中考总复习讲义三角形的基本性质+特殊三角形

21

D C

B A

D C

B

A

学生： 科目： 数 学 教师： 刘美玲

⒈ 三角形的定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形.

三角形有三条边，三个内角，三个顶点.组成三角形的线段叫做三角形的边;相邻两边所组成的角叫做三角形的内角; 相邻两边的公共端点是三角形的顶点， 三角形ABC 用符号表示为△ABC ，三角形ABC 的边AB 可用边AB 所对的角C 的小写字母c 表示，AC 可用b 表示，BC 可用a 表示. 注意：（1）三条线段要不在同一直线上，且首尾顺次相接；

（2）三角形是一个封闭的图形；

（3）△ABC 是三角形ABC 的符号标记，单独的△没有意义．

⒉ 三角形的分类：

(1)按边分类： (2)按角分类：

⒊ 三角形的主要线段的定义： （1）三角形的中线

三角形中，连结一个顶点和它对边中点的线段． 表示法：1.AD 是△ABC 的BC 上的中线.

2.BD=DC=

1

2

BC. 注意：①三角形的中线是线段；

②三角形三条中线全在三角形的内部； ③三角形三条中线交于三角形内部一点； ④中线把三角形分成两个面积相等的三角形．

（2）三角形的角平分线

三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角顶点与交点之间的线段 表示法：1.AD 是△ABC 的∠BAC 的平分线. 2.∠1=∠2=

1

2

∠BAC. 注意：①三角形的角平分线是线段；

②三角形三条角平分线全在三角形的内部； ③三角形三条角平分线交于三角形内部一点； ④用量角器画三角形的角平分线．

课 题

中考总复习 : 三角形基本性质、 特殊三角形

教学内容

三角形 等腰三角形 不等边三角形 底边和腰不相等的等腰三角形

等边三角形

三角形

直角三象形 斜三角形 锐角三角形 钝角三角形 _C

_B _A

D C

B

A

（3）三角形的高

从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段．

表示法：1.AD是△ABC的BC上的高线.

2.AD⊥BC于D.

3.∠ADB=∠ADC=90°.

注意：①三角形的高是线段；

②锐角三角形三条高全在三角形的内部，直角三角形有两条高是边，钝角三角形有两条高在形外；

③三角形三条高所在直线交于一点．

4. 在画三角形的三条角平分线，三条中线，三条高时应注意：

(1)如图3，三角形三条角平分线交于一点，交点都在三角形内部.

(2)如图4，三角形的三条中线交点一点，交点都在三角形内部.

如图5,6,7，三角形的三条高交于一点，锐角三角形的三条高的交点在三角形内部，钝角三角形的三条高的交点在三角形的外部，直角三角形的三条高的交点在直角三角形直角顶上.

5.三角形的三边关系

三角形的任意两边之和大于第三边;任意两边之差小于第三边.

注意：（1）三边关系的依据是：两点之间线段是短；

（2）围成三角形的条件是任意两边之和大于第三边．

6. 三角形的角与角之间的关系：

(1)三角形三个内角的和等于180 ;

图3

图4

图5

图6

图7

(2)三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和； (3)三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角. (4)直角三角形的两个锐角互余. 三角形的内角和定理

定理：三角形的内角和等于180°． 推论：直角三角形的两个锐角互余。

三角形的外角的定义

三角形一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角. 注意：每个顶点处都有两个外角，但这两个外角是对顶角. 所以说一个三角形有六个外角，但我们每个顶点处

只选一个外角，这样三角形的外角就只有三个了. 三角形外角的性质

（1）三角形的外角和等于360°（三个外角的和）。

（2）三角形的一个外角等于它不相邻的两个内角之和． （3）三角形的一个角大于与它不相邻的任何一个内角．

7．三角形的稳定性：

三角形的三边长确定，则三角形的形状就唯一确定，这叫做三角形的稳定性． 注意：（1）三角形具有稳定性；

（2）四边形没有稳定性.

