《平行线的性质(4)》案例评析

案例评析

案例名称：人教版七年级下册第五章《平行线的性质(4)》

授课教师：孙娜(北京理工大学附属中学中学高级)

评析教师：刘忠新(北京海淀区教师进修学校中学高级)

白芳(北大附中中学高级)

【案例评析】

□白：今天结合北京市理工附中孙娜老师的录像课《平行线的性质》来探讨图形的性质相关教学策略．孙老师的这节课是人教版教科书七年级下册第五章《平行线的性质》的内容．孙老师共设计了四课时，第一课时平行线的性质；第二课时平行线的性质与识别的简单应用；第三课时，运用平行线的性质解决有关角的问题的基本方法；本课是第四课时，承接上一节课的一道例题展开变式研究．

△刘：本课的整体设计立意新、起点高、结构严谨、层次分明；教师教态自然、语言清新、层次清楚；教师关注学生思维能力的发展，关注几何本质，关注知识形成过程，是一节比较精彩的有关图形性质的探究课．通过本节课的学习，学生尝试了用探究问题的方法，体会图形位置变化对角的数量关系的影响，将实验几何与论证几何相结合，进一步培养学生识别图形和构造图形的能力，为后面学生学习几何做好准备．

下面从四个方面加以说明:

（一）在“图形的性质”教学中，重视性质的得出方法

探索并掌握基本图形的基本性质与判定，掌握基本的证明方法和基本作图技能，是学生在初中阶段图形与几何课程领域的主要学习目标之一．《课程标准（2011版）》在“图形的性质”中，比较多地使用了“探索并证明……”的表述.在一定的情境中，引导学生借助已有的知识和经验，借助图形直观，通过操作、度量，运用合情推理或图形运动等方法，探索发现图形可能具有的形状，这与给出“已知、求证、证明”的方式研究图形形状是有区别的.两者相比，前者更加有利以学生在在获取有关知识的过程中，不断提高研究几何图形性质的能力，发展创新意识和创新能力．

探究的方法是在基于探索过程的基础之上，学生在探索图形性质的过程中，发展合情推理，进一步学习有条理的思考与表达．通过演绎推理加以证明的过程，说明相关知识的正确性．

白：孙老师的引入简洁但不简单．在这一环节，老师引导学生回顾探究几何图形性质的基本步骤．从学生的回答情况看，孙老师在之前的教学中，非常重视图形性质的得出方法，学生是通过具体的实践活动，经过探索得到了平行线的基

本性质．之前的经历为本节课对图形性质的深入思考和进一步探究作了充分的铺垫，保证了本节课的教学顺利进行．

△刘：得出性质的方法方面，师生一起为我们展示了一个完整的探究过程．由此看出孙老师之前的教学是非常成功的，学生不仅很好的掌握了平行线的基本性质，并且能够运用探究平行线基本性质的方法，借助图形计算器这一工具，以小组合作探究的方式得出与平行线有关的其他的性质．

□白：孙老师确实非常重视图形性质的得出方法,而且注重对过程的总结和方法的提升．

在得到图形的性质之后，孙老师并不急于进入下一环节，而是停下来和学生再一次回顾探究的整个过程，梳理得到图形性质的方法．孙老师的教学设计更加有利于学生在获取有关知识的过程中，不断提高研究几何图形性质的能力．初步学会在具体的情境中从数学的角度发现问题和提出问题，并综合运用数学知识和方法的解决简单的实际问题，增强应用意识，提高实践能力.

△刘：（二）在“图形的性质”教学中，重视对性质的认识

1、理解、掌握图形的性质

《课程标准（2011版）》关于图形的认识的要求包括两个方面，一是对图形自身特征的认识；二是对图形各元素之间、图形与图形之间的认识，主要包括大小、位置、形状之间关系的认识。图形的性质是对图形各元素之间、图形与图形之间的认识.为了更好地研究这些关系，就需要给出一些定义和基本事实，然后从定义和基本事实出发，去探索研究图形的其他性质./

□白：我们看看孙老师是如何处理的．

本节课是承接上一节课的一道例题展开变式研究的.

关系？

解决此题的起点是利用平行线的基本性质来沟通三个角之间的联系，难点是题目中没有完整的平行线性质的基本图形（即两条平行线被第三直线所截）．因此解决这道题的关键是构造两条平行线被第三条直线所截的基本图形，从而创造条件利用平行线的性质推导出角之间的数量关系．对于初学几何的学生，将不完整的图形通过添加辅助线，构造出平行线性质定理的基本图形是一个不小的挑战．在上一节课，已经掌握了利用平行线解决与角有关问题的基本方法，在引例的分析中，孙老师引导学生复习了构造基本图形的两个思路．1、已知两条平行线但没有截线，可以补画截线；2、已知两条相交直线，把其中的一条直线视为截线，补画其中另一条直线的平行线．从图形的基本性质出发解释添加辅助线的

