数形结合思想及其在高中数学教学中的应用实践
数形结合思想及其在高中数学教学中的应用实践-中学数学
论文
数形结合思想及其在高中数学教学中的应用实践
文/景占东
【摘要】在高中数学的教学过程当中，数形结合方法贯穿整个教学的始终。而数形结合方法实质上就是按照数据和图形之间的对应关系，将比较抽象的语言，通过图形表达出来，或者是将图形用数学语言表达出来。在高中数学的某些问题的解题过程当中，通过应用数形结合思想，会使问题变得更加的简单化、直观化，开拓了学生的解题思路，使学生能够对一些比较难的问题也有了解题思路。因此，在高中数学的教学过程当中，要积极培养学生在这方面的能力，将数形结合思想真正的应用到答题当中。
关键词数形结合思想；高中数学；应用
在历年的高考题当中，数形结合思想一直是众多思想方法当中考查的重点，与此同时，数形结合思想也是数学研究领域经常使用的方法。因此，在高中数学的教学过程当中，我们应该加大对学生数形结合思想应用的训练力度，使学生们真正地认识到数与形之间的关系，并且能够灵活的通过数形转换，进而解决数学中的一些难题，锻炼学生的思维能力。
一、数形结合思想遵循的原则
在数形结合思想的应用过程当中，要遵循下面的两个原则，才能真正的正确的使用数形结合思想。
1.等价原则。等价原则就是说在进行数与形的转换过程当中，要保证数的代数意义与形的几何意义是相同的，也就是说在同一个问题当中，数与形所反映的问题
的反差关系是一致的，要准确构建图形与数字的关系。
2.双向性原则。双向性原则就是说不仅要通过图形的直观分析，也要进行数学语言的研究，因为数学的语言表达和计算自身的严谨性等优势，能够避免一些图形的约束性，达到更好的解题效果。
二、数形结合在高中数学中的应用
在数学的解题过程当中，数形结合思想能够具有双面的效应，我们可以通过将数形合理的进行转换，达到一定的解题效果。
（一）数到形的转换
其一，在数学的方程和不等式问题当中，我们可以利用方程和不等式和函数图像，直线之间的位置关系和交点，或者是利用函数图像所具有的其他特征，来解答相关问题。与此同时，在日常的学习当中，学生们要将基础知识记牢，将函数图像所具有的一些性质掌握，并且能够在此基础上发散思维，保证答题的完整性。其二，在一些考题当中，要求学生求解代数式的相关几何性质，像这样的考题，我们可以根据平面向量的数量和模的相关性质，将代数式转换到图形当中，从而解决相关的问题。
其三，在一些考题当中，要求同学们根据代数式的结构，求解相关的几何图形或者是根据几何的图形的性质，求得相关问题，但是有的题目中并未给出明确的图像，或者是提供的图像不具有代表性，不能够全面的解答问题，这个时候我们就需要认真剖析代数式的结构和题中给出的相关条件，画出相应的图形，并根据图形的一些定理、公式以及性质等，来解答问题，比如说勾股定理、正弦定理、余弦定理等。
其四，在一些考题当中，要求解答代数式的图形背景和相关性质，此时，我们可
以通过几何图形当中的方程式与曲线之间的联系，一些重要的定义和公式，如点到直线的距离、两点间的距离等，来将代数式直观的展现出来，再具体的进行解答。
（二）形到数的转换
其一，数形结合的解析法当中，要建立一个二维或者是三维的坐标系，然后再把数字坐标引入坐标系当中，使各个坐标之间的关系能够通过数值具体的展现出来。所以，在日常的学习过程当中，学生们要认真练习坐标系的建立，不要觉得简单就过于大意，根据题意合理设置坐标系当中的间距。
其二，在某些复杂图形的求解过程当中，我们经常应用到三角形的相关知识，将复杂图形简单化，然后找到解题的思路。
其三，在一些考题当中，要求通过几何图形证明或者是解答，图形当中的线是否平行、夹角是否为直角或者是角度数的大小等问题，这种问题可以通过将几何图形向量化，然后再利用论证的方式，将几何图形转化成准确的数字运算，特别是利用空间向量，可以使立体几何中的相关问题，有据可依，有理可循。在此同时，同学们在解答某些试题的时候，要注意不要根据题目中的图形进行胡乱的揣测，因为有些题目所给出的图形并不规范，我们要根据相关数据及定理来证明，比如说，在某些试题当中，要求同学们比较并证明两个角的大小，我们不能根据图像直接说明哪个角比较大，要根据相关的定理或者数据的推算来求证。
三、数形结合思想的意义
在高中的数学教学过程当中，培养学生利用数形结合思想的能力不仅能够使学生在答题的过程中思路明确，而且还能够扩展学生的思维意识。随着时代在不断的发展，对学生的各方面的能力要求也越来越高，有时一些简单的数学教学已经不
能够满足现今的发展需求，学生们可以通过数形结合思想的影响，提高个人的思维能力，在合理应用已有的知识储备的前提条件下，全面的思考相关的问题，形成一个多向性思维的好习惯。
四、结语
在高中数学的教学过程当中，我们要根据高考的考题形式和社会的能力需求，全面培养学生的能力。数形结合思想在高中的数学学习过程当中，能够为学生提供良好的解题思路和思考方式，提高学生的个人能力，也提高了学校的教学水平，为整个社会的发展提供了优良的人才。
参考文献
[1]保敏.浅析数形结合思想方法在高中数学教学中的作用[J].课程教材教学研究（教育研究）.2010.5：31-32
[2]姚爱梅.高中数学教学中数形结合方法的有效应用[J].学周刊C版.2011.4：50
[3]闫威.浅谈高中数学教学中数形结合思想方法[J].读写算（教育教学研究）.2012.67：104
[4]刘永芳.“数形结合”思想在高中数学教学中的重要作用[J].读写算（教育教学研究）.2013.30：156-156
（作者单位：内蒙古包头市北重三中）
高中数学解题四大思想方法
思想方法一、函数与方程思想 姓名： 方法1 构造函数关系，利用函数性质解题 班别： 根据题设条件把所求的问题转化为对某一函数性质的讨论，从而使问题得到解决，称为构造函数解题。通过构造函数，利用函数的单调性解题，在解方程和证明不等式中最为广泛，解题思路简洁明快。 例1 （10安徽）设232555322(),(),(),555 a b c ===则,,a b c 的大小关系是（ ） ....A a c b B a b c C c a b D b c a >>>>>>>> 例2 已知函数21()(1)ln , 1.2 f x x ax a x a =-+-> （1） 讨论函数()f x 的单调性； （2） 证明：若5,a <则对任意12121212 ()(),(0,),, 1.f x f x x x x x x x -∈+∞≠>--有 方法2 选择主从变量，揭示函数关系 含有多个变量的数学问题中，对变量的理解要选择更加合适的角度，先选定合适的主变量，从而揭示其中的函数关系，再利用函数性质解题。 例3 对于满足04p ≤≤的实数p ，使2 43x px x p +>+-恒成立的x 的取值范围是 . 方法3 变函数为方程，求解函数性质 实际问题→数学问题→代数问题→方程问题。宇宙世界，充斥着等式和不等式，我们知道，哪里有等式，哪里就有方程；哪里有公式，哪里就有方程；求值问题一般是通过方程来实现的……函数与方程是密切相关的。列方程、解方程和研究方程的特性，都是应用方程思想时需要重点考虑的。 例4 函数()2)f x x π=≤≤的值域是（ ） 11111122.,.,.,.,44332233A B C D ????????----?????????? ??????
