精品解析：山东省德州市陵城区2016-2017学年九年级上学期期末数学试题(解析版)
九年级上学期期末数学试题
一．选择题（每小题3分，共36分）
1. 下列命题正确的是（ ） A. 相等的圆周角对的弧相等 B. 等弧所对的弦相等 C. 三点确定一个圆 D. 平分弦的直径垂直于弦 【答案】B 【解析】
【详解】试题分析：A 、在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等；B 、正确；C 、不在同一条直线上的三点确定一个圆；D 、平分弦(不是直径)的直径垂直于弦. 考点：圆的性质
2. 如图，四边形ABCD ∽四边形A 1B 1C 1D 1，AB ＝12，CD ＝15，A 1B 1＝9，则边C 1D 1的长是(
)
A. 10
B. 12
C. 454
D. 365
【答案】C 【解析】
【详解】试题解析：∵四边形ABCD ∽四边形A 1B 1C 1D 1， ∴
1111
AB CD
A B C D =， ∵AB=12，CD=15，A 1B 1=9， ∴C 1D 1=
91545
124
?=． 故选C ．
3. 如图，点A 是反比例函数y=
k
x
的图象上的一点，过点A 作AB ⊥x 轴，垂足为B ．点C 为y 轴上的一点，
连接AC，BC．若△ABC的面积为3，则k的值是（）
A. 3
B. ﹣3
C. 6
D. ﹣6
【答案】D
【解析】
【详解】试题分析：连结OA，如图，∵AB⊥x轴，∴OC∥AB，∴S△OAB=S△CAB=3，而S△OAB=|k|，∴|k|=3，∵k＜0，∴k=﹣6．故选D．
考点：反比例函数系数k的几何意义．
4. 已知一道斜坡的坡比为1324米，那么坡高为( )米．
A. 3
B. 12
C. 43
D. 6
【答案】B
【解析】
【分析】设坡度为α，根据斜坡的坡比求出坡度，再利用坡长即可求出坡高.
【详解】解：设坡度α
∴
3 tan1:3
α==
∴30α=?
∴坡高=1
2
坡长=12.
故选B
【点睛】此题考查的是解直角三角形，掌握坡度公式和特殊角的锐角三角函数值是解决此题的关键.
5.
一个盒子装有处颜色外其它均相同的2个红球和3个白球，现从中任取2个球，则取到的是一个红球、一个白球的概率为( )
A. 2
5
B.
2
3
C.
3
5
D.
3
10
【答案】C
【解析】
【分析】首先根据题目已知条件画出树状图，由图不难得到共有20种等可能的结果，一个白球的有6种情况，结合概率公式，用取到的是一个白球的情况数除以所有的情况数即可解答.
【详解】画树状图，得
∵共有20种等可能的结果，取到的是一个白球的有6种情况，
∴取到的是一个白球的概率为：P=6
20
=
3
5
故选C.
【点睛】此题考查了概率的计算，需要掌握列举法（列表法或树状图法）求概率的方法；通过画树状图或列表得到所有等可能的结果，并确定取到的是一个白球的结果数；再利用概率的计算公式，用取到的是一个白球的结果数除以所有等可能的结果数即可.
