运动电荷在磁场中的偏转

运动电荷在磁场中的偏转

针对运动电荷在磁场中的偏转这类问题的分析、解答，是高考命题中的一个热点，也是教学中的重点、难点。因为在这类问题中对物理过程的分析能力，电荷在磁场中：运动轨迹的想象能力均有较高的要求，因此在历届高考中考生的得分率都很低。为了更好地把握这类问题的教学，提高学生的解题能力，本文试就这类问题的题型特点及解答技巧作一些探讨。

高考要求：针对运动电荷在匀强磁场中偏转问题的复杂性，高考中只限于，带电微粒在匀强磁场中(只受

洛仑兹力)做匀速圆周运动，这种特殊情况的分析。

知识要求：

(1)在匀强磁场中做匀速圆周运动所需向。心力由洛仑兹力充当：Bqv

f =向 (2)粒子在磁场中运动时间的由来确定，式中的为粒子的速度偏转 角度，通常借助数学几

ωθ=t θ何中有关“四点共圆’’的知识来确定，为粒子旋转的角速 度，由来确定。ωm Bq =ω (3)圆心位置的确定：一般借助两确切位置速度垂线的交点；或一位置速度 的垂线和一条弦的中垂

线的交点，等办法来确定。

(4)轴道半径的确定：一般借助于几何知识或运用来确定。

Bq mv R = 这类问题的多样性和复杂性主要来源于轨道半径和圆心位置的确定上，因此，这两个方面即是重点，又是难点。下面我就这类问题中有关由已知条件的变化，而引起的题型变化情况来探讨这类问题的解题规律。

一、单一圆心位置型

这类题目的特点是：不仅V 、B 的大小确定，而且粒子进、出磁场时速度的方向也唯一确定。于是就可以利用粒子进、出磁场时作其速度的垂线来确定圆心的位置，这样它就具有确定的圆心位置和轨道半径，属于基础题型。

【例题1】如图：一束电子(电量为e)以速度垂直射入磁感应强度为B ，宽度为d 的匀

v

强磁场中，穿透磁场时速度方向与电子原来入射方向的夹角是300，则电子的质量和穿透磁

场的时间是多少．

【解析】电子在磁场中运动，只受洛仑兹力作用，故其轨迹是圆周的一部分，结合题目

的条件，在电子进入磁场的A 点和出磁场的B 点分别作其速度的垂线，其交点0即为圆心

分别作其速度的延长线得交点C ，由几何知识可知;AOBC 这四点共圆，于是有AB 弧对应的

圆心角，0B 为半径R ， 又由几何知识可得;030=∠AOB d

d R 230sin 0==由; 有; R mv Bev 2=v

Bed m 2=由; , 有; v

R t θωθ==v d

t 3π=【例题2】如图，三个同样的带电粒子，分别以速度、

2v 和3v 沿水平方向从

1v 同一点射入同一匀强磁场中，且离开磁场时与水平边界线的夹角依次为，

o 0190=θ，，(忽略粒子重力)试计算： 粒子在磁场中运动时间之比，

0260=θ0330=θ【解析】这道题目与例题(1)属于同一类型，粒子进、出磁场时速度的方向都唯一确

定。我们可以采用同样的方法，分别得出它们做圆周运动的圆心01、02、03的位置和对+应的偏转角900、600、300，由特征方程：，有；，由此可知，其运动的角速度相同．由，

R m Bqv 2ω=m Bq =ωωθ=t

有；t 1:t 2:t 3=3:2:1

二、圆心位置在一维空间上变化型

这类题目的特点是：粒子进入磁场时速度的方向是确定的，但速度的大小和B 的大小不确定，随着V 或B 大小的变化，粒子出磁场时的位置和速度的方向也随之变化，由于粒子进入磁场时速度的方向确定，尽管圆心的位置变化，但总在某一条直线(粒子进入磁场时速度方向的垂线)上变化，属于中等难度的典型题。

【例题3】一个质量为m ，电量为q 的正离子从坐标原点0处沿轴正方向

y

以初速度0v 射入一个边界为矩形的匀强磁场中，如图，磁场方向垂直于xoy 平

面向里，它的边界分别为、，、，改变B 的大小，

01=y a y =2a x 5.11-=a x 5.12=粒子可以从磁场不同边界射出，并且射出磁场后偏离原来速度的角度会随之

θ改变，试讲述粒子可以从哪几个边界射出，从这几个边界射出时B 的大小及偏转角度各在什么范围内?

θ【解析】1、由于正离子进入磁场时的速度方向沿轴的正方向，故这个正离子在这个磁场中做圆周y 运动的圆心位置一定在轴的负半轴的某一点上。

x

2、由，可知，结合题目的条件，由于B 的大小发生变

R mv Bqv 2=Bq mv R =化，将会引起R 大小的变化，我们不妨由R 从小到大逐渐变化的顺序来展开问题

的分析。当R 很小时这个正离子将从轴的负半轴射出磁场，如图中从b 、c 两

x 点射出的离子，这时的最大半径为R 1=0.75a ，如从c 点射出的离子，故有：，离子的偏转角qa mv B 4=度为。

0180=θ 3、随着R 的逐渐增大，离子将从左边虚线边射出磁场，如图中从d 、e 两点射出的离子，这时的最大半径为R 2=a ，如从e 点射出的离子，这条轨迹的特点为与上边虚线边相切，其切点坐标为(-a 、a)，与左边虚线边相交，交点坐标为(-1.5a 、)．可知为了保证离子从左边虚线边射出，其B 应满足23a ，其偏转角度l200≤≤1800

qa mv B qa mv 34≤≤θ 4、随着R 的增大，离子将从上边的虚线边射出磁场，如从f 点射出的离子，出磁场的范围应在(-a 、a)此点之右(不包括该点)，此时，，。

qa mv B <090<θ 启示：从以上的分析可以看出，不能B 怎样变化，总有一部分空间范围没有离子射出，那么又怎样确定这个范围呢，相关的条件如何?