高中数学优秀教学设计
高中数学优秀教学设计 这是一篇由网络搜集整理的关于高中数学优秀教学设计的文档，希望对你能有帮助。 篇一：高中数学优秀教学设计 【教学目的】 (1)使学生初步理解集合的概念，知道常用数集的概念及记法 (2)使学生初步了解“属于”关系的意义 (3)使学生初步了解有限集、无限集、空集的意义 【重点难点】 教学重点：集合的基本概念及表示方法 教学难点：运用集合的两种常用表示方法——列举法与描述法，正确表示一些简单的集合 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教具：多媒体、实物投影仪 【内容分析】 1.集合是中学数学的一个重要的基本概念在小学数学中，就渗透了集合的初步概念，到了初中，更进一步应用集合的语言表述一些问题例如，在代数中用到的有数集、解集等;在几何中用到的有点集至于逻辑，可以说，从开始学习数学就离不开对逻辑知识的掌握和运用，基本的逻辑知识在日常生活、学习、工作中，也是认识问题、研究问题不可缺少的工具这些可以帮助学生认识学习
本章的意义，也是本章学习的基础 把集合的初步知识与简易逻辑知识安排在高中数学的最开始，是因为在高中数学中，这些知识与其他内容有着密切联系，它们是学习、掌握和使用数学语言的基础例如，下一章讲函数的概念与性质，就离不开集合与逻辑本节首先从初中代数与几何涉及的集合实例入手，引出集合与集合的元素的概念，并且结合实例对集合的概念作了说明然后，介绍了集合的常用表示方法，包括列举法、描述法，还给出了画图表示集合的例子 这节课主要学习全章的引言和集合的基本概念学习引言是引发学生的学习兴趣，使学生认识学习本章的意义本节课的教学重点是集合的基本概念集合是集合论中的原始的、不定义的概念在开始接触集合的概念时，主要还是通过实例，对概念有一个初步认识教科书给出的“一般地，某些指定的对象集在一起就成为一个集合，也简称集”这句话，只是对集合概念的描述性说明【教学过程】 一、复习引入： 1.简介数集的发展，复习最大公约数和最小公倍数，质数与和数; 2.教材中的章头引言; 3.集合论的创始人——康托尔(德国数学家)(见附录); 4.“物以类聚”，“人以群分”; 5.教材中例子(P4) 二、讲解新课： 阅读教材第一部分，问题如下： (1)有那些概念?是如何定义的?
数形结合思想在高中数学解题中的应用
第5讲 数形结合思想在解题中的应用 一、知识整合 1．数形结合是数学解题中常用的思想方法，使用数形结合的方法，很多问题能迎刃而解，且解法简捷。所谓数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法。数形结合思想通过“以形助数，以数解形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质，它是数学的规律性与灵活性的有机结合。 2．实现数形结合，常与以下内容有关：①实数与数轴上的点的对应关系；②函数与图象的对应关系；③曲线与方程的对应关系；④以几何元素和几何条件为背景，建立起来的概念，如复数、三角函数等；⑤所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义。 如等式()()x y -+-=21422 3．纵观多年来的高考试题，巧妙运用数形结合的思想方法解决一些抽象的数学问题，可起到事半功倍的效果，数形结合的重点是研究“以形助数”。 4．数形结合的思想方法应用广泛，常见的如在解方程和解不等式问题中，在求函数的值域，最值问题中，在求复数和三角函数问题中，运用数形结合思想，不仅直观易发现解题途径，而且能避免复杂的计算与推理，大大简化了解题过程。这在解选择题、填空题中更显其优越，要注意培养这种思想意识，要争取胸中有图，见数想图，以开拓自己的思维视野。 二、例题分析 例1.的取值范围。之间，求和的两根都在的方程若关于k k kx x x 310322 -=++ 分析：0)(32)(2=++=x f x k kx x x f 程轴交点的横坐标就是方，其图象与令 ()13(1)0y f x f =-->的解，由的图象可知，要使二根都在，之间，只需，(3)0f >， ()()02b f f k a - =-<10(10) k k -<<∈-同时成立，解得，故， 例2. 解不等式x x +>2 解：法一、常规解法： 原不等式等价于或()()I x x x x II x x ≥+≥+>??? ? ?<+≥??? 020 20202
“函数思想”在高中数学中的教学及意义
“函数思想”在高中数学中的教学及意义 【内容摘要】函数在高中数学的全部体系中，具有极其重要的地位，拥有起承转合的功能，为了给学习更多的函数及导数、极限与积分打下稳固的根基，在高中数学学习中要重点学习函数的奇偶性、单调性还有周期性等性质。此文特别研究“函数思想”的教育与突出意义，希望得到师生的看重。 【关键词】高中数学函数思想意义 一、学习函数的重要性 关于函数的定义，在初中时会学到，但是在高中还会在初中数学的根基下继续拓展新的含义，重点是关于映射的理论，这些新概念需要学生加深对函数理论、思维、含义的掌握，必须明白之中的关联，找出函数思想的真义，才可以在遇到实际问题时灵活多变
地利用函数思想处理难题。“函数思想”体现了认识来源于实践这一哲学认识论，它来源于我们的社会活动，而函数中变量的概念也印证了人类社会在量变和质变统一中的永久性变化，所以，关于量变的一些实际问题能够用“函数思想”来解决。 德国的克莱因和英国的贝利，是函数出现在中学阶段的数学教材的关键人物。克莱因的观点是，函数概念和思想是数学教育的一部分，他说过函数是数学教育的主题，需要将所有的数学教学内容都放置在函数概念四周，综合运用。中学数学教学任务与函数思想紧密连接，在高中数学中灌输函数思想需要一线数学老师的研究，本文章就是浅议函数思想。 在函数思想讲解的初级阶段，老师起初要引出学生对函数思想的兴趣，了解函数的初步含义，调动学生的热情。教师需要分层讲解函数思想的定义，使学
