特殊平行四边形：证明题

基础篇

特殊平行四边形之证明题 题型一：菱形的证明

5如图，在△ ABC 中, ABAC D 是BC 的中点，连结 AD 在AD 的延长线上取一点 E,连结BE CE

1、如图，在三角形ABC 中，AB >

折，使点A 落在边BC 上，记为A .

A. C. AC ， D 、E 分别是AB 、AC 上的点，△ ADE 沿线段DE 翻 若四边形ADAE 是菱形，则下列说法正确的是() AA 是BC 边上的中线 AA 是^ ABC 的角平分线

DE 是^ ABC 的中位线 B. AA 是BC 边上的高 D.

已知：如图，在 Y ABCD

中，AE 是BC 边上的高，将△ ABE 沿BC 方向平移，使点E 与点C 重 2.

合，得△ GFC . (1)求证：BE DG ;

(2)若 B 60°当AB 与BC 满足什么数量关系时，四边形 ABFG 是菱形？证明你的结论.

3、将平行四边形纸片 ABCD 按如图方式折叠，使点C 与A 重合，点D 落到D '处, 折痕

为EF .

(1) 求证：△ ABE AD F

(2) 连接CF ,判断四边形 AECF 是什么特殊四边形？证明你的结论.

4.如图，

△

CD

ABC 中，AC 的垂直平分线 MN 交AB 于点D ，交AC 于点0，CE // AB 交MN 于E ，连结AE 、 求证：

AD = CE ; ( 2)填空：四边形 ADCE 的形状是

ABEC 是菱形？并说明理由.

(1)求证：△ ABE ACE

B 第19

/ B 的平分线交于点 D DE AC 交BC 于点E , DF " BC 交AC 于点F . _心；

9、如图，已知：在四边形ABFC 中, ACB =90 , BC 的垂直平分线EF 交BC 于

点D,交AB 于点E,且CF=AE

(1)试探究，四边形BECF 是什么特殊的四边形；

⑵ 当 A 的大小满足什么条件时，四边形BECF 是正方形？请回答并证明你的结论. (特别提醒：表示角最好用数字)

10、如图，矩形 ABCD 中，0是AC 与BD 的交点，过0点的直线EF 与AB, CD 的延长线分别 交于 E ，F .

(1)求证：△ BOEDOF ；

(2)当EF 与AC 满足什么关系时，以 A, E ，C ，F 为顶点的四边形是菱形？证明你的结论.

6如图，将矩形ABCD 沿对角线AC 剪开，再把 △ ACD 沿CA 方向平移得到△ AC D .

(1) 证明△ AAD CCB ;

(2) 若 ACB 30°，试问当点C 在线段AC 上的什么位置时，四边形 ABC D 说明理由.

7在菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ， AB 5, AC 6 .点

BC 的延长线于点E .

(1)求△ BDE 的周长；

是菱形，并请 A A

(2)点P 为线段BC 上的点，连接 PO 并延长交AD 于点Q ?求证：BP

/ //DAC 交

8如图，在△ ABC 中，/ A

(1 )点D 是^ ABC 勺 _______ (2)求证：四边形 DEC 为菱形

.

Q .

C

型二：正方形的证明题

1、四边形ABCD、DEFG都是正方形，连接AE、CG.

(1)求证：AE=CG;( 2)观察图形，猜想AE与CG之间的位置关系，并证明你的猜想

2、把正方形ABCD绕着点A，按顺时针方向旋转得到正方形AEFG，边FG与BC 交于点H (如图)?试问线段HG与线段HB相等吗？请先观察猜想，然后再证明你的猜想.

(2)

4、如图12，B、C E是同一直线上的三个点，四边形ABCD与四边形CEFG是都是正方形.

连接BG DE. (1)观察猜想BG与DE之间的大小关系，并证明你的结论.

(2)在图中是否存在通过旋转能够互相重合的两个三角形？若存在，请指出，并说出旋转过程；若不存在, 请说明理由.

5.如图①，四边形ABCD是正方形，点G是BC上任意一点，DE丄AG于点E，BF丄AG于点F.

(1)求证：DE —BF = EF .