适当添加辅助线，寻找基本图形 (1)基本图形一，如图8，在?ABC 中，AB=AC ，B,A,D 成一条直线，则∠DAC=2∠B=2∠C 或∠B=∠C=

2

1

∠DAC. (2)基本图形二，如图9，如果CO 是∠AOB 的角平分线，DE ∥OB 交OA,OC 于D,E ， 那么?DOE 是等腰三角形，DO=DE.当几何问题的条件和结论中，或在推理过程中出 现有角平分线，平行线，等腰三角形三个条件中的两个时，就应找出这个基本图形， 并立即推证出第三个作为结论.即：角平分线+平行线→等腰三角形.

基本图形三，如图10，如果BD 是∠ABC 的角平分线，M 是AB 上一点，MN ⊥BD ，且与BP,BC 相交于P,N.那么BM=BN ，即?BMN 是等腰三角形，且MP=NP ，即：角平分线+垂线→等腰三角形.

当几何证题中出现角平分线和向角平分线所作垂线时，就应找出这个基本图形，如等腰三角形不完整就应将基本图形补完整，如图11，图12.

图8

图9

8.三角形知识扩充:

1．直角三角形中各元素间的关系：

如图，在△ABC 中，C ＝90°，AB ＝c ，AC ＝b ，BC ＝a 。 （1）三边之间的关系：a 2＋b 2＝c 2。（勾股定理） （2）锐角之间的关系：A ＋B ＝90°； （3）边角之间的关系：（锐角三角函数定义）

sin A ＝cos B ＝

c a ，cos A ＝sin B ＝c b ，tan A ＝b

a

。 2．斜三角形中各元素间的关系：

如图6-29，在△ABC 中，A 、B 、C 为其内角，a 、b 、c 分别表示A 、B 、C 的对边。 （1）三角形内角和：A ＋B ＋C ＝π。

（2）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等

R C

c

B b A a 2sin sin sin ===。 （R 为外接圆半径）

（3）余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积

的两倍

a 2＝

b 2＋

c 2－2bc cos A ；b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ；c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C 。

9．三角形的面积公式：

（1）

S △＝21ah a

＝21bh b

＝21

ch c

（h a

、h b

、h c

分别表示a 、b 、c 上的高）；

（2）S △＝21ab sin C ＝21bc sin A ＝2

1

ac sin B ；

（3）S △＝))()((c s b s a s s ---；??

?

??++=)(21c b a s ；(海伦公式)

（4）S

△＝)sin(2sin sin 2C B C B a +＝)sin(2sin sin 2A C A C b +＝)

sin(2sin sin 2B A B

A c +；

公式(4)可由公式（2）通过正玄定理 和 公式“ Sin(B+C)=SinA ”推出,学生可以自己推导。

公式（1）和（2）学生必须掌握，公式（3）和（4）建议掌握。

10.特殊三角形的性质和判定：

一、等腰三角形

1. 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形；三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形。

图11

2. 等腰三角形的性质：

（1）等腰三角形的两个底角相等；

（2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。

3. 等腰三角形的判定：

如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。

4. 等边三角形的性质：

等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°。

5. 等边三角形的判定：

（1）三个角都相等的三角形是等边三角形；

（2）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。

6. 含30°角的直角三角形的性质：

在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

二、直角三角形

1. 认识直角三角形。学会用符号和字母表示直角三角形。

按照角的度数对三角形进行分类：如果三角形中有一个角是直角，那么这个三角形叫直角三角形。通常用符号“Rt△”表示“直角三角形”，其中直角所对的边称为直角三角形的斜边，构成直角的两边称为直角边。如果△ABC是直角三角形，习惯于把以C为顶点的角当成直角。用三角A、B、C对应的小写字母a、b、c分别表示三个角的对边。