生掌握函数思想的重点，全面认识函数思想的深度含义，接着，教师再概括归纳出逻辑性性强的函数定义。函数关系可以看作是通向两个变量间的路，通过特定的数学关系把两者连接在一起。 对于高中函数思想的教学来说，具有四个关键意义，有函数的知识导向功能、考试导向功能、应用导向功能和教育导向功能。知识导向功能表示的是函数思想作为高中数学的主体，在高中数学中所占份额很大，是打造高中数学全部知识的框架，因此掌握好函数有益于理解其它知识点，提升眼界，锻炼数学思维。函数的应用导向功能是指通过函数思想解决日常生活中的实际问题。函数思想的考试导向是指高考数学卷中有关函数的题型比例大。函数思想的教育导向功能是指学生创设和运用函数模型，来解决生活中的数学的实际问题，提升学生的综合素质，比如思考意识和
MatLab在中学数学教学中的应用
MatLab在中学数学教学中的应用 摘要：多媒体教学受到人们的日益重视，制作多媒体课件的能力日趋成为衡量一个教师教学能力的标准之一。MatLab功能强大且简单易用，本文首先对MatLab的发展历史和基本组成框架进行了简单介绍。在此基础上，利用MabLab函数绘制了学数学教学过程中常见的二维和三维函数。并得出结论认为，MatLab适用于中学多媒体课件的制作。 关键词：多媒体教学中学数学MatLab 1 引言 随着计算机技术的发展，多媒体教学越来越受到人们的重视。现代教育理论认为[1]：全面实施素质教育，传统教学陈旧的教学手段和简单的教学技术在当今世界的多层次教学、演示教学、实验教学等现代化课堂教学中就显得力不从心。实验心理学家赤瑞特拉通过大量的实验证实：人类获取的信息83%来自视觉，11%来自听觉，1.5%来自触觉，这三个加起来达到95.5%。可见如何充分利用这三者来提高教学质量是人类认知心理学的要求。 多媒体计算机辅助教学是指利用多媒体计算机，综合处理和控制符号、语言、文字、声音、图形、图像、影像等多种媒体信息，把多媒体的各个要素按教学要求，进行有机组合并通过屏幕或投影机投影显示出来，同时按需要加上声音的配合，以及使用者与计算机之间的人机交互操作，完成教学或训练过程。Matlab 是美国MathWorks 公司自20 世纪80 年代中期推出的数学软件，具有优秀的数值计算能力和卓越的数据可视化能力。尽管MatLab 并不是一专门的教学软件，但其强大的绘图功能使得数学教学中的抽象概念直观易解。 2 多媒体教学特点 多媒体技术的特性主要包括信息载体的多样化、集成性和交互性三个方面[2]。信息载体的多样化指的就是信息媒体的多样化多媒体就是要把机器处理的信息多样化或多维化, 使之在信息交互的过程中, 具有更加广阔和更加自由的空间。多媒体的集成性主要表现在两个方面,即多媒体信息媒体的集成和处理这些媒体的设备的集成,。对于前者而言,各种信息媒体尽管可能会是多通道的输入或输出,但应该成为一体。对于后者而言,指的是多媒体的各种设备应该成为一体。多媒体的交互性则是指用户在使用多媒体过程中可以与之进行交互，输入目标参数，从而得到理想中的多媒体信息输出。 多媒体技术的特性决定了多媒体教学如下特点： 1）教学手段集成化 多媒体计算机集激光唱盘、录像机、电视机和计算机控制于一体, 即可以充分利用语音和电视教学的优势, 又有计算机交互式教学的特点,克服了传统教学手段三个“一”（一支粉笔、一本书、一张嘴）的单一性缺点。 2）教学方式多样化
新课改下高中数学教学理念
新课改下高中数学教学理念 发表时间：2018-11-09T16:39:45.227Z 来源：《现代中小学教育》2018年第6期作者：唐青波[导读] 高中教学不仅仅需要老师掌握基本教学的方法进行教学，还需要学生积极参与，从而提高教学效率。对于高中数学有效教学，需要有教学学习的氛围、有一定的目标、在一定范围内进行教学活动，从而提高数学教学成果。实际上对于有效地数学教学需要老师和学生的相互交流探讨，让学生能够积极主动的参加课堂教学活动，能够发挥学生的主体作用。 摘要：高中教学不仅仅需要老师掌握基本教学的方法进行教学，还需要学生积极参与，从而提高教学效率。对于高中数学有效教学，需要有教学学习的氛围、有一定的目标、在一定范围内进行教学活动，从而提高数学教学成果。实际上对于有效地数学教学需要老师和学生的相互交流探讨，让学生能够积极主动的参加课堂教学活动，能够发挥学生的主体作用。在高中数学教学中需要从老师和学生不同角度分析，改变以往老师的教学观念，从而提高老师教学水平，让学生能够掌握主要作用，这样学生在学习中能够充分发掘潜力，从而提高数学知识和学习能力。关于高中数学有效教学下面是几点浅谈策略的方法。 关键词：教学理念主观能动性学习能力 新课程中不断地变换着教学模式和教学目标，实际上有效的数学教学不仅仅是靠简单的记忆，更多的需要进行实践学习、自主学习，从而能够掌握基本的教学和学习方法。对于以往数学课中古板的教学模式，因此需要一种更加有效的教学方法，使学生能够产生浓厚的学习氛围，激发学生学习的兴趣，能够发掘学生的潜力，调动学生的积极性，从而进行有效的教学。 一、转变教师的教学理念 高中数学教学中需要提高有效的教学效率，老师必须有新的教学模式，对于学生的教学活动和教学过程需要让学生能够有所认识。老师在教学的过程中也需要不断地自我学习，教学方法不仅仅要给学生提供学习的方法和技巧，更需要的是能够培养学生的思维转换和数学素质的全面发展，需要老师在教学过程中，要转换老师的教学理念。对于数学教学都在不断的变化改革，现在的教育观念主要以学生为主，让学生自己不断展开思想，培养学生。同样老师也可以改变以前的老式观念，利用课堂学习的机会，通过合理有效的措施来解决学生受束缚学习模式，让学生展开思维去学习。尤其是在高中复习总结训练中，要改变之前接受知识的方式，主要为了能够更好的锻炼学生，提高有效教学，让学生自己去把握学习能力，这就需要变换着方法，摆脱之前的教学观念，进行有效的教学措施。