构建概率模型,判断游戏公平性

构建概率模型，判断游戏的公平性

二、方法剖析与提炼

例1．（2020威海）一个盒子里有标号分别为1，2，3，4，5，6的六个小球，这些小球除标号数字外都相同．

（1）从盒中随机摸出一个小球，求摸到标号数字为奇数的小球的概率；

（2）甲、乙两人用着六个小球玩摸球游戏，规则是：甲从盒中随机摸出一个小球，记下标号数字后放回盒里，充分摇匀后，乙再从盒中随机摸出一个小球，并记下标号数字．若两次摸到小球的标号数字同为奇数或同为偶数，则判甲赢；若两次摸到小球的标号数字为一奇一偶，则判乙赢．请用列表法或画树状图的方法说明这个游戏对甲、乙两人是否公平．

【解析】（1）共有1，2，3，4，5，6六个小球，其中奇数3个，根据概率公式即可得到。

（2）画出树状图或者表格，就可以找到所有等可能的情况，找到两次摸到小球的标号数字同为奇数或同为偶数的个数及摸到小球的标号数字为一奇一偶的结果的个数，再利用概率公式分别计算甲、乙两人的概率，做比较即可知道是否公平。

【解答】(1)

(2) 【解法】

【解释】（1）第一题可以根据概率公式直接得出答案；

（2）第二题利用列表或者树状图，得出所有可能的情况数，找出所有同为奇数或者同为偶数的情况共有18种，再找出一奇一偶的情况，比较两个概率大小，即可得出游戏是否公平。此处涉及到的情况有36种，虽为有限基于情况较多，基础薄弱的容易出错；在基础较为扎实的学生中，其实应该明显能够看到

从1,2,3,4,5,6中，非奇即偶，那么每个数都是一半同奇（或同偶），一半一奇一偶，答案其实显而易见的。

（3）此类题是在等可能性的基础上产生，游戏公平与否只与概率是否相等有关，难度系数较小。

例2．（优质试题杭州）某班有50位学生，每位学生都有一个序号，将50张编有学生序号（从1号到50号）的卡片（除序号不同外其它均相同打乱顺序重新排列，从中任意抽取．．．．1．张．

卡片（1）在序号中，是20的倍数的有：20，40，能整除20的有：1，2，4，5，10（为了不重复计数，20只计一次），求取到的卡片上序号是20的倍数或能整除20的概率

（2）若规定：取到的卡片上序号是（是满足1≤≤50的整数），则序号是的倍数或能整除（不重复计数）的学生能参加某项活动，这一规定是否公平？请说明理由；

（3）请你设计一个规定，能公平地选出10位学生参加某项活动，并说明你的规定是符合要求的。

【解析】（1）先找到在序号中，是20的倍数和能整除20，而总可能数是50，利用概率公式计算即可；

（2）特殊值代入，找到任意两个学号的可能性不相等，就可以说明不公平；

（3）设计的游戏为保证每个数字每次被抽到的概率都相等.

【解答】（1）

（2）

（3）不唯一，如先抽出一张，记下数字，然后放回．若下一次抽到的数字

不同的数字为止．

k k k k k

【解法】无论是判断游戏公平性还是设计游戏，等可能性是关键。

【解释】（1）本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．

（2）第一题根据题目要求就可以作答。第二题中，因为涉及50个数据，如果是真命题，要么要对50个学号进行验证，比较困难，对学生的思维要求比较高。但是显然，它只是一个假命题，那么只要举出反例即可，不只是学号为1的学生，可以举的反例其实是很多的。但是往往学生对游戏的公平性理解不够，导致认为它是真命题，就无法解决此题。

（3）第三题是考察设计一个公平的游戏，“等可能性”与游戏公平的原则是紧密相关的，如果能上学生认识到这一点，问题就能迎刃而解。

例3．某市准备为青少年举行一次网球知识讲座，小明和妹妹都是网球球迷，要求爸爸去买门票，但爸爸只买回一张门票，那么谁去就成了问题，小明想到一个办法：他拿出一个装有质地、大小相同的2x 个红球与3x 个白球的袋子，让爸爸从中摸出一个球，如果摸出的是红球．妹妹去听讲座，如果摸出的是白球，小明去听讲座．

（1）爸爸说这个办法不公平，请你用概率的知识解释原因．

（2）若爸爸从袋中取出3个白球，再用小明提出的办法来确定谁去听讲座，问摸球的结果是对小明有利还是对妹妹有利．说明理由．

【解析】（1）此题含有代数式，需要用代数式的比较方法；

（2）此时：妹妹去听讲座的概率为：

3322-+x x x ；小明去听讲座的概率为：3

3232-+-x x x ，对于这两个分母相同，分子不同的分式比较，需要采用分类讨论法，是本题的一个难点。

【解答】（1）

（2）此时：妹妹去听讲座的概率为：3322-+x x x ；

小明去听讲座的概率为：33232-+-x x x ， ∴当2x=3x ﹣3，即x=3时，他们的机会均等；

当2x ＞3x ﹣3，即x ＜3时，对妹妹有利；

当2x ＜3x ﹣3，即x ＞3时，对小明有利．

【解法】分式比较大小的方法有很多，在分母相同的情况下可以比较分子大小，也可以进而引申作差法、作商法等方法。

【解释】（1）此题涉及概率、游戏公平问题、不等式、分类讨论等知识点，对学生的综合运用能力要求较高；

（2）读懂题目，第一题找到构建概率模型，直接利用概率公式比较两者的概率大小；

（3）第二题涉及分类讨论，对学生灵活运用知识的要求较高，不少学生可能会想到不去分类讨论比较分子而匆忙下结论，是本题的难点。

三、能力训练与拓展

1．（优质试题大庆）某商场为促销开展抽奖活动，让顾客转动一次转盘，当转盘停止后，只有指针指向阴影区域时，顾客才能获得奖品，下列有四个大小相同的转盘可供选择，使顾客获得奖品可能性最大的是（）

A 、

B 、

C 、

D 、

2．（优质试题浙江湖州）一个布袋内只装有1个黑球和2个白球，这些球除颜色外其余都相同，随机摸出一个球后放回搅匀，再随机摸出一个球，则两次摸出的球都是黑球的概率是( )

A . 94

B . 31

C . 61

D . 9

3．(优质试题苏州)如图，转盘中8个扇形的面积都相等．任

意转动转盘1次，当转盘停止转动时，指针指向大于6的数

的概率为 _____．

（第3题）

4．“石头、剪刀、布”是广为流传的游戏，游戏时，甲、乙双方每次出“石头”“剪刀”布”三种手势中的一种，规定“石头”胜“剪刀”，“剪刀”胜“布”，“布”胜“石头”，同种手势不分胜负．假定甲、乙两人每次都是等可能地出这三种手势，用画树形图和列表的方法分别求一次游戏中两人出同种手势的概率和甲获胜的概率，并判断游戏是否公平．(提示：为书写方便，解答时可以用S表示“石头”，用J表示“剪刀”，用月表示“布”)

5．在“六·一”儿童节来临之际，某妇女儿童用品商场为吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘（如图25-68所示，转盘被平均分成20份），并规定：顾客每购物满100元，就能获得一次转动转盘的机会.如果转盘停止后，指针正好对准红色、黄色、绿色区域，那么顾客就可以分别获得80元、50元、20元的购物券，凭购物券可以在该商场.如果顾客不愿意转转盘，那么

可以直接获得15元的购物券.转转盘和直接获得购物券，你认

为哪种方式对顾客更合算？请说明理由.