6. 二次函数y=ax2+bx+c的y与x的部分对应值如表：
X …0 1 3 4 …
y … 2 4 2 ﹣2 …
则下列判断中正确的是（）
A. 抛物线开口向上
B. y最大值为4
C. 当x＞1时，y随著x的增大而减小
D. 当0＜x＜2时，y＞2
【答案】D
【解析】
【详解】分析：利用表格中数据得出抛物线对称轴以及对应坐标轴交点，进而根据图表内容找到方程
ax2+bx+c=0即y=0时x的值取值范围，得出答案即可．
详解：
A、由图表中数据可得出：x=1.5时，y有最大值，故此函数开口向下，故此选项错误；
B、当x=1时，y=4，低于顶点坐标，故此选项错误；
C、当x＞1.5时，y随著x的增大而减小，故此选项错误；
D、当0＜x＜2时，y＞2，此选项正确．
故选D．
点睛：考查了二次函数的性质，解答该题时，充分利用了二次函数图象的对称性得出是解题关键．
7. 如图，从一张腰长为60cm，顶角为120°的等腰三角形铁皮OAB中剪出一个最大的扇形OCD，用此剪下
的扇形铁皮围成一个圆锥的侧面（不计损耗），则该圆锥的高为（）
A. 10cm
B. 15cm
C. 103cm
D. 202cm
【答案】D
【解析】
【分析】根据等腰三角形的性质得到OE的长，再利用弧长公式计算出弧CD的长；设圆锥的底面圆的半径
为r，根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，可求出r；接下来根据圆锥
的母线长、底面圆的半径以及圆锥的高构成直角三角形，利用勾股定理可计算出圆锥的高. 【详解】过O作OE⊥AB于E，如图所示. ∵OA=OB=60cm，∠AOB=120°，∴∠A=∠B=30°，∴OE=12OA=30cm，∴弧CD的长=1203180π?=20π，设圆锥的底面圆的半径为r，则2πr=20π，
∴由勾股定理可得圆锥的高为：302102202
-=cm.
故选D.
【点睛】本题考查了勾股定理，扇形的弧长公式，圆锥的计算，圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长.
8. 如图所示，边长为1的小正方形构成的网格中，半径为1的O的圆心O在格点上，则AED
∠的正切值等于（）
A.
1
3
B.
2
2
C.
1
2
D.
3
【答案】C
【解析】
【分析】根据同弧或等弧所对的圆周角相等来求解．
【详解】∵∠E=∠ABD，
∴tan∠AED=tan∠ABD=
1
2
AC
AB
=．
故选：C．
【点睛】本题利用了圆周角定理（同弧或等弧所对圆周角相等）和正切的概念求解．
9. 将一个三角形和一个矩形按照如图的方式扩大，使他们的对应边之间的距离均为1，得到新的三角形
和矩形，下列说法正确的是（）
A. 新三角形与原三角形相似
B. 新矩形与原矩形相似
C. 新三角形与原三角形、新矩形与原矩形都相似
【答案】A 【解析】
【分析】根据相似三角形的判定定理、相似多边形的判定定理证明即可． 【详解】解：根据题意得：AB ∥A ′B ′，AC ∥A ′C ′，BC ∥B ′C ′， ∴∠A ＝∠A ′，∠B ＝∠B ′， ∴△ABC ∽△A ′B ′C ′；
∵AB=CD=x ，AD=BC=y ，则A′B′=C′D′=x+2，A′D′=B′C′=y+2， ∴
,''2''2
AD y AB x
A D y A
B x ==++， ∵∵x≠y ， ∴
''''
AD AB
A D A
B ≠, ∴新矩形与原矩形对应边的比不相等， ∴新矩形与原矩形不相似.
