高中数学推理与证明

推理与证明

要点1:合情推理

例1: (2010 ?福建高考文科?T16)

观察下列等式：

2

① cos2a=2 cos a -1;

4

2

②

cos4a =8

cos a - 8 cos a + 1;

6

4

2

③ cos6a=32 cos a - 48 COS a + 18 COS a - 1；

8

6

4

2

④ cos8a=128 cos a - 256 COS a + 160 cos a - 32 cos a + 1;

10

8

6

4

2

⑤ cos10a= m cos a - 12 80cos a + 1120 cos a + n cos a + p cos a - 1. 可以推测，m - n + p =

.

【规范解答】观察得：式子

中所有项的系数和为 1m —128°+112° + n+p —〔二1，二 m + n+p = 162

,又 9

p = 10^ 5= 5 0 , m 2 =

512n = 400,二 m —n +p=962 .【答案】962.

要点2 :演绎推理

例2： (2010 -浙江高考理科?

A

A

T 14)设 n X2,n 乏 N,(2x + — )n

_(3x+—)n =a° +a 1x + a 2X 2

+ …+ a n X n

, 2 3

将a k (0兰k 乞n)的最小值记为 1 1 1 1

T n ,则 T 2 =0,T 3 =飞一丁T 4 = 0,T 5 =飞一飞，…,T n ,…

2 3 2 3

其中T n =

T

_ 1

1 T _ 1 1

【规范解答】观察Tn 表达式的特点可以看出T 2=0,T4=0 ,......,当n 为偶数时，Tn=0 ；

3

23 33 , 5 25 35

,

，当n 为偶数时

T =.

丄-斗,当n 为奇数时 、2n 3n

要点3:直接证明与间接证明

例3: (2010 -北京高考文科?[ 20)

B =(b 1,d,…b n ,) S n ,定义 A 与 B 的差为 A _ B = (| 印 _b |,| a ? -b ? |,…& -b n |);

n

A 与

B 之间的距离为d(A, B)=52 a j —b j

i=1

(i)当 n=5时，设 A = (0,1,0,0,1), B =(1,1,1,0,0)，求 A _B , d(A, B)；

(n)证明：一 A,B,C S n ,有A — B S n ，且 d( A-C, B-C)二 d(A, B); (山)证明：—A,B,C* S n ,d(A, B),d(A,C),d(B,C)三个数中至少有一个是偶数 【思路点拨】(I ) (n )直接按定义证明即可；

(山)“至少”问题可采用反证法证明.

■当n 为奇数时,

.【答案】

已 知集合

S n ={X X =(X 1，X 2， ,X n ),X i

{0,1}, i = 1,2, ,n}( n — 2)

A = (a 1, a 2,…,a n )

【规范解答】(I )A-B^O-

1,

1-

1

，

0-

1

，

0-0,1-

) =( 1,0,1,0,1)

d(A,B) =0-1]+|1-1 +0-1]+|0-0 + 1-0 = 3

(n )设

A =佝总，…，a n ),

B =Q ,b 2,…,b n ),

C =(G ,C 2,…,C n ) S n

因

(山)证明：设 A = (a 1, a 2,「a n ), B = (D,b 2,…,b n ),C = (c 1,c 2,…,c n )匸 S n , d(A, B) = k,d(A,C) = l,d(B,C) = h

d(A, B) =d(A_A, B _A) = d(0, B_ A) = k d(A,C) =d(A-A,C - A) =d(0,C - A) =1

记

=(°,°, ''0

)匸

S

n 由(U )可知

d(B,C ^d(

^-A,^ -A)

= h ,所以 b

i

-a (i =1,2,

",

n)

中 1 的个数

为k, c 一a (i =1,2, ''',n)中1的个数为l ,设t 是使b —a i = G —a i

i 成立的i 的个数。则h = I +k —2t

由此可知，k 」，h 三个数不可能都是奇数，即d （A,B ）,d （A,C ）,d （B,C ）三个数中至少有一个是偶数. 注：有关否定性结论的证明常用反证法或举岀一个结论不成立的例子即可；

要点4：数学归纳法

例4：等比数列｛

a n ｝的前n 项和为S n ,已知对任意的n ? N ，点（n ,S n ），均在函数y =

b x ? r （b 0且b = 1,b, r 均为常

数）的图像上.（1）求r 的值；（11）当b=2时，记 b n =2（log 2 a n ■ 1）（ n ? N ）证明：对任意的n " N ，不等式

x

n

y=b r （b 0且b=1,b, r 均为常数的图像上.所以得S n = b r ,当

n =1 时，印=3 =b r ,当 n _2 时,a^S^ S n 」=b n ? r -(b n 」? r) = b n - b n

‘ 二(b —1)b n ‘，又因为{ a n }为等比数

列,所以 r = 一1,公比为 b , a n =（b 「1）b n ‘ （2）当 b=2 时，a n 二（b T ）b n 」=2n 」,

b n =2(log 2a n +1)=2(Iog 22nJL +1)=2n 则■^二2^!,所以 心

??…^^=3 .5 匸川 ， b n

2n b 1

b 2 b n 2 4 6 2n

下面用数学归纳法证明不等式

b5

.^1成立.

b-j b 2

b n

2 4 6 2n

① 当n = 1时，左边=—，右边=si ,因为一，?. 2 ,所以不等式成立.