6．（优质试题怀化）甲、乙两人都握有分别标记为A、B、C

的三张牌，两人做游戏，游戏规则是：若两人出的牌不同，则

A胜B，B胜C，C胜A；若两人出的牌相同，则为平局．

（1）用树状图或列表等方法，列出甲、乙两人一次游戏的所有可能的结果；（2）求出现平局的概率．

7．某厂为新型号电视机上市举办促销活动，顾客每购买一台该型号电视机，可获得一次抽奖机会，该厂拟按10％设大奖，其余90％为小奖.厂家设计的抽奖方案是：在一个不透明的盒子中，放入10个黄球和90个白球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出1个球，摸到黄球的顾客获得大奖，摸到白球的顾客获得小奖.

（1）厂家请教了一位数学教师，他设计的抽奖方案是：在一个不透明的盒子中，放入2个黄球和3个白球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出2个球，摸到的2个球都是黄球的顾客获得大奖，其余的顾客获得小奖．该抽奖方案符合厂家的设奖要求吗？请说明理由．

(2)如图25-69所示的是一个可以自由转动的转盘，请你将转

盘分为2个扇形区域，分别涂上黄、白两种颜色，并设计抽奖方案，

使其符合厂家的设奖要求．(友情提醒：(1)在转盘上用文字注明颜

色和扇形的圆心角的度数．(2)结合转盘简述获奖方式，不需说明

理由)

8．（优质试题杭州）四条线段a b c d ，，，如图，a :b:c:d 1:2:3:4

（1）选择其中的三条线段为边作一个三角形（尺规作图，要求保留作图痕迹，不必写出作法）；

（2）任取三条线段，求以它们为边能作出三角形的概率

1.A 中获得奖品的概率是360240，B 、C 获得奖品的概率是360180，D 获得奖品的概率是360

216，A 的概率最大，故选A.

2.列表将所有等可能的结果列举出来，共9种等可能的结果，两次都是黑色的情况有1种，故选D.

3.共有8个数，而大于6的有两个，故答案为41.

4.解：80×120＋50×320＋20×520

＝16.5(元)， ∵16.5元＞15元，∴选择转转盘对顾客更合算。

5.列表如图所示．

乙

甲 S J B

（S ，S ）（S ，J ）（S ，B ） J

（J ，S ）（J ，J ）（J ，B ） B （B ，S ）（B ，J ）（B ，B ）

所有可能的结果共9种，而且每种结果出现的可能性相同．

∴P (出同种手势)＝39＝13，P (甲获胜)＝39＝13，P (乙获胜)＝39＝13

．．所以游戏公平.

6.（1）.

（2）出现平局的有3种情况，概率为P=3

193

7.(1)该抽奖方案符合厂家的设奖要求．分别用黄1 、黄2、白1、白2、白3表示这五个球，从中任意摸出2个球，画树形图如图所示．共有20种可能结果，符合要求的有2种，所以P (两个黄球)=110

, 黄1 黄2 白1 白2 白3

黄2白1 白2白3 黄2 白1 白2白3黄1黄2白2白3 黄1黄2白1白3 黄1黄2白1 白2 即顾客获得大奖的概率为l0％，获得小奖的概率为90％．

(2)本题答案不唯一．比如：如图25-74所示，将转盘中

圆心角为36°的扇形区域涂成黄色，其他区域涂成白色，顾客

每购买一台该型号的电视机；可获得一次转动转盘的机会，任

意转动这个转盘，当转盘停止时，指针指向黄色区域获得大奖，

指向白色区域获得小奖．

游戏规则的公平性 (3)

游戏规则的公平性南通市五里树小学季飞教学内容：p.79~81 教材简析：这部分内容主要是认识游戏规则的公平性，这是在三年级上册学生认识可能性相等和可能性有大小的基础上安排的。教学这部分内容，有利于学生加深对可能性和可能性大小的体会，使学生联系实际问题，初步学会用可能性知识预测简单游戏的结果。同时，这部分知识也是学习求可能性大小的基础。教学目标： 1、使学生进一步体会事件发生的可能性，体验等可能性游戏规则的公平性，能辨别游戏规则是否公平 2、让学生感受数学与生活实际的联系，激发学生学习数学的兴趣，培养自主探索的意识和与他人团结协作的精神教学重点：能制定公平的游戏规则教学准备：布袋、各色彩球教学过程：一、游戏导入，学习新课： 1、今天的数学课上，我们要来玩摸球的游戏。板书：游戏老师取一口袋，里面装了一些球。规则：每次任意摸一个，然后放回。一共摸30次。摸到红球的次数多，算女生赢；摸到黄球的次数多，算男生赢。把摸球的结果记录在书上的表格中。老师请一个学生上前摸，其他同学做好记录。摸球结束，统计两种球分别摸的次数。（红的多）看了数据，你有什么问题？（红球摸的次数比较多，有可能红球的个数比黄球的个数多，很想知道究竟有几个红球和几个黄球。）老师打开布袋，一一请出各球，发现：4个红球、2个黄球你想说什么？（不公平）为什么？（红球个数多，取的可能性就大一些。所以是不公平。）

