大一高数总结上册

第一章 函数、极限、连续(小结)

一、函数

o

1. 邻域：U(a),U(a)以a 为中心的任何 开区间；

2. 定义域：y tanx {x k };

y cotx {x k };

2

y arctanx {x R

，y ( 2'i )}； y arcsinx {x [ 1J]'y [ 92]}

y arccosx {x [

1,1],y [0, ]}.

二、极限 1.极限定义：

(了解)

lim x n a

n

若对于

0， N Z ，

st.

当n N 时，有

1 x n

a| ；

Note : | x n

a |

n ?

lim f (x)

X

x

A 0，

0，st.当 0 x X

时, 有

f(x) A

Note : f (x) A

x x 0

lim f(x) A

0， X 0， st.当 x X 时，有 f(x) A

x

ln(1 x) ~ x

Note

: f (x) A

2.函数极限的计算 (掌握) (1)

定理：

lim f (x) A f (x o )

X x o

(2)

型：①约公因子，有理化；

f (X o )

m

- X

lim f(x) A ；(分段函数)

X X

di

ml H X

②重要极限lim 沁

x 0

x

lim 竺四1 u(x) 0

u(x)

③等价无穷小因式代换:

tan x : x,sin

x,arcsi nx: x ，1 cosx ~ ^ x 2， 一型: 1 型: 型：先通分; 转化为无穷小; 比如:

比如:

1 lim - x 1

1 x

2

lim 2

x

2 1 x 2 1

x 2

1

1

x x lim 1 u(x) u (x ) e ； u(x) 0

?

重要极限lim 1

x 0

(3)无穷小量： 无穷小 无穷小=无穷小；无穷小 有界量=无穷小

X

比如:

lim COSX

X

2X

3.数列极限的计算:

三、连续

1.函数在点X 0处连续：lim f (X ) f(x 0).

X X 0

一切初等函数在其定义域都是连续的

2.闭区间上函数连续的性质：

取大取小值疋理：

若f (X)在［a, b ］上连续，则f(x)在［a,b ］上一定有最大、最小值.

零点定理：设 f (X ) C ［a,b ］，且 f (a) f(b) 0，

至少有一点

(a,b)，使得f( ) 0

介值定理：设 f(x) C ［a,b ］，且 f(a) A ， f (b) B, A B

则对A,B 之间的任意常数 C ,至少有一点

(a,b)，使得f( ) C .

四、间断点

1 ?第一类间断点：

f(X 0 )、f (X 0 )存在

若f(X 0 ) f(X 0 ) f (X 0)，则称X 0为可去间断点；

若f (X 0 ) f (X 0 )，则称X 0为跳跃间断点；

2.第二类间断点：

f(X 0 ) > f(X 0 )至少一个不存在

若其中一个趋向

，则称X 0为无穷间断点； 若其中一个为振荡，则称 X 0为振荡间断点;

(4) 函数极限与无穷小的关系 :lim f(x) A

X X 0

f(x) A

(5) 微分中值定理:

f(b)

f (a)

f ()；

比如：

b a

(6) 罗必达法则： f(x) lim ..f (X ) 0 lim ，—

比如：

，其中:lim 0 (抽象函数)

X X o

lim

arCtanX

心1

(第 3章)

X 1

g(X ) X Xo g (X)

lim 警 X

(第 3 章)

X 0

X sin x

夹逼原则:

1 lim

n

1 n

2 1 n 2

积分定义:

lim

n

lim

n

q n 0(|q| 1) ； lim n a 1.(第五章)

n

X X, 1 :

)第二章导数与微分(小结)

、导数的概念

二、导数的运算

Note : dy A x Adx f (x)dx , y f (x), dy f (x)dx ； 2?微分在近似计算中的应用

2.反函数求导：

y f (x), x (y)互为反函数，则 f (x)

3.

复合函数求导:

y f

(x), 则业f (u) (x)

dx

4. 隐函数求导：

F(x, y) O 两边关于x 求导，

把y 看成是

5.

