函数恒成立存在性与有解问题
函数恒成立存在性问题
知识点梳理
1、恒成立问题的转化：()a f x >恒成立?()max a f x >；()()min a f x a f x ≤?≤恒成立
2、能成立问题的转化：()a f x >能成立?()min a f x >；()()max a f x a f x ≤?≤能成立
3、恰成立问题的转化：()a f x >在M 上恰成立?()a f x >的解集为M ()()R a f x M a f x C M ?>???≤??在上恒成立
在上恒成立
另一转化方法：若A x f D x ≥∈)(,在D 上恰成立，等价于)(x f 在D 上的最小值A x f =)(min ，若,D x ∈B
x f ≤)(在D 上恰成立，则等价于)(x f 在D 上的最大值B x f =)(max .
4、设函数()x f 、()x g ，对任意的[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≥，则()()x g x f min min ≥
5、设函数()x f 、()x g ，对任意的[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≤，则()()x g x f max max ≤
6、设函数()x f 、()x g ，存在[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≥，则()()x g x f min max ≥
7、设函数()x f 、()x g ，存在[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≤，则()()x g x f max min ≤
8、若不等式()()f x g x >在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上函数()y f x =和图象在函数()y g x =图象
上方；
9、若不等式()()f x g x <在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上函数()y f x =和图象在函数()y g x =图象下方；
例题讲解：
题型一、常见方法
1、已知函数12)(2
+-=ax x x f ，x
a
x g =
)(，其中0>a ，0≠x ． 1）对任意]2,1[∈x ，都有)()(x g x f >恒成立，求实数a 的取值范围；
2）对任意]4,2[],2,1[21∈∈x x ，都有)()(21x g x f >恒成立，求实数a 的取值范围；
2、设函数b x x a x h ++=)(，对任意]2,21[∈a ，都有10)(≤x h 在]1,4
1
[∈x 恒成立，求实数b 的取值范围．
3、已知两函数2
)(x x f =，m x g x
-??
? ??=21)(，对任意[]2,01∈x ，存在[]2,12∈x ，使得()21)(x g x f ≥，则实
数m 的取值范围为
题型二、主参换位法(已知某个参数的范围，整理成关于这个参数的函数)
1、对于满足2p ≤的所有实数p,求使不等式2
12x px p x ++>+恒成立的x 的取值范围。
2、已知函数()ln()(x f x e a a =+为常数）是实数集R 上的奇函数，函数()()sin g x f x x λ=+是区间[]1,1-上的减函数， (Ⅰ)求a 的值；(Ⅱ)若[]2
()11,1g x t t x λ≤++∈-在上恒成立，求t 的取值范围；
题型三、分离参数法（欲求某个参数的范围，就把这个参数分离出来）
1、当()1,2x ∈时，不等式2
40x mx ++<恒成立，则m 的取值范围是 .
题型四、数形结合（恒成立问题与二次函数联系（零点、根的分布法）） 1、若对任意x R ∈,不等式||x ax ≥恒成立，则实数a 的取值范围是________
2、已知函数()2
22f x x kx =-+，在1x ≥-恒有()f x k ≥，求实数k 的取值范围。
题型五、不等式能成立问题（有解、存在性）的处理方法
若在区间D 上存在实数x 使不等式()f x A >成立,则等价于在区间D 上()max f x A >； 若在区间D 上存在实数x 使不等式()f x B <成立,则等价于在区间D 上的()min f x B <.
1、存在实数x ，使得不等式2
313x x a a ++-≤-有解，则实数a 的取值范围为______。
2、已知函数()()2
1ln 202
f x x ax x a =--≠存在单调递减区间，求a 的取值范围
小结：
恒成立与有解的区别
恒成立和有解是有明显区别的，以下充要条件应细心思考，甄别差异，恰当使用，等价转化，切不可混为一体。 ①不等式()f x M <对x I ∈时恒成立max ()f x M??<，x I ∈。即()f x 的上界小于或等于M ； ②不等式()f x M <对x I ∈时有解min ()f x M??<，x I ∈。 或()f x 的下界小于或等于M ； ③不等式()f x M >对x I ∈时恒成立min ()f x M??>，x I ∈。即()f x 的下界大于或等于M ； ④不等式()f x M >对x I ∈时有解max ()f x M ?>，x I ∈.。 或()f x 的上界大于或等于M ；
课后作业：
1、设1a >，若对于任意的[,2]x a a ∈，都有2
[,]y a a ∈满足方程log log 3a a x y +=，这时a 的取值集合为（ ）
（A ）2{|1}a a <≤ （B ）{|}2a a ≥ （C ）3|}2{a a ≤≤ （D ）{2,3}
2、若任意满足0
5030x y x y y -≤??+-≥??-≤?
的实数,x y ，不等式222
()()a x y x y +≤+恒成立，则实数a 的最大值是 ___ .
3、不等式2sin 4sin 10x x a -+-<有解，则a 的取值范围是
4、不等式
ax ≤
[]0,3x ∈内恒成立，求实数a 的取值范围。
5、已知两函数()2728f x x x c =--，()32
2440g x x x x =+-。
（1）对任意[]3,3x ∈-，都有()()f x g x ≤)成立，求实数c 的取值范围； （2）存在[]3,3x ∈-，使()()f x g x ≤成立，求实数c 的取值范围； （3）对任意[]12,3,3x x ∈-，都有()()12f x g x ≤，求实数c 的取值范围； （4）存在[]12,3,3x x ∈-，都有()()12f x g x ≤，求实数c 的取值范围；
6、设函数3
221()23(01,)3
f x x ax a x b a b R =-
+-+<<∈. （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间和极值；
（Ⅱ）若对任意的],2,1[++∈a a x 不等式()f x a '≤成立，求a 的取值范围。
7、已知A 、B 、C 是直线λ上的三点，向量OA →，OB →，OC →
满足：()[]()01x ln 1f 2y =?++?'+-. （1）求函数y ＝f(x)的表达式；
（2）若x ＞0，证明：f(x)＞2x
x ＋2；
（3）若不等式()
3bm 2m x f x 2
12
22--+≤时，[]1,1x -∈及[]1,1b -∈都恒成立，求实数m 的取值范围．
8、设()x ln 2x q px x f --=，且()2e
p
qe e f --=（e 为自然对数的底数）
(I) 求 p 与 q 的关系；
(II)若()x f 在其定义域内为单调函数，求 p 的取值范围；
(III)设()x
e
2x g =，若在[]e ,1上至少存在一点0x ，使得()()00x g x f >成立, 求实数 p 的取值范围.