那你觉得怎样放球就公平了呢？（比如……一句话：要红球和黄球一样多。） 2、各组按照本组的商定，摸球并做好记录交流：出示一张表格， 3、再来说一说：你认为怎样放的球，做这游戏是公平的？举例说明。老师在学生说的基础上，继续添上1个蓝球讨论：公平吗？为什么？指出：在这个游戏中，关键是要考虑摸到红球的次数和摸到黄球的次数是否一样多，所以在放球的时候，红球和黄取要放得一样多。由于摸到蓝球等于没摸，所以并不影响游戏的结果，所以还是公平的。继续添上2个蓝球、1个绿球…… 小结：决定胜负求数的个数相同，那这个游戏就是公平的。二、练习巩固： 1、很多游戏都需要考虑公平性，比如：（第1题出示）看图后回答：用左边的转盘，谁赢的可能性大一些？有右边的转盘呢？用哪个转盘做游戏是公平的？为什么？ 2、（第2题）……你认为在哪几个口袋里摸球是公平的？同桌互相说说理由，再全班交流 3、（第3题）扑克牌游戏。你认为这个游戏公平吗？为什么？怎样修改游戏规则，才能使游戏公平？交流，老师一一板书。比较多种方法，它们有什么共同的地方？三、你知道吗？在足球比赛的时候，常用抛硬币来决定开场。你认为公平吗？为什么？师生共抛10次硬币，并做好记录。你发现了什么？（虽然说是公平的，但在10次里，并不是出现了5次正面、5次反面。有的组甚至出现了正面次数远多与反面的情况。）

概率论在游戏中的应用

概率论在游戏中的应用摘要：游戏作为生活乐趣的一部分，在设计时必须同时考虑娱乐性与平衡性。许多游戏依靠巧妙的概率设计来解决这一问题。本文通过对射击游戏，抽卡游戏，和策略类桌游三种游戏中简易概率模型的分析，体现了概率论在游戏中的应用。关键词：概率模型卡坦岛射击游戏抽卡模型随着人们对生活乐趣的追求，游戏行业也得到了迅速的发展。手游，桌游和网络游戏具有优秀的作品出现。好的游戏作品必须同时兼顾娱乐性与平衡性，既要有挑战，也要有鼓励机制。一个好的概率模型可以解决这个问题。一，射击模型射击模型广泛存在在各个射击游戏中。射击的精度通常由其炮弹及子弹的分布决定。网络游戏《坦克世界》中，炮弹的分布为期望为0的二维正态分布，如图（1），正态分布的方差直接受火炮精度影响。图（1），炮弹分布在两轴上的投影炮弹在落弹圈中的分布情况是遵循高斯分布（正态分布）的，也就是说，炮弹飞向落弹圈中心处的可能性远大于飞向边缘处。落弹圈大小的取值意义是标准高斯分布三个标准差σ处的累计概率。换言之，99.73%的炮弹都会落在这个圈内，而由于三个标准差σ之外的部分被截平，因此，剩下0.27%的炮弹会落在落弹圈的边界上。游戏中炮弹精度，单位是20密位（mil），也就是我们常说的百米精度。一门炮的精度是0.32，表示它在100米处的落弹圈半径为0.32米，或者说直径0.64米。也就是说，它的精度是6.4mil。精度对炮弹的分布有着显著的影响。图(2)即两门精度分别为0.32与0.50的火炮模拟射击1000次的结果。可以看出，精度0.32的火炮炮弹分布明显优于精度0.50的火炮。

图（2）两门精度分别为0.32与0.50的火炮模拟射击1000次的炮弹分布橙色：精度为0.50 蓝色：精度为0.32 二，抽卡模型抽卡是目前手机游戏中非常常见的模型，也是游戏开发者鼓励充值的手段。但各个手游中抽卡模型并不相同。大部分游戏策划使用权值来配置随机概率，因为权值有个好处就是可以在增加随机物品时，可以不对之前的配置进行更改。建立一个只含有两种卡牌的卡池，两种卡权值分别为5与95，显然，权值为五的卡更为稀有。自己写python程序模拟： pool = [0]*5 + [1]*95 result = [random.choice(a) for i in xrange(N)] 在样本pool中，保证了5%的出卡率。模拟结果如表（1）。表中显示的是分布概率图，X轴是目标卡牌出现的间隔数，Y轴是概数。按策划的想法，5%概率应该等同于20次出现一次，那上图很明显并不满足20次出现一次出现规则，实际间隔从近到远呈下坡形状分布，就是说相邻的概率最大，间隔最大超过160，这与玩家所吐槽的抽卡体验是一致的。从统计的意义上来说又是符合5%概率的。所以这个问题，究其原因就是所谓的概率是统计意义上的还是分布意义上的问题。

数学建模常用模型方法总结精品

【关键字】设计、方法、条件、动力、增长、计划、问题、系统、网络、理想、要素、工程、项目、重点、检验、分析、规划、管理、优化、中心数学建模常用模型方法总结无约束优化线性规划连续优化非线性规划整数规划离散优化组合优化数学规划模型多目标规划目标规划动态规划从其他角度分类网络规划多层规划等… 运筹学模型（优化模型）图论模型存储论模型排队论模型博弈论模型可靠性理论模型等… 运筹学应用重点:①市场销售②生产计划③库存管理④运输问题⑤财政和会计⑥人事管理⑦设备维修、更新和可靠度、项目选择和评价⑧工程的最佳化设计⑨计算器和讯息系统⑩城市管理优化模型四要素：①目标函数②决策变量③约束条件 ④求解方法(MATLAB--通用软件LINGO--专业软件) 聚类分析、主成分分析因子分析多元分析模型判别分析典型相关性分析对应分析多维标度法概率论与数理统计模型假设检验模型相关分析回归分析方差分析贝叶斯统计模型时间序列分析模型决策树逻辑回归

传染病模型马尔萨斯人口预测模型微分方程模型人口预测控制模型经济增长模型Logistic 人口预测模型战争模型等等。。灰色预测模型回归分析预测模型预测分析模型差分方程模型马尔可夫预测模型时间序列模型插值拟合模型神经网络模型系统动力学模型(SD) 模糊综合评判法模型数据包络分析综合评价与决策方法灰色关联度主成分分析秩和比综合评价法理想解读法等旅行商(TSP)问题模型背包问题模型车辆路径问题模型物流中心选址问题模型经典NP问题模型路径规划问题模型着色图问题模型多目标优化问题模型车间生产调度问题模型最优树问题模型二次分配问题模型模拟退火算法(SA) 遗传算法(GA) 智能算法蚁群算法(ACA) (启发式) 常用算法模型神经网络算法蒙特卡罗算法元胞自动机算法穷举搜索算法小波分析算法确定性数学模型三类数学模型随机性数学模型模糊性数学模型

九年级数学专训2利用概率揭示游戏规则的公平性

2020-2021学年专训2利用概率揭示游戏规则的公平性名师点金：通过计算概率判断游戏是不是公平的是概率知识的一个重要应用，也是中考考查的热点．解决游戏问题要先计算游戏双方获胜的概率，若概率相等，则游戏公平；若概率不相等，则游戏不公平．利用概率判断摸球游戏的公平性 1．在一个不透明的口袋里装有分别标有数字1，2，3，4的四个小球，除数字不同外，小球没有任何区别，每次试验前先搅拌均匀． (1)若从中任取一球，球上的数字为偶数的概率为多少？ (2)若从中任取一球(不放回)，再从中任取一球，请用画树状图或列表的方法求出两个球上的数字之和为偶数的概率． (3)若设计一种游戏方案：从中任取两球，两个球上的数字之差的绝对值为1时甲胜，否则为乙胜，请问这种游戏方案对甲、乙双方公平吗？利用概率判断转盘游戏的公平性 2．【2020·营口】如图是一个转盘，转盘被平均分成4等份，即被分成4个大小相等的扇形，4个扇形分别标有数字1，2，3，4，指针的位置固定，转动转盘后任其自由停止，每次指针落在每一