例如：在学习“集合”概念时，若U={4，5，6，7}，M={4，5}，N={5，6}，则Cu（MUN)=（）对于学习这种“集合”题目时，老师需要能够明白认识和理解，从学生的角度进行分析，从而引导学生能够直观的去接触集合概念。改变以往传统的教学模式，提高课堂教学效率，进行有效的教学。 二、充分发挥学生的主观能动性 提高高中数学有效的教学，实际上就是提高学生学习的效率，为了能够更加提高学生的综合能力，必须要能后发挥学生的主观能动性。学生在学习的过程中一定要积极配合老师的教学安排，能够主动参加课堂实践活动，从而充分发挥自己的主观能动性，结合所学习到的数学知识，不断利用自身的条件，根据老师的教学思路，在实践中总结经验。学生在学习过程中可以不断地进行总结创新，能够提升自己对数学学习的理解能力，实际上在教学的过程中，老师可以设计新的模式进行教学，可以更好地引导学生进行积极思考问题，老师在教学过程中还可以鼓励学生大胆去探索数学知识，从而丰富学生的学习思维，更好地提升学生的思维转换能力。为了能够进行有效的数学教学，老师可以从不同的方面去分析研究学生的思路，从而进行不一样的题型变换，不断地丰富学生的思考路线，提升学生创新意识和探索数学知识的欲望。例如：要学习“函数的概念”教学时，即|x+2| - 1 = 0的补集；解|x+2| - 1 = 0的x=-1 ，x=-3,所以定义域为？对于这样的函数概念题目，老师可以设计不同的方法进行解决，向同学们提问关于这道题定义域是什么？X的取值范围又是什么？这样就能够更好的激发学生主观能动性，让学生更好的学习集合概念，更好地理解函数，从而锻炼学生的思维转换能力，提高学习的效率。 三、培养学生自主学习能力 在高中数学学习方面学生应该有自主的学习能力，对于学生的自主学习能力是高中数学中一个重要的教学目标。但是很多时候在教学过程中并没有对学习能力进行高度的重视，对于学生的学习能力需要不断地进行提升，学生在学习学习中需要进行自我管理、自我激励，这样才能够提升自己的学习能力，积极参与到课堂学习中。在高中数学教学中，老师要能够给学生们自主发挥的平台和一些机会，让学生们能够解决学习中的难点，提升学生的学习能力。例如：学习“解三角函数”，对于“正弦定理”、“余弦定理”，都需要知道诱导公式，可以让学生通过独立思索和相互探讨。在数学教学中，老师应当重点提示的学习内容和学习教学方法，实现学生知识与能力的一起发展。 四、总结 总之，高中数学教学实际上就是指老师要能够有目的引导学生进行教学，在数学课堂学习中老师要能够掌握有效的教学方法，激发学生的数学思维能力，提高学习的质量，达到教学的效果。在数学教学中不断地进行创新，那么就能够找到合适教学方法。在高中数学课堂教学中要进行策略性教学，要改变学生对以往数学的认识，从而进行有效的数学教学。 参考文献： 【1】何双飞：《新课程背景下就高中数学教学的研究》，学术期刊《中文信息》 2014年2期【2】王金松：《浅谈高中数学有效教学》，学术期刊《今日湖北（下旬刊）》 2014年7期【3】曹进文：《浅析高中数学教学的优化策略》，学术期刊《新课程学习?中旬》 2014年4期
数形结合思想在高中数学教学中的应用
数形结合思想在高中数学教学中的应用 更新时间：2018-9-25 19:11:00 浏览量:1250 【摘要】数形结合思想是一种重要的数学思想，在高中数学教学中，必须要注重对这种思想的应用，培养学生的数形结合意识，从而提高学生的知识能力。针对这种情况，文章对数形结合思想在高中数学教学中的应用进行了相应的分析和探讨。 【关键词】数形结合思想；高中数学教学；应用 数形结合思想在高中数学教学中的应用，有利于提高学生的数学知识能力，培养学生的思维能力和解题能力，提升学生的学习效果。但是在当前高中数学教学过程中，对于数形结合思想的实际教学应用尚有不足，因此需要注重强化数形结合思想在教学中的应用，采取有效的应用措施，从而提升教学质量和效果。 一、高中数学数形结合教学的现状 （一）数形结合教学意识不足 当前在我国高中数学教学过程中，数形结合的教学思想还没有得到充分应用，对于相应思想的教学运用尚有不足。随着我国课程教学改革工作的不断推进，传统的应试教学观念已经逐渐被人们所摒弃，在高中数学教学中越来越注重对学生数学能力和思维能力的培养。但是在实际教学中，大部分教师还停留在传统的教学模式上，只重视对学生数学基础和应试能力的培养，忽视了数形结合教学思想在教学中的应用。在这种教学观念的影响下，
学生的综合素质发展受到了一定的限制，教学过程忽视了对学生的数学思维能力和数形结合意识的培养，使得教学效果受到了一定的影响。并且在教学过程中，由于教师过于注重学生的成绩，导致学生在学习中逐渐出现了高分低能的现象，不利于学生未来的发展。 （二）传统教学模式的制约 传统的教学模式是影响高中数学教学发展的一个重要因素，同时也限制了数形结合思想在高中教学中的应用。在高中数学教学中，传统的教学模式大都采用填鸭式、满堂灌的教学方式，由教师主导整个课堂教学活动，向学生进行知识的灌输。在这种教学模式下，学生只能被动地接受教师的知识灌输。数形结合教学思想分散在教学之中，没有形成一定的教学规模，导致学生的数形结合意识较弱。并且严重忽视了学生的学习主体性以及学生之间的个体差异，导致学生的学习积极性和学习兴趣逐渐下降，甚至会影响到学生的学习质量和效率。 二、数形结合思想在高中数学教学中的应用分析 在高中几何数学中，可以通过观察图形，建立“数”与“形”的对应关系，找到解决问题的方法。也可以通过几何图形将数量的关系形象地展示出来，在图形上分析数量之间的关系，进而解决问题。几何图形和数量關系是相辅相成的，数量可以在图形上展示出来，也可以用数量关系来表达图形联系。例如：在例1的教学中，直接将数量关系转化成式子不容易，但是教师
高中数学数形结合
