专题二：平行四边形常用辅助线的作法(精排版)

专题讲义平行四边形+几何辅助

线的作法

、知识点

1 ?四边形的内角和与外角和定理：

(1) 四边形的内角和等于360°; (2) 四边形的外角和等于360° . 2. 多边形的内角和与外角和定理：

(1) n 边形的内角和等于(n-2)180 ° (2) 任意多边形的外角和等于 360° 3. 平行四边形的性质：

4、平行四边形判定方法的选择

..”■ 已知条件 选择的狎定方法

i 边

1. 一鲫边幘 L .... 讹⑵沁⑶ 一组对边平行 定文｛方法1),方送⑶

一纽对命相等

方法《5〉

方搓⑷

5、和平行四边形有关的辅助线作法

(1)利用一组对边平行且相等构造平行四边形

例1、如图，已知点O 是平行四边形ABCD 勺对角线AC 的中点，四边形OCD 是平行四边形? 求

证：OE 与AD 互相平分.

说明：当已知条件中涉及到平行，且要求 证的结论中和平行四边形

的性质有关， 可 试通过添加辅助线构造平行四边形—:

性质

四边形ABCD 是平行四边形

判定

(1) 两组对边分别平行;

(2) 两组对边分别相等; (3) 两组对角分别相等;

(4) 对角线互相平分； (5) 邻角互补.

B C

C

(2)利用两组对边平行构造平行四边形

例2、如图，在△ ABC中，E、F为AB上两点，AE=BF ED//AC, FG//AC交BC分别为D, G.

说明：当图形中涉及到一组对边平行时，可通过作平行线构造另一组

对边平行，得到平行四边形解决问

(3)利用对角线互相平分构造平行四边形

例3、如图，已知AD S^ ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE=EF求证BF=AC.

说明：本题通过利用对角线互相平分构造平行四边形，实际上是采用了

平移法构造平行四边形.当已知中点或中线应思考这种方法?

(4)连结对角线，把平行四边形转化成两个全等三角形。

例4、如图，在平行四边形ABCD中，点E,F在对角线AC上，且AE CF ,请你以F为一个端点，

和图中已标明字母的某一点连成一条新线段, 猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等(只需证明一条线段即可)

C C

A

(5)平移对角线，把平行四边形转化为梯形

例5、如右图2,在平行四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点0,如果AC 12，BD 10，AB m，那么m的取值范围是(

11 B 、2 m 22

C、10 m 12

(6)过一边两端点作对边的垂线，把平行四边形转化为矩形和直角三角形问题。

例6、已知：如图，四边形ABCD为平行四边形

求证：AC2 BD2 AB2 BC2 CD2 DA2

F

(7)延长一边中点与顶点连线，把平行四边形转化为三角形 例7、已知：如右上图4，在正方形ABCD 中, 于P 点，求证：AP AB

、课堂练习:

1、如图，E 是平行四边形ABCD 的边AB 的中点，AC 与DE 相交于点F ,若平行四边形ABCD

的面积为S ，则图中面积为Is 的三角形有(

2

A. 1个 B . 2个

2、顺次连接一个任意四边形四边的中点，得到一个 _______________ 四边形.

3、如图，AD ，BC 垂直相交于点 O , AB // CD ， 贝U AB+CD 的长= _________ 。

4、已知等边三角形 ABC 的边长为a ，P 是厶ABC 内一点，PD// AB PE// BC ，PF // AC,点D E 、F 分别在 BC 、AC AB 上，猜想：PM PE+PF= ______ 猜想.

5、平行四边形ABCD 中, E,G,F,H 分别是四条边上的点，且 AE CF ,BC DH ,

BC=8

，

并证明你的

K

试说明：EF与GH相互平分.

6如图，平行四边形ABCD勺对角线AC和BD 交于O, E、F分别为OB 0D的中点，过0 任作一直线分

别交AB CD于G、H.

试说明：GF// EH

7、如图，已知AB AC , B是AD的中点,

试说明：CD 2CE

8、如图，E是梯形ABCD要DC的中点.

试说明: S ABE 1 S梯形

2 ABCD D

E

9、已知六边形ABCDEF勺6 个内角均为120°, CD= 2cm, BC= 8cm, AB= 8cm, AF=5cm 试

求此六边形的周长.