故选A ．
【点睛】考查的是相似图形的判断，掌握对应角相等，对应边成比例的多边形，叫做相似多边形是解题的关键．
10. 已知：抛物线y =ax 2+bx +c （a ≠0）在平面直角坐标系中的位置如图，则一次函数y =ax +b （a ≠0）与反比
例函数y =
c
x
在同一直角坐标系中的图象大致是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C 【解析】
【分析】根据二次函数图象可知“a ＞0，b ＜0，c ＜0”，由此即可判定出一次函数、反比例函数图象所在的象限，结合四个选项即可得出结论． 【详解】解：∵抛物线开口向上， ∴a ＞0；
∵抛物线对称轴大于0，即2b
a
＞0， ∴ab ＜0， ∴b ＜0；
∵抛物线与y 轴的交点在负半轴， ∴c ＜0．
当a ＞0，b ＜0时，一次函数y =ax +b 的图象过第一、三、四象限； 当c ＜0时，反比例函数图象在第二、四象限． 故选：C ．
【点睛】本题考查了二次函数的图象、一次函数的图象以及反比例函数的图象，解题的关键是找出“a ＞0，b ＜0，c ＜0”．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据二次函数图象得出系数a 、b 、c 的符号是关键．
11. 如图，Rt △OAB 的顶点A （﹣2，4）在抛物线y =ax 2上，将Rt △OAB 绕点O 顺时针旋转90°，得到△OCD ，边CD 与该抛物线交于点P ，则点P 的坐标为（ ）．
A. （2，2）
B. 2，2）
C. （2，1）
D. （1，2）
【答案】B
【解析】
【分析】先根据待定系数法求得抛物线的解析式，然后根据题意求得D（0，2），且DC∥x轴，从而求得P 的纵坐标为2，代入求得的解析式即可求得P的坐标．
【详解】解：∵Rt△OAB的顶点A（-2，4）在抛物线y=ax2上，
∴4=4a，解得a=1，
∴抛物线为y=x2，
∵点A（-2，4），
∴B（-2，0），
∴OB=2，
∵将Rt△OAB绕点O顺时针旋转90°，得到△OCD，
∴D点在y轴上，且OD=OB=2，
∴D（0，2），
∵DC⊥OD，
∴DC∥x轴，
∴P点的纵坐标为2，
代入y=x2，得2=x2，
解得x=±2，
∴P（2，2）．
故选：B．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，根据题意求得P的纵坐标是解题的关键．
12. 如图，在扇形AOB中，∠AOB=90°，点C为OA的中点，CE⊥OA交AB于点E，以点O为圆心，OC 的长为半径作CD交OB于点D．若OA=2，则阴影部分的面积为（）．
A.
3
122
π+
B.
312
2
π
-
C.
36
4
π
-
D.
3
64
π+
【答案】A 【解析】
【分析】连接OE 、AE ，根据点C 为OC 的中点可得∠CEO =30°，继而可得△AEO 为等边三角形，求出扇形AOE 的面积，最后用扇形AOB 的面积减去扇形COD 的面积，再减去S 空白AEC 即可求出阴影部分的面积．
【详解】
解：连接OE 、AE ， ∵点C 为OA 的中点， ∴EO =2OC ，
∴∠CEO =30°，∠EOC =60°， ∴△AEO 为等边三角形，3CE =
∴26023603
2AOE
S ππ
==
扇形， ∴(
)COE
AOB COD AOE S S S S S
-=--阴影扇形扇形扇形
2290?290?1211336036032πππ?=---? ?
2313
42πππ=--+
3
12
π
=
故选：A ．
【点睛】本题考查了扇形的面积计算，解答本题的关键是掌握扇形的面积公式：2
360
n R S π=．
二．填空题（每小题4分，共20分）
13. 双曲线y=
1
x
m -在每个象限内，函数值y 随x 的增大而增大，则m 的取值范围是__________．
【答案】m＜1．【解析】
【详解】试题分析：∵双曲线
1
m
y
x
-
=在每个象限内，函数值y随x的增大而增大，∴m﹣1＜0，解得：
m＜1．故答案为m＜1．
考点：反比例函数的性质；解一元一次不等式．
14. 在Rt△ABC中，
4
90,sin
5
C A
?
∠==，则cos B的值等于___．
【答案】4 5
【解析】
【分析】根据互余两角的三角函数关系进行解答【详解】解：∵∠C＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，
∴cos B＝sin A，
∵sin A＝4
5
，
∴cos B＝4
5
．
故答案为4
5
．
【点睛】此题考查互余两角三角函数的关系，难度不大
15. 如图，△ABC中，∠B=35°，将△ABC绕点A逆时针旋转至△ADE处，使点B落在BC的延长线上的D 点处，则∠BDE＝______度．
【答案】70
【解析】
【分析】
【详解】分析：根据旋转的性质得∠B=∠ADE，AB=AD，则∠BDA=∠B，从而得出∠BDE=2∠B．
∵△ABC 绕点A 逆时针旋转至△ADE 处， ∴∠B =∠ADE ，∠B =35°，AB =AD ． ∵点B 落在BC 的延长线上的D 点处， ∴∠BDA =∠B ． ∵∠B =35°，
∴∠BDA =∠ADE =∠B =35°， ∴∠BDE =∠BDA +∠ADE =70°． 故答案为70°．
点睛：本题考查了旋转的性质，以及等边对等角的性质，是基础知识要熟练掌握．
16. 如图，
抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴相交于点A ，B(m ＋2，0)，与y 轴相交于点C ，点D 在该抛物线上，坐标为(m ，c)，则点A 的坐标是________．
【答案】(－2，0) 【解析】
【详解】由C (0,c ),D (m ,c ),得函数图象的对称轴是2
m
x =
， 设A 点坐标为(x ,0),由A . B 关于对称轴2
m x =
对称得
222x m m
++= ， 解得x =?2， 即A 点坐标为(?2,0)， 故答案为(?2,0).