数形结合 实现数形结合，常与以下内容有关：①实数与数轴上的点的对应关系；②函数与图象的对应关系；③曲线与方程的对应关系；④以几何元素和几何条件为背景，建立起来的概念，如复数、三角函数等；⑤所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义。如等式()()x y -+-=21422 一、联想图形的交点 例1. 已知，则方程的实根个数为01<<=a a x x a |||log |() A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 1个或2个或3个 分析：判断方程的根的个数就是判断图象与的交点个数，画y a y x x a ==|||log |出两个函数图 象，易知两图象只有两个交点，故方程有2个实根，选（B ）。 例2. 解不等式x x +>2 令，，则不等式的解，就是使的图象 y x y x x x y x 121222= +=+>=+ 在的上方的那段对应的横坐标， y x 2=如下图，不等式的解集为{|} x x x x A B ≤<而可由，解得，，，x x x x x B B A +===-222故不等式的解集为。{|}x x -≤<22 练习：设定义域为R 函数?? ?=≠-=1 01 1lg )(x x x x f ，则关于x 的方程0)()(2=++c x bf x f 有7个不同 实数解的充要条件是（ ） 0,0. 0,0. 0,0. 0,0.=≥=<<>> 高中数学四大思想 1.数形结合思想 数形结合，“数”与“形”结合，相互渗透，把代数式的精确刻划与几何图形的直观描述相结合，使代数问题、几何问题相互转化，使抽象思维和形象思维有机结合。 实质：将抽象的数学语言与直观图形结合起来；将抽象思维和形象思维结合起来。抽象问题具体化，复杂问题简单化。 应用数形结合的思想，应注意以下数与形的转化： （1）集合的运算及韦恩图； （2）函数及其图象； （3）数列通项及求和公式的函数特征及函数图象； （4）方程（多指二元方程）及方程的曲线. 以形助数常用的有：借助数轴；借助函数图象；借助单位圆；借助数式的结构特征；借助于解析几何方法. 以数助形常用有：借助于几何轨迹所遵循的数量关系；借助于运算结果与几何定理的结合. 2.分类讨论思想 分类讨论思想，即根据所研究对象的性质差异，分各种不同的情况予以分析解决. 原则：化整为零，各个击破。无重复、无遗漏、最简。 步骤： 1）明确讨论对象，确定对象范围； 2）确定分类标准，进行合理分类，做到不重不漏； 3）逐类讨论，获得阶段性结果； 4）归纳总结，得出结论。 常见的分类情形有：按数分类；按字母的取值范围分类；按事件的可能情况分类；按图形的位置特征分类等. 3.函数与方程思想 函数思想，即将所研究的问题借助建立函数关系式或构造中间函数，结合初等函数的图象与性质，加以分析、转化、解决有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题； 方程思想，即将问题中的数量关系运用数学语言转化为方程模型加以解决. 运用函数与方程的思想时，要注意函数，方程与不等式之间的相互联系和转化，应做到： （1）深刻理解函数f(x)的性质（单调性、奇偶性、周期性、最值和图象变换），熟练掌握基本初等函数的性质。 （2）密切注意一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式等问题；掌握二次函数基本性质，二次方程实根分布条件，二次不等式的转化策略。 4.转化与化归思想 转化与化归思想，就是在研究和解决数学问题时采用某种方式，借助某种函数性质、图象、公式或已知条件将，问题通过变换加以转化，进而达到解决问题的思想。 转化，是将数学命题由一种形式向另一种形式的变换过程； 化归，是把待解决的问题通过某种转化过程归结为一类已经解决或比较容易解决的问题. 转化有等价转化与不等价转化。等价转化后的新问题与原问题实质是一样的；不等价转化则部分地改变了原对象的实质，需对所得结论进行必要的修正。 原则：化难为易、化生为熟、化繁为简，尽量是等价转化. 常见的转化有：正与反的转化、数与数的转化、数与形的转化、相等与不等的转化、整体与局部的转化、空间与平面相互转化、复数与实数相互转化、常量与变量的转化、数学语言的转化. 信息技术在高中数学教学中的应用案例 武汉市光谷第二高级中学黄红涛 一、知识内容 第四章函数应用收集数据，建立函数模型 二、设计意图 普通高中数学课程标准明确提出：“高中数学课程应提倡实现信息技术与课程内容的有机整合，整合的基本原则是有利于学生认识数学的本质．高中数学课程应提倡利用信息技术来呈现以往教学中难以呈现的课程内容，在保证笔算训练的前提下，尽可能使用科学计算器、各种数学教育技术平台，加强数学教学与信息技术的结合，鼓励学生运用计算机、计算器等进行探索和发现，因此，应注意鼓励学生运用现代教育技术学习、探索和解决问题．” 函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型．高中阶段函数的思想方法将贯穿高中数学课程的始终．学生将学习指数函数、对数函数等具体的基本初等函数，结合实际问题，感受运用函数概念建立模型的过程和方法，体会函数在数学和其他学科中的重要性，初步运用函数思想理解和处理现实生活和社会中的简单问题． 在函数应用的教学中，教师要引导学生不断地体验函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型，体验指数函数、对数函数等函数与现实世界的密切联系及其在刻画现实问题中的作用． 我们生活中的变化现象，大部分是难以根据已知理论直接建立数学模型的，但如果能够收集变化过程中的相关数据，就可以借助于信息技术建立起大致反映变化规律的函数模型．下面介绍如何利用图形计算器或者电子表格软件建立函数模型． 例如，在实验室做了恒温下气体体积与压强关系的实验，通过改变压强后测量气体体积，得到以下数据，请建立二者的函数关系，并预测压强为45时的气体体积. 三、应用展示 1．利用图形计算器建立函数模型的基本步骤： (1) 在图形计算器中输入数据，作出散点图（如图1，图2）． 