2 2

为

a

1

, b 1 {0,1 }

a 1 -

b 1 {0,1}(i =1,2,

,n)

从而

A — H

a,

2

b

) n

a

由

意.知

a

, b i

c

i

,

'i -

C i

b i -( C1

n

以叫C

%C)

=

a

i - b i

= d(A,B)

D +1 b 2 +1 b-j

b 2

b n 1 b n

【解析】因为对任意的 n ? N ,点（n,S n ），均在函数

所以当n ^k 1时,不等式也成立.由①、②可得不等式恒成立

注：(1)用数学归纳法证明与正整数有关的一些等式，命题关键在于“先看项”

，弄清等式两边的构成规律，等式的两边各有多少

项，项的多少与n 的取值是否有关，由 n=k 到n=k+1时等式的两边会增加多少项，增加怎样的项。

(2) 在本例证明过程中，①考虑“ n 取第一个值的命题形式”时，需认真对待，一般情况是把第一个值供稿通项，判断命题的真 假，②在由n=k 到n=k+1的递推过程中，必须用归纳假设，不用归纳假设的证明就不是数学归纳法。

(3)

在用数学归纳法证明的第 2个步骤中，突出了两个凑字，一“凑”假设，二“凑”结论，关键是明确 n=k+1时证明的目标, 充

分考虑由n=k 到n=k+1时，命题形式之间的区别和联系。 【高考真题探究】

2 '

4 '

3

'

1. (2010 -山东高考文科?TIO )

观察(x ) =2x ， (x) = 4x ， (cosx) - -si nx ，由归纳推理可得：若定义在

R 上的函

数 f (x)满足 f ( _x)二 f (x)，记 g(x)为 f (x)的导函数，贝U g( _x)=( )

【规范解答】选 D .通过观察所给，的结论可知，若f(x)是偶函数，则导函数 g(x)是奇函数，故选 D 2.( 2010 ?陕西高考理科?T12)观察下列等式：13 2^ 32, 13 23 33 = 62,13 23 33 4^ 102,……，根据上述规律,

第五个等式为 ______________ .

【规范解答】由所给等式可得：等式两边的幂式指数规律明显，底数关系如下：

1 2

^3

,

1 2

^

6,

1

2 3

^

10

,即左边底数的和等于右边的底数。故第五个等式为

13 23 33 43 53 63 = (1 2 3 4

5 6)2 = 212

3

3

3

3

3

3

2

【答案】1 2 3 4 5 6 =21.

3.(2010 -北京高考理科?T 20)已知集合 S n ={X X =(x 「x 2，…,x n ),X j 亡{0,1}, i = 1,2，…,n}(n 去2)

对于 A =佝

42,...,务)，B =(4,6,…b n ,) ? S n ，定义 A 与 B 的差为 A-B =(|內 |,低-b 2〔，…|a^b n |)； A 与 B

n

之间的距离为 d(代 B)

a j -

b i ； (i)证明：VA,B,^ S n ,有 A —B^S n ，且 d(A —C, B — C) = d(代 B);

i

二1

(U)证明：-A, B,c ? S n ,d(A,B),d(A,C),d(B,C)三个数中至少有一 个是偶数

② 假设当n 二k 时不等式成立，即bl 1 P 2 1

bi b 2

b k 1

3 5

2

------------------ — T —

b k 2 4 7 2k 1 6 2T k 1成立.则当n = k ：：；-1时，左边

_ b 1 1 b 2 1 bi

b 2

b k 1 b k d 1

3 5

------------- =—?——

b

k

b

k 1

2 4

2k 1

2k 3 2k 2

2k 3 (2 k 3)2

2k 2~\ 4(k 1)

4(k -1)2

4(k 1) 1

q

4(k +1)

.(k 1) 1

1 4(k 1)

(k 1) 1

(A ) f (x)

(B)

-f (x)

(C)

g(x) (D) -g(x)

(山)设p

- S n ，P 中有m (m> 2)个元素，记P 中所有两元素间距离的平均值为

d (P).证明：d (P )

mn 2(m-1)