扇形的机会均等(若指针恰好落在分界线上则重转)． (1)图中标有“1”的扇形至少绕圆心旋转________度能与标有“4”的扇形的起始位置重合； (2)现有一本故事书，姐妹俩商定通过转盘游戏定输赢(赢的一方先看)，游戏规则是：姐妹俩各转动一次转盘，两次转动后，若指针所指扇形上的数字之积为偶数，则姐姐赢；若指针所指扇形上的数字之积为奇数，则妹妹赢．这个游戏规则对双方公平吗？请用树状图或列表法说明理由． (第2题) 利用概率判断统计事件的公平性 3．【2020·天水】近年来，我国持续大面积的雾霾天气让环保和健康问题成为焦点，为了调查学生对雾霾天气知识的了解程度，某校在学生中作了一次抽样调查，调查结果共分为四个等级；A.非常了解；B.比较了解；C.基本了解；D.不了解．根据调查统计结果，绘制了如图所示的不完整的三种统计图表．对雾霾天气了解程度的统计表对雾霾天气的了解程度百分比 A.非常了解5% B.比较了解15% C.基本了解45% D.不了解n

游戏的公平性

一．选择题（共10小题） 1．（2014春?淮阴区校级月考）小玲与小丽两人各掷一个正方体骰子，规定两人掷的点数和为偶数，则小玲胜；点数和为奇数，则小丽胜，下列说法正确的是（） A．此规则有利于小玲B．此规则有利于小丽 C．此规则对两人是公平的D．无法判断【分析】抛掷两枚均匀的正方体骰子总共有36种情况，一个奇数与一个偶数的和是奇数，故其中和为奇数的情况有3×3+3×3=18，计算出奇数的概率．和不是偶数就是奇数，再计算偶数的概率．【解答】解：抛掷两枚均匀的正方体骰子，掷得点数之和为偶数的概率是，点数之和为奇数的概率是，所以规则对两人是公平的，故选C．【点评】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平． 2．（2015秋?成都期末）甲乙两人玩一个游戏，判定这个游戏公平不公平的标准是（） A．游戏的规则由甲方确定 B．游戏的规则由乙方确定 C．游戏的规则由甲乙双方商定 D．游戏双方要各有50%赢的机会【分析】根据游戏是否公平的取决于游戏双方要各有50%赢的机会，游戏是否公平不在于谁定游戏规则，分别判定即可．【解答】解：根据游戏是否公平不在于谁定游戏规则，游戏是否公平的取决于游戏双方要各有50%赢的机会， ∴A．游戏的规则由甲方确定，故此选项错误； B．游戏的规则由乙方确定，故此选项错误； C．游戏的规则由甲乙双方商定，故此选项错误； D．游戏双方要各有50%赢的机会，故此选项正确．故选：D．

【点评】此题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个参与者取胜的概率，概率相等就公平，否则就不公平． 3．（2013?广东模拟）某口袋中有20个球，其中白球x个，绿球2x个，其余为黑球．甲从袋中任意摸出一个球，若为绿球获胜，甲摸出的球放回袋中，乙从袋中摸出一个球，若为黑球则获胜．则当x=（）时，游戏对甲乙双方公平．A．3 B．4 C．5 D．6 【分析】根据题意表示出摸出是绿球与黑球的概率，令两概率相等求出x的值即可．【解答】解：根据题意得：=，即2x=20﹣x﹣2x，解得：x=4．故选B 【点评】此题考查了游戏的公平性，以及列表法与树状图法，判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平． 4．（2012春?晋江市期末）小明和小白做游戏，先是各自背着对方在手心写一个正整数，然后都拿给对方看，他们约定：若两人所写的数字之和是偶数，则小明获胜；若和是奇数，则小白获胜；那么对于这个游戏，下列说法正确的是（）A．游戏对小明有利 B．游戏对小白有利 C．这是一个公平游戏D．不能判断对谁有利【分析】根据游戏规则：总共结果有4种，分别是奇偶，偶奇，偶偶，奇奇，它们的和为奇，奇，偶，偶；由此可得：两人获胜的概率，进而得出答案．【解答】解：两人写得数字共有奇偶、偶奇、偶偶、奇奇四种情况，因此和为奇数或为偶数概率都为；所以这是一个公平游戏．故选：C．【点评】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个参与者取胜的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 5．（2011?安徽模拟）把五张大小相同且分别写1、2、3、4、5的卡片放在一个暗箱中，先由甲随机从里面无放回地抽取两张，并记下两个数字之和后把卡片再放入暗箱，再由乙从里面无放回地抽取两张，并记下两个数字之和，若数字和为

最大似然估计学习总结(概率论大作业)

最大似然估计学习总结航天学院探测制导与控制技术杨若眉1110420123 摘要：最大似然估计是一种统计方法，它用来求一个样本集的相关概率密度函数的参数。最大似然法明确地使用概率模型，其目标是寻找能够以较高概率产生观察数据的系统发生树。最大似然法是一类完全基于统计的系统发生树重建方法的代表。关键词：最大似然估计；离散；连续；概率密度最大似然估计是一种统计方法，它用来求一个样本集的相关概率密度函数的参数。这个方法最早是遗传学家以及统计学家罗纳德·费雪爵士在1912年至1922年间开始使用的。 “似然”是对likelihood 的一种较为贴近文言文的翻译，“似然”用现代的中文来说即“可能性”。故而，若称之为“最大可能性估计”则更加通俗易懂。最大似然法明确地使用概率模型，其目标是寻找能够以较高概率产生观察数据的系统发生树。最大似然法是一类完全基于统计的系统发生树重建方法的代表。该方法在每组序列比对中考虑了每个核苷酸替换的概率。