函数专题4：恒成立问题参考答案：
题型一、常见方法
1、分析：1）思路、等价转化为函数0)()(>-x g x f 恒成立，在通过分离变量，创设新函数求最值解决．
2）思路、对在不同区间内的两个函数)(x f 和)(x g 分别求最值，即只需满足)()(max min x g x f >即可．
简解：（1）由12012232
++-+-x x x a x a ax x 成立，只需满足12)(2
3++=x x
x x ?的最小值大于a 即可．对1
2)(23++=x x
x x ?求导，0)12(12)(2
224>+++='x x x x ?，故)(x ?在]2,1[∈x 是增函数，32)1()(min ==??x ，所以a 的取值范围是3
2
0< 2、分析：思路、解决双参数问题一般是先解决一个参数，再处理另一个参数．以本题为例，实质还是通过函数求最值解决． 方法1：化归最值，10)(10)(max ≤?≤x h x h ； 方法2：变量分离，)( 10x x a b +-≤或x b x a )10(2-+-≤； 方法3：变更主元，0101)(≤-++?=b x a x a ?，]2,21 [∈a 简解：方法1:对b x x a b x x g x h ++=++=)()(求导，2 2) )((1)(x a x a x x a x h +-=-='， 由此可知，)(x h 在]1,41[上的最大值为)4 1 (h 与)1(h 中的较大者． ?????-≤-≤??????≤++≤++??????≤≤∴a b a b b a b a h h 94439 1011041410)1(10)41(，对于任意]2,21[∈a ，得b 的取值范围是47≤b ． 3、解析：对任意[]2,01∈x ，存在[]2,12∈x ，使得()21)(x g x f ≥等价于m x g x -?? ? ??=21)(在[]2,1上的最小值m -41不大于2)(x x f =在[]2,0上的最小值0，既041≤-m ，∴4 1≥m 题型二、主参换位法(已知某个参数的范围，整理成关于这个参数的函数) 1、解：不等式即()2 1210x p x x -+-+>,设()()2 121f p x p x x =-+-+，则()f p 在[-2,2]上恒大于0， 故有：()()2 22043031 1120 10f x x x x x x f x ->??-+>><->->?????或或1x ?<-或3x > 2、 (Ⅱ)分析：在不等式中出现了两个字母：λ及t ,关键在于该把哪个字母看成是一个变量，另一个作为常数。 显然可将λ视作自变量，则上述问题即可转化为在(],1-∞-内关于λ的一次函数大于等于0恒成立的问题。(Ⅱ) 略解：由(Ⅰ)知：()f x x =，()sin g x x x λ∴=+，()g x Q 在[]11 -，上单调递减，()cos 0g x x λ'∴=+≤cos x λ∴≤-在[]11-，上恒成立，1λ∴≤-， []max ()(1)sin1g x g λ=-=--，∴只需2sin11t t λλ--≤++，2(1)sin110t t λ∴++++≥（其中1λ≤-）恒成立，由上述②结论：可令()2 (1)sin110(1f t t λλλ=++++≥≤-）,则2 t 101sin110t t +≤?? --+++≥?，21sin10 t t t ≤-? ∴?-+≥?，而2sin10t t -+≥恒成立，1t ∴≤-。 题型三、分离参数法（欲求某个参数的范围，就把这个参数分离出来） 1、当()1,2x ∈时，不等式2 40x mx ++<恒成立，则m 的取值范围是 . 解析: 当(1,2)x ∈时，由2 40x mx ++<得2 4x m x +<- .∴5m ≤-. 题型四、数形结合（恒成立问题与二次函数联系（零点、根的分布法）） 1、解析：对?x R ∈,不等式||x ax ≥恒成立、则由一次函数性质及图像知11a -≤≤，即11a -≤≤。 2、分析：为了使()f x k ≥在[)1,x ∈-+∞恒成立，构造一个新函数()()F x f x k =-，则把原题转化成左边二次函数在区间[)1,-+∞时恒大于等于0的问题，再利用二次函数的图象性质进行分类讨论，使问题得到圆满解决。 解：令()()2 22F x f x k x kx k =-=-+-，则()0F x ≥对[)1,x ∈-+∞恒成立，而()F x 是开口向上的抛物线。 | x ax =x ①当图象与x 轴无交点满足0?<，即()2 4220k k ?=--<，解得21k -<<。 ②当图象与x 轴有交点，且在[)1,x ∈-+∞时()0F x ≥，则由二次函数根与系数的分布知识及图象可得： ()010212 F k ? ??≥?? -≥??-?-≤-??解得32k -≤≤-，故由①②知31k -≤<。 小结：若二次函数()2 0y ax bx c a =++≠大于0恒成立，则有00 a >?? ? 0y ax bx c a =++≠小于0恒成立，则有0 a ? 题型五、不等式能成立问题（有解、存在性）的处理方法 若在区间D 上存在实数x 使不等式()f x A >成立,则等价于在区间D 上()max f x A >； 若在区间D 上存在实数x 使不等式()f x B <成立,则等价于在区间D 上的()min f x B <. 1、解：设()31f x x x =++-，由()23f x a a ≤-有解，()2 min 3a a f x ?-≥， 又()()31314x x x x ++-≥+--=，∴234a a -≥，解得41a a ≥≤-或。 2、解： 因为函数()f x 存在单调递减区间，所以()2 ' 121 20ax x f x ax x x +-=--=-< ()0,+∞有解.即()()2120,a x x x >-∈+∞能成立, 设()212u x x x =-. 由()2 21 2111u x x x x ?? =-=-- ???得, ()min 1u x =-.于是,1->a , 由题设0≠a ,所以a 的取值范围是()()+∞-,00,1Y 课后作业： 1、B 。解析：由方程log log 3a a x y +=可得3a y x =，对于任意的[,2]x a a ∈，可得23 22a a a x ≤≤，依题意得 22222a a a a a ?≤ ??≥? ?≥? 。 2、 答案：2513。解析：由不等式222 ()()a x y x y +≤+可得 2 1a x y y x ≤++，由线性规划可得312y x ≤≤。 3、解：原不等式有解()()2 2sin 4sin 1sin 231sin 1a x x x x ?>-+=---≤≤有解，而()2 min sin 232x ??--=-??，所以2a >-。 4、解：画出两个凼数y ax =和 y =[]0,3x ∈ 上的图象如图知当3x =时y =3 a = 当3a ≤ ，[]0,3x ∈时总有 ax ≤3 a ≤ 5、解析：（1）设()()()32 2312h x g x f x x x x c =-=--+，问题转化为[]3,3x ∈- ()()()266126120h x x x x x '=--=+-=，得1x =-或2。