17. 如图，△ABC 中,∠C=90°
,AC=BC=2,取BC 边中点E ，作ED ∥AB ，EF ∥AC ，得到四边形EDAF ，它的面积记作S 1；取BE 中点E 1，作E 1D 1∥FB ，E 1F 1∥EF ，得到四边形E 1D 1FF 1，它的面积记作S 2．照此规律作下去，则S 2017=____.
【答案】
2016
14.
【解析】
【分析】根据已知条件利用相似三角形的性质和三角形的面积公式，可求出S 1=1，同理可求出S 2=14
，S 3=
2
1
4 ，?每一个四边形的面积都是上一个四边形面积的14，根据此规律即可求出S 2017.
【详解】解：∵∠C=90°，AC=BC=2， ∴△ABC 的面积为：
1
2
×2×2=2， ∵点E 为BC 边中点，ED ∥AB ， ∴△CDE ∽△CAB ，
∴
1
4
CDE CAB S S △△， ∴S △CDE =
12， 又∵EF ∥AC ，点E 为BC 边中点， ∴S △BEF =
12
， ∴S 1=1， 同理，S 2=
14 ，S 3=21
4
，每一个四边形的面积都是上一个四边形面积的14， 以此类推，S 2017=
2016
14.
故答案为
2016
14
.
【点睛】图形类规律探索是本题的考点，根据题意和所学知识求出S 1并仔细观察图形特点找出规律是解题的关键.
三．解答题（共7小题，共64分）
18. 如图，已知△ABC 的三个顶点的坐标分别为A （﹣2，3）、B （﹣6，0）、C （﹣1，0）． （1）以O 为位似中心，将△ABC 缩小为原来的
1
2
，请在甲图中画出图形； （2）将△ABC 绕坐标原点O 逆时针旋转90°，得到△A ′B ′C ′，在乙图中画出△A ′B ′C ′．并计算点A 旋转经过的路径长度．
【答案】（1）见解析；（2）见解析，13
π． 【解析】
【分析】（1）根据位似的性质画图即可，注意应画出2个图形；
（2）利用网格特点和旋转的
性质画出A 、B 、C 的对应点A ′、B ′、C ′即可；利用弧长公式计算点A 旋转经过的路径长度．
【详解】解：（1）如图，
（2）如图，△A ′B ′C ′为所作；
OA =2223+=13， 所以A 旋转经过的路径长度=
901313
ππ?=．
【点睛】本题考查了位似的性质，旋转的性质，以及弧长公式，熟练掌握各知识点是解答本题的关键． 19. 如图，已知直线12
y x =
与双曲线(0)k
y k x =>交于,A B 两点，且点A 的横坐标为4．
（1）求k 的值及B 点坐标；
（2）结合图形，直接写出一次函数的函数值大于反比例函数的函数值时x 的取值范围．
【答案】（1）k =8，B (-4，-2)；（2）40x -<<或4x > 【解析】
【分析】（1）将A 点横坐标代入正比例函数解析式求得A 点坐标，然后将A 代入反比例函数中即可求出k 的值，然后结合正比例函数和反比例函数图像的对称性分析B 点坐标； （2）根据图象由函数图像的交点坐标即可取出x 的范围； 【详解】解：（1）把A 点横坐标x =4带入直线解析式得 y =
1
4=2
? 2 所以：A (4，2)
把A (4，2)代入(0)k
y k x
=
>得k =2×4=8 由函数图形的对称性知B 与A 关于原点对称， 所以B (-4，-2)
（2）由图像可得：当40x -<<或4x >时，一次函数的函数值大于反比例函数的函数值．