最大似然法是要解决这样一个问题：给定一组数据和一个参数待定的模型，如何确定模型的参数，使得这个确定参数后的模型在所有模型中产生已知数据的概率最大。通俗一点讲，就是在什么情况下最有可能发生已知的事件。举个例子，假如有一个罐子，里面有黑白两种颜色的球，数目多少不知，两种颜色的比例也不知。我们想知道罐中白球和黑球的比例，但我们不能把罐中的球全部拿出来数。现在我们可以每次任意从已经摇匀的罐中拿一个球出来，记录球的颜色，然后把拿出来的球再放回罐中。这个过程可以重复，我们可以用记录的球的颜色来估计罐中黑白球的比例。假如在前面的一百次重复记录中，有七十次是白球，请问罐中白球所占的比例最有可能是多少？我想很多人立马有答案：70%。这个答案是正确的。可是为什么呢？（常识嘛！这还要问？！）其实，在很多常识的背后，都有相应的理论支持。在上面的问题中，就有最大似然法的支持例如，转换出现的概率大约是颠换的三倍。在一个三条序列的比对中，如果发现其中有一列为一个C，一个T和一个G，我们有理由认为，C和T所

优胜教育五年级数学讲义概率、游戏规则的公平性

概率、游戏规则的公平性知识梳理教学重、难点作业完成情况典题探究例1. 掷骰子：下图中这个正方体木块的六个面上的数字分别是一个1、两个2、三个3。（1）掷一次，得到1、2、3的可能性分别是多少？（2）掷一次，得到单数的可能性是多少？例2、从A、B、C、D四位同学中任选2人参加学校演讲比赛，一共有几种不同的可能性？并列举各种可能的结果.

例3、下表表示某中学七年级某班同学生日所在月份的统计表，根据下表回答问题. 月份1月2月3月4月5月6月7月8月9月10月11月12月人数 3 1 5 6 2 4 3 5 1 5 2 3 （2）任意选出一位同学，给你4次机会，让你猜他生日所在月份，第一次你会猜几月份？接下来的三次你又会怎样猜？为什么？例4、小明对小红说：“我们来一个游戏，我向空中抛3枚硬币，如果它们落地后全是正面或反面朝上你就得10分；其他情况我得5分，得分多者获胜。”如果你是小红，你会答应参加这个游戏吗？为什么？例5. 邮局于2013年2月25日公布了有奖明信片的号码。这一年的贺年片以每100万张为一个开奖组，每一开奖组设五个奖级，一等奖每组产生1名，中奖号码尾数为045179；二等奖每组产生30名，中奖号码尾数是19492，42765，10524；三等奖每组产生500名，中奖号码尾数为2047，8638，3396，6147，8046；四等奖每组产生2000名，中奖号码尾数为298和378；五等奖每组产生10万名，中奖号码尾数为5。你能说出各种奖级中奖的可能性吗？演练方阵 A档（巩固专练）一、细心选一选 1.数学老师抽一名同学回答问题，抽到女同学是………………………………( ) A.必然事件 B.不确定事件 C.不可能事件 D.无法判断 2.在一个装有黑色围棋的盒子中摸出一颗棋子，摸到一颗白棋是………………( ) A.必然事件 B.不确定事件 C.不可能事件 D.无法判断 3.从一副扑克牌中任意抽出一张，可能性相同的的是……………………………( ) A.大王与黑桃 B.大王与10 C.10与红桃 D.红桃与梅花 4.一个袋中装有8只红球，每个球除颜色外都相同，人一摸一个球，则 ( ) A.很可能摸到红球 B. 可能摸到红球 C. 一定摸到红球 D.不大可能摸到红球 5.从一副扑克牌（除去大王）中任取一张，抽到的可能性较小的是( ) A.红桃5 B.5 C.黑桃 D.梅花5或8 二、细心辨一辨（用数字“1”或“0”表示可能性的情况） 6、玻璃杯从很高的地方落在水泥地面上，这玻璃杯破碎的可能性为（）。 7、太阳每天早晨升起的可能性为（）。

游戏规则的公平性教学设计

游戏规则的公平性教学设计一、教学内容：冀教版《数学》五年级上册第32-33页。教学目标： 1．知识与技能（1）体验等可能性和游戏规则的公平性；（2）能设计公平的游戏规则，并对游戏规则的合理性作出有说服力的说明。能对简单事件发生的可能性作出预测，在预测的过程中能进行有条理的思考。 2．过程与方法在讨论比赛规则、抛硬币和摸球等活动中，经历感知游戏规则的公平性的过程。 3．情感态度价值观体验设计游戏方案成功的愉悦；培养学生的公平、公正意识。五、教学重点：能辨别游戏规则是否公平。教学难点：初步学会设计简单游戏的公平规则。六、课前准备：多媒体课件、硬币若干个。七、教学过程教学设计设计意图一、激趣引入，初步感受游戏规则的公平性。 1、同学们，你们平时喜欢什么体育活动？ 2、为了迎接国庆节的到来，我们下东营小学五、六年级要举行足球友谊比赛，足球比赛中谁先开球很重要，你们认为用什么方法决定哪个队先开球公平呢？ 3、同学们的方法这么多，其实在正规的足球比赛中，是用抛硬币的方法决定的。 4、你认为抛硬币决定谁开球公平吗？为什么？ 5、实践是检验真理的唯一标准，要想验证抛硬币公平，还是让我们来做实验验证吧。 6、揭示课题：今天做实验来研究“游戏规则的公平性”（板书课题）从学生喜爱的体育活动足球比赛切入，创设一个问题情境，让每个学生以“小裁判”的身份参加活动，真正成为学习的主人。“你认为抛硬币决定谁开球公平吗？”围绕这一问题，吸引学生的注意力，引发探究新知的需要，充分调动了学生学习的积极性，很顺利的揭示了课题，学生在轻松、愉快的氛围中进入了下一个阶段的学习。二、探究新知，进一步理解游戏的公平性。（一）抛硬币 1、老师想先抛硬币验证一下，师抛一次硬币，生观察是正面向上还是反面向上。 2、再抛一次，可能出现哪一面？（生猜测）。 3、不对呀，刚才我们说正面向上、反面向上的可能性是相等的，一次正面相上，第二次应该反面向上，怎么你们却认为会出现两次正面向上的可能呢？是不是抛硬币不公平呢？明确：抛的次数少，偶然性大。