【例题4】如图，长为L 的水平极板间，有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B ，极板间距

离也为L ，板不带电。现有质量为m ，电量为q 的正粒子(不计重力)，从左边极板间中点处垂

直磁感线以速度水平射入磁场，欲使粒子不打在极板上，则速度必须满足什么条件?

0v 0v 【解析】由于题目只给出了粒子进入磁场时的速度方向，而没有给出粒子进入磁场时的速度大小，由，得；，再结合粒子进入磁场时的旋转方向。可确定其圆心一定在与其速度垂直的mv Bqv 2=Bq mv R =一条直线上，只是不能确定其具体的位置，由可知随的增大而增大，从而使其

Bq mv R =R v

圆心距粒子进入磁场的位置越来越远，因题目只要求粒子不打在极板上，而没有规定粒子射出

磁场的范围，由几何知识可知，其偏转半径R 只须满足R>r 1如图中从d 、e 两位置射出的粒子、或R

①当粒子从b 位置射出时，由几何知识有；，故粒子的速度应满足；42L r =m

BqL v 4<②当粒子从d 位置射出时，由几何知识有；，故粒子的速度应满足；

21221)2(L r L r -+=51L r = m BqL v 45>综上所述：欲使粒子不打在极板上，粒子的速度应满足；或m BqL v 4

BqL v 45>思考：欲使粒子打在极板上，粒子的速度应满足什么条件?

三、圆心位置在二维平面上变化型：

这类题目的特点是：粒子进入磁场时速度的大小和B 确定，但速度的方向不唯一，根据

v 可知，粒子做圆周运动的轨道半径是确定的，由于速度的方向不确定，导致其圆心的具体位mv Bqv 2=置不唯一，属于难度较大的一类题目，在历届的高考中往往以所谓的压轴题出现。

【例题5】如图，半径R=10cm 的圆形匀强磁场区域边界跟轴相切于坐标原点0，磁感应强度

y B=0.332T ，方向垂直纸面向里，在O 处有一放射源可沿纸面向各个方向射出速率均为v=3.2×106m ／s 的粒子。已知粒子的质量m=6.64×1027k g ，电量q=3.2×10-19C

αα

(1)画出粒子通过磁场空间做圆运动的圆心点的轨迹。

α (2)求出 粒子通过磁场空间的最大偏转角。

α【解析】结合题目的条件，粒子进入磁场的速率确定．由方程可得粒

R mv Bqv 2=子做圆运动的半径R=20cm 。尽管各个粒子做圆周运动的圆心位置不同，但半径是

相同的。以放射源S 为圆心，以20cm 为半径作圆孤便可得到其圆心位置的变化轨

迹,如图中的abc 圆孤所示。

在圆心轨迹上任取一点为圆心，以20cm 为半径，画出粒子在磁场中的运动

1o 轨迹，如图中的oed 圆孤所示。由几何知识(四点共圆)可知，其速度的偏向角

与圆心角的大小相等，结合有关圆的知识可知，要使圆心角最大，其对应的弦长应为最θd oo 1∠d oo 1∠od 长，由图可知弦的最大值为20cm 。此时的圆心角，故粒子通过磁场空间的最大偏转角为od 0160=∠d oo 600。

【例题6】如图，S 为电子源，它只能在如图所示纸面上的3600范围内发射速率相同，质量为m ，电量为e 的电子，MN 是一块足够大的竖直挡板，与S 的水平距离OS=L ，挡板左侧充满垂直纸面向里的匀强磁场，磁感强度为B 。

(1)要使S 发射的电子能到达挡板，则发射电子的速率至少多大?

(2)若S 发射的电子速率为eBL ／m 时，挡板被电子击中的范围有多大?(要求指明S 在

哪个范围内射出的电子可能击中挡板，并在图中画出击中挡板距O 上、下最远的电子的运

动轨迹)

【解析】1、要使s 发射的电子能到达挡板，说明电子的运动轨迹应与挡板相交，而

距S 最近的交点是圆轨迹与挡板的切点，可知其最小的半径为R=L ／2，如图中的圆轨迹

所示，由，可得其最小的速率为。

3o R mv Bev 2=m BeL v 2= 2、这一问的特点是；进入磁场的电子速率确定，于是可得出各个电子做圆运动的半

径，由于速度方向不确定，故不能确定其圆心的具体位置，这样就可以以S 为圆

L R ='心，以L 为半径得到其圆心的位置变化轨迹，于是就可以寻找电子在0点以下击中挡板

的最低点B(注意电子在磁场中的旋转方向)，应为轨迹圆与挡板的切点，如图中的B 点，由几何知识可知，最低点B 距O 点的距离为L ．

下面，再寻找在O 点以上的最高点，电子要击中挡板，说明电子的轨迹圆应与挡板相交，由几何知识可得最高的交点A 到S 的距离为轨迹圆的直径时，轨迹圆与挡板的交点位置最高。这样最高点A 距O 点的距离为。L 3 故挡板被电子击中的范围在0点上、下距O 点的最远距离分别为和L 。

L 3