由导数知识，可知()h x 在[-在[]2,3单调递增，且()345h c -=-，()()17h x h c =-=+极大值，()()220h x h c ==-极小值，39h c =-，∴min 345h x h c =-=-， 由450c -≥，得45c ≥。 （2）据题意：存在[]3,3x ∈-，使()()f x g x ≤成立，即为：()()()0h x g x f x =-≥在[]3,3x ∈-有解，故()max 0h x ≥，由 （1）知()max 70h x c =+≥，于是得7c ≥-。 （3）它与（1）问虽然都是不等式恒成立问题，但却有很大的区别，对任意[]12,3,3x x ∈-，都有()()12f x g x ≤成立，不等式的左右两端函数的自变量不同，1x ，2x 的取值在[]3,3-上具有任意性，∴要使不等式恒成立的充要条件是： max min ()(),[3,3]f x g x ??x ?≤∈-。∵()()[]2 7228,3,3f x x c x =---∈-∴ ()()max 3147f x f c =-=-， ∵()2 6840g x x x '=+-=()()23102x x +-，∴()0g x '=在区间[]3,3-上只有一个解2x =。 ∴()()min 248g x g ==-，∴14748c -≤-，即195c ≥. （4）存在[]12,3,3x x ∈-，都有()()12f x g x ≤，等价于()()min 1max 2f x g x ≤，由(3)得()()min 1228f x f c ==--， ()()max 23102g x g =-=，28102130c c --≤?≥- 点评：本题的三个小题，表面形式非常相似，究其本质却大相径庭，应认真审题，深入思考，多加训练，准确使用其成立的充要条件。 6、解：（Ⅰ）2 234)(a ax x x f -+-=' （1分） 令,0)(>'x f 得)(x f 的单调递增区间为（a,3a ） 令,0)(<'x f 得)(x f 的单调递减区间为（－∞，a ）和（3a ，+∞） （4分） ∴当x=a 时，)(x f 极小值=;4 33 b a +- 当x=3a 时，)(x f 极小值=b. （6分） （Ⅱ）由|)(x f '|≤a ，得－a ≤－x2+4ax －3a2≤a.①（7分） ∵0 ∴]2,1[34)(2 2++-+-='a a a ax x x f 在上是减函数. （9分） ∴.44)2()(.12)1()(min max -=+='-=+'='a a f x f a a f x f 于是，对任意]2,1[++∈a a x ，不等式①恒成立，等价于 .154. 12,44≤≤?? ?-≥-≤-a a a a a 解得 又,10< <≤a 7、解：(1)∵OA →－[y ＋2f /(1)]OB →＋ln(x ＋1)OC →＝0，∴OA →＝[y ＋2f /(1)]OB →－ln(x ＋1)OC → 由于A 、B 、C 三点共线 即[y ＋2f /(1)]＋[－ln(x ＋1)]＝1…………………2分 ∴y ＝f(x)＝ln(x ＋1)＋1－2f /(1) f /(x)＝1x ＋1，得f /(1)＝1 2，故f(x)＝ln(x ＋1)…………………………………4分 （2）令g(x)＝f(x)－2x x ＋2，由g/(x)＝1x ＋1－2(x ＋2)－2x (x ＋2)2＝x2 (x ＋1)(x ＋2)2 ∵x ＞0，∴g/(x)＞0，∴g(x)在(0，＋∞)上是增函数………………6分 故g(x)＞g(0)＝0 即f(x)＞2x x ＋2………………………………………………………………8分 （3）原不等式等价于1 2x2－f(x2)≤m2－2bm －3 令h(x)＝12x2－f(x2)＝12x2－ln(1＋x2)，由h/(x)＝x －2x 1＋x2＝x3－x 1＋x2……………10分 当x ∈[－1，1]时，h(x)max ＝0，∴m2－2bm －3≥0 令Q(b)＝m2－2bm －3，则???Q(1)＝m2－2m －3≥0 Q(－1)＝m2＋2m －3≥0 得m ≥3或m ≤－3……………12分 8、解：(I) 由题意得 ()()12ln 20q p f e pe e qe p q e e e e ? ?=- -=--?-+= ?? ?而10e e +≠，所以p q = (II) 由 (I) 知 ()2ln p f x px x x =--，()222 22p px x p f x p x x x -+'=+-=…… 4分 令()2 2h x px x p =-+，要使()f x 在其定义域 (0,+∞) 内为单调函数，只需 h(x) 在 (0,+∞) 内满足：h(x) ≥0 或 h(x)≤0 恒成立. ………… 5分 ① 当0p ≤时，()2 0,200px x h x ≤-时，()2 2h x px x p =-+，其图象为开口向上的抛物线，对称轴为()1 0x p = ∈+∞，， ∴()min 11 h x h p p p ??==- ??? ，只需10p p -≥，即p ≥1时， h(x)≥0，()0f x '≥， ∴ f (x) 在 (0,+∞) 内为单调递增，故 p ≥1适合题意. 综上可得，p ≥1或 p ≤0 另解：(II) 由 (I) 知 f (x) = px －p x －2ln x f ’(x) = p + p x 2 －2x = p (1 + 1x 2 )－2 x 要使 f (x) 在其定义域 (0,+∞) 内为单调函数，只需 f ’(x) 在 (0,+∞) 内满足：f ’(x)≥0 或 f ’(x)≤0 恒成立. 由 f ’(x)≥0 ? p (1 + 1x 2 )－2x ≥0 ? p ≥2x + 1x ? p ≥(2 x + 1x )max ，x > 0 ∵ 2x + 1x ≤ 22x · 1x = 1，且 x = 1 时等号成立，故 ( 2x + 1x )max = 1 ∴ p ≥1 由 f ’(x)≤0 ? p (1 + 1x 2 )－2x ≤0 ? p ≤ 2x x 2 + 1 ? p ≤(2x x 2 + 1 )min ，x > 0 而 2x x 2 + 1 > 0 且 x → 0 时，2x x 2 + 1 → 0，故 p ≤0 综上可得，p ≥1或 p ≤0 (III) ∵ g(x) = 2e x 在 [1,e] 上是减函数 ∴ x = e 时，g(x)min = 2，x = 1 时，g(x)max = 2e 即 g(x) ∈ [2,2e] ………… 10分 ① p ≤0 时，由 (II) 知 f (x) 在 [1,e] 递减 ? f (x)max = f (1) = 0 < 2，不合题意。 ② 0 < p < 1 时，由x ∈ [1,e] ? x －1 x ≥0 ∴ f (x) = p (x －1x )－2ln x ≤x －1 x －2ln x 右边为 f (x) 当 p = 1 时的表达式，故在 [1,e] 递增 ∴ f (x)≤x －1x －2ln x ≤e －1e －2ln e = e －1 e －2 < 2，不合题意。 ③ p ≥1 时，由 (II) 知 f (x) 在 [1,e] 连续递增，f (1) = 0 < 2，又g(x) 在 [1,e] 上是减函数 ∴ 本命题 ? f (x)max > g(x)min = 2，x ∈ [1,e] ? f (x)max = f (e) = p (e －1 e )－2ln e > 2 ? p > 4e e 2－1 综上，p 的取值范围是 (4e e 2－1 ,+∞) 函数恒成立与有解问题 设()k x x x f -+=22，()x x x g 33-=，求满足下列条件的k 的取值范围 （1） 若对任意[]3,1-∈x ，都有()()x g x f ≤，求k 的取值范围 （2） 若存在[]3,1-∈x ，使得()()x g x f ≤，求k 的取值范围 （3） 若对任意[]3,1,21-∈x x ，都有()()21x g x f ≤，求k 的取值范围 （4） 若对任意[]3,11-∈x ，总存在[]3,12-∈x ，使得()()21x f x g ≥，求k 的范围 （5） 若对任意[]3,12-∈x ，总存在[]3,11-∈x ，使得()()21x g x f =，求k 的范围 “恒成立问题”与“存在性问题”的基本解题策略 一、“恒成立问题”与“存在性问题”的基本类型 恒成立、能成立、恰成立问题的基本类型 1、恒成立问题的转化：()a f x >恒成立?()max a f x >；()()min a f x a f x ≤?≤恒成立 2、能成立问题的转化：()a f x >能成立?()min a f x >；()()max a f x a f x ≤?≤能成立 3、恰成立问题的转化：()a f x >在M 上恰成立?()a f x >的解集为M ()()R a f x M a f x C M ?>???≤?? 在上恒成立 在上恒成立 另一转化方法：若A x f D x ≥∈)(,在D 上恰成立，等价于)(x f 在D 上的最小值A x f =)(min ，若,D x ∈B x f ≤)(在D 上恰成立，则等价于)(x f 在D 上的最大值B x f =)(max . 4、设函数()x f 、()x g ，对任意的[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≥，则()()x g x f min min ≥ 5、设函数()x f 、()x g ，对任意的[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≤，则()()x g x f max max ≤ 6、设函数()x f 、()x g ，存在[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≥，则()()x g x f min max ≥ 7、设函数()x f 、()x g ，存在[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≤，则()()x g x f max min ≤ 8、设函数()x f 、()x g ，对任意的[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f =，设f(x)在区间[a,b]上 的值域为A ，g(x)在区间[c,d]上的值域为B,则A ?B. 9、若不等式()()f x g x >在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上函数()y f x =和图象在函数()y g x =图象上方； 10、若不等式()()f x g x <在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上函数()y f x =和图象在函数()y g x =图象下方； 恒成立问题的基本类型 在数学问题研究中经常碰到在给定条件下某些结论恒成立的命题. 函数在给定区间上某结论成立问题,其表现形式通常有: 在给定区间上某关系恒成立; 某函数的定义域为全体实数R;●某不等式的解为一切实数;?某表达式的值恒大于a 等等… 恒成立问题，涉及到一次函数、二次函数的性质、图象,渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，有利于考查学生的综合解题能力，在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用。因此也成为历年高考的一个热点。 恒成立问题在解题过程中大致可分为以下几种类型： ①一次函数型；②二次函数型；③变量分离型；④根据函数的奇偶性、周期性等性质；⑤直接根据函数的图象。 二、恒成立问题解决的基本策略 大家知道，恒成立问题分等式中的恒成立问题和不等式中的恒成立问题。等式中的恒成立问题，特别是多项式恒成立问题，常简化为对应次数的系数相等从而建立一个方程组来解决问题的。 （一）两个基本思想解决“恒成立问题” 思路1、max )]([)(x f m D x x f m ≥?∈≥上恒成立在 思路2、min )]([)(x f m D x x f m ≤?∈≤上恒成立在 如何在区间D 上求函数f(x)的最大值或者最小值问题,我们可以通过习题的实际,采取合理有效的方法进行求解,通常可以考虑利用函数的单调性、函数的图像、二次函数的配方法、三角函数的有界性、均值定理、函数求导 专题 恒成立存在性问题 知识点梳理 1、恒成立问题的转化：()a f x >恒成立?()max a f x >；()()min a f x a f x ≤?≤恒成立 2、能成立问题的转化：()a f x >能成立?()min a f x >；()()max a f x a f x ≤?≤能成立 3、恰成立问题的转化：()a f x >在M 上恰成立?()a f x >的解集为M ()()R a f x M a f x C M ?>???≤??在上恒成立 在上恒成立 另一转化方法：若A x f D x ≥∈)(,在D 上恰成立，等价于)(x f 在D 上的最小值A x f =)(min ，若,D x ∈B x f ≤)(在D 上恰成立，则等价于)(x f 在D 上的最大值B x f =)(max . 