转盘游戏中的概率问题

转盘游戏中的概率问题邢台白军强转盘游戏是同学们很熟悉的游戏，其中蕴涵的概率知识非常丰富，越来越多成为中考题的背景材料，频频出现中考的题目中，现举例进行说明：一、一个转盘中的概率问题例1（海南）右图是一个被等分成6个扇形可自由转动的转盘，转动转盘，当转盘停止后，指针指向红色区域的概率是．分析：由于一个圆平均分成6个相等的扇形，而转动的转盘又是自由停止的，所以指针指向每个扇形的可能性相等，即有6 种等可能的结果，在这6种等可能结果中，指针指向写有红色的扇形有三种可能结果，所以指针指到红色的概率是 36，也就是12 解：12 点评：由概率的定义求概率是常用方法，即找到某一事件的所有等可能出现的结果，然后找到这一事件发生的等可能结果，利用两者作商，就可以求出这个事件的概率。二、两个转盘的概率问题例2（06陕西）有两个可以自由转动的均匀转盘A B ，，都被分成了3等份，并在每份内均标有数字，如图所示．规则如下： ①分别转动转盘A B ，； ②两个转盘停止后，将两个指针所指份内的数字相乘（若指针停止在等份线上，那么重转一次，直到指针指向某一份为止）．（1）用列表法（或树状图）分别求出数字之积为3的倍数和数字之积为5的倍数的概率；（2）小亮和小芸想用这两个转盘做游戏，他们规定：数字之积为3的倍数时，小亮得2分；数字之积为5的倍数时，小芸得3分．这个游戏对双方公平吗？请说明理由；认为不公平的，试修改得分规定，使游戏对双方公平．分析：对于多步发生的事件，我们通常可以用列表法或树状图来求概率，用列表示来求概率时，用横行来表示一步的所有等可能结果；用竖列来表示另一步的所有等可能结果，用树状图主要求三步或三步以上的事件求概率。游戏是否公平关键就看小亮和小芸的每次得分，若两人的每次得分相等，则游戏公平，否则游戏不公平。解：（1）每次游戏可能出现的所有结果列表如下：表格中共有9种等可能的结果，则数字之积为3的倍数的有五种，其概率为9 ；数字之A B 图2

概率计算方法总结3

概率计算方法总结在新课标实施以来，中考数学试题中加大了统计与概率部分的考查，体现了“学以致用”这一理念. 计算简单事件发生的概率是重点，现对概率计算方法阐述如下: 一.公式法 P(随机事件)= 的结果数随机事件所有可能出现果数随机事件可能出现的结.其中P(必然事件)=1,P （不可能事件）=0；0

可能性与游戏的公平(教学设计)

《可能性与游戏的公平》一、教学内容：人教版教材第五年级上册第99页例1及有关练习。二、本节课知识点和要达到的认知目标、过程目标 1、知识技能目标：（1）通过具体的活动让学生体验事件发生的等可能性及游戏规则的公平性；（2）会用几分之一描述事件发生的概率。 2、过程与方法目标：（1）使学生学会用概率的眼光去观察世界；（2）培养学生的观察分析及逻辑推理能力。本节课的重、难点体验事件发生的等可能性以及游戏规则的公平性，会用几分之一表示事件发生的可能性。教材各环节设计意图（1）主题图。主题图通过呈现学生熟悉的校园活动场景，引入本单元的学习内容。目的是从学生已有的生活经验出发，使学生体会到在我们的身边就存在大量的等可能性事件，平时的游戏活动中也隐含着许多公平性的问题。教学时，教师可先用实物投影仪展示这幅情景图，也可制成电脑课件进行播放，让学生身临其境，然后引导学生探究击鼓传花、足球比赛等活动中蕴涵的概率思想，特别要引导学生从事件发生的可能性这个角度去观察问题，如学生会直观感到击鼓传花时花落到每个人手里的可能性是相等的，抛一枚硬币时正面朝上和反面朝上的可能性也是相等的……在此基础上，可进一步引导学生说说这些游戏活动对参与的各方是否公平。教学时可先让小组合作学习、讨论，然后再汇报讨论结果，教师应注意引导学生用推理的方法找出等可能性与游戏公平性之间的因果关系，以促进学生形成较好的逻辑思维。主题图里全是情境，没有相应的文字说明，故教学时应注意说明每个活动的游戏规则，提出相关的数学问题让学生讨论。教学时应注意引导学生从事件发生的可能性以及游戏规则是否公平这个角度来思考问题，不要过分关注游戏、活动内容本身。（2）例1及“做一做”。 ①例1。本例教学最简单的等可能性事件，即两个事件发生的可能性都为1/2，同时让学生初步感知游戏规则公平性的数学含义。教科书呈现了足球比赛前用抛硬币来决定谁开球的场景，由小精灵提出问题“你认为抛硬币决定谁开球公平吗？”引出教学内容。设计目的是使学生理解随机抛掷一枚硬币时“出现正面和出现反面的可能性是相同的”，从而说明在比赛前用抛硬币的方法来决定谁开球对比赛双方都是公平的。掷一枚硬币时，既可能出现正面，也可能出现反面，预先作出确定的判断是不可能的，但如果硬币均匀，直观上会感到出现正面与出现反面的机会应该相等，即在大量重复试验中

《游戏规则公平性》教学反思(含试卷)

《游戏规则公平性》教学反思本课内容的学习适于学生展开观察、猜想、操作、比较、交流、归纳等教学活动。秉着“将课堂还给学生，让课堂焕发生命的活力”的指导思想，在整个教学流程设计上力求充分体现“以学生发展为本”的教育理念，将教学思路拟订为自己总结出的“新知猜想——自主探究（活动验证）——巩固内化——拓展延伸”的四步探索型的课堂教学模式。为了更好地让学生尝试体验，我采用小组合作形式组织教学。这样，一方面可以让学生自己去发现，体验创造的过程；另一方面，也可以增强学生的合作意识，在互动有可能迸发出智慧的火花。一、加强实验操作活动，促进学生的数学思考。实验不同于简单的游戏活动，需要讲究策略。只有那些调动了学生数学思维的实验，才能真正促进学生的数学思维。本节课中，我着力让学生在有效的活动中体验数学，发展能力。整个教学过程，学生都是在动手实践、动脑思考、自主探究和合作交流中发现游戏的公平性与事件发生的可能性（等可能性）之间的关系，体验数学与生活实际的联系，学生的应用能力和创新意识会得到发展。二、立足实际，创造性地用教材教。本课学习的游戏规则的公平性，学生在平时的生活中已有不同程度的体验，为此，我能尊重并利用学生已有的知识经验设计教学活动，让学生在原有知识经验的基础上，在民主、自由的空间里探索，主动建构知识。这一环节我将活动设计成三个层次。首先教学教材中的例题，在处理这一部分时，我打破了教材的原有编排。学生在三年级的学习中已经学过如何去判断事件出现的可能性大小，如果在这里按照书上的方法直接让学生看到4个红球和2个黄球，学生就能够马上判断出谁赢的可能性大一些，再去做实验验证猜想就没有太大的意义了，并且由于事先已经知道了游戏的结果，学生的游戏热情也不会太高。因此在这里我:先不告诉学生袋中球的个数，让学生根据游戏出现的

