2020届绵阳二诊 文科数学试题(解析版)

2020届绵阳二诊 文科数学试题

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 1.设全集{}|0U x x =>，{

}2

|1x

M x e e

=<<，则U

C

M =（ ）

A. ()1,2

B. ()2,+∞

C. (][)0,12,+∞

D. [)2,+∞

【答案】D 【详解】由题意2

{|1}{|02}x M x e e x x =<<=<<，∴{|2}U C M x x =≥． 故选：D ．

2.已知i 为虚数单位，复数z 满足12z i i ?=+，则z =（ ） A. 2i - B. 2i + C. 12i - D. 2i - 【答案】A 【详解】由题意122i

z i i

+==-． 故选：A ．

3.已知高一（1）班有学生45人，高一（2）班有50人，高一（3）班有55人，现在要用分层抽样的方法从这三个班中抽30人参加学校“遵纪守法好公民”知识测评，则高一（2）班被抽出的人数为（ ） A. 10

B. 12

C. 13

D. 15

【答案】A 【详解】设高一（2）被抽取x 人，则5030455055

x =++，解得10x =． 故选：A ．

4.已知向量()1,2a =，()1,b x =-，若//a b ，则b =（ ）

B.

52

D. 5

【答案】C

【详解】∵//a b ，∴12(1)0x ?-?-=，2x =-，∴2(1)b =-=． 故选：C ．

5.已知α为任意角，则“1cos 23α=”是“sin α=”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要

【答案】B

【详解】2

1cos 212sin 3a α=-=，则sin α=，因此“1cos 23α=”是“sin α=”的必要不充

分条件． 故选：B ．

6.已知()2,0M ，P 是圆N ：2

2

4320x x y ++-=上一动点，线段MP 的垂直平分线交NP 于点Q ，则

动点Q 的轨迹方程为（ ）

A. 22

195

x y +=

B. 22

159x y -=

C. ,? a c ==

D. 22

195

x y -=

【答案】A

【详解】由题意圆标准方程为22

(2)36x y ++=，圆心为(2,0)N -，半径为6， ∵线段MP 的垂直平分线交NP 于点Q ，∴QP QM =， ∴6QM QN QP QN PN +=+==4MN >=， ∴Q 点轨迹是以,M N 为焦点，长轴长为6的椭圆，

∴3,2a c ==，b = ∴其轨迹方程为22

195

x y +=．

故选：A ．

7.已知某产品的销售额y 与广告费用x 之间的关系如下表：

若根据表中的数据用最小二乘法求得y 对x 的回归直线方程为 6.59y x =+，则下列说法中错误的是（ ） A. 产品的销售额与广告费用成正相关 B. 该回归直线过点()2,22

C. 当广告费用为10万元时，销售额一定为74万元

D. m

值是20

【答案】C

【详解】因为回归直线方程中x 系数为6.5＞0，因此，产品的销售额与广告费用成正相关，A 正确； 又01234

25

x ++++=

=，∴ 6.52922y =?+=，回归直线一定过点(2,22)，B 正确；

10x =时， 6.510974y =?+=，说明广告费用为10万元时，销售额估计为74万元，不是一定为74万元，C 错误； 由10153035

225

m y ++++=

=，得20m =，D 正确．

故选：C ．

8.甲、乙、丙三位客人在参加中国（绵阳）科技城国际科技博览会期间，计划到绵阳的九皇山、七曲山大庙两个景点去参观考察，由于时间关系，每个人只能选择一个景点，则甲、乙、丙三人恰好到同一景点旅游参观的概率为（ ） A .

1

8

B.

14

C. 38

D.