4、设函数()x f 、()x g ，对任意的[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≥，则()()x g x f min min ≥ 5、设函数()x f 、()x g ，对任意的[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≤，则()()x g x f max max ≤ 6、设函数()x f 、()x g ，存在[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≥，则()()x g x f min max ≥ 7、设函数()x f 、()x g ，存在[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≤，则()()x g x f max min ≤ 8、若不等式()()f x g x >在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上函数()y f x =和图象在函数()y g x =图象 上方； 9、若不等式()()f x g x <在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上函数()y f x =和图象在函数()y g x =图象下方； 题型一、常见方法 1、已知函数12)(2 +-=ax x x f ，x a x g = )(，其中0>a ，0≠x ． 1）对任意]2,1[∈x ，都有)()(x g x f >恒成立，求实数a 的取值范围； 2）对任意]4,2[],2,1[21∈∈x x ，都有)()(21x g x f >恒成立，求实数a 的取值范围； 2、设函数b x x a x h ++=)(，对任意]2,21[∈a ，都有10)(≤x h 在]1,4 1 [∈x 恒成立，求实数b 的取值范围． 3、已知两函数2 )(x x f =，m x g x -?? ? ??=21)(，对任意[]2,01∈x ，存在[]2,12∈x ，使得()21)(x g x f ≥，则实 数m 的取值范围为 有解无解恒成立与双变量问题的处理 宜章一中 吴 斌 “有解无解恒成立与双变量问题”是高中阶段的非常常见的一类函数问题，如何求解困扰了很多学生，那么遇到这类问题的常规思路与方法是什么呢？现例说几种问题的常规解法： 一．“有解”问题： 1° ()k x f ≤有解()k x f ≤?min ； 2° ()k x f ≥有解()k x f ≥?max ； 3° ()k x f =有解()x f k ∈?的值域； 例1、①已知函数()12+-=ax x x f 在]2,1[∈x 有零点，求实数a 的取值范围； ②已知不等式012≥+-ax x 在]2,1[∈x 有解，求实数a 的取值范围； ③已知不等式012≤+-ax x 在]2,1[∈x 有解，求实数a 的取值范围． 分析：①()x x a x f 10+=?=，而]25,2[1∈+x x ，则]2 5,2[∈a ； ②x x a 1+≤有解25)1(max =+≤?x x a ；即：2 5≤a ； ③x x a 1+≥有解2)1(min =+≥?x x a ；即：2≥a ． 二．“无解”问题： 1° ()k x f ≤无解()k x f >?min ； 2° ()k x f ≥无解()k x f ?x x a ；即：2 5>a ． 三．“恒成立”问题： ()k x f ≤恒成立()k x f ≤?max ；()k x f ≥恒成立()k x f ≥?min ； 例3、函数()ax e x x f x +?=在区间]2,1[上单调递增，求实数a 的取值范围． 分析：即()0'≥+?+=a e x e x f x x 在]2,1[∈x 恒成立； 高中恒成立问题总结 解决高考数学中的恒成立问题常用以下几种方法: ①函数性质法; ②主参换位法; ③分离参数法; ④数形结合法。 XXX 核心思想: 1.恒成立问题的转化: 恒成立; 2.能成立问题的转化: 能成立; 3.恰成立问题的转化: 若在D 上恰成立在D 上的最小值; 若在D 上恰成立在D 上的最大值. 4.设函数,，对任意的，存在，使得，则 ; 设函数,，对任意的，存在，使得，则 ; 设函数,，存在，存在，使得，则 ; 设函数,，存在，存在，使得，则; 5.若不等式在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上函数和图象在函数图象上方; 若不等式在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上函数和图象在函数图象下方. 6.常见二次函数 ①.若二次函数（或）在R 上恒成立，则有（或）; ②.若二次函数（或）在指定区间上恒成立，可以利用韦达定理以及根的分布等知识求解. ()a f x >?()max a f x >()()min a f x a f x ≤?≤恒成立()a f x >?()min a f x >()()max a f x a f x ≤?≤能成立A x f D x ≥∈)(,?)(x f A x f =)(min ,D x ∈B x f ≤)(?)(x f B x f =)(max ()x f ()x g []b a x ,1∈[]d c x ,2∈()()21x g x f ≥()()x g x f min min ≥()x f ()x g []b a x ,1∈[]d c x ,2∈()()21x g x f ≤()()x g x f max max ≤()x f ()x g []b a x ,1∈[]d c x ,2∈()()21x g x f ≥()()x g x f min max ≥()x f ()x g []b a x ,1∈[]d c x ,2∈()()21x g x f ≤()()x g x f max min ≤()()f x g x >()y f x =()y g x =()()f x g x <()y f x =()y g x =2()(0)0f x ax bx c a =++≠>0<00a >???0< 函数、不等式恒成立问题解法（老师用） 恒成立问题的基本类型： 类型1：设)0()(2 ≠++=a c bx ax x f ，(对于任意实数R 上恒成立) （1）R x x f ∈>在0)(上恒成立00?且a ； （2）R x x f ∈<在0)(上恒成立00a 时，],[0)(βα∈>x x f 在上恒成立?????>>-?????<- ?0 )(2020)(2βββαααf a b a b f a b 或或， ],[0)(βα∈ 恒成立问题与存在性问题 思路一： （1）若函数)(x f 在D 区间上存在最小值min )(x f 和最大值max )(x f ，则 不等式a x f >)(在区间D 上恒成立a x f >?min )(； 不等式a x f ≥)(在区间D 上恒成立a x f ≥?min )(； 不等式a x f <)(在区间D 上恒成立a x f )(或))((a x f ≥在区间D 上恒成立a m ≥?； 不等式a x f <)(或a x f ≤)(在区间D 上恒成立a n ≤?。 例题1： 已知函数.ln )(x x x f = （1）求函数.ln )(x x x f =的最小值； （2）若对所有的1≥x 都有1)(-≥ax x f ，求实数a 的取值范围。 