【思路点拨】（I ）直接按定义证明即可；（H ） “至少”问题可采用反证法证明；

（山）把送 d （代B ）表示出来，再利用均值不等式

A ,BEP

证明 【规范解答】(I )设 A — (a 1 , a 2，…，a n ) B — (b 1, b 2,…，b n ) C

— (c 1, c

2，…，G ) J S n

因为 a

i ，

b

匸 <0,1"，所以

1 a

i

— b i F {o,l}, (i = 1,2,..., n),从而 A - B = (| a 1 -b

1 1,1 a

2 —b

2 h...」a n — b

n D 匕 S n

d(B,C)=d(

B-A, C -A) = h ,所以 g — a i |i(= 1 , 2 n

...中, 1 的个数为 k ，

l c -a i 1 (i T,2,…，n)中1的个数为| .设t 是使也- a i |=|C i -a

i |T 成立的i 的个数，则h = I ? k —2t

k,l, h 三个数不可能都是奇数，即

（

, ）, （ , ）, （ , ） 三个数中至少有一个是偶数.

1 、d(代 B 忙吗 d(P)叮 d(A,B) 2

” A,克 P 4 ,从而 C m A,B?

4C m 2(口一1)

【方法技巧】（1）证明“至少有一个……”的时，一般采用反证法； （2）证明不等式时要多观察形式，适当变形转化为基本不等式.

4 . （ 2010 ?江苏高考23）已知△ ABC 的三边长都是有理数。

（1）求证：cosA 是有理数；（2）求证：对任意正整数 n ，cosnA 是有理数。 【思路点拨】（1）利用余弦定理表示 cosA ，由三边a,b,c 是有理数，求得结论；（2）可利用数学归纳法证明

2

（2）①当n =1时，显然cosA 是有理数；当n =2时，T COS2A =2cos A -1，因为cosA 是有理数,

②假设当n

1

当 n =k 1 时，cos(k 1)A 二 coskAcosA -si nkAsi nA ，cos(k 1)^ coskA cos A

[cos(kA - A) - cos(kA A)]，

2

d (A -C, B —C) = ' H a -〔 —1 bj -11 又

,由题意知ai ，

bi

G w {0,仆(i =1,2,..., n).,当 G = 0 时，

1 |a

i _c i

卜

|b

i -

C i 冃

I a|_ Cr |

b

c

尸丨卜 |a i (- 1 一b ),=所

1i

以 b i

d(A-C B,-C

a i -b|

,(ii)

(

设 A^(a 1),a 2,..., a n )

B

— ( b 1 , b 2 ,...,

b n

) C

=

(c 1,c

2

,…

，c

n

)匸 S n

d(A, B) =k

d(A,C) =1 d(B,C) =h .记 O=(O,O,...,O) 7

，由(I )可知，d(A, B) = d(O,B-A)二 k

d(A,C)二d(O,C _A) =1

(iii )

d(P)

1

八 d(A,B) C m

A,B P

' d (代 B)

,其中A,B&

表示 P 中所有两个元素间距离的总和，设

P 中所有元素的第i 个位置的数

字中共有ti

、d(A, B)

0 贝寸A,B P

n

2

宁5 7),由于t i d)笃“1, 2,n ..,所)以

由此可知,

2

nm mn

【规范解答】方法一：（1）设三边长分别为a, b, c ， cosA =

2bc

b 2 亠

c 2 - a 2

2

2

，丁 a,b,c 是有理数，b ■ c

-a 2

是有理数，分母2bc 为正有理数，又有理数集对于除法的具有封闭性，???

b 2

c 2 -a 2

必为有理数，二cosA 是有理数。

2bc

2 nm

/. cos2A 也是有理数;

：cosA , coskA , cos(k -1)A 均是有理数，二 2coskAcosA -cos(k -1)A 是有理数，二 cos(k 1)A 是有理数 即当n =k ? 1时，结论成立。综上所述，对于任意正整数

n , cosnA 是有理数。

(2)用数学归纳法证明cosnA 和sin A sin nA 都是有理数。

①当n =1时，由(1)知cosA 是有理数，从而有sin A sin A =1 -cos 2 A 也是有理数。

②假设当 n = k(k 亠 1)时，coskA 和 sin A sinkA 都是有理数。当 n = k 1 时，由 cos(k 1)A = cosA coskA-sin A sin kA ，

sinA si n(k 1)A =s in A (si nA coskA cosA si nkA) =(si nA sin A) coskA (si nA si nkA) cosA ，及①和归纳 假设，知 cos(k 1)A

和sin A sin(k 1)A 都是有理数。即当n =k 1时，结论成立。综合①、②可知，对任意正整数n ，cosnA 是有理数。

3

3

2

2

5. ( 2009 江苏高考)设 a > b > 0,求证：3a 2b > 3a b 2ab .

