电流的磁场

第十一章 电流的磁场

§11-1基本磁现象

§11-2磁场 磁感应强度

一、 磁场

电流

磁铁磁场电流磁铁???

?

电流磁场电流??

实验和近代物理证明所有这些磁现象都起源于运动电荷在其周围产生的磁场，磁场给场中运动电荷以作用力（变化电荷还在其周围激发磁场）。

1)作为磁场的普遍定义不宜笼统定义为传递运动电荷之间相互作用的物理场。电磁场是物质运动的一种存在形式。

2)磁场相互作用不一定都满足牛顿第三定律。 二、 磁感应强度 实验发现：

①磁场中运动电荷受力与v

?有关但v F ??⊥； ②当0?=F 时，v ?的方向即B ?的方向（或反方向）； ③当B v ??⊥时，max

??F F =； ④

qv

F max

与qv 无关，B v q F

????=。 描述磁场中一点性质（强弱和方向）的物理量，为一矢量。由

B v q F

????= （B ?的单位：特斯拉） 为由场点唯一确定的矢量（与运动电荷无关）。B

?大小： qv

F B max

=

（B v

??⊥时）方向由上式所决定。 三、 磁通量

1. 磁力线

磁场是无源涡旋场

2. 磁通量（B

?通量） s d B

ds B ds B d n m ??cos ?===Φα

???==Φ=Φs

s

n m m ds B ds B d αcos

? ??=Φs

m s d B

?? (单位：韦伯（wb ）) 3. 磁场的高斯定理

由磁力线的性质

??∑=?q s d D

?? 0??=??s

s d B (??∑=?s i

q

s d E 0

1??ε)

§11-3 比奥—萨伐尔定律

一、 电流元l Id ?在空间（真空）某点产生的B

d ? 2

)?,?s i n (r r

l Id Idl dB ∝

322??????r r l Id k r l d I k r r r l Id k B d ?=?=?= 与电荷场相似，磁场也满足迭加原理

???==L L r r l Id k B d B 3????

在国际单位制中（SI 制）70

104-==

π

μk ，真空磁导率70104-?=πμTmA -1（特米安-1） ? 3

?

?4?0

r

r l Id B d ?=πμ 当有介质时，r μμμ0=，

?

3

??4?r r l Id B d ?=πμ 二、 运动电荷的磁场（每个运动带电粒子产生的磁场）

设：单位体积内有n 各带电粒子，每个带电粒子带有电量为q ，每个带电粒子均以 v 运动，则单位时间内通过截面s 的电量为qnvs ，即 q n v s

I = 代入上式（l Id ?与v ?同向），

()2

0)?,?s i n (4r

r

v dl qnvs dB πμ= 在电流元内有nsdl dN =个带电粒子以速度v

?运动着，由迭加原理，每个带电离子以速度v

?运动所产生的磁场 2)?,?s i n (r

r

v qv dN dB B ==

3

0??4?r r v q B ?=πμ （可以看成微观意义上的毕奥-萨伐尔定律） 例：一半径为R=1.0cm 的无限长半圆柱面导体，沿尺度方向的电流I=5.0A 在柱面上均

匀分布。试求半圆柱面轴线OO ’上的磁感应强度。

解：（目的：典型磁场的迭加计算）设xoy 平面垂直于OO ’轴，在圆柱面上引平行于OO ’ze

轴取一直线电流，宽度为dL ，则

dL R

I

dI π=

（面电流密度） )(,222202200θπθ

μπμπμRd dl R

Id R IdL R dI dB ====

B

d ?分解为dB x 和dB y 。 ??

???

===-=θθπμθθθπμθd R I

dB dB d R I dB dB Y X

cos 2cos sin 2sin 2

020 积分

R

I R I d R I B x 2

00200

20|c o s 2s i n 2πμθπμθθπμπ

π

-==-=? 0|sin 2cos 20200

20===?

π

π

θπμθθπμR

I d R I B y （可由对称性直接得） )(?1037.6????52

0T i i R

I j B i B B y X -?-=-=+=πμ 三、 毕奥-萨伐尔定律的应用 1. 载流长直导线的磁场

设长为L 的直导线，其中电流为I,计算离直导线距离为a 的P 点的磁感应强度。左

?