参数方程：

x x

(t),则 dy dy dt dy

dx y(t)

y y(t),

dx

dt dx dt

dt x(t)

三、 微分

1?微分的概念

:若有 y f (X o x) f(X o )

A x

o( X 的函数.

dy

x)成立，记作：dy A x

；

v 2(x)

1

. f (X o )

lim -

x 0

lim f(X o X )f(X o ) x o

X

lim f(X o h) f(X o ) h o

h

Note :①该定义主要用于相关定理的分析与证明;

②导函数求导公式：

f (X ) 2.分段函数在分段点处可导性判别：

叫

疋理：f (x)在X o 处可导 f (x)在X o 处即左可导，又右可导

f (X o ) lim 少

f(X o

)

X X o x

X o

f (X o )

lim X X Q

x f (x) f(X o )

X o

3.导数的几何意义：切线斜率

，即k

f (X o )

当 f (X o )

时，曲线在点

(X o , y o )处的切线、

法线方程为:

切线方程:

y y o

f (X o )(X X o );法线方程:

y y o

(X X o ) f

(X o )

1. 四则运算:

u(X) v(x) u (X o ) v (X o ) ； [u(x)v(x)] u (x)v(x) u(x)v(x)；

u (x)v(x) u(x)v (x) u(x) v(x)

第三章微分中值定理及导数的应用

五、最值的计算

(1 )求f(x)在(a,b)内的可疑极值点：x 1 , x 2 , L , x m

凹凸性、拐点、极值点; 画图

(6) 、微分中值定理

1、罗尔(Rolle)中值定理：(a,b)内至少存在一点

，使得 f ( )

0 .

Note :① 证明导函数根的存在性. ② 证明原函数根的唯一性

2、拉格朗日中值定理：

在(a,b)内至少存在一点 ,使得f ()

Note :①把f (b) f (a)用f ()做代换，求极限.

b a

f(b) f(a) b a

②由a

b 建立不等式，用于证明不等式

3、柯西中值定理： 在(a,b)内至少存在一点

，使得：丄口

g () f(b) f(a) g(b)

g(a)

Note :用于说明洛必达法则.

:■、洛必达法则

(1)可结合两个重要极限、等价无穷小代换, (2 )若

，不为分式，可通过令: 约公因子等方法灵活运用

1 ，创造分式.

t

比如：lim[ x 21n(1 -) x]

X

x

0 Z A

通分 0 取倒数

取对数［

00

三、函数图形的描绘

(1) 写定义域，研究 f(x)的奇偶性、 周期性;

(2) 求 f (X )， f (x)； (3)

令f(x)不0

可疑极值点

X i ，

f (x) f (x)不 可疑拐点

X 2

；

补充个别特殊点,

求渐近线:

lim x

f(x)

lim x x

f(x)

(5) 列表分析单调性、

(2)最大值:M max f(xj, f(x 2),L , f (x m ), f (a), f (b)

特别的， (1)

f(x)在［a,b ］上只有一个可疑极值点，若此点取得极大值，则也是最大值点

.

(2) f(x)在［a,b ］上单调时，最值必在端点处达到

.

(3)

对应用问题，有时可根据实际意义判别求出的可疑点是否为最大

值点或最小值点

二换元积分法：

u (x)

1.

f [ (x)] (x)dx f (u)du .

Note :①常见凑微分:

②

适用于被积函数为两个函数相乘的情况， 若被积函数为

一个函数， 比如：

e 2x 1 dx ，

若被积函数多于两个，比如：

sinxc (osx

dx ，要分成两类；

1 sin 4x

③ 一般选择“简单” “熟悉”的那个函数写成

(x)；

④ 若被积函数为三角函数偶次方，降次；奇次方，拆项；

u (x)

第四章 、不定积分：

f (x)dx F(x) C ，

Note :①C 为积分常数不可丢！

② —f (x)d x f (x) dx ③

［f(x) g(x)］dx f (x)dx

④ 几个常用的公式

x dx 七 x 1 C ，

不定积分

F (x) dx F(x) C

g(x)dx ；

kf (x)dx k f(x)dx .

a x

dx

x

a

C

In a

1

dx ln x C x

secx tan xdx secx C ，

dx d (x c), xdx

-d(x 2 c),

- dx 2

- x

2d 0 x c), ^dx d (ln | x | c)

x

1

1+x 2

dx d (arc tan x) d (arc cosx)

cscxcot xdx cscx C ，

d (arcsin x)

2.f(u)du f［ (x)］ (x)dx

Note :常见代换类型

f(x, )dx , t fax b

f (x ,a 2―x 2 )d x , x asint f (a x )dx , t a x

三、分部积分法： uv dx uv u v dx .