答案：（1）11min )()(---==e e f x f ；（2）]1,(-∞ 变式：设函数)1ln(2)1()(2x x x f +-+= （1）求函数)(x f 的单调区间； （2）若当]1,1[1--∈-e e x 时，不等式m x f <)(恒成立，求实数m 的取值范围； （3）若关于x 的方程a x x x f ++=2)(在区间]2,0[上恰有两个相异实根，求实数a 的取 值范围。 答案：（1）递增区间是),0(+∞；递减区间是)0,1(- （2）22 ->e m （3）)3ln 23,2ln 22(-- 关于恒成立问题的解题策略 整理人：凌彬 一、恒成立问题的基本类型 在数学解题中经常碰到在给定条件下某些结论恒成立的命题． 函数在给定区间上某结论成立问题，其表现形式通常有： ①在给定区间上某关系恒成立；②某函数的定义域为全体实数R ； ③某不等式的解为一切实数； ④某表达式的值恒大于a ，等等 ┅ 恒成立问题，涉及到一次函数、二次函数的性质、图像，渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，有利于考查综合解题能力，是历届高考的热点之一． 恒成立问题在解题过程中大致可分为以下几种类型： ①一次函数型；②二次函数型；③变量分离型；④根据函数的奇偶性、周期性等性质； ⑤直接根据函数的图像． 二、恒成立问题解决的基本策略 A 、两个基本思想解决“恒成立问题” 思路1：()m f x ≥在x D ∈上恒成立max [()]m f x ?≥； 思路2：()m f x ≤在x D ∈上恒成立min [()]m f x ?≤． 如何在区间D 上求函数()f x 的最大值或者最小值问题，可以通过题目的实际情况，采取合理有效的方法进行求解，通常可以考虑利用函数的单调性、函数的图像、二次函数的配方法、三角函数的有界性、均值定理、函数求导，等等方法求函数()f x 的最值． 此类问题涉及的知识比较广泛，在处理上也有许多特殊性，希望大家多多注意积累． B 、赋值型——利用特殊值求解 等式中的恒成立问题，常常用赋值法求解，特别是对解决填空题、选择题能很快求得． 例1．由等式43243212341234(1)(1)(1)(1)x a x a x a x a x b x b x b x b ++++=++++++++； 定义映射f ：12341234(, , , )a a a a b b b b →+++，则f ：(4,3,2,1)_____→ 解：取0x =，则412341a b b b b =++++，又由已知41a =，所以12340b b b b +++=． 例2．如果函数()sin 2cos2y f x x a x ==+的图像关于直线8x π=- 对称，那么____a = 解：取0x =及4x π=-，则(0)()4 f f π=-，即1a =-． 此法体现了数学中从特殊到一般的转化思想． 恒成立与存在性问题 基本方法： 恒成立问题： 1. 对于(),x a b ?∈，()f x k ≥恒成立等价于min ()f x k ≥. 2. 对于(),x a b ?∈，()f x k ≤恒成立等价于max ()f x k ≤. 3. 对于[]12,,x x a b ?∈，12()()f x g x ≥等价于min max ()()f x g x ≥. 4. 对于[]12,,x x a b ?∈，12()()f x g x ≤等价于max min ()()f x g x ≤. 5. 对于[],x a b ?∈，()()f x g x ≥，等价于构造函数()()()h x f x g x =-，()h x 在区间[],a b 上的最小值min ()0h x ≥. 6. 对于[],x a b ?∈，()()f x g x ≤，等价于构造函数()()()h x f x g x =-，()h x 在区间[],a b 上的最大值max ()0h x ≤. 7. ()f x 在区间[],a b 上单调递增，等价于[]min ()0,,f x x a b '≥∈. 8. ()f x 在区间[],a b 上单调递减，等价于[]max ()0,,f x x a b '≤∈. 存在性问题： 1. ()0,x a b ?∈，使得()f x k ≥成立，等价于max ()f x k ≥. 2. ()0,x a b ?∈，使得()f x k ≤成立，等价于min ()f x k ≤. 3. []12,,x x a b ?∈，使得12()()f x g x ≥成立，等价于max min ()()f x g x ≥. 4. []12,,x x a b ?∈，使得12()()f x g x ≤，等价于min max ()()f x g x ≤. 5. [],x a b ?∈，使得()()f x g x ≥，等价于构造函数()()()h x f x g x =-，()h x 在区间[],a b 上的最大值max ()0h x ≥. 6. [],x a b ?∈，使得()()f x g x ≤，等价于构造函数()()()h x f x g x =-，()h x 在区间[],a b 上的最小值min ()0h x ≤. 参变分离： 解决有关参数的恒成立问题或存在性问题时经常会用到参变分离的方法：就是在 函数恒成立存在性问题 知识点梳理 1、恒成立问题的转化：()a f x >恒成立?()max a f x >；()()min a f x a f x ≤?≤恒成立 2、能成立问题的转化：()a f x >能成立?()min a f x >；()()max a f x a f x ≤?≤能成立 3、恰成立问题的转化：()a f x >在M 上恰成立?()a f x >的解集为M ()()R a f x M a f x C M ?>???≤??在上恒成立 在上恒成立 另一转化方法：若A x f D x ≥∈)(,在D 上恰成立，等价于)(x f 在D 上的最小值A x f =)(min ，若,D x ∈B x f ≤)(在D 上恰成立，则等价于)(x f 在D 上的最大值B x f =)(max . 4、设函数()x f 、()x g ，对任意的[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≥，则()()x g x f min min ≥ 5、设函数()x f 、()x g ，对任意的[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≤，则()()x g x f max max ≤ 6、设函数()x f 、()x g ，存在[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≥，则()()x g x f min max ≥ 7、设函数()x f 、()x g ，存在[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≤，则()()x g x f max min ≤ 8、若不等式()()f x g x >在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上函数()y f x =和图象在函数()y g x =图象 上方； 9、若不等式()()f x g x <在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上函数()y f x =和图象在函数()y g x =图象下方； 例题讲解： 题型一、常见方法 1、已知函数12)(2 +-=ax x x f ，x a x g = )(，其中0>a ，0≠x ． 