?==2

1

2

1

2

sin 4A A A A r Idl dB B α

π

μ ?

ααπcot )cot(a a l -=-+=

? α

α2

s i n ad dl = 而 α222

s i n a r = )cos (cos 4sin 42100

2

1

ααπμααπ

μαα

-==

?a

I

a d I B 讨论：

若为无限长直导线 01=α ，πα=2

? a

I

B πμ20=

（B 与0μ，I ，a 以及导线的形状有关） B 与距离a 的一次方成反比。 2. 载流圆线圈轴线上的磁场

设有圆形线圈L,半径为R ，通以电流I ，计算轴线上P 点的磁感应强度，设P 点到线圈圆心O 的距离是x 。

?=α

c o s dB B )?,?sin(42

0r l d r

Idl

dB πμ=

对轴上场点P ，1)?,?sin(=r l

d 。 αs i n r x =

2

2

0sin 4απμx

Idl dB =

??=

=dl x I dB B ααπμαcos sin 4cos 2

2

222

2

22sin cos x R x x R R

+=+=

αα ，?=R dl π2 ∴

2

1

)(22220

x R I

R B +=μ 讨论：

① 在圆心处,0=x R

I

B 20μ=

②R x >>时， 3

202x I

R B μ=

例：半径为R 的薄圆盘上均匀带电，总电量为q 。令此盘绕通过盘心且垂直盘面的轴线

匀速转动，角速度为ω，求轴线上距盘心x 处的磁感应强度。

解：（目的：典型的磁场迭加计算）相当于一系列半径不同的同心圆电流产生的磁场的

迭加。圆盘上电荷面密度为2

R q πσ=，取半径为r ，宽为dr 的圆环。

r d r dq πσ2?=

rdr rdr dq dI σωπ

ω

πσπω=?=?

=222 dr x r r rdr x r r x r dI

r dB 2

32

32

3

)

(2

)

(2)

(2223

02

2

2

02

2

20+=

+=

+=

σω

μσωμμ ?

?

+=+=

R

R

x r r d dr x r r B 0

22400

2230232

3)

()

(8)

(2

σω

μσω

μ 令：2

22x r +=λ，则2224)(x r -=λ，λλλd x dr )(4234-=

当r=0时，x =λ

当r=R 时，21

)(2

2r R +=λ

∴

??????-++=

-=

?

+-x x R r R d x B r R x

2)(22

)1(2

2

12

1

22222

20)

(2

20σωμλλσω

μ

ωπμ?2)(22?2

122222

0??

?

???-++=x x R r R R q B

B 的方向： 0>q 时，ω与相同 0

取中心点为坐标原点，P 点坐标为x ，电流圆环轴线上的磁场2

3

)(22220

x R I

R B +=μ 计算螺线管轴线上的磁场分布，设：螺线管的半径为R ，总长度为L ，单位长度内的匝数为n ，电流为I 。dl 长度有ndl 匝，在P 点产生的磁场

[

]

ndl l x R I

R dB ?-+=

2

3

2

2

20

)

(2μ （x 作为常量，l 作为变量）

[]

?--+=

2

2

2

3

2

2

20

)

(2

L

L l x R

nIdl

R B μ （以β为变量积分，上下限是1β，2β）

由 ??

?

??=-+=βsin )(222R r l x R r ，由式

βcot =-R

l

x 取微分得 ββ2sin d R dl =， β

β2s i n d R dl =

得

()

210

33

22

0320

cos cos 2

sin 2

sin sin 222

1

2

22

2ββμβ

βμβ

ββ

μμββ-=

=

==???--nI d nI R Rd R nI

r dl R nI B L

L L

L

由 ???

?

?

