(倒易点)
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1.6.4.2、倒易阵点的建立
① 若已知晶体点阵参数，求得其相应倒易点阵参 数，从而建立其倒易点阵； ② 依据r*与(HKL)的对应关系，通过作图法建立倒易 点阵．即在正点阵中取若干不同方位的(HKL)，并 据其作出对应的r*，各r*终点的阵列即为倒易点 阵．
1.7晶带轴及晶带轴定律 1.7晶带轴及晶带轴定律
1.7.1 晶带定义:
晶带: 在结晶学中，把同时平行于某一晶向[u v w]的所有晶 面(HKL)属于同一个晶带，称为[u v w] 晶带. 晶带轴：相交于同一直线（或平行于同一直线）的所有晶 ( 面的组合称为晶带，该直线称为晶带轴；晶向[u v w]中过 (点阵坐标)原点的直线称为晶带轴。 其矢量坐标表达式:
ruvw = ua + vb + wc
a 、 b 、 c 为点阵基矢
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同一晶带轴中的所有晶面的共同特点：所有晶面的法线都 与晶带轴垂直 晶带轴的晶向指数即为该晶带的指数。例如，[001]晶带中 所包括的晶面有(100)、(010)、(110)、(120)…，如图
1.7.2 晶带定律:
晶带轴[u v w]与属于该晶带轴的晶面（h k l）之间存 在以下关系：
hu + kv + lw = 0
凡满足此关系的晶面都属于以[u v w]为晶带轴的晶带，故此 关系式称作晶带定律。 一个晶带中任一晶面(hkl)与其晶带轴[u v w]之间的关系 一个晶带中任一晶面(hkl)与其晶带轴[u w]之间的关系 满足晶带定律晶带定理 表明了晶带轴指数与属于该晶带之晶面指数(HKL)的关系． 表明了晶带轴指数与属于该晶带之晶面指数(HKL)的关系．
[001] 晶 带 中 的某些晶面
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