28波尔振动(二)实验报告讲解

实验2.8 波尔振动实验（二）

实验人姓名：合作人：

学院：物理工程与科学技术学院专业：光信息科学与技术年级：级学号：

日期：年月日室温：24℃相对湿度：67%

实验数据储存

【实验目的】

1.观察和研究自由振动、阻尼振动、受迫振动的特性

2.观察和研究振动过程的拍频、相图、机械能转换和守恒现象

【仪器用具】

仪器名称数量型号技术指标

扭摆（波尔摆） 1 ZKY-BG 固有振动频率约

0.5Hz

秒表 1 DM3-008 石英秒表，精度

0.01s

三路直流稳压稳流电源1 IT6322 三路隔离，

0-30V/1mV,0.3A/1mA

台式数字万用表 1 DM3051 5-3/4位，1μ

V-1000V，10nA-10A，

准确度为读数的

0.025％

数据采集器及转动传感器1 SW850及CI6531 最高采样率1000Hz，

分辨率0.25°，准确

度±0.009°

实验测控用计算机 1 IdeaCenterB320i 一体台式计算机

【原理概述】

1.振动的频谱

任何周期性的运动均可分解为简谐振动的线性叠加。采集一组如图1所示的扭摆摆动角度随时间变化的数据之后，对其进行傅立叶变换，就可以得到一组相对振幅随频率的变化数据。以频率为横坐标，相对振幅为纵坐标可作出一条如图2所示的曲线，即为波尔振动的频谱。在自由振动状态下，峰值对应的频率就是波尔振动仪的固有振动频率。

图1 角度随时间变化关系

图2 振动的频谱

2.拍频

3．相图和机械能

扭摆的摆动过程存在势能和动能的转换，其势能和动能为

其中I 为扭摆的转动惯量。势能与摆动角度的平方成正比，动能与角速度的平方成正比。

若以角度为横坐标，角速度为纵坐标画出两者的关系曲线，称为相图。通过相图可直观地

看出扭摆振动过程中势能与动能的变化。图3 所示为阻尼振动的相图，机械能不断损耗，

相图逐渐缩小至中心点。图4 所示为理想的自由振动的相图，势能和动能相互转换，但总

的机械能始终保持不变，相图为一个面积保持不变的椭圆。

图3 阻尼振动的相图图4 自由振动的相图

【实验内容】

1.观测波尔振动的频谱

1）记录一组波尔摆在7V 阻尼、无驱动力状态下摆动角度随时间的变化关系曲线。并得到振动的频谱，由频谱图确定波尔振动仪的固有振动频率。

2）用计算机分别记录和观测波尔振动仪自由振动、阻尼振动、受迫振动三种振动状态的频谱并分析异同。

3）调速旋钮每调节半圈测一组数据，测量不同驱动力矩频率下受迫振动的频谱，讨论其异同。

2．观测波尔振动的相图

1）取一组角度和角速度随时间变化的数据，画出相图。讨论相图的物理意义。

2）作出自由振动、阻尼振动、受迫振动三种振动状态下的相图，讨论其异同。

3）调速旋钮每调节半圈测一组数据，测出不同驱动力矩频率下受迫振动的相图，讨论其异同。

3．观察并记录振动的“拍”

加上外力矩和阻尼（7V），转动摆轮并释放，在阻尼振动趋向受迫振动稳定状态的过程中记录摆轮的摆动角度随时间的变化关系，可由该曲线的包络线观察到“拍”的现象。自行确定若干组阻尼和驱动的组合，在不同组合下观察“拍”的现象并讨论。（参考：驱动力矩的频率取最快、最慢、中间值三个点）

【测量数据和数据处理】

1.观测波尔振动的频谱

1）波尔摆在7V 阻尼、无驱动力状态下摆动

图5 波尔摆在7V 阻尼、无驱动力状态下摆动角度随时间的变化关系曲线

图6 波尔摆在7V 阻尼、无驱动力状态下振动的频谱

从图8可看出，波尔振动仪的固有振动频率约为0.5Hz。

2）用计算机分别记录和观测波尔振动仪自由振动、阻尼振动、受迫振动三种振动状态的频谱并分析异同。

图7 波尔摆在初始角度为60°的自由振动下频谱图8 波尔摆在7V 阻尼、无驱动力状态下振动的频谱

图9 波尔摆在7V 阻尼、驱动力2.5状态下振动的频谱

从图7-9可知，自由振动、阻尼振动、受迫振动三种振动状态均呈起伏状，在某一频率下摆轮摆动角度达到最大值。自由振动和受迫振动均在固有频率附近摆轮摆动角度达到最大，且自由振动和受迫振动固有频率几乎相同，但是在固有频率附近自由振动的摆动最大角度远小于受迫振动的摆动最大角度。而阻尼振动摆轮摆动达到最大角度时的频率和自由振动和受迫振动均不相同，略小于自由振动和受迫振动的固有频率。