由来，使学生更易于接受．

△刘：孙老师的这一设计有两个益处．一方面，有益于学生对解决问题的核心方法的落实，为解决本课后续的变式习题提供了方法，为后续教学分散了难点．另一方面，引导学生学习从图形的各元素之间存在的联系认识图形，为利用平行线的性质解决问题提供条件，也为后续解决更复杂的图形问题作方法上的准备．

2、认识图形的性质的同时，发展学生的合情推理能力

《课程标准(2011版)》中明确指出：“推理能力的发展应贯穿于整个数学学习过程中”．课程标准中强调通过多样化的活动来培养学生的推理能力．其中，第一学段要求，在观察、操作等活动中，能提出一些简单的猜想；第二学段要求，在观察、实验、猜想、验证的活动中，发展合情推理；第三学段要求在多种形式的数学活动中，发展合情推理与演绎推理能力．因此，初中阶段要求学生不仅学习进行合情推理的基本方法，如归纳、类比等；还需要对探索图形过程中各种操作的合理性，由探索得到的结论的正确性给出证明，并掌握基本的证明方法；最后能够准确地使用正确、规范、简洁的数学语言与他人交流证明的过程．

□白：反思传统教学，对学生推理能力的培养往往被认为就是加强逻辑证明的训练，主要的形式就是通过习题演练以掌握更多的证明技巧．显然这样的认识是有局限性的．教学中对于发展学生的合情推理关注较少，如命题是怎样获得的，怎样在已有命题的基础上获得进一步的证明，及通过反思进一步理解命题的数学内涵．

孙老师在教学设计中不仅关注如何解决问题，同时关注如何提出问题．这一设计有效提升了学生的合情推理能力，特别是这节课的最后由已知中“两直线平行”引申出“两直线相交”，引领学生突破思维惯性，并且这个引申前后关联，很有价值．

△刘: 发展学生的逻辑推理论证能力应当在“积累了一定的活动经验与掌握了一定的图形性质基础上”进行．逻辑论证不能被看作是一个单独存在的活动，它主要是对学生已有的数学逻辑推理活动的逻辑化表述．因此，教学时应当首先让学生经历丰富的推理活动（如借助各种活动探索图形的基本性质等），关注推理过程中存在的“条件与结论之间逻辑关系”的实质，而不仅仅是这种关系的表述．

□白：孙老师在本课的教学中，没有局限在具体的命题证明细节和证明技巧上.首先在引例的基础上引导学生改变图形中点O的位置，探究图中角度之间的关系；在此基础上又改变了平行的条件为相交；最后增加了角的个数问题．老师引导学生对命题进行反思，关注命题之间的实质性联系，使学生对图形的性质的认识及证明方法的理解更加的全面．本课重点落在了利用图形计算器帮助学生探究上，在探究的同时，如能让学生进一步体会平行线的性质在解决有关

角之间的数量关系中发挥的作用就更好了。如，在最后探究AB 、CD 不平行时，如果能选择其中一种位置，让学生进行分析、证明，这样可以更好的发展学生的推理能力．

△刘：（三）在“图形的性质”教学中，强调图形的画法

本节课的学习高度依赖于学生的画图的速度和准确程度，但是初一学生学习几何的时间不久，积累的画图经验，和实际的画图能力都不能满足这节课的需求．从初始的引例到最后的拓展共涉及了14个图形，从静态图形到动态图形，从已知两直线平行，到两直线相交，从研究三个角之间的数量关系到五个角之间的关系，思维跨度大，信息容量大．

所有的探究都少不了具体的图形，让学生动手画图，是积累直观体验，形成几何直观，探索发现几何结论，对结论进行说明、解释或论证，为由实验几何到论证几何的过渡等所有教学活动的必要环节．可是这么多的图形，学生如何在有限的时间完成画图？点怎样动起来？）孙老师以图形计算器为学具恰当地解决了问题．

1． 充分发挥图形计算器的优势，动态体验图形的形成过程

我们看看孙老师是如何处理的．

孙老师的设计起点很高，如视频中让初一的学生“在AB ∥CD 不变的情况下，改变点O 的位置，探究三个角之间的数量关系”．一般地，让初一的学生从一个特殊位置关系下的图形，探究一般位置下的数量关系，是难度很大的．但孙老师恰当地运用了图形计算器，很好的克服了手工画图的弊端，充分发挥图形计算器的优势，让学生直观的体会到改变点O 的位置引发∠B 、∠O 、∠C 之间的数量关系的变化，使学生有机会进一步发现隐含的图形规律．同时，孙老师也注意到，不能完全让机器替代学生画图，在运用图形计算器探究的基础上，让学生亲手把图画到黑板上．