1）对任意]2,1[∈x ，都有)()(x g x f >恒成立，求实数a 的取值范围； 2）对任意]4,2[],2,1[21∈∈x x ，都有)()(21x g x f >恒成立，求实数a 的取值范围； 2、设函数b x x a x h ++=)(，对任意]2,21[∈a ，都有10)(≤x h 在]1,4 1 [∈x 恒成立，求实数b 的取值范围． 3、已知两函数2 )(x x f =，m x g x -?? ? ??=21)(，对任意[]2,01∈x ，存在[]2,12∈x ，使得()21)(x g x f ≥，则实 数m 的取值范围为 题型二、主参换位法(已知某个参数的范围，整理成关于这个参数的函数) 专题训练 恒成立存在性问题 知识点梳理 1、恒成立问题的转化：()a f x >恒成立?()max a f x >；()()min a f x a f x ≤?≤恒成立 2、能成立问题的转化：()a f x >能成立?()min a f x >；()()max a f x a f x ≤?≤能成立 3、恰成立问题的转化：()a f x >在M 上恰成立?()a f x >的解集为M ()()R a f x M a f x C M ?>??? ≤??在上恒成立 在上恒成立 另一转化方法：若A x f D x ≥∈)(,在D 上恰成立，等价于)(x f 在D 上的最小值A x f =)(min ，若, D x ∈B x f ≤)(在D 上恰成立，则等价于)(x f 在D 上的最大值B x f =)(max . 4、设函数()x f 、()x g ，对任意的[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≥，则 ()()x g x f min min ≥ 5、设函数()x f 、()x g ，对任意的[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≤，则 ()()x g x f max max ≤。 6、设函数()x f 、()x g ，对任意的[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()12=f x g x ，则()f x 在 []b a x ,1∈上的值域M 是()x g 在[]d c x ,2∈上的值域N 的子集。即：M ?N 。 7、设函数()x f 、()x g ，存在[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≥，则()()x g x f min max ≥ 8、设函数()x f 、()x g ，存在[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≤，则()()x g x f max min ≤ 9、若不等式()()f x g x >在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上函数()y f x =和图象在函数 ()y g x =图象上方； 10、若不等式()()f x g x <在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上函数()y f x =和图象在函数 ()y g x =图象下方； 题型一、常见方法 1、已知函数12)(2 +-=ax x x f ，x a x g = )(，其中0>a ，0≠x ． 1）对任意]2,1[∈x ，都有)()(x g x f >恒成立，求实数a 的取值范围； 2）对任意]4,2[],2,1[21∈∈x x ，都有)()(21x g x f >恒成立，求实数a 的取值范围； 【分析：】 1）思路、等价转化为函数0)()(>-x g x f 恒成立，在通过分离变量，创设新函数求最值解决． 2）思路、对在不同区间内的两个函数)(x f 和)(x g 分别求最值，即只需满足)()(max min x g x f >即可． 简解：（1）由1 20122 32 ++-+-x x x a x a ax x 成立，只需满足12)(23++=x x x x ?的最小值大于a 即可．对1 2)(2 3++=x x x x ?求导，0)12(12)(2224>+++='x x x x ?，故)(x ?在]2,1[∈x 是增函数，3 2)1()(min = =??x ，所以a 的取值范围是32 0< 存在性与恒成立问题 1.已知函数f(x)=? ??ln(1-x) x<0(x-1)3+1 x≥0 ,若存在x 0,使得f(x 0) 【例1】 关于x 的不等式2121x x a a -+-++≤的解集为空集，则实数a 的取值范围是 _ ． 【例2】 若不等式1 21x a x + -+≥对一切非零实数x 均成立，则实数a 的最大值是_________． 【例3】 设函数2()1f x x =-，对任意23x ?? ∈+∞???? ，，2 4()(1)4()x f m f x f x f m m ??--+ ??? ≤恒成立，则实数m 的取值范围是 ． 典例分析 恒成立与有解问题 【例4】 若不等式220ax x ++>的解集为R ，则a 的范围是（ ） A ．0a > B ．1 8 a >- C ．18a > D ．0a < 【例5】 已知不等式 ()11112log 1122123 a a n n n +++>-+++L 对于一切大于1的自然数n 都成立，试求实数a 的取值范围. 【例6】 若不等式2(2)2(2)40a x a x -+--<对x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是______． 【例7】 2()1f x ax ax =+-在R 上恒满足()0f x <，则a 的取值范围是（ ） A ．0a ≤ B ．4a <- C ．40a -<< D ．40a -<≤ 【例8】 若对于x ∈R ，不等式2230mx mx ++>恒成立，求实数m 的取值范围． 【例9】 不等式210x ax ++≥对一切102x ?? ∈ ??? ，成立，则a 的最小值为（ ） A ．0 B ．2- C ．5 2 - D ．3- 【例10】 不等式2|3||1|3x x a a +---≤对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为 （ ） A ．(][)14-∞-+∞U ，， B ．(][)25-∞-+∞U ，， C ．[12]， D ．(][)12-∞∞U ， ， 【例11】 对任意[11]a ∈-，， 函数2()(4)42f x x a x a =+-+-的值恒大于零，则x 的取值范围为 ． 