12

【答案】B

【详解】两景点用1，2表示，三人选择景点的各种情形为：甲1乙1丙1 ，甲1乙1丙2 ，甲1乙2丙1 ，甲2乙1丙1 ，甲2乙2丙1 ，甲2乙1丙2 ，甲1乙2丙2 ，甲2乙2丙2 共8种，其中三人去同一景点的有甲1乙1丙1 和甲2乙2丙2两种，所以概率为2

18

4

P ==． 故选：B ．

9.双曲线()22

2210,0x y a b a b

-=>>的右焦点为F ，过F 作与双曲线的两条渐近线平行的直线且与渐近线分

别交于A ，B 两点，若四边形OAFB （O 为坐标原点）的面积为bc ，则双曲线的离心率为（ ）

B. 2

D. 3

【答案】B

【详解】由题意(c,0)F ，渐近线方程为b

y x a =±

，不妨设AF 方程为()b y x c a

=--， 由()b y x c a b y x a ?=--????=??

，得2

2c x bc y a ?

=????=??，即(,)22c bc A a ，同理(,)22c bc B a -

，

∴21(2)222OAFB

bc bc S c a a =???=，由题意2

2bc bc a

=，∴2c a =．

故选：B ．

10.已知圆C ：2

2

280x y x +--=，直线l 经过点()2,2M

，且将圆C 及其内部区域分为两部分，则当这

两部分的面积之差的绝对值最大时，直线l 的方程为（ ） A. 22

0x y B. 260x y +-= C. 220x y --= D. 260x y +-=

【答案】D

【详解】圆C 标准方程为22

(1)9x y -+=，圆心为(1,0)C ，半径为3r =，

直线l 交圆于,A B 两点，设AOB θ∠=(0)θπ<≤，如图，则直线l 分圆所成两部分中较小部分面积为

22111sin 22S r r θθ=-，较大部分面积为22211

(2)sin 22

S r r πθθ=-+，

∴这两部分面积之差的绝对值为222

21sin 9(sin )S S S r r r πθθπθθ=-=-+=-+，

'9(1cos )0S θ=-+≤，∴9(sin )S πθθ=-+是减函数，θ最小时，S 最大．

在CAB ?中，2

2

22

218cos 218

r AB AB r

θ--=

=

，∴AB 最小时，cos θ最大，从而θ最小．

∵AB 经过点M ，∴由圆的性质知当CM AB ⊥时，AB 取得最小值.此时11

2

AB CM

k k =-=-，∴直线l 方

程为1

2(2)2

y x -=--，即260x y +-=． 故选：D ．

11.已知()f x 为偶函数，且当0x ≥时，()3

1cos sin 3

x x x f x x =-+

，则满足不等式()()212log log 21f m f m f ??

+< ???

的实数m 的取值范围为（ ）

A. 1,22?? ???

B. ()0,2

C. ()10,

1,22?? ???

D. ()2,+∞

【答案】A

【详解】∵()f x 是偶函数，∴12222

(log )(log )(log )(log )f m f m f m f m =-==，则不等式

()()212log log 21f m f m f ??

+< ???

可化为22(log )2(1)f m f <，即2(log )(1)f m f <，

0x ≥时，3

1()cos sin 3

f x x x x x =-+

，2'()cos sin cos (sin )f x x x x x x x x x =--+=-， 令()sin g x x x =-，则'()1cos 0g x x =-≥，∴()g x 是R 上的增函数，∴当0x >时，()(0)0g x g >=， ∴0x ≥时，'()0f x ≥，∴()f x 在[0,)+∞上是增函数， ∴由2(log )(1)f m f <得2log 1m <，即21log 1m -<<，1

22

m <<． 故选：A ．

12.函数()()()2

21log 2a a f x ax x =--+在区间10,a ??????

上恰有一个零点，则实数a 的取值范围是（ ）

A. 11,

32??

???