【解析】本小题主要考查比较法证明不等式的常见方法，考查代数式的变形能力。满分 10分。

证明：3a 3 2b 3 -(3a 2b 2ab 2) =3a 2(a-b) 2b 2(b-a) =(3a 2-2b 2)(a-b).

2

2

因为 a > b >0,所以 a -b >0, 3a-2b 2 > o , 从而(3a 2 -2b 2)(a -b) > 0, 即 3a 3 2b 3> 3a 2b 2ab 2. 6.

(2008安徽高考)设数列｛a n ｝满足a 1 =0,a n 勺=ca 3 V 「c,

N *,其中

c 为实数

(i)证明：a n [0,1]对任意N *成立的充分必要条件是 c [0,1]；

(u)设

，证明：a n ?T —(3c) ,n ^N ；

3

(山)设 0 :::c ::1，证明：a 2 ? a ； ?川 a ： ? n 1

- , n ? N * 3

n

1 _3c

【解析】(i)必要性：：q =0,a 2 =1 -c ，又T a 2 ? [0,1] ,「? 0 剟1 -c 1，即 c [0,1].

充分性：设[0,1]，对任意n ?二N *用数学归纳法证明a . ? [0,1].当n =1时，印=0?二[01]. 假设当 n=k 时，a k E[°,1](k …1)，则

ak + =ca ：+1—c, c+1—c=1，且 a k +=ca ：+1—c 厖1—c 0 , a k *E [0,1].

由数学归纳法知，a n ■ [0,1]对任意N 成立.(n )设0 “：：：1

，当n =1时，a 1 = 0 ,结论成立；

3 当 n …卍时，T

a n =ca= 1 —c ,「. 1 一気二 c(1 —al)二 c(1 p 丄)(1 a n 丄 aL) . T 0 ：：c ：：：舟，由(i )知 齢 [0,1],

3

?- 1 a n 丄 a ；丄，3 且 1—a n …0,二 1 一弘剟 3c(1-a nR (3c)2

(1-a n‘)剟I (3c)"；1 - aj =(3旷,

二a n ?T —(3c 厂，n ^N*.(山)设0

cos(k 1)A = coskAcosA - -cos(k —1)A - cos(k 1)A ，解得: 2 2

cos(k 1)A =2cos kAcos A - cos(k-1)A

方法二：(1)由AB 、BC AC 为有理数及余弦定理知

cosA =

AB 2 AC-BC 2

2AB AC

是有理数。

3 I 3c

n 1

当n …2 时，由(II)知a.…1—(3c)一>0,二a；>[1 —(3c)n」]2 =1 —2(3c)n」+(3c)2(n」)>1 —2(3c)n」?- a： a f ⑴ a；U| a? n _1 _2[(3c) (3c)2⑴(3c)n-]

n

一2[1 —(3c)]

=n 1 n

1 —3c 2

3c

【跟踪模拟训

练】

一、选择题(每小题6分, 36 分)

1 ?已知p是q的充分不必要条件，贝U —q是一p的(

(A) 充分不必要条件(B) 必要不充分条件(C)充要条件(D) 既不充分也不必要条件

2

?设a、b、c都是正数，则

A、都大于2

1 , 1

a +—

b + —

b' c，

、至少有一个大于

1

c三个数

a

至少有一个不大于、至少有一个不小于2

3 ?在△ ABC 中, A, B, C所对的边分别为a, b, c，且

cos A

，则△

cosB

ABC 一定是()

(A) 等腰三角形(B) 直角三角形(C)等边三角形(D) 等腰直角三角形

4 .已知函数y = f ( x)的定义域为D，若对于任意的x1, x2-

亠Xp + x2 f (xj + f (x2)

D(X j = x2)，都有f (- -)- 一，则称

y = f(x)为D上的凹函数.由此可得下列函数中的凹函数为(A) y = log2 X

5.给定正整数n(n >2)按下图方式构成三角形数表；第一行依次写上数上这两个数之和，得到上面一行的数(比下一行少一个数) ，依次类推, 则当n=2 007时最后一行的数是( 1，2, 3，…

最后一行(第

,n,在下面一行的每相邻两个数的正中间上方写n

行)只有一个数.例如n=6时数表如图所示,

20

5 2

112

28 36

2 16 20

79 i I

3 i 5

(A)251 X 2

2 007

(B)2 007 X 2

2 006

(C)251 X 22 008 (D)2 007 X 22 005

6.如图，坐标纸上的每个单元格的边长为1，由下往上的六个点：1, 2, 3, 4, 5, 6的横、纵坐标分别对应数列{a n}(n € N*)的前12

,按如此规律下去,则a? 009 +日2 010 +日2 011等于()

项(即横坐标为奇数项，纵坐标为偶数项)

6n L一

4(

i

I

一

1■

■2 -()(B)1 005 (C)1 006 (D)2 011

(A)1 003