3）调速旋钮每调节半圈测一组数据，测量不同驱动力矩频率下受迫振动的频谱，讨论其异同。

U=7v 初始角度=60°

图10 驱动力0时受迫振动频谱图图11 驱动力0.5时受迫振动频谱图

图12 驱动力1时受迫振动频谱图图13 驱动力1.5时受迫振动频谱图图14 驱动力2时受迫振动频谱图图15 驱动力2.5时受迫振动频谱图图16 驱动力3时受迫振动频谱图图17 驱动力3.5时受迫振动频谱图

图18 驱动力4时受迫振动频谱图图19 驱动力4.5时受迫振动频谱图

图20 驱动力5时受迫振动频谱图图21 驱动力5.5时受迫振动频谱图图22 驱动力6时受迫振动频谱图图23 驱动力6.5时受迫振动频谱图图24 驱动力7时受迫振动频谱图图25 驱动力7.5时受迫振动频谱图

图26 驱动力8时受迫振动频谱图图27 驱动力8.5时受迫振动频谱图

图28 驱动力9时受迫振动频谱图图29 驱动力9.5时受迫振动频谱图

图30 驱动力10时受迫振动频谱图

分析图10-30可知，

1）在受迫振动中，扭摆的周期是与驱动力的周期一致的，与自由振动的周期无关，因为在实验过程中为了增大扭摆的振幅而对驱动力的频率做了调整，受迫振动的周期相应起了变化。

2）当驱动电压相等时受迫振动的频率大致相等，即受迫振动的频率与驱动力的频率相等。

3）当驱动力的频率小于扭摆的固有频率ω0时，振幅先迅速由0增大到某个值，之后又逐渐减小至一个稳定值，这一点与振动的能量变化相符，能量是先增大后趋于稳定，振动能量的来源是驱动力。当驱动力的频率约等于扭摆的固有频率ω0时，振幅由0逐渐增大，最后趋于稳定，达到共振。这一点与振动的能量变化相符，能量是逐渐增大到稳定值的。

当驱动力的频率大于扭摆的固有频率ω0时，振幅先逐渐由0增大到某个值，之后又逐渐减小至一个稳定值。这一点与振动的能量变化相符，能量是先增大后趋于稳定。

比较三种情况稳定时的的振幅可知，共振稳定时的振幅最大。

2．观测波尔振动的相图

1）U=7v 初始角度为60°

图31 U=7v 初始角度为60°阻尼振动相图

相图的物理意义：从阻尼振动地相图中看出，相点往坐标中心螺旋式的趋近。螺旋纹向内衰减，即振动的能量随时间增加而不断减小。能量不断消耗，振幅不断减小直至停止。

2）作出自由振动、阻尼振动、受迫振动三种振动状态下的相图，讨论其异同。

图32 扭摆自由振动的振动周期T ＝ 1.75 sec 固有频率 f = 0.571 sec-1的相图

“自由振动”并不是理想的自由振动，其振幅缓慢减少，本图只取采集数据中前面一部分作为近似的自由振动。从相图可以看出，相轨迹的圆不断缩小。理论上，对于自由振动，相轨迹应该是

一个圆，由于有小的阻尼，相轨迹缓慢地趋向中心，但因阻尼比较小，其衰减地速度比较慢。这是因为扭摆收阻尼力做功，振动的能量逐渐转化为热能耗散调。

图33 U=7v 初始角度为60°的阻尼振动相图

从阻尼振动地相图中看出，相点往坐标中心螺旋式的趋近。与自由振动相图不同的是，阻尼振动相图中，圆圈数稀疏了很多，相点回到中心的速度很大，经历的圈数很少；说明了随着阻尼的增大，扭摆振动的衰减过程变得越来越快了。这是因为扭摆收阻尼力做功，振动的能量逐渐转化为热能耗散调。

图34 驱动力为1初始角度为60°的受迫振动相图

从受迫振动相图可以看出，相点也是几乎在同一个圆周上往复运动，没有向原点即静止状态趋近的倾向。这是因为，通过外界驱动力做功，补偿振动过程中阻尼产生的损耗，使扭摆得以在稳定状态不断的振动下去。

自由振动、阻尼振动、受迫振动各相图的异同点：

1>各相图都描述了偏转角度和瞬时频率的变化情况，形状都近似为螺旋状；

2>三种振动中各量的衰减情况不同，自由振动时稍微衰减，阻尼振动时随阻尼电压的不同而有不同

3>衰减速度，受迫振动近似不衰减。

3）调速旋钮每调节半圈测一组数据，测出不同驱动力矩频率下受迫振动的相图，讨论其异同。

初始角度均为60°

图35 驱动力为0时受迫振动相图图36 驱动力为0.5时受迫振动相图图37 驱动力为1时受迫振动相图图38 驱动力为1.5时受迫振动相图

图39 驱动力为2时受迫振动相图图40 驱动力为2.5时受迫振动相图

图41 驱动力为3时受迫振动相图图42 驱动力为3.5时受迫振动相图图43 驱动力为4时受迫振动相图图44 驱动力为4.5时受迫振动相图

图47 驱动力为6时受迫振动相图图48 驱动力为6.5时受迫振动相图图49 驱动力为7时受迫振动相图图50 驱动力为7.5时受迫振动相图

图53 驱动力为9时受迫振动相图图54 驱动力为9.5时受迫振动相图

图55 驱动力为10时受迫振动相图

由图35-55经分析有

1）从受迫振动相图可以看出，相点是几乎在圆周上往复运动，没有向原点即静止状态靠近的倾向，这是因为，通过外界驱动力做功，补偿振动过程中阻尼产生的损耗，使扭摆得以在稳定状态不断振动下去；