如果AB＝AC且∠A＝90°，显然这个三角形既是等腰三角形，又是直角三角形，我们称之为等腰直角三角形。

2. 掌握“直角三角形两个锐角互余”的性质。会运用这一性质进行直角三角形中的角度计算以及简单说理。

3. 会用“两个锐角互余的三角形是直角三角形”这个判定方法判定直角三角形。

4. 掌握“直角三角形斜边上中线等于斜边的一半”性质。能通过操作探索出这一性质并能灵活应用。

5在直角三角形中如果一个锐角是30°，则它所对的直角边等于斜边的一半”。

难点：

在直角三角形中如何正确添加辅助线通常有两种辅助线：斜边上的高线和斜边上的中线。

【例题精讲】

等腰三角形

双基训练

**1.已知等腰三角形ABC的底边BC=8，|AC-BC|=3，则腰AC的长为。

**二.若等腰三角形的周长为12，腰长为x，则腰长x的取值范围是。

**三.已知等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分为15和6两部分，则腰长与底边的长分别为。

**四.若等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则这条高与底边的夹角为。

**五.在ΔABC中，AB=AC，AB的中垂线与AC所在直线相交所得的锐角为500，则底角B的大小为。**六.已知两根木棒的长分别是8cm、10cm，要选择第三根木棒将它们钉成一个三角形，那么第三根木棒长x的范围是；如果以5cm为等腰三角形的一边，另一边为10cm，则它的周长应为。**7.图14-32是由两个全等的有一个角为300的直角三角形拼成的，其中，两条长直角边在同一直线上，则图中等腰三角形的个数自变量（）。

（A）4个（B）3个（C）2个（D）1个

**八.若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为300，腰长为a，则其底边上的高是。

纵向应用

**1.如图14-33，在ΔABC中，D、E分别是AC、AB边上的点，BD与CE交于点O，给出下列四个条件：

①∠EBO=∠DCO；②∠BEO=∠CDO；③∠BE=∠CD；④∠OB=∠OC。

（1）上述四个条件中，哪两个条件可判定ΔABC是等腰三角形（用序号写出所有情形）？

（2）选择第（1）小题中的一种情形，证明：ΔABC是等腰三角形。

***二.如图14-34，已知∠1=∠2，EF⊥AD于点P，交BC延长线于点M，求证：∠BME=1

2

(∠ACB-∠B).

***三.如图14-35，在RtΔABC中，∠C=900，AD∥BC，∠CBE=1

2

∠ABE。求证：ED=2AB

***四.如图14-36，在ΔABC中，AB=AC，CM是边AB上的中线，BD=AB，求证：CD=2CM

***五.如图14-37，在ΔABC中，AD是∠A的平分线，CD⊥AD，垂足为D，G为BC的中点，求证：∠DGC=∠B。

***6. 如图14-38，已知等边ΔABC的周长为6，BD是AC边上的高，E是BC延长线上一点，CD=CE，求ΔBDE的周长。

***7. 如图14-39，已知AB=AC，BD、CE分别是∠B、∠C的平分线，AM⊥BD于点M，AN⊥CE于点N，求证：ΔAMN是等腰三角形。

横向拓展

***一. 已知等腰三角形三边的长为a、b、c且a=c，若关于x的一元二次方程ax2-2bx+c=0的两根之差为2，则等腰三角形的一个底角是（）。

（A）150（B）300（C）450（D）600

***2. 已知ABC的两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程x2-(2k+3)x+k2+3k+2=0的两个实数根，第三边BC的长为5。

（1）k为何值时，ΔABC是以BC为斜边的直角三角形？

（2）k为何值时，ΔABC是等腰三角形？并求出ΔABC的周长。

***三. 如图14-40，已知等边ΔABC边BA延长线上有一点D，BC延长线上有一点E，且AD=BE，求证：DC=DE。

***四. 如图14-41，在ΔABC中，AB=AC，D为ABC外一点∠ABD=600，∠ADB=900-1

2

BDC，求证：AB-BD=DC。

***5. 如图14-42，∠ABD=∠ACD=600，∠ADB=900-1

2

∠BDC，求证：ΔABC是等

腰三角形。

***六. 如图14-43，已知线段b、c和ma，求作ΔABC，使AB=c，AC=b,BC边上

的中线AD=ma.

****七.如图14-44，在等腰三角形ABC的一腰AB上取一点D，在另一腰AC的

延长线上取CE=BD，连DE，则DE>BC.