概率、游戏规则的公平性-含答案

概率初步知识点总结和题型

概率初步知识点和题型【知识梳理】 1．生活中的随机事件分为确定事件和不确定事件，确定事件又分为必然事件和不可能事件，其中， ①必然事件发生的概率为1，即P(必然事件)=1； ②不可能事件发生的概率为0,即P（不可能事件）=0； ③如果A为不确定事件，那么0

3．概率应用：通过设计简单的概率模型，在不确定的情境中做出合理的决策；概率与实际生活联系密切，通过理解什么是游戏对双方公平，用概率的语言说明游戏的公平性，并能按要求设计游戏的概率模型，以及结合具体实际问题，体会概率与统计之间的关系，可以解决一些实际问题。【练习】随机事件与概率：一. 选择题 1. 下列事件必然发生的是（） A. 一个普通正方体骰子掷三次和为19 B. 一副洗好的扑克牌任抽一张为奇数。 C. 今天下雨。 D. 一个不透明的袋子里装有4个红球，2个白球，从中任取3个球，其中至少有2球同色。 2. 甲袋中装着1个红球9个白球，乙袋中装着9个红球1个白球，两个口袋中的球都已搅匀。想从两个口袋中摸出一个红球，那么选哪一个口袋成功的机会较大？（） A. 甲袋 B. 乙袋 C. 两个都一样 D. 两个都不行 3. 下列事件中，属于确定事件的是（） A. 发射运载火箭成功 B. 2008年，中国女足取得冠军 C. 闪电、雷声出现时，先看到闪电，后听到雷声 D. 掷骰子时，点数“6”朝上 4. 下列事件中，属于不确定的事件的是（） A. 英文字母共28个 B. 某人连续两次购买两张彩票，均中头奖 C. 掷两个正四面体骰子（每面分别标有数字1，2，3，4）接触地面的数字和为9 D. 哈尔滨的冬天会下雪 5. 下列事件中属于不可能的事件是（） A. 军训时某同学打靶击中靶心 B. 对于有理数x，∣x∣≤0 C. 一年中有365天 D. 你将来长到4米高 6、一个袋子中放有红球、绿球若干个，黄球5个，如果袋子中任意摸出黄球的概率为0.25，那么袋子中共有球的个数为（） A. 15 B. 18 C. 20 D. 25 用列举法求概率：填空题：

论掷骰子游戏中的概率计算问题

论掷骰子游戏中的概率计算问题 17世纪中叶，欧洲贵族盛行掷骰子游戏，当时法国有一位热衷于掷骰子游戏的贵族De Mere ，他在其过程中遇到了一个问题。他认为掷一个骰子4次至少出现一次6点和掷一对骰子24次至少出现一次双6的概率是等可能的。他这样推断：一颗骰子掷一次，出现6点的机会是61，所以掷4次，我有32614=?的机会至少得到一次6点；掷一对骰子一次，我有361的机会得到双6，所以掷24次，一定有3236124=?的机会得到至少一次双6。但是经验表明，第一个事件比第二个事件出现的可能性大一些，这个矛盾成为众所周知的Chevalier De Mere 悖论。 De Mere 向数学家Baise Pascal 请教这个问题，Pascal 与另一位法国数学家Fermat 通信讨论了这个问题，正是对这个问题的讨论开始了概率论和组合论的研究，以下是Pascal 与Fermat 之间谈话的部分历史记录。 Pascal ：首先我们看一种赌博。 Fermat ：好，赢得机会很难计算，让我们先计算对立事件：输的机会，于是赢的机会=1-输的机会。 Pascal ：同意，当掷了4次没有出现一个6点时，赌徒输了。不过你将如何计算这些机会呢 Fermat ：看来很复杂。让我们从掷第一次开始，第一次没有出现6点的机会是多少呢 Pascal ：必须出现1点到5点中的某一个，所以机会是6 5。 Fermat ：这是事实。现在头两次都没有出现6点的机会是多少 Pascal ：毕竟每次掷骰子是相互独立的，所以是 65×65 Fermat ：掷3次呢 Pascal ：65×65×6 5 Fermat ：掷4次呢 Pascal ： 65×65×65×65 Fermat ：是的，大约是，或者%。 Pascal ：因此赢的机会是%。

《游戏的公平性》

教学内容：p.101.例2及练习二十一第1-3题。教学目的： 1、会用数学的语言描述获胜的可能性。 2、通过游戏活动，让学生亲身感受到游戏规则的公平性，学会用概率的思维去观察和分析社会中的事物。 3、通过游戏的公平性，培养学生的公平、公正意识，促进学生正直人格的形成。教学重、难点：让学生认识到基本事件与事件的关系。教学准备：投影仪、扑克牌教学过程：一、复习说出下列事件发生的可能性是多少？ 1、盒子中有红、白、黄三种颜色的球各一个，只取一次，拿出红色球的可能性是多少？白色呢？黄色？ 2、商场促销，将奖品放置于1到9号的罐子里，幸运顾客有一次猜奖机会，一位顾客猜中得奖的可能性是多少？ 3、盒子中有红色球5个，蓝色球12个，取一次，取出红色球的可能性大还是蓝色球？二、新授 1、在上题中，我们知道取出蓝色球的可能性大，到底取出蓝色球的可能性是多大呢？这就是我们今天要研究的问题。出示击鼓传花的图画。请学生说一说，击鼓传花的游戏规则。小结：每一个人得到花的可能性相等，每个人得到花的可能性都是。 2、画图转化，直观感受（1）每一个人得花的可能性是，男生得花的可能性是多少呢？生发表意见，全班交流。........ 我们可以画图来看看同学们的想法是否正确。画图........ 生：从图中可以发现，每一个人得花的可能性是，两个人就是，......9个人就是，女生的可能性也是。师：如果18个学生中，男生10人，女生8人，男生女生得到花的可能性又各是多少呢？...... （2）练习本班实际，同桌同学相互说一说，男生女生得到花的可能性分别是多少？（3）解决复习中的问题拿到蓝色球的可能性是...... 3、小结 4、巩固练习完成p.101.做一做。（2）题讲评中须注意，指针停在每个小区域的可能性相等，因此次数也大体上相等，红色区域占了这样的3个，因此停在红色区域的次数就是一个区域的3倍。要让学生感受到这只是一可能性，出现的次数不是绝对的。三、练习完成练习二十一 1、第一题，准备9张1到9的扑克牌，通过游戏来完成。 2、第二题，学生在独立设计，全班交流。 3、第三题，独立思考，小组合作，全班交流。