Note :①按“反对幕指三”

的顺序，谁在前谁为 u

②

uv 要比uv 容易计算；

③ 适用于两个异名函数相乘的情况，若被积函数只有一个，比如:

arcs in x 1dx ， e x dx ( t 、、x )；

④多次使用分部积分法：

u u u 求导

v v v

积分

三、有理函数的积分

1.假分式:

=多项式+真分式少

Q(x)

;

2.真分式: -(拆成)右干部分分式之和；

Note :拆项步骤：①将分母分解：

Q(x) (x a)2 (x 2 px q)2 p 2 4q 0

②根据因式的情况将真分式拆成分式之和：

P(x) A

A 2

B 1x

C 1 B 2 x C 2

Q(x) x a x a 2 x 2 px q (x 2 px q)2

3.逐项积分.

注：有时一个题目会用到几种积分方法，要将所有的方法灵活运用，融会贯通! 第五章定积分

定积分的概念及性质

b

1.定义： f (x)dx lim

0 i

f( i ) X i

1

:f(x) 0, b f (x)dx a f(x)

0,

b f (x)dx

a

n

a 2 ?几何意义 曲边梯形面积

曲边梯形面积的负值

其中=(b a)i .

i

一

n

f (x ,、x a )dx , x a sect : 2 2

f(x, .a x )dx , x ata nt

3.性质: (1) f (x)dx a b f(x)dx,

f (x)dx 0;

a

(2) b dx b a a (3)

b kf (x)dx

a b

f (x)d x ;

(5) (6)

(7) (8) b [f(x) a

g(x)]dx

b f (x)d x

a

b

a g(x)dx ;

b f(x)dx

a

c

f (x)dx

a

b

f

(x)dx ； c 若在[a, b]上f (x)

设 M maxf(x), [a,b]

积分中值定理: 4.变上限函数:

(x)

b f (x)d x 0 ;

a

min f (x)，贝y m(b [a,b] f (x)dx f ( )(b a), f(t)dt a) b

f (x)dx M (b a); a [a,b]. Note :— dx f(t)dt f(x) ； d dx (x) f(t)dt f[ (x)] (x) d dx (x) (x)f(t)dt d dx (x) (x) f(t)dt f(t)dt

5.牛顿来布尼茨公式：

b b

a f(x)dx F(x)a F(b) F(a).

f[ (x)] (x) f[ (x)] (x)

定积分的计算

换元积分：换元必须换限，无需变量回代，凑微分不必换限; __ K 、 1. 2. b 分部积分： uv dx = uv a b

u vdx a 3. 若f (x)为奇函数, a f(x)dx a

4. 若f (x)为偶函数, a f(x)dx a a

0 f(x)dx .

广义积分: a f(x)dx lim b

a

f (x) dx ; b

b

f(x)dx

lim

a

a f(x)dx ;

b

直角坐标：

b A

f (x)dx

a

三、定积分的应用 1.平面图形的面积

b d

推广：A= [ f (x) g(x)]dx A= [ f (y)

a

一

1 极坐标：A -

2

3.已知平行截面面积函数为

A(x)的立体体积：V

Note :特别的，当立体为曲线

f (x)绕坐标轴形成的旋转体时,

b

2

①

f (x)绕 x 轴：V n f (x)] dx

a

b

2

②

f (x)绕 y 轴：V n (y)]2dy

a

g(y)]dy

2

( )d

2.曲线的弧长

b

(1) 1 y 2dx

f 2(x)dx , y

f (x) (a x b)

(2) 2

(t)

2

(t) dt ,

x (t)( y (t)(

(3)

.r 2( ) r 2( )d

r r()(

b A(x)dx

a