【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的交点，解题的关键是熟练运用待定系数法，本题属于基础题型． 20. 某校要求八年级同学在课外活动中，必须在五项球类（篮球、足球、排球、羽毛球、乒乓球）活动中任选一项（只能选一项）参加训练，为了了解八年级学生参加球类活动的整体情况，现以八年级2班作为样本，对该班学生参加球类活动的情况进行统计，并绘制了如图所示的不完整统计表和扇形统计图： 八年级2班参加球类活动人数统计表 项目 篮球 足球 乒乓球 排球 羽毛球 人数 a
6
5
7
6
根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）a = ，b = ；
（2）该校八年级学生共有600人，则该年级参加足球活动的人数约 人；
（3）该班参加乒乓球活动的5位同学中，有3位男同学（A ，B ，C ）和2位女同学（D ，E ），现准备从中选取两名同学组成双打组合，用树状图或列表法求恰好选出一男一女组成混合双打组合的概率． 【答案】（1）16，17.5；（2）90；（3）3
5
． 【解析】
【分析】（1）先根据公式样本容量=项目人数÷项目所占百分比，计算出样本容量，后利用公式变形计算即可；
（2）利用样本估计整体的思想计算即可； （3）选择自己喜欢的方式计算概率即可． 【详解】解：（1）a =5÷12.5%×40%=16， ∵5÷
12.5%=7÷b %，
经检验：17.5
b 是原方程的根，且符合题意，
故答案为：16，17.5；
（2）根据题意，得
600×[6÷（5÷12.5%）]=90（人），
故答案为：90；
（3）如图，∵共有20种等可能的结果，两名主持人恰为一男一女的有12种情况，
∴则P（恰好选到一男一女）=12
20
=
3
5
．
【点睛】本题考查了样本容量的计算，扇形统计图，样本估计整体思想，概率的计算，熟练掌握样本容量的计算公式和概率的计算方法是解题的关键．
21. 某宾馆拥有客房100间，经营中发现：每天入住的客房数y(间)与房价x(元)(180≤x≤300)满足一次函数关系，部分对应值如下表：
x(元) 180 260 280 300
y(间) 100 60 50 40
(1)求y与x之间的函数表达式；
(2)已知每间入住的客房，宾馆每日需支出各种费用100元；每间空置的客房，宾馆每日需支出各种费用60元．当房价为多少元时，宾馆当日利润最大？求出最大利润．(宾馆当日利润=当日房费收入-当日支出) 【答案】（1）y=-0.5x＋190(180≤x≤300)；（2）当房价为210元时，宾馆当日利润最大，最大利润为8450元
【详解】试题分析：（1）设一次函数表达式为y=kx+b（k≠0），由点的坐标（180，100）、（260，60）利用待定系数法即可求出该一次函数表达式；（2）设房价为x元（180≤x≤300）时，宾馆当日利润为w元，依据“宾馆当日利润=当日房费收入-当日支出”即可得出w关于x的二次函数关式，根据二次函数的性质即可解决最值问题．
试题解析：(1)设一次函数的表达式为y=kx＋b，(k≠0),
将(180，100)，(260，60)代入得：
180100 26060
k b
k b
+=
?
?
+=
?
1，
解得：
0.5
190 k
b
=-
?
?
=
?