D_

10、已知ABC是等腰三角形，AB=AC D是BC边上的任一点，且DE AB

DF AC,CH AB，垂足分别为E、F、H,

求证：DE DF CH

11、已知：在Rt ABC中，AB BC ;在Rt ADE中，AD DE ;连结EC，取EC的中点M，

连结DM和BM .

（1）若点D在边AC上，点E在边AB上且与点B不重合，如图①，

求证：BM DM 且BM DM ;

（2）如果将图8-①中的ADE绕点A逆时针旋转小于45°的角，如图②，那么（1）中的结论是否仍成立？如果不成立，请举出反例；如果成立，请给予证明.

图①

图-②

答案：

例4、⑴ 连结BF

⑵BF DE

⑶证明：连结DB,DF ,设DB,AC 交于点0

???四边形ABCD 为平行四边形 ??? A0 OC, DO OB ??? AE FC

??? A0 AE OC FC 即 OE OF

???四边形EBFD 为平行四边形 ??? BF

DE

例5、解：将线段DB 沿DC 方向平移，使得DB CE, DC BE,则有四边形CDBE 为平行

四边形,

■

??在ACE

中, AC 12,CE BD 10,AE 2AB 2m

- ? 12 10 2m

12 10,即 2

2m 22 解得1 m 11

故选A

例6、证

明：

过代D 分别作AE

BC 于点 E , DF

BC 的延长线于点F

??? AC 2 AE 2 CE 2 AB 2

BE 2 (BC

BE)2 AB 2 BC 2 2BE

BC BD 2

2 2

DF 2

BF 2

(CD 2 2

2 CF 2) (BC

CF) 2

CD 2 BC 2 2BC

CF

边形具有对边平行的性质可得 GF // EH .

贝U AC 2 BD 2 AB 2 BC 2 CD 2 DA 2 2BC CF 2BC BE

四边形ABCD 为平行四边形 ??? AB // CD 且 AB CD , AD BC

ABC DCF I AEB

DFC 900

ABE

DCF

?? BE CF

AC 2

2 2 2 2

BD AB BC CD

DA 2

例7、证明：延长CF 交BA 的延长线于点K

???四边形ABCD 为正方形

??? AB // CD 且 AB CD, CD )AD , BAD BCD D 900

??? 1

K

又

，

D DAK 90°, DF AF ??? CDF 也 KAF

??? AK CD

AB

--

1 CE -CD DF

2 ，

1

AD

2

??? CE DF

T BCD D 900

??? BCE 也 CDF

??? 1 2

T 1

3 900

2

3 900

? ?? CPB

900,则 KPB

900

??? AP AB

二、课堂练习

1、C2 平行 3

、10 4 、

a

5、分析：观察图形，EF 与 HG 为四边形HEGF 的对角线,

若能说明四边形 HEGF 是平

行四边形，根据

平行四边形的对角线互相平分这一性质即可得到

6分析：观察图形，GF 与EH 为四边形GEHF 的对边，若能说明四边形 EHFG 是平行 四边形，平行四

EF 与GH 相

A

H

7、分析：延长CE 至F ,使EF = CE ，连结AF 、BF ,得四边形AFBC 是平行四边形，利 用平行四边形

??? DF = CG

的性质证明△ DBCFBC 即可

8、分析：过点E 作MN // AB ，交BC 于N ，交AD 的延长线于M ，则四边形ABNM 是平 行四边形,

△ ABE 与四边形ABNM 等底等高，所以S MBE =

2

S 梯形ABCD = S 平行四边形ABNM 即可。

9、

■:, 1=120% /..

|u 打監 -4=_7=_S=(.^T 椎导出 ACBH 都是正

三pa-GA=FA=5R -O 他片 CD-DH-CH^2r ^H=60°. 丁 B+ AEH^GA, , G+ F=lfiO D J AC ；F/rRH

阂此’平和回勉龙.

GB=GA+AB=5-H=13, BH=BC-H?H=?+2=10. 四边JfeCBHE 的冏氏円心+讥沁="

10、 证明：过D 点作DG 丄CH 于G

又DE 丄AB 于E ，CH 丄AB 于H ???四边形DGHE 为矩形

???/ B = / GDC 又 AB = AC ???/ GDC = / ACB

又/ DGC = / DFC = 90°

??? DE = GH

EH // DG

???/ B = / ACB

CD = DC (公共边)

D

平行四边形ABNM

，接下来说明

又CH = CG + GH

???CH = DF + DG （等量代换）

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