2）无论阻尼的电压有多大，当频率约等于固有频率时，将产生共振，偏转的最大角度达到最大。当频率偏离固有频率时，偏转角度逐渐减小；

3）当驱动电压发生变化时，扭摆的周期是与驱动力的周期一致的，与扭摆的固有周期无关。当驱动力的频率等于共振频率时，将发生共振现象，振幅达到最大。

4）受迫振动的相图变化情况与驱动力频率有关。当驱动力频率接近固有频率时，螺旋线由原点出发

向外扩大，最后螺旋线的半径趋于稳定，可见能量是逐渐增大到稳定值的。当驱动力频率与固有频率相差较大时，螺旋线是先从原点出发向外扩大到某个值，之后又逐渐向内收缩至一个稳定值，可见能量是先增大后趋于稳定。

3.观察并记录振动的“拍”

图56 阻尼4 外力矩0 图57 阻尼4 外力矩5

图58 阻尼4 外力矩10 图59 阻尼7 外力矩0

图60 阻尼7v 外力矩5 图61 阻尼7v 外力矩10

在扭摆作受迫振动时，扭摆从初始运动状态逐渐过渡到受迫振动的稳定状态过程中，其运动为阻尼振动和受迫振动两种振动过程的叠加。由图56-61经分析可看出，当阻尼振动频率与受迫振动频率在可叠加范围内相近时，拍频减小；两频率在可叠加范围内相差较大时，拍频增大。

【讨论分析】

实验中无可避免会存在摩擦力和空气阻力且可能存在实验桌的振动造成扭摆的晃动，最后导致实验误差。为减小这种误差，应尽量保持实验桌的平稳、线与扭摆的侧面不要接触、线与实验桌不要接触以及计量减少外界对扭摆的干扰。

【思考题】

1.实验过程中如何设置实验设备，使波尔振动仪产生自由振动、阻尼振动和受迫振动？

答：在实验过程中要使得波尔振动仪产生自由振动，只需将电源关闭，将摆轮转动使其偏离平衡位置，释放摆轮后波尔共振仪的摆轮在弹性力矩作用下作自由摆动；将直流稳压电源打开，调节电源使其输出一定电压给阻尼线圈，将摆轮转动使其偏离平衡位置，释放后摆轮在电磁阻尼力矩作用下作阻尼振动；打开电源和驱动电机，调节调速旋钮的位置，使摆轮在有阻尼的情况下受到驱动力矩的作用，释放摆轮后，摆轮在驱动力矩的作用下作受迫振动。

2.试讨论扭摆建立稳定的受迫振动过程的动力学方程。

答：设外加简谐力矩的频率是ω，外力矩角幅度为θ0，则M0=cθ0为外力矩幅度，因此外力矩可表示为M ext=M0cosωt。扭摆的动力学方程为

（1）

其中h=M0/I。在稳定状态下，式（1）的解为θ=Acos（ωt+）（2）

（此式表明不论扭摆一开始的振动状态如何，在简谐外力矩的作用下，扭摆的振动都会逐渐趋于简谐振动，振幅为A，频率与外力矩的频率相同，但二者之间存在相位差。）

其中A为角振幅，由下式表示

（3）

而角位移θ与简谐外力矩之间的相位差则可表示为

（4）

3.列举若干种测量扭摆转动角度和角速度的方法。

答：

1）用转动传感器和计算机自动采集和处理数据。将一条细线的一端粘在波尔摆黄色转盘的边缘上，另一端绕过传感器的转轮绑一个2g 的砝码，使得波尔摆转动时可以带动传感器转动，这样就可以

通过传感器获得波尔摆的转动角度、角速度、和周期等一系列参数。

2）直接从角度读数盘处读出转动角度，用秒表记录下摆动周期用公式ω=2π/T可求角速度。

3）用摆轮光电门记录下转动角度和周期，用公式ω=2π/T可求角速度。

4.任选一组阻尼振动的数据，以摆动角度的平方为横坐标，以角速度的平方为纵坐标画图，讨论与相图的异同。

答：

图63 阻尼振动相图图62 角度平方与角速度平方的关系图

···

【参考文献】

[1] 朱鹤年. 波耳共振仪受迫振动的运动方程[J]. 大学物理, 2006, 25(11): 47-48.

[2] 单晓峰. 关于受迫振动、共振的实验研究[J].物理实验,2006,26(8):24.26.

[3] 赵凯华,罗蔚茵. 新概念物理教程力学（第二版）[M]. 高等教育出版社, 2004.

[4] 沈韩,黄钢明,崔新图,赵艳娥等编. 物理学实验教程-基础物理实验分册.中山大学出版社,2006.

[5] 黄镜荣,崔新图,李达亮等.波尔摆振动观测及其相图分析.中山大学学报(自然科学版), 2004, 43(增刊):39-41.