,
∴y与x之间
的函数表达式为：y=-0.5x＋190(180≤x≤300)．(2)设房价为x元(180?x?300)时，宾馆当日利润为w元，依题意得：w=y·x-100y-60(100-y) =x(-0.5x＋190)-100(-0.5x＋190)-60[100-(-0.5x＋190)] =-0.5x2＋210x－13600 =-0.5(x-210)2＋8450，∴当x＝210时，w最大＝8450，答：当房价为210元时，宾馆当日利润最大，最大利润为8450元．
22. 如图，为测量一座山峰CF的高度，将此山的某侧山坡划分为AB和BC两段，每一段山坡近似是“直”的，测得坡长AB=800米，BC=200米，坡角∠BAF=30°，∠CBE=45°．
（1）求AB段山坡的高度EF；
（2）求山峰的高度CF．2≈1.414，CF结果精确到米）
【答案】（1）山坡高度为400米；
（2）山CF的高度约为541米．
【解析】
【详解】（1）作BH⊥AF于H，如图，在Rt△ABF中根据正弦的定义可计算出BH的长，从而得到EF的
长；
（2）先在Rt△CBE中利用∠CBE的正弦计算出CE，然后计算CE和EF的和即可．试题解析：（1）作BH⊥AF于H，如图，
在Rt△ABH中，∵sin∠BAH=BH AB
，
∴BH=800?sin30°=400，
∴EF=BH=400米．
答：AB段山坡的高度EF为400米；
（2）在Rt△CBE中，∵sin∠CBE=CE BC
，
∴CE=200?sin45°=1002，
∴CF=CE+EF=（1002+400）（米）．
答：山峰的高度CF为（1002+400）米.
23. （11·西宁）已知：如图，BD为⊙O的直径，AB＝AC，AD交BC与E，AE＝2，ED＝4．
（1）求证：△ABE∽△ADB；
（2）求AB的长；
（3）延长DB到F，使BF＝OB，连接F A，试判断直线F A与⊙O的位置关系，并说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）23
AB （3）直线F A与⊙O相切，理由见解析
【解析】
【详解】试题分析：（1）根据AB=AC，可得∠ABC=∠C，利用等量代换可得∠ABC=∠D然后即可证明
△ABE∽△ADB．
（2）根据△ABE∽△ADB，利用其对应边成比例，将已知数值代入即可求得AB的长．
（3）连接OA，根据BD为⊙O的直径可得∠BAD=90°，利用勾股定理求得BD，然后再求证∠OAF=90°即可．
（1）证明：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C（等边对等角），
∵∠C=∠D（同弧所对的圆周角相等），
∴∠ABC=∠D（等量代换），
又∵∠BAE=∠DAB，
∴△ABE∽△ADB，
（2）解：∵△ABE∽△ADB，
∴，
∴AB2=AD?AE=（AE+ED）?AE=（2+4）×2=12，
∴AB=．
（3）解：直线FA与⊙O相切，理由如下：
连接OA，∵BD为⊙O的直径，
∴∠BAD=90°，
∴=4
BF=BO=，
∵AB=，
∴BF=BO=AB，
∴∠OAF=90°，
∴OA⊥AF，
∵AO是圆的半径，
∴直线FA与⊙O相切．
24. 已知m,n是方程x2－6x+5=0的两个实数根，且m y=－x2+bx+c的图象经过点A(m,0)、B(0,n)． (1)求这个抛物线的解析式； (2)设（1）中抛物线与x轴的另一交点为C,抛物线的顶点为D，试求出点C、D的坐标和△BCD的面积； (3)P是线段OC上的一点，过点P作PH⊥x轴，与抛物线交于H点，若直线BC把△PCH分成面积之比为2：3的两部分，请求出P点的坐标． 【答案】(1)、y=－x2－4x+5；(2)、15；(3)、(－,0)或(－,0). 【解析】 【详解】试题分析：(1)、首先求出方程的解得出点A和点B的坐标，然后利用待定系数法求出函数解析式； (2)、根据二次函数的解析式得出点C的坐标和顶点坐标，过D作x轴的垂线交x轴于M，从而求出△DMC、梯形MDBO和△BOC的面积，然后得出面积；(3)、设P点的坐标为（a,0），得出直线BC的方程，则PH 与直线BC的交点坐标为(a，a+5)，PH与抛物线的交点坐标为H(a,－a2－4a+5)，然后根据EH=EP和EH=EP两种情况分别求出点P的坐标.