□白：课上，“6种不同情况的图”给得略微早了点，这里建议老师可以让学生自主感知，让学生经过讨论有所发现之后再归类，而不是“让孩子帮老师归归类”．同时在描述相对位置的几何语言上也可以再准确一些．本课在初中整体教学中属于几何的起始阶段，需引导学生学会用几何语言描述图形问题．如点在

D

直线上是指直线经过点，并非这里的上面，点与直线的位置是相对的，不适合用上下左右来描述．/

△刘：孙老师恰当地以图形计算器为学习工具，完成位置变化对角度之间的数量关系的影响的探究，积累感性经验的同时，有效地降低了学习的难度．由于图形计算器具有易操作，交互性好，直观性强的特点，使得所有的学生都有机会经历图形的生成过程，对一组基本图形关系有了更全面、更深刻的认识．使得更多的学生掌握了原本少数学生可以理解的图形性质，提高了学习的效率和质量．/ △刘：2．通过画图，有助于学生理解产生图形性质的本质原因. 通过画图，学生对图形的认识更直接，更准

确．如上段视频中，由于直觉上图形相象，学生开始误认为，点O 在AB 、CD 同侧时，只有一种的位置关系，虽

然学生的语言不十分准确，但是在图形计算器的帮助下，学生意识到应该是两种不同的位置关系，所以角之间的数量关系也不同．

这里，如果教师能够进一步指出为什么是两种不同的位置关系，那么学生对图形之间的位置关系决定了角度之间的数量关系会更深刻些．实质上，点A 、B 与直线OC 的相对位置不同，决定了∠B 与∠C 的大小关系不同．

□白：3．从不同角度体验图形的生成过程，提升学生的识图能力．

从不同角度体验图形的生成过程，有利于学生建立图形之间的联系并掌握图形之间转化的方法，提升学生的识图能力．

在探究图形的形成过程中，孙老师并没有局限在改变点Ｏ的位置变化对角度之间的数量关系的影响，而是在此基础上引导学生探究位置关系对数量关系的影响．

□白：学生在变化后的图形中研究三个角的数量关系，既有引例的解决问题的方法的原认知作为基础，又要面临图形结构变化的新的挑战，学生经过独立思考、合作交流不难发现这些图形最终都可以通过上面两种构造基本图形的方法转化为“两平行线被第三条直线所截”的基本图形．这一设计，让学生体会图形变化中不变关系的同时学会一种探究几何图形问题的方法，对图形关系有了更加全面的认识，对平行线的性质的作用又上了一个高度，为学生后续学习图形性质积累了经验，学生亲历探究、思考、合作、交流，不断地肢解图形将其转化为基本图形，在难度渐渐攀升中，不断地提高了学生的画图和构图能力．

△刘：（四）在“图形的性质”教学中，落实图形中几何量的计算

在图形的性质教学中，其研究对象是平面图形的形状、大小、位置；其中线段、角是基本图形元素，所以探究线段之间的数量关系、位置关系、角之间的数量关系，及落实线段或角等基本几何量的计算自然成为基本教学任务之一．

□白：平行是平面内两条直线之间的特殊位置关系，学生要通过学习理解直线之间的相对位置关系影响了角之间的大小关系；反之，角之间的大小关系也反应了直线之间的位置关系．要求学生能够对平行线的关系与对应的角的数量关系进行相互转化．本节课的知识目标是进一步理解平行线的性质，会用其分析解决有关角的问题．从孙老师的教学设计看，从引例到探究1、探究2及拓展延伸都始终围绕这一主线，通过探究位置关系的改变对角的数量关系的改变的影响，加深了学生对角之间的数量关系的理解． 从引例一个具有相对固定位置关系的图形入手，

利用平行线的性质的移角

的作用，发现三个角之间的特殊数量关系．进而借助图

形计算器，移动点的位置，

发现由于点的位置发生变化，角之间的数量关系有所

变化，但平行线移角的功能性作用没有变．

到问题1．中在AB ∥CD 不变的情况下，改变点O 的位置，继续探究∠B 、∠O 、∠C 之间的数量关系？

△刘：在探究1的基础上，又提出更高的要求．改变平行的条件，继续探究角之间的数量关系．

探究问题2，将条件 AB ∥CD 改为 AB 、CD 相交于点E ，探究∠B 、∠BEC 、∠C 、∠O 之间的数量关系．

拓展延伸：如图，AB ∥CD ，探究∠B 、∠O 1、∠O 2、∠O 3 、∠C 之间的数量关系．

在本节课探究的基础上给学生留下思考的空间和方向，引导他们进一步深入思考．由已经解决的三个角的数量关系，增加为探究五个角的数量关系．虽然，孙老师的整节课，没有一道几何量的计算题，但是可以看出整节课主线清晰，层层深入，始终围绕着不同位置关系下的角之间的数量关系，很好地落实了几何量的计算问题．

今天的课就点评到这，谢谢大家！

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