??-+-=

+++=

222221)2(2

c o s )2(2

c o s L x R L x L x R L x ββ 代入上式可得B 与x 的关系，当R L >>时，中间很大一个范围内近于均匀磁场，只是在端点附近才显著下降。

讨论：

① 无限长螺管πββ==∞→21,0,L

? nI B 0μ= 均匀磁场（不仅对轴，对整个管内适用）

② 在半无限长螺线管的一端πβπβπββ====212122,0，或，都有

2

0nI

B μ=

（将无限长螺线管截成两半，很好理解）

补例：一长为l=0.1m ，带电量为c q 10101-?=的均匀带电细棒，以速率为s m v /1=沿x

轴正方向运动。当细棒运动到与y 轴重合的位置时，细棒的下端与坐标原点O 的距离为m a 1.0=，求此时坐标原点O 处的磁感应强度的大小。 解： 电荷线密度 l q =λ

电荷元 dy l

q dy dl =

=λ 由 202

03044??4y dy l qv y

vdl r dl r v

dB πμπμπμ==?=

)(1000.5114416

02

0T l a a l qv y dy l qv dB B l

a a

-+?=??

? ??+-===?

?πμπμ 方向垂直纸面向内。

本节小节：

1 . 3

?

?4?0

r r l Id B

d ?=πμ

2. 迭加原理

∑=i B B ?? 或 ?=B d B ??

3. 几种典型电流磁场B

?的分布 ① 有限长细直线电流 )c o s (c o s 4210ααπμ-=

a

I

B ② 无限长细直线电流 a

I

B πμ20=

③ 通电流细圆环中心 R

I

B 20μ=

④ 通电流的均匀密绕螺线管轴线上 ()210

c o s c o s 2

ββμ-=

nI B

⑤ 通电流的无限长均匀密绕螺线管内 nI B 0μ= 4. 用毕奥-萨伐尔定律解题的主要步骤：

(1) 分析B 的对称性，建立适当的坐标系，写出B

d ?的分量式，变矢量积分为标量积分

进行计算；

(2) 统一积分变量，给出正确的积分上下限。

5. 用已知典型电流的磁场迭加求出未知磁场分布。 §11-4 磁场强度 安培环路定律

一、 磁场强度

定义： μ

B H ??= （引入一个辅助物理量）式中μ是磁导率μχμμμ)1(0m r +==

m χ是磁化率。同样用磁场线（H

?线）形象地描述磁场强度。 二、 安培环路定律

磁感应线是连在闭合载流回路上的闭合线

∴ 0??≠?

L

l d B

安培环路定律表述如下：

磁感应强度沿任何闭合回路L 的线积分，等于穿过该环路所有电流强度代数和的

0μ倍。

即

∑?=?)

(0)

(??内L L I l d B

μ 或 ?∑=?L

L I l d H

)(??内 ???

?

??=μB H 以长直载流导线为例：已知：r

I

B πμ20=

① 如L ：

I r B dl B l d B L

L

2??μπ===??

? 若L 反向

I r B dl B l d B L

L

02??μπ-=-=-=??

?

② L 在垂直于导线的平面内

I rd r I d Br dl B l d B L

L L 02002cos ??μ?πμ?θπ????====? ③ L 不在垂直于导线的平面内

??

???=+=+=+?=?⊥⊥L

L

L

L

L

I

Brd dl B dl B l d l d B l d B 0//0//0cos 90cos )??(???μ?θ

④ 若沿同一闭合路径反方向积分，则

???

?-=-=-=-=?L

L

L

L

I Brd dl B dl B l d B 0

cos )cos(??μ?θθπ

⑤ 若L 中没有包围电流

??

??

?

=-==

='

0''''02cos 2cos r

I B d r dl r I B rd dl πμ?θπμ?

θ

∴ 022cos cos ????''00'''''=-=+=?+??πμ?πμθθd r r

I rd r I dl B Bdl l d B l d B 推而广之即得。

注意：

1. 当L 与I 服从右手法则时，0>I ，反之，0

2. 若I 不穿过回路L ，则对上式右端无贡献。

3. B ?时由内外电流共同产生的，只是0???

=?L

L l d B 外

，对上式左端无贡献。 4. 定律成立条件必须是对闭合电流或无限长电流的磁场。

5. 该定律在电磁场理论中占有重要地位。

6. 用安培环路定律可以计算某些具有对称性分布的电流的磁场。

说明上第四点，求此段电流的磁场沿圆周L 的环流。已知圆周上各点

24)]4cos(4[cos 4)cos (cos 400210R

I

B R I R I B πμππππμααπμ==--=-=

且B

?的方向处处与圆周相切 故 ?