数学建模_四大模型总结

四类基本模型 1 优化模型 1.1 数学规划模型线性规划、整数线性规划、非线性规划、多目标规划、动态规划。 1.2 微分方程组模型阻滞增长模型、SARS 传播模型。 1.3 图论与网络优化问题最短路径问题、网络最大流问题、最小费用最大流问题、最小生成树问题(MST)、旅行商问题(TSP)、图的着色问题。 1.4 概率模型决策模型、随机存储模型、随机人口模型、报童问题、Markov 链模型。 1.5 组合优化经典问题 ● 多维背包问题(MKP) 背包问题：n 个物品，对物品i ，体积为i w ，背包容量为W 。如何将尽可能多的物品装入背包。多维背包问题：n 个物品，对物品i ，价值为i p ，体积为i w ，背包容量为W 。如何选取物品装入背包，是背包中物品的总价值最大。多维背包问题在实际中的应用有：资源分配、货物装载和存储分配等问题。该问题属于NP 难问题。 ● 二维指派问题(QAP) 工作指派问题：n 个工作可以由n 个工人分别完成。工人i 完成工作j 的时间为ij d 。如何安排使总工作时间最小。二维指派问题（常以机器布局问题为例）：n 台机器要布置在n 个地方，机器i 与k 之间的物流量为ik f ，位置j 与l 之间的距离为jl d ，如何布置使费用最小。二维指派问题在实际中的应用有：校园建筑物的布局、医院科室的安排、成组技术中加工中心的组成问题等。 ● 旅行商问题(TSP) 旅行商问题：有n 个城市，城市i 与j 之间的距离为ij d ，找一条经过n 个城市的巡回（每个城市经过且只经过一次，最后回到出发点），使得总路程最小。 ● 车辆路径问题(VRP) 车辆路径问题（也称车辆计划）：已知n 个客户的位置坐标和货物需求，在

游戏的公平性

《游戏的公平性》教学设计教学内容：人教版《义务教育课程标准实验教科书数学》五年级上册第五单元“统计与可能性”第一课时。教学目标：知识与技能通过具体的活动让学生体验事件发生的等可能性，会判断游戏规则的公平性。学会用简单的分数几分之一表示事件发生的可能性。过程与方法让学生亲身经历比赛公平性的探究过程，体验试验、分析的学习方法，培养学生的观察分析、逻辑推理能力和合作学习的意识。情感态度与价值观 1、在学习探究活动中，感受探究数学活动的乐趣，体验游戏与比赛的公平原则，体验数学与生活间的密切联系，感受数学知识的实用价值，激发学习数学的乐趣。 2、潜移默化中培养学生公平、公正意识，促使学生正直人格的形成。教学重、难点：体验事件发生的等可能性和游戏规则的公平性，会用分数几分之一表示事件发生的可能性。教、学具准备：课件、硬币、骰子、自制圆盘、彩笔、实验记录表等。教学流程：

一、课前谈话同学们,人常说,我们每个人的人生就是一个舞台。是啊，你们每天都站在舞台上，展示你们的精彩人生。今天，这个课堂就是你们的舞台，老师是导演，你们每个人都是这个舞台的主角，后面的老师和评委就是我们的观众。你们是想成为这节课出镜和台词最多的上课明星？还是坐在下面默默无闻的群众演员？相信你们自主学习、发言的能力会更让老师佩服。二、创设情境，导入新课 1、同学们，刚才我们听的是什么歌曲呀？（2010年南非世界杯足球赛主题曲） 2、我们都知道，在足球比赛中，先开球的那个队有优势，那你们知道世界杯足球赛中裁判是用什么方法来决定谁先开球的吗？（学生大胆猜测） 3、出示课件：同学们请看，在正规比赛中裁判到底是什么方法来决定谁先开球的？（抛硬币）那你们觉得用抛硬币的方式决定谁先开球，这样做公平吗？为什么？ 4、好，刚刚同学们说到抛一个硬币有可能会出现正面，也有可能会出现反面，这是一件不确定的事情。那么用抛硬币的方式来决定谁先开球，到底公不公平呢，今天我们就一起来研究一下。（板书课题：游戏的公平性）三、合作探究，学习新知 1、师：大家请看，现在进行比赛的是红队和黄队。红队选的是哪个面？（正面）黄队选的是哪个面呢？（反面）如果这时是正面朝上，哪个队先开球？（红队）想一想，如果再进行一场比赛，仍用抛硬币的方法来决定，又该哪个队开球呢？（有可能是黄队，也可能又是红队）

《游戏公平性》教案

《游戏公平性》教案教学内容：人教版数学五年级上册第六单元第一课时游戏公平性教材P99—100 教学目标： 1、体验事件发生的等可能性以及游戏规则的公平性。 2、能按照指定的要求设计简单的游戏方案。 3、通过多种活动感受可能性在生活中的作用，培养游戏公平、概率的意识。 4、会求简单事件发生的可能性。教学重点：感受等可能性的意义，能求简单事件的可能性。教学难点：能根据可能性的大小设计合理的游戏规则，解决实际问题。教学准备：记录表格、乒乓球、骰子、课件教学过程：一、游戏导入 1、今天我们一起玩摸球游戏：摸到黄球为男生胜，摸到白球为女生胜。（盒中全为黄球）我们来看看到底是男生的手气好，还是暗藏玄机。（数盒中的球，引导学生说出“游戏不公平”） 2、今天我们就一起来探讨游戏公平性的问题。（板书：游戏公平性）【设计意图】：通过学生较熟悉的摸球游戏，既能激发学生的兴趣，活跃课堂，又能引导学生注意游戏公平性的问题。二、探究新知 1、盒子里全是黄球，女生可能摸到白球吗？（板书：不可能）男生能摸到黄球吗？（板书：一定能）你可以用一个数字来表示摸到白球的可能性吗？（板书：0）可以用哪个数字来表示摸到黄球的可能性呢？（板书：1）

2、怎么设计才能使这个摸球游戏公平？（使摸到黄球和白球的可能性相等）【设计意图】：学会用简单的数字表示“不可能”和“一定能”，初步体验事件发生的等可能性以及游戏的公平性。 3、掷硬币（1）出示主题图：你认为抛硬币决定谁先开球公平吗？为什么？请同学们拿出材料袋中的硬币，我们验证一下结果会不会是这样。实验要求：每人投掷硬币6次，并将正面朝上的次数和背面朝上的次数记录在表1；表1 四人为一个小组，合作统计正面朝上的次数和背面朝上的次数，记录在表2。表2 （2）各小组汇报实验结果，教师在展示台上统计各组数据。请同学们仔细观察实验结果，说说你有什么发现？如果实验次数更多，结果又会是怎样的？让我们看看历史上一些数学家们的实验数据。历史上一些数学家的实验数据表和我们的实验数据进行比较，你有什么发现？随着实验次数的增多，出现正面朝上和背面朝上的可能性就会越来越接近。（3）用抛硬币的方法决定谁先开球公平吗？为什么？出现正面朝上和背面朝上的可能性相等。