恒成立问题 二、恒成立问题解决的基本策略 A 、两个基本思想解决“恒成立问题” 思路1：()m f x ≥在x D ∈上恒成立max [()]m f x ?≥； 思路2：()m f x ≤在x D ∈上恒成立min [()]m f x ?≤． 如何在区间D 上求函数()f x 的最大值或者最小值问题，可以通过题目的实际情况，采取合理有效的方法进行求解，通常可以考虑利用函数的单调性、函数的图像、二次函数的配方法、三角函数的有界性、均值定理、函数求导，等等方法求函数()f x 的最值． 此类问题涉及的知识比较广泛，在处理上也有许多特殊性，希望大家多多注意积累． C 、分清基本类型，运用相关基本知识，把握基本的解题策略 1、一次函数型 若原题可化为一次函数型，则由数形结合思想利用一次函数知识求解，十分简捷． 给定一次函数() (0)y f x ax b a ==+≠，若()y f x =在[, ]m n 恒有()0f x >，则等价于：()0()0f m f n >??>?；同理，若在[, ]m n 恒有()0f x <，则等价于：()0()0f m f n +恒成立的x 的取值围． 解：原不等式转化为：2(1)210x a x x -+-+>在2a ≤时恒成立， 设2()(1)21f a x a x x =-+-+，则()f a 在[2, 2]-上恒大于0， 故有：(2)0(2)0f f ->??>?即2243010 x x x ?-+>??->??，解得：3111x x x x ><-?或或； ∴1x <-或3x >，即x ∈(－∞,－1)∪(3,+∞)． 2、二次函数型 例4．若函数()f x =R ，数a 的取值围． 解：由题意可知，当x R ∈时，222(1)(1)01 a x a x a -+-+≥+恒成立， ①当210a -=且10a +≠时，1a =；此时，222(1)(1)101a x a x a -+-+ =≥+，适合； 专题一：恒成立与存在性（精简型） 一、 恒成立之常用模型及方法一：分离参数法-----在指定的区间下对不等式作等价变形，将参数“a ”与变量“x ”左右分离开------ 模型------ αα>?∈>min )()(x f I x x f 恒成立对一切αα>?∈ 三、存在性之常用模型及方法：常见方法两种，一直接法同上恒成立，二 间接法，先求其否定（恒成立），再求其否定补集即可 例5已知322)(2 +-=ax x x f ，若存在(],2,1∈x 使得()0f 函数、不等式恒成立问题完整解法 恒成立问题的基本类型： 类型1：设)0()(2 ≠++=a c bx ax x f ，（1）R x x f ∈>在0)(上恒成立00?且a ； （2）R x x f ∈<在0)(上恒成立00a 时， ] ,[0)(βα∈>x x f 在上恒成立 ?????>>-?????<- ?0 )(2020)(2βββαααf a b a b f a b 或或， ],[0)(βα∈ 函数中存在与恒成立问题 一、考情分析 函数内容作为高中数学知识体系的核心,也是历年高考的一个热点.在新课标下的高考越来越注重对学生的综合素质的考察,恒成立与存在性问题便是一个考察学生综合素质的很好途径,它主要涉及到一次函数、二次函数、三角函数、指数函数和对数函数等常见函数的图象和性质及不等式等知识,渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法,在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用,故备受高考命题者的青睐,成为高考能力型试题的首选. 二、经验分享 (1) 设)0()(2 ≠++=a c bx ax x f ,（1）R x x f ∈>在0)(上恒成立00?且a ；（2）R x x f ∈<在0)(上恒成立00>?>0 )(0 )(0)(,0)(0)(0)(n f m f x f n f m f x f 恒成立恒成立 (3)根据方程有解求参数范围,若参数能够分离出来,可把求参数范围转化为求函数值域． (4) 利用分离参数法来确定不等式(),0f x λ≥,（ D x ∈,λ为实参数）恒成立中参数λ的取值范围的基本步骤: ①将参数与变量分离,即化为()()g f x λ≥（或()()g f x λ≤）恒成立的形式； ②求()f x 在x D ∈上的最大（或最小）值； ③解不等式()max ()g f x λ≥(或()()min g f x λ≤) ,得λ的取值范围. (5) 对于参数不能单独放在一侧的,可以利用函数图象来解.利用数形结合解决恒成立问题,应先构造函数,作出符合已知条件的图形,再考虑在给定区间上函数与函数图象之间的关系,得出答案或列出条件,求出参数的范围. (6) 某些含参不等式恒成立问题,在分离参数会遇到讨论的麻烦或者即使能容易分离出参数与变量,但函数的最值却难以求出时,可考虑变换思维角度.即把主元与参数换个位置,再结合其它知识,往往会取得出奇制胜的效果. 恒成立和存在性问题 函数中经常出现恒成立和存在性问题，它能够很好地考察函数、不等式等知识以及转化与化归等数学思想，因此备受命题者青睐，在高考中频频出现，也是高考中的一个难点问题． 例1已知函数f (x )＝ax 2－ln x (a 为常数)． (1) 当a ＝12 时，求f (x )的单调减区间； (2) 若a <0，且对任意的x ∈[1，e]，f (x )≥(a －2)x 恒成立，求实数a 的取值范围． 例2已知函数f (x )＝mx －a ln x －m ，g (x )＝e x e x ，其中m ，a 均为实数． (1) 求g (x )的极值； (2) 设m ＝1，a <0，若对任意的x 1，x 2∈[3,4](x 1≠x 2)，|f (x 2)－f (x 1)| 思维变式题组训练 1. 已知函数(x ＋1)ln x －ax ＋a ≥0在x ∈[1，＋∞)恒成立，求a 的取值范围． 2. 已知e 为自然对数的底数，函数f (x )＝e x －ax 2的图象恒在直线y ＝32 ax 上方，求实数a 的取值范围． 3. 已知函数f (x )＝(a ＋1)ln x ＋ax 2 ＋1. (1) 试讨论函数f (x )的单调性； (2) 设a <－1，如果对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，|f (x 1)－f (x 2)|≥4|x 1－x 2|，求实数a 的取值范围． 强化训练 一、 填空题 1. 若当x ∈(1,2)时，不等式x 2＋mx ＋4<0恒成立，则实数m 的取值范围是________．恒成立与存在性问题的基本解题策略
(完整版)恒成立存在性问题
有解无解恒成立问题的处理
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关于函数恒成立问题的解题
专题一：恒成立与存在性问题(精简型)
函数、不等式恒成立问题完整解法
函数中存在与恒成立问题
专题 恒成立和存在性问题