图1 图2 (2) 观察散点图的分布情况，根据图像的变化规律从学过的函数中选择一个能够大致反映体积与压强变化规律的函数模型，利用计算器的数据拟合功能便可以立即求出函数表达式，并画出这个函数的图像．如图3，图4是利用函数y=axb 拟合的结果，图5，图6是利用二次函数拟合的结果． 高中数学四大思想方法 ————读《什么是数学》笔记 《什么是数学》这本书是一本数学经典名著，它收集了许多闪光的数学珍品。它的目标之一是反击这样的思想："数学不是别的东西，而只是从定义和公理推导出来的一组结论，而这些定义和命题除了必须不矛盾外，可以由数学家根据他们的意志随意创造。"简言之，这本书想把真实的意义放回数学中去。但这是与物质现实非常不同的那种意义。数学对象的意义说的是"数学上'不加定义的对象'之间的相互关系以及它们所遵循的运算法则"。数学对象是什么并不重要，重要的是做了什么。这样，数学就艰难地徘徊在现实与非现实之间；它的意义不存在于形式的抽象中，也不存在于具体的实物中。对喜欢梳理概念的哲学家，这可能是个问题，但却是数学的巨大力量所在--我们称它为，所谓的"非现实的现实性"。数学联结了心灵感知的抽象世界和完全没有生命的真实的物质世界。我根据自己在数学方面的兴趣，基于已有的数学背景知识，选取一部分和高中有关的内容进行舒心愉快的阅读。重新总结了高中数学中的数学四大思想方法：函数与方程、转化与化归、分类讨论、数形结合；函数与方程 函数思想，是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题。方程思想，是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型（方程、不等式、或方程与不等式的混合组），然后通过解方程（组）或不等式（组）来使问题获解。有时，还实现函数与方程的互相转化、接轨，达到解决问题的目的。笛卡尔的方程思想是：实际问题→数学问题→代数问题→方程问题。宇宙世界，充斥着等式和不等式。我们知道，哪里有等式，哪里就有方程；哪里有公式，哪里就有方程；求值问题是通过解方程来实现的……等等；不等式问题也与方程是近亲，密切相关。而函数和多元方程没有什么本质的区别，如函数y＝f(x)，就可以看作关于x、y的二元方程f(x)－y＝0。可以说，函数的研究离不开方程。列方程、解方程和研究方程的特性，都是应用方程思想时需要重点考虑的。函数描述了自然界中数量之间的关系，函数思想通过提出问题的数学特征，建立函数关系型的数学模型，从而进行研究。它体现了“联系和变化”的辩证唯物主义观点。一般地，函数思想是构造函数从而利用函数的性质解题，经常利用的性质是：f(x)、f (x)的单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、图像变换等，要求我们熟练掌握的是一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数的具体特性。在解题中，善于挖掘题目中的隐含条件，构造出函数解析式和妙用函数的性质，是应用函数思想的关键。对所给的问题观察、分析、判断比较深入、充分、全面时，才能产生由此及彼的联系，构造出函数原型。另外，方程问题、不等式问题和某些代数问题也可以转化为与其相关的函数问题，即用函数思想解答非函数问题。函数知识涉及的知识点多、面广，在概念性、应用性、理解性都有一定的要求，所以是高考中考查的重点。我们应用函数思想的几种常见题型是：遇到变量，构造函数关系解题；有关的不等式、方程、最小值和最大值之类的问题，利用函数观点加以分析；含有多个变量的数学问题中，选定合适的主变量，从而揭示其中的函数关系；实际应用问题，翻译成数学语言，建立数学模型和函数关系式，应用函数性质或不等式等知识解答；等差、等比数列中，通项公式、前n项和的公式，都可以看成n的函数，数列问题也可以用函数方法解决。 等价转化等价转化是把未知解的问题转化到在已有知识范围内可解的问题的一种重要的思想方法。通过不断的转化，把不熟悉、不规范、复杂的问题转化为熟悉、规范 “最近发展区”在高中数学教学中的运用 新课程理念下重新回顾“最近发展区”理论及其体现，介绍了“最近发展区”在高中数学教学中五个方面的运用，并指出它在运用中应注意五个特性：广泛性、差异性、可变性、范围性和艺术性。关键词：“最近发展区”；课程；教学高中数学教学中，如何激发学生的探究动机？如何变知识传授为思维教学？如何使学生的认知结构连贯一致，系统化？如何培养学生的阅读自学能力？等等，这些问题的正视，标志着从知识本位到学生本位的观念更新，教学中如何走向“生本”，正是眼下新课程理念所倡导，许多高中数学教师苦苦思索的问题。笔者认为，灵活应用“最近发展区”理论，准确把握时机，发挥学生主动性，注重思维过程，培养创造能力，开发学生的心理潜能，是解决此问题的有力举措。 1 认识“最近发展区” 我们不妨先看一段论述：课，不能讲过，就像水果不能熟过了头一样。所谓“恰倒好处”是也，民间说：“要想小儿安，三分饥与寒。”为师者应思之。多给学生一些“跳一跳摘桃子”的机会吧。这段话形象地说明了“最近发展区”的意义。前苏联心理学家维果茨基指出，“最近发展区”是指学生已达到的知识水平和将要达到的知识水平之间的最小差异区域。如你现站在的是“已有知识”的草坪上，树上的桃子是你“将要学会的知识”，而桃子生长的地方，你站着是摘不着的，其间有个区域就是“最近发展区”。要摘下桃子，必须跳一跳，至于需要跳多高，则因人而异。 2 新课程需要“最近发展区”理论 2.1 理念呼唤“最近发展区”理论 刚推出的《普通高中数学课程标准（实验）》（以下称《标准》）中有十个基本理念，其中一条：倡导积极主动、勇于探索的学习方式。学生对数学概念、结论、技能的学习不应只限于记忆、模仿和接受，《标准》还提倡自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学等学习数学的方式。这些方式有助于发挥学生学习的主观能动性，使学生的学习过程成为在教师引导下的“再创造”过程。