B. (][)1,23,+∞

C. ()[)1,23,+∞

D. [)2,3

【答案】D

【详解】（1）若由1

(0)()0f f a

<得(1log 2)(1log 3)0a a

--<，lg 2lg 3(1)(1)0lg lg a a --<， (lg lg 2)(lg lg3)0a a --<，lg 2lg lg3a <<，∴23a <<．

设2

()(21)g x ax =-，()log (2)a h x ax =+，∵23a <<，∴()h x 在定义域内是增函数， 作出()g x ，()h x 的示意图，如图．

1(0)()1g g a ==，(0)log 21a h =<，1()log 31a h a =>，∴()g x 与()h x 的图象在1

[0,]a 上只有一个交点，

即()f x 在1

[0,]a

上只有一个零点，符合题意．

（2）若(0)0f =，则1log 20a -=，2a =．如（1）中示意图，2()log (22)h x x =+是增函数，只是

(0)(0)1h g ==，而11()(0)1()h h g a a >==，∴()g x 与()h x 的图象在1

[0,]a

上只有一个交点，即()f x 在

1

[0,]a

上只有一个零点，符合题意． （3）若1

()0f a

=，则1log 30a -=，3a =，如（1）中示意图，3()log (32)h x x =+是增函数，此时

11()()1h g a a

==，但(0)1g =，而3(0)log 21(0)h g =<=，因此在1

(0,)2a 上()g x 与()h x 的图象还有一

个交点，即()f x 在1

[0,]a

上有两个零点，不合题意．

综上，a 的取值范围是[2,3)． 故选：D ．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13.直线l ：()110ax a y -+-=与直线4630x y -+=平行，则实数a 的值是______. 【答案】2. 【详解】由题意(1)1463

a a -+-=≠-，解得2a =． 故答案为：2．

14.某同学在最近的五次模拟考试中，其数学成绩的茎叶图如图所示，则该同学这五次数学成绩的方差是______.

【答案】30.8.

【详解】五个数据分别是：110，114，119，121，126，其平均值为110114119121126

1185

x ++++=

=，

方差为2

222

2

2

1[(110118)(114118)(119118)(121118)(126118)]5

s =-+-+-+-+-30.8= 故答案为：30.8

15.函数()sin 0,2y x πω?ω???

=+>< ??

?

的图象如图所示，则()f x 在区间[],ππ-上的零点之和为______.

【答案】

23

π. 【详解】由题意411()3126T πππ=

?-=，∴22πωπ==，又sin(2)16

π??+=且2π?<，∴6π=?，

∴()sin(2)6

f x x π

=+．

由sin(2)06

x π+=得26x k ππ+=，212k x ππ

=

-，k Z ∈， 在[,]-ππ内有：7511,,,12121212

ππππ--，它们的和为23π．

16.过点()1,0M -的直线l 与抛物线C ：2

4y x =交于A ，B 两点（A 在M ，B 之间），F 是抛物线C 的

焦点，若4MBF MAF S S ??=，则ABF ?的面积为______. 【答案】3.

【详解】不妨设,A B 在第一象限，如图，设1122(,),(,)A x y B x y ，由题意(1,0)F ，

∵4MBF MAF S S ??=

，∴2111

422

MF y MF y =?，∴214y y =． 又,,M A B 共线，∴121211y y

x x =++，即12

22121111

44

y y y y =++，把214y y =代入得： 11

2211414114

y y

y y =++，显然10y ≠，解得11y =，∴24y =， ∴1

2112

MAF S ?=??=，4MBF S ?=，∴413FAB MBF MAF S S S ???=-=-=．

故答案为：3．

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.

17.每年的4月23日为“世界读书日”，某调查机构对某校学生做了一个是否喜爱阅读的抽样调查.该调查机构从该校随机抽查了100名不同性别的学生（其中男生45名），统计了每个学生一个月的阅读时间，其阅读时间t （小时）的频率分布直方图如图所示：

（1）求样本学生一个月阅读时间t 的中位数m .

（2）已知样本中阅读时间低于m 的女生有30名，请根据题目信息完成下面的22?列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为阅读与性别有关.

22

?列联表

附表：

其中：

()

()()()()

2

2

n ad bc

K

a b c d a c b d

-

=

++++

.

【答案】（1）10；（2）不能在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为阅读与性别有关. 【详解】（1）由题意得，直方图中第一组，第二组的频率之和为

0.0450.0650.5

?+?=.