??≠===???02224242??0000I

I R R I dl R I l d B L L μμππμπμ

不符合环路定律。

三、 安培环路定律的应用

求对称电流分布的磁场很有效。 1. 无限长直载流导线的磁场

I R B dl B l d B L

L 02??μπ===??? R I B πμ20= 2. 长直螺线管内的磁场

ab nI I l d B

l d B ab

abcd

????μμ==?=?∑??

? ab nI ab B 0

?μ=?

? nI B 0μ= nI H =

3. 环形螺线管内的磁场

NI r B dl B l d B L

L

02??μπ===??

?

?

r

NI

B πμ20=

当 2112,r r r r <<-时，管内各点的磁场实际上是均匀的。取圆环平均长度l nI l

NI

B 00μμ==

nI H =

4. 长直圆柱性载流导线内外的磁场

① 对R r >时， I r B l d B ?

==?0

2??μπ

r I B πμ20=

)(R r < r

I

H π2= )(R r < ②对R r <时，

2202??r R I r B l d B ππμπ?==? 2

02R Ir B πμ=

)(处R r < 2

2R Ir

H π=

总之，对一般情况

???=?s

L

s

d l d B ????0δμ （δ?电流密度，取值按右手螺旋法则）

解题步骤：

1. 由电流分布的对称性，分析磁场分布的对称性，

2. 选取合适闭合路径L ！！

3. 再应用安培环路定律确定磁感应强度的数值和方向。

补充例题：

1.一根很长的同轴电缆，由一导体圆柱（半径为a ）和一同轴的导体圆管（内、外半径分别是b 、c ）构成，使用时，电流I 从一导体流去，从另一导体流回。设电流都是均匀地分布在导体的横截面上，求：（1）导体圆柱内（rc)以及（4）电缆线（r>c ）各点处的磁场强度的大小。（设铜导线

0μμ≈）

解：（1） a r < ∑?=?I l d B L 0

1

??μ 22

02a r I r B ππμπ=? 2

02a Ir B πμ=?

（2） b r a <<

∑?=?I l d B L 02

??μ I r B 02μπ=? r

I B πμ20=? （3） c r b << ∑?=?I l d B L 0

3

??μ )(22

2220I b c b r I r B ---=?μπ 22220222

202)1(2b

c r c r I b c b r r I B --?=---=πμπμ （4） c r >

0??0

4

==?∑?I l d B

L μ 0=B

2.在半径为R 的无限长金属圆柱体内部挖去一半径为r 的无限长圆柱体，两柱体的轴线平行，相距为d ，今有电流沿空心柱体的轴线方向流动，电流I 均匀分布在空心柱体的截面上。（1）分别求圆柱轴线上和空心部分轴线上的磁感应强度的大小；（2）当R=1.0cm,r=0.5mm,d=5.0mm 和I=31A 计算上述两处磁感应强度的值。 解：电流密度 )

(2221R R I

-=

πδ

本题等效为均匀通有电流密度δ的圆柱)(1R 以及反向通有电流密度为δ的小圆柱组成。

（1） 010=B δπμπ2

20202R a B =

δ

μa

R B 222

020=

∴

20100B B B +=

)

(2222

212

2

022

00R R a IR a

R B -=

=

πμδμ

（2） 20'

102a a B δπμπ=

)

(22

212

200'10

R R Ia

a

B -=

=

πμδμ

0'

20=B

)

(221

2

2

0'

20'10'0R R Ia

B B B -=

+=πμ

本章小节：

1. 毕奥-萨伐尔定律

3

?

?4?0

r r l Id B

d ?=πμ

2. 磁场迭加原理

?∑==B d B B B i ????或

3. 几种典型电流磁场的B

?分布 ????????

?密绕无限长直螺线管内

密绕长直螺线管轴线上通电流细圆环中心

无限长直细导线电流有限长直细导线电流

4. ???

布的磁场定理求具有一对称性分熟练掌握应用安培环路理意义理解安培环路定理的物