大学物理-一维定态薛定谔方程的应用

一维定态薛定谔方程

的应用

授课人：

物理科学与技术学院

势 阱

日常生活中的各种井（阱）

物理学中研究微观粒子运动状态时常用的模型，因其势能函数曲线的形状如同井而得名

水井

窨井

陷阱

U

x

O

a

U

()

U x x

O

a

∞

∞00()0 , x a

U x x x a

≤≤?=?∞<>?

这是一个理想化的物理模型， 应用定态薛定谔方程求解波函数， 有利于进一步理解在微观系统中 能量量子化和概率密度等概念

这样的势能函数称为 一维无限深势阱

建立定态薛定谔方程并求解 假设微观粒子质量为 ，由 m 22

2d

()()()2d U x x E x m x ψψ??-+=????

x a U x 0()0≤≤=阱内( ) ： 22

2d ()()2d x E x m x

ψψ-=

x x a U x 0 , ()<>→∞

阱外( )： 令： 2

22mE k =得通解： ()sin()

x A kx ψ?=+ 微观粒子的能量不可能达到

无穷大，所以粒子不可能在阱外出现，或者说粒子在阱外出现的概率为零。

()0

x ψ≡222

d 0d k x

ψψ+=

利用标准条件确定 和 k ?因 在整个 轴上必须连续 x ()x ψsin() 0()0 0 0

A kx x a

x x x ?ψ+≤≤?=?

<>?，(0)sin 0

A ψ?== a A ka ()sin()0

ψ?=+=求归一化的波函数 一维无限深势阱中 微观粒子的波函数

2220π()d sin d a n x x A x x

a ψ+∞-∞=??221

A a =?= 2A a

= n a x x a x a

x x a

π2sin

0()00 , ψ?

≤≤?=??<>?()

π

()sin 1,2,3n x A x n a

ψ==??， 0?=π

n k a

=()1,2,3n =???，

微观粒子在势阱中的能量只能取一系列不连续的分立值，即能量

是量子化的。整数

称为量子数 确定能量的可能取值

n 由

及 2

22mE k =πk a

n =得 ()222

1,2,3,8n h

ma n E n ==??? 1n =时， 称基态能量 2128h E ma =22

2

8n h n E ma

=O

4

n =3

n =2n =1n =基态

2228n h n E ma

=O

4

n =3

n =2n =1

n =基态

能级间隔： ()212Δ218n n n h E E E n ma +=-=+2

Δ1n E α∝表明： 当 时（宏观尺度）， a →∞Δ0

n E →能级消失、能量连续分布，回归经典情况。

当

时 ，相对能级间隔 n →∞2Δ210n n E n E n

+=→同样可视为连续分

布，回归经典

概率密度的分布 由归一化的定态波函数

2π

sin 0()0 0 ,n x x a x a a

x x a

ψ?≤≤?

=??<>?

概率密度函数

22π

sin

0=0 0 , n x x a a a x x a

?≤≤???<>?2

()()

n n p x x ψ=波函数

()

x ψ概率密度

2

()()

p x x ψ=x

ψO x

O

ψx

O

ψ

a x

O

p

x

O

p

x

O

p

a 2

a 2

a

U x O

a 0

U 0(0)

()0(0,)

U x a U x x x a ≤≤?=?

<>?该势能函数称作一维矩形势垒

假设能量为 的粒子从左侧射来 E 按经典观点，若 ，粒子可以 0E U >通过，若 ，粒子不能通过。

0E U < 按量子力学观点，无论 或

0E U >粒子都有可能通过。

0E U

Ⅰ Ⅱ Ⅲ

若质量为

的粒子在某力场中运动时，其势能函数为

m

U

x

O

a

U E

Ⅰ Ⅱ Ⅲ

0 , 0x x a U <>=当时，2

2

2d ()()2d x E x m x

-= ψψ令 21

2

2mE

k =

()02

22

2m U E k -=令 22

02d ()()2d U x E x m x ψψ??-+=????

0 x a <<当时，0()U x U E

=>2

2

2d ()()()2d U x x E x m x ψψ??-+=????