所以阅读时间的中位数10

m=.

（2）由题意得，男生人数为45人，因此女生人数为55人，

由频率分布直方图知，阅读时长大于等于m的人数为1000.550

?=人，

故列联表补充如下：

2K

的观测值

()2

10025302520100

5050455599

k ??-?==

??? 1.01 2.706≈<，所以不能在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为阅读与性别有关.

18.已知等差数列{}n a 的公差2d =，30a >，且-4a 与7a 的等比中项.数列{}n b 的通项公式为

32n a n b +=.

（1）求数列{}n b 的通项公式；

（2）记)*

n n c a n N

=∈，求数列{}n

c 的前n 项和n

S

.

【详解】（1）由题意得41136a a d a =+=+，711612a a d a =+=+.

∴(()()2

11612a a -=+?+，解得13a =-或115a =-.

又31220a a =+?>，得14a >-，故13a =-. ∴()32125n a n n =-+?-=-. ∴3

222

2n a n n b +-==.

（2）由（1）可知，1

252

n n n c a n -==-+.

12n n S c c c =+++

()123112512n n -=--++

+-+????-

()

325212

n n n -+-=

+-

2241n n n =+--.

19.在ABC ?中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知()()()sin sin sin sin A B a b c C B +-=+. （1）求A ；

（2）若D 为BC 边上一点，且AD BC ⊥，BC =，求sin B . 【详解】（1）

ABC ?中，由正弦定理得

()()()a b a b c c b +-=+，即2

22a

b c bc =++.

由余弦定理得2221

cos 22

b c a A bc +-=

=-， 结合0A π<<，可知23

A π

=

.

（2）在ABC ?中，11sin 22ABC S AB AC BAC BC AD ?=

?∠=?，即2

bc a AD =?.

由已知BC =，可得

AD =

.

在ABC ?中，由余弦定理得2222cos120a b c bc =+-?， 即223bc b c bc =++，整理得()2

0b c -=，即b c =， ∴6

A B π

==

.

∴1

sin sin 6

2

B π

==

.

20.已知椭圆C ：2

212

x y +=，动直线l 过定点()2,0且交椭圆C 于A ，B 两点（A ，B 不在x 轴上）.

（1）若线段AB 中点Q 的纵坐标是2

3

-

，求直线l 的方程； （2）记A 点关于x 轴的对称点为M ，若点(),0N n 满足MN NB λ=，求n 的值. 【详解】（1）设()11,A x y ，()22,B x y ，直线AB ：2x ty =+.

由22

222

x ty x y =+??

+=?消去x 得()22

2420t y ty +++=.

220t ?=->，解得t >t <.

由韦达定理得12242

t y y t -+=+，12

22

2y y t =+.① ∵AB 中点Q 的纵坐标是2

3

-，

∴124

3

y y +=-，代入①解得1t =或2t =.

又t >t <2t =.

∴直线l 的方程为220x y --=. （2）由题意得()11,M x y -，

由MN NB λ=，知M ，N ，B 三点共线， 即MN MB k k =.

∴()()

121121

0y y y n x x x ----=--，

即

121121y y y n x x x +=--，解得()121121

y x x n x y y -=++. 将112x ty =+，222x ty =+，代入得12

12

22ty y n y y =++.②

由①有122

42

t y y t -+=

+，1222

2y y t =+.③ 将③代入②得到1n =.

21.已知函数()2

12ln 2

x f x ax x =+

-，其中a R ∈. （1）讨论函数()f x 的单调性；

（2）若3a ≥，记函数()f x 的两个极值点为1x ，2x （其中21x x >），求()()21f x f x -的最大值.

【详解】（1）()()2'220x ax x a x x x

f x -+=+-=>.

令()2

2g x x ax =-+，则28a ?=-.

①当0a ≤或0?≤

，即a ≤时，得()'0f x ≥恒成立， ∴()f x 在()0,∞+上单调递增.

②当0

0a >??