同时，高中数学课程设立“数学探究”、“数学建模”等学习活动，为学生形成积极主动的、多样的学习方式创造有利的条件，以激发学生的数学学习兴趣，鼓励学生在学习过程中，养成独立思考，积极探索的习惯。高中数学课程应力求通过不同形式的自主学习、探究活动，让学生体验数学发现和创造的历程，发展他们的创新意识。让我们深刻地感觉到：理念无不呼应着文章开头所提出的一系列问题。因此，理念的实现离不开“最近发展区”理论的运用，教学中运用“最近发展区”理论才会更好地实现理念。 2.2 课程的设计顺序符合“最近发展区” 高中数学课程有一块内容是每个学生都必须学习的数学内容，包括五个模块，数学1：集合、函数概念与基本初等函数（指数函数、对数函数、幂函数）；数学2：空间几何初步、解析几何初步；数学3：算法初步、统计、概率；数学4：基本初等函数（三角函数）、平面上的向量，三角恒等变换；数学5：解三角形、数列、不等式。由于数学1是数 第一单元集合与函数 一集合与命题 1．内容要目 集合的基本概念、空集、子集和真子集、集合的相等；集合的交、并、补运算。 四种命题形式、等价命题；充分条件与必要条件。 2．基本要求 理解集合、空集的意义，会用列举法和描述法表示集合；理解子集、真子集、集合相等等概念，能判断两个简单集合之间的包含关系或相等关系；理解交集、并集，掌握集合的交、并运算，知道有关的基本运算性质，理解全集的意义，能求出已知集合的补集。 理解四种命题的形式及其相互关系，能写出一个简单命题的逆命题、否命题与逆否命题；理解充分条件、必要条件与充要条件的意义，能在简单问题的情境中判断条件的充分性、必要性或充分必要性 3．重点和难点 重点是集合的概念及其运算，充分条件、必要条件、充要条件。 难点是对集合有关概念的理解，命题的证明，充分条件、必要条件、充要条件的判别。4．知识结构 二函数及其基本性质 1．内容要目 函数、函数的运算；函数的奇偶数、单调性、周期性；函数的最大值或最小值。 2．基本要求 理解函数的概念。能使用函数的记号y=f（x）表示y是x的函数，会求函数值f（a），会求简单函数的定义域和值域。 理解函数运算的意义，会求两个函数的和或积。 掌握函数奇偶数、单调性、周期性概念，并能判断一些简单函数的奇偶数、单调性、周期性；掌握函数奇偶数、单调性、周期性与函数图像的关系，会求一些简单函数的最大值或最小值。 3．重点和难点 重点是函数关系的建立，函数奇偶数、单调性、周期性等的判断，以及由函数图像研究 其性质和由函数性质研究其图像的一般方法。 难点是求函数的值域、最大值和最小值。 4．知识结构 三 二次函数与幂函数 1．内容要目 二次函数的单调区间、最大值或最小值；幂函数的概念及其在(0,)+∞内的单调性。 2．基本要求 掌握二次函数的图像、单调区间及最大值、最小值的求法；掌握幂函数的定义域及其性质，特别是在(0,)+∞内的单调性，会画幂函数的图像。 3．重点和难点 重点是二次函数的图像、最大值和最小值的求法；幂函数性质的探求。 难点是在闭区间上的二次函数最大值、最小值的求法；幂函数性质的运用。 4．知识结构 四 指数函数与对数函数 1．内容要目 对数；反函数；指数函数、对数函数及其性质；简单的指数方程和对数方程。 2 ．基本要求 理解对数的意义，会熟练地将指数式与对数式互化，掌握积、商、幂的对数运算性质，掌握换底公式。 理解反函数的概念，会求已知函数的反函数，掌握函数与它的反函数在定义域、值域以及图像上的关系。 理解指数函数和对数函数的概念，掌握指数函数和对数函数的图像及其性质，掌握指数函数与对数函数互为反函数的结论。 理解指数方程与对数方程的意义，会解简单的指数方程和对数方程。 3．重点和难点 数形结合的思想方法(1)---讲解篇 一、知识要点概述 数与形是数学中两个最古老、最基本的元素，是数学大厦深处的两块基石，所有的数学问题都是围绕数和形的提炼、演变、发展而展开的：每一个几何图形中都蕴藏着一定的数量关系，而数量关系又常常可以通过图形的直观性作出形象的描述。因此，在解决数学问题时，常常根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，将数的问题利用形来观察，提示其几何意义；而形的问题也常借助数去思考，分析其代数含义，如此将数量关系和空间形式巧妙地结合起来，并充分利用这种“结合”，寻找解题思路，使问题得到解决的方法，简言之，就是把数学问题中的数量关系和空间形式相结合起来加以考察的处理数学问题的方法，称之为数形结合的思想方法。 数形结合是一个数学思想方法，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：或者是借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数为目的，比如应用函数的图像来直观地说明函数的性质；或者是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质。 数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化。在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；第二是恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围。 二、解题方法指导 1．转换数与形的三条途径： ①通过坐标系的建立，引入数量化静为动，以动求解。 ②转化，通过分析数与式的结构特点，把问题转化到另一个角度来考虑，如将转化为勾股定理或平面上两点间的距离等。 ③构造，比如构造一个几何图形，构造一个函数，构造一个图表等。 2．运用数形结合思想解题的三种类型及思维方法： ①“由形化数”：就是借助所给的图形，仔细观察研究，提示出图形中蕴含的数量关系，反映几何图形内在的属性。 ②“由数化形”：就是根据题设条件正确绘制相应的图形，使图形能充分反映出它们相应的数量关系，提示出数与式的本质特征。 ③“数形转换”：就是根据“数”与“形”既对立，又统一的特征，观察图形的形状，分析数与式 的结构，引起联想，适时将它们相互转换，化抽象为直观并提示隐含的数量关系。 三、数形结合的思想方法的应用 (一)解析几何中的数形结合 解析几何问题往往综合许多知识点，在知识网络的交汇处命题，备受出题者的青睐，求解中常常通过数形结合的思想从动态的角度把抽象的数学语言与直观的几何图形结合起来，达到研究、解决问题的目的. 1. 与斜率有关的问题 【例1】已知：有向线段PQ的起点P与终点Q坐标分别为P（-1，1），Q（2，2）.若直线l∶x+my+m=0 高中数学数形结合思想经典例题 一、选择题 1．已知函数f (x )＝???? ?3x ，x≤0，log 2 x ，x>0，下列结论正确的是( ) A ．函数f (x )为奇函数 B ．f (f (14))＝1 9 C ．函数f (x )的图象关于直线y ＝x 对称 D ．函数f (x )在R 上是增函数 2．已知二次函数f (x )＝ax 2－(a ＋2)x ＋1(a ∈Z )，且函数f (x )在(－2，－1)上恰有一个零点，则不等式f (x )>1的解集为( ) A ．(－∞，－1)∪(0，＋∞) B ．(－∞，0)∪(1，＋∞) C ．(－1，0) D ．(0，1) 3．函数f (x )＝ln|x ＋cos x |的图象为( ) 4．设奇函数f (x )在(0，＋∞)上为增函数，且f (2)＝0，则不等式f （x ）－f （－x ） x <0的解集为( ) A ．(－2，0)∩(2，＋∞) B ．(－∞，－2)∪(0，2) C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞) D ．(－2，0)∪(0，2) 5．实数x ，y 满足不等式组???? ?x －y ＋2≥0，2x －y －5≤0，x ＋y －4≥0，则z ＝|x ＋2y －4|的最大值为( ) A.215 5 B ．21 C ．20 D ．25 6．已知函数f (x )＝|x －2|＋1，g (x )＝kx .若方程f (x )＝g (x )有两个不相等的实根， 则实数k 的取值范围是( ) A ．(0，1 2) B ．(1 2，1) C ．(1，2) D ．(2，＋∞) 7．若实数x ，y 满足|x －3|≤y ≤1，则z ＝2x ＋y x ＋y 的最小值为( ) A.53 B ．2 C.35 D.12 8．设方程10x ＝|lg(－x )|的两个根分别为x 1，x 2，则( ) A ．x 1x 2<0 B ．x 1x 2＝1 C ．x 1x 2>1 D ．0 中学数学中四种重要思想方法 一、函数方程思想 函数方程思想就是用函数、方程的观点和方法处理变量或未知数之间的关系,从而解决问题的一种思维方式,是很重要的数学思想. 1.函数思想：把某变化过程中的一些相互制约的变量用函数关系表达出来,并研究这些量间的相互制约关系,最后解决问题,这就是函数思想； 2.应用函数思想解题,确立变量之间的函数关系是一关键步骤,大体可分为下面两个步骤：（1）根据题意建立变量之间的函数关系式,把问题转化为相应的函数问题；（2）根据需要构造函数,利用函数的相关知识解决问题；（3）方程思想：在某变化过程中,往往需要根据一些要求,确定某些变量的值,这时常常列出这些变量的方程或（方程组）,通过解方程（或方程组）求出它们,这就是方程思想； 3.函数与方程是两个有着密切联系的数学概念,它们之间相互渗透,很多方程的问题需要用函数的知识和方法解决,很多函数的问题也需要用方程的方法的支援,函数与方程之间的辩证关系,形成了函数方程思想. 二、数形结合思想 数形结合是中学数学中四种重要思想方法之一,对于所研究的代数问题,有时可研究其对应几何的性质使问题得以解决（以形助数）；或者对于所研究的几何问题,可借助于对应图形的数量关系使问题得以解决（以数助形）,这种解决问题的方法称之为数形结合. 1.数形结合与数形转化的目的是为了发挥形的生动性和直观性,发挥数的思路的规范性与严密性,两者相辅相成,扬长避短. 2.恩格斯是这样来定义数学的：“数学是研究现实世界的量的关系与空间形式的科学”.这就是说：数形结合是数学的本质特征,宇宙间万事万物无不是数和形的和谐的统一.因此,数学学习中突出数形结合思想正是充分把握住了数学的精髓和灵魂. 3.数形结合的本质是：几何图形的性质反映了数量关系,数量关系决定了几何图形的性质. 4.华罗庚先生曾指出：“数缺形时少直观,形少数时难入微；数形结合百般好,隔裂分家万事非.”数形结合作为一种数学思想方法的应用大致分为两种情形：或借助于数的精确性来阐明形的某些属性,或者借助于形的几何直观性来阐明数之间的某种关系. 5.把数作为手段的数形结合主要体现在解析几何中,历年高考的解答题都有关于这个方面的考查（即用代数方法研究几何问题）.而以形为手段的数形结合在高考客观题中体现. 6.我们要抓住以下几点数形结合的解题要领： (1) 对于研究距离、角或面积的问题,可直接从几何图形入手进行求解即可； (2) 对于研究函数、方程或不等式（最值）的问题,可通过函数的图象求解（函数的零点,顶点是关键点）,作好知识的迁移与综合运用； (3) 对于以下类型的问题需要注意：可分别通过构造距离函数、斜率函数、截距函数、单位圆x2+y2=1上的点及余弦定理进行转化达到解题目的. 三、分类讨论的数学思想 分类讨论是一种重要的数学思想方法,当问题的对象不能进行统一研究时,就需要对研究的对象进行分类,然后对每一类分别研究,给出每一类的结果,最终综合各类结果得到整个问题的解答. 1.有关分类讨论的数学问题需要运用分类讨论思想来解决,引起分类讨论的原因大致可归纳为如下几种： （1）涉及的数学概念是分类讨论的； （2）运用的数学定理、公式、或运算性质、法则是分类给出的；高中数学四大思想
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