由一维定态薛定谔方程

可得

2

2

12

d ()()0d x k x x += ψψ(0 , )x x a <>求解可得波函数的通解为

( 0 )x a <<2

2

22

d ()()0d x k x x

= -ψψ112211i i 1122i i 33e e ( 0 )()e e (0)

e e

( )k x k x

k x k x

k x k x

A B x x A B x a A B x a ψ---?+?含时的一维定态波函数 i

(,)()e

Et

x t x ψψ-= U x

O

a

U E

Ⅰ Ⅱ Ⅲ

沿 x 轴正向传播的波 沿 x 轴负向传播的波，因Ⅲ区无反向波，故

30

B =

U x

O

a

U 11221i i 1122i 3e e ( 0 )()e e (0)

e ( )k x k x k x k x

k x A B x x A B x a A x a ψ--?+?i

(,)()e

Et

x t x ψψ-= 人们将微观粒子能够穿透比其总能量更高的

势垒的现象形象地称为隧道效应。

由于 ，这说明当粒子的总能量

时，粒子仍然有一定的概率穿透垒到达III 区。 30A ≠0E U <

就好像在势垒中挖 了一些隧道，微观粒子可以从隧道中穿过势垒

波函数的通解为

()0002161exp 2E E a m U E U U ????≈--

- ? ???

??数值计算表明： 对 、 和 的变化非常敏感， T a 0()U E -m 而且随着 、 、和 的增大，按指数规律迅速减小。 a 0

U m 透射系数 ： 透射波的强度 与入射波的强度 之比

T 23A 2

1A 2

321

T A

A

=对于能量 不大 的低速粒子 E 粒子

粒子能量

势垒高度

势垒宽度

透射系数 电子 1eV 2eV 0.51

0.024

质子

1eV

2eV

10

210

m -?10

510

m

-?10210m -?38

310-?

隧道效应只发生在微观领域，是微观粒子具有波动性的体现。

在宏观领域观察不到。 微观粒子的隧道效应已被许多实验所证实。

1981年，德国的宾尼希和瑞士 的罗雷尔利用电子的隧道效应，

发明了扫描隧道显微镜，简称STM 。两人因此与发明电子显微镜的卢斯卡一起分享了1986年诺贝尔物理学奖。

扫描隧道显微镜（STM ）

罗雷尔 H Rohler 宾尼希 G Binning

扫描隧道显微镜（STM ）

因为隧道电流对探

针与样品表面的距离十分敏感，若控制隧道电流 I T 保持不变，则针尖空间坐标的变化反映了样品表面原子阵列的几何结构及起伏情况。

电子云

a

自动测控系统

数据处理及显示系统

真空

b

U STM 能够显示被观测物表面原子排列的三维图像，横向（ x 、y ）分辨率已达到0.1nm ，纵向（z ）分辨率达到0.01nm 。

x

y

z

STM使人类能够实时地观察单个原子

在物质表面的排列状态，并可对单个

原子和分子进行移动和操纵，在表面

科学、材料科学、生命科学等领域的

研究中有着广泛的应用。

物理学家正在调整一台STM

1990年美国IBM公司的研究人员首先运用

STM技术在金属镍表面移动35个氙原子，使

它们排列成IBM字样，成功地实现了原子级

的字母书写。

一维谐振子

无论在经典领域，还是在微观领域，谐振子都是都是一个重要的物理模型

弹簧振子

x

O x

晶体中原子的振动

质量为 的粒子在一维空间中运动，如果其势能函数可表示为

m 222

11()22

U x kx m x

ω==k m ω=式中 称为角频率。

这称为一维谐振子。22

22

2

d 12d 2

m x E m x ψωψψ-+=谐振子的定态薛定谔方程 令： 、 、 ，则： ξαx =m αω=2λE ω=22d ()0

d ψ

λξψξ

+-=因求解过程比较复杂，下面仅分析求解的结果

一维谐振子定态薛定谔方程的求解结果

定态波函数

2()2

()e

() (0,1,2,)

x n n n x A H x n αψα-==()()n n H x H αξ=式中 是厄米多项式，

是量子数 n 谐振子的能量

11 (0,1,2,)

22n E n n h n ων

???

?+=+= ? ????

?=

谐振子的能量——能量量子化

1122n E n n h ων

???

?+=+ ? ????

?=能级间隔 1Δn n E E E h ν+=-=对求解结果的分析

0,1,2,

n

=量子数 0

n =1n =3n =2n =O

x

()

U x 12

h ν3

2h ν72

h ν52

h ν谐振子的能级图

与普朗克的能量子假设一致