?>?

，即a > 由()'0f x >

，得0x <<

或x >

由()'0f x <

x <<

∴函数()f x

在0,

2a ? ???

和2a ??

++∞ ? ???上单调递增，

在22a a ?+

???

上单调递减.

综上所述，当a ≤()f x 在()0,∞+上单调递增；

当a >()f x

在0,

2a ? ???

和,2a ??

++∞ ? ???上单调递增，

在??

上单调递减. （2）由（1

）得，当a >()f x 有两极值点1x ，2x （其中21x x >）. 则1x ，2x 为()2

20x a g x x =-+=的两根，

∴12x x a +=，122x x =.

()()()()2

22212121112ln

2

x f x f x x x a x x x -=+--- 222

2

2212211112

2ln 2ln 2x x x x x x x x x x --=-=-

221

1122ln

x x x x x x =-+. 令()2

1

1x t t x =

>， 则()()()2112ln f x f x h t t t t

-==-+.

由3a ≥，得()2

2

121219

222

x x a t x x t +==++≥，

即22520t t -+≥，解得2t ≥.

∵()()2

2222121211'0t t t t t t t

h t ---+-=--==<，

∴()h t 在[)2,+∞上单调递减， ∴()()max 322ln 22

h t h ==-

. 即()()21f x f x -的最大值为32ln 22

-.

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题做答。如果多做，则按所做的第一题记分. [选修4-4：坐标系与参数方程]

22.在平面直角坐标系中，曲线1C 的参数方程为1cos sin x r y r ?

?=+??

=?

（0r >，?为参数），以坐标原点O 为极

点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 经过点2,3P π?

? ??

?

，曲线2C 的直角坐标方程为22

1x y -=. （1）求曲线1C 的普通方程，曲线2C 的极坐标方程；

（2）若()1,A ρα，2,6B πρα??- ???是曲线2C 上两点，当0,4πα??∈ ???

时，求2211OA OB +的取值范围. 【详解】（1）将1C 的参数方程化为普通方程为()2

221x y r -+=. 由cos x ρθ=，sin y ρθ=， 得点2,

3P π?

? ???

的直角坐标为(，代入1C ，得2

3r =， ∴曲线1C 的普通方程为()2

213x y -+=.

2C 可化为2222cos sin 1ρθρθ-=，即()222cos sin 1ρθθ-=，

∴曲线2C 的极坐标方程为2

cos 21ρθ=.

（2）将点()1,A ρα，2,6B πρα?

?- ??

?代入曲线2C 的极坐标方程，

得2

1cos 21ρα=，2

2cos 213πρα??

-

= ??

?

， ∴

2

222

2

11

1

cos 2cos 1123OA

OB

πααρρ?

?=

+

+-+

= ??

?

3cos 22223πααα??==+ ??

?. 由已知0,

4πα?

?

∈ ??

?

，可得52,336

π

ππα??+

∈ ???

，

232πα??

?+∈

? ???. 所以2

2

11OA

OB

+

的取值范围是?.

[选修4-5：不等式选讲]

23.已知关于x 的不等式12

121log x x a +--≤，其中0a >.

（1）当4a =时，求不等式的解集；

（2）若该不等式对x ∈R 恒成立，求实数a 的取值范围. 【详解】（1）由4a =时，12

log 2a =-.原不等式化为1212x x +--≤-，

当1

2

x ≥

时，()1212x x +--≤-，解得4x ≥，综合得4x ≥； 当112x -<<时，1212x x ++-≤-，解得23

x ≤-，综合得2

13x -<≤-；

当1x ≤-时，()1212x x -++-≤-，解得0x ≤，综合得1x ≤-.

∴不等式的解集为2|43x x x ??

≤-≥?

???

或. （2）设函数()2,111213,1212,2x x f x x x x x x x ?

?-<-?

?

=+--=-≤

?

-+≥??

，

画图可知，函数()f x 的最大值为

32

.

由12

3

log 2a ≤，解得204a <≤.