等边三角形

双基训练

**三.如图14-47，在等边ΔABC中，AE=CD，BG⊥AD，求证：BP=2PG。

纵向应用

**1.如图14-48，已知等边ΔABC的ABC、ACB的平分线交于O点，若BC上的点E、F分别在OB、OC 垂直平分线上，试说明EF与AB的关系，并加以证明。

***二. 如图14-49，C是线段AB上的一点，ΔACD和ΔBCE是两个等边三角形，点D、E在AB同旁，AE 交CD于点G，BD交CE于点H，求证：GH∥AB。

***三. 如图14-50，已知ABC是等边三角形，E是AC延长线上一点，选择一点D使得ΔCDE是等边三角形，如果M是线段AD的中点，N是线段BE的中点，求证：ΔCMN是等边三角形。

***八. 如图14-55，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AB>CD,AD=BC,对角线AC、BD交于点O，∠AOB=600，且E、F分别是OD、OA的中点，M是BC的中点，求证：ΔEFM是等边三角形。p.117

***9. 如图14-56，在Y ABCD中，ΔABE和ΔBCF都是等边三角形，求证：ΔDEF是等边三角形。

***十.如图14-57，已知D为等边ΔABC内一点，DA=DC，P点在ΔABC外，且CP=CA，CD平分∠PCB，求∠P。

横向拓展

***1. 如图14-58，已知P是等边三角形ABC内一点，APB:CPA=5:6:7,求以PA、PB、PC为边长的三角形的三内角之比。

****三.如图14-60，已知ΔABC是边长为1的等边三角形，ΔBDC是顶角∠BDC为1200的等腰三角形，以点D为顶点作一个600角的两边分别交AB于点M，交AC于点N，连结MN，形成一个三角形。

求证：AMN的周长等于2。

****四.如图14-61，在ΔABC中，∠A=600，BE⊥AC，垂足为E，CF⊥AB，垂足为F，点D是BC的中点，BE、CF交于点M。

（1）如果AB=AC，求证：ΔDEF是等边三角形；

（2）如果AB≠AC，试猜想ΔDEF是不是等边三角形？如果ΔDEF是等边三角形，请加以证明；如果ΔDEF不是等边三角形，请说明理由；

（3）如果CM=4cm，FM=5cm，求BE的长度。

直角三角形

双基训练

**二.如图14-65，AD是ΔABC的中线，∠ADC=450，把ΔADC沿AD对折，点C落在点C′的位置，则BC与BC′之间的数量关系是。

**三.如果三角形中两条边的垂直一部分线的交点在第三条边上，那么这个三角形是（）。

（A）锐角三角形（B）钝角三角形（C）直角三角形（D）等边三角形

**五.若直角三角形两直角边的和为3，斜边上的高为25

，则斜边的长为。

**六.在等腰ΔABC中，过腰AB的中点D作它的垂线（且点A、C在垂线的异侧）交另一腰AC于点E，连结BE，若AD+AC=24，BD+BC=20，则ΔEBC的周长为。

纵向应用

**一.如图14-70，在ΔABC中，高AD、BE交于点H，M、N分别是BH、AC的中点，∠ABC=450，求证：DM=DN。

**三.如图14-72，在RtΔABC中，∠ACB=900，∠BAC=300，ΔADC和ΔABE是等边三角形，DE交AB于点F，求证：F是DE的中点。

**四.如图14-73，在ΔABC中，高BE、CF相交于点H，M、N分别是BC、EF的中点，直线MN与线段EF之间具有怎样的关系？证明你的结论。

***十一.如图14-80，在RtΔABC中，ACB=900，M是AB的中点，如果分别延长AC、BC到点E、F使CE=CF=1

2 AB，

那么∠EMF的度数等于几？是否是常数？

***二. 如图14-92，在ΔABC中，AB=AC，∠BAC=900，D、E是BC上两动点（与B、C不重合）且∠DAE=450。

问：（1）BD、DE、EC中哪条线段最长？

（2）BD、DE、EC三条线段能否构成直角三角形？若能，请加以证明。