(2)当点G为BC边中点时，试探究线段EF与GF之间的数量关系，并说明理由.

(3)若点G为CB延长线上一点，其余条件不变?请你在图②中画出图形，写出此时的数量关系(不需要证明).

图②在正方形ABCD中, G是CD上一点，延长BC到DE、BF、EF 之间

E

7、已知：如图，

(1)求证：△ BCG^^ DCE

(2 )将^ DCE绕点D顺时针旋转90 °得到△ DAE，判断四边形E,使CE= CG连接BG并延长交DE于F. E' BGD是什么特殊四边形？并说明理由.

△ABC中，AB AC，D为BC边的中点，过点D作DE丄AB, DF丄AC，F .

△BED 尢 CFD ;

(2)若A 90°求证：四边形DFAE是正方形.

题型五：矩形的证明题

1.如图，在△ ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF=BD，连结BF。

求证：BD = CD;

如果AB=AC，试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论。

(1)

(2)

2.如图，在梯形ABCD 中，AD // BC，AB // DE，AF //

四边形AEFD是平行四边形.

(1)AD与BC有何等量关系？请说明理由；

(2)当AB

DC，E、F两点在边BC上，且DC时，求证：Y ABCD是矩形.

3.如图，四边形

求证：(1)Z

ABCD是矩形，△卩阮和^ QCD都是等边三角形，且点

PBA= / PCQ=30° ; ( 2) PA=PQ.

P在矩形上方，点Q在矩形内.

9.如图：已知在

垂足分别为E，

(1)求证：

4.如图，△ ABC 中，AB=AC ，AD 、AE 分别是/ BAC 和/ BAC 和 外角的平分线，BE 丄AE .( 1)求证：DA 丄AE ;( 2) DE 是否相等？并证明你的结论.

5、如图，在△ ABC 中，点C 是A(边上的一个动点，过点 / BCA 勺外角平分线于点F .

(1)求证：E(=FC ( 2)当点C 运动到何处时，四边形

6、如图，在△ ABC 中，D 是BC 边上的一点，E 是AD 的中点，过点A 作BC 的平行线交BE 的 延长线于

F ，且AF DC ，连接CF .

(1)求证：D 是BC 的中点；(2)如果AB AC ，试猜测四边形 ADCF 的形状，并证明你的结论.

试判断AB 与

O 乍直线M M BC 设M 交/ BC 的角平分线于点E ,交

AEC 是矩形？并证明你的结论

.

题型六：综合证明题

2.如图所示，在 Rt △ ABC 中，/ ABC 90 .将Rt △ ABC 绕点C 顺时针方向旋转 60得到 △

DEC ，点E 在AC 上，再将Rt △ ABC 沿着AB 所在直线翻转180得到△ ABF.连接AD.

(1) 求证：四边形AFCD 是菱形；

(2) 连接BE 并延长交AD 于G,连接CG,请问：四边形ABCG 是什么特殊平行四边形？为什

么？

3.如图，△ ABC 中，点0是边AC 上一个动点，过0作直线MN // BC ,设MN 交 BCA 的 平分线于点

E ，交 BCA 的外角平分线于点

F .

(1) 探究：线段OE 与OF 的数量关系并加以证明；

(2) 当点0在边AC 上运动时，四边形 BCFE 会是菱形吗？若是，请证明，若不是，则说明理由； (3) 当点0运动到何处，且 △ ABC 满足什么条件时，四边形 AECF 是正方形？

试说明在旋转过程中，线段 AF 与EC 总保持相等；

在旋转过程中，四边形 BEDF 可能是菱形吗？如果不能，请说明理由；如果

能，说明理由并求出此

5、如图15,平行四边形ABCD 中，AB

AC ，AB 1，BC J 5 .对角线 AC ，BD 相交 于点0，将直线AC 绕点0顺时针旋转，分别交

BC, AD 于点 E ，F .

(1) 证明：当旋转角为90°时，四边形ABEF

是平行四边形;

(2) (3)

时AC 绕点0顺时针旋转的度数.

D 提咼篇

选讲四边形证明经典题

1.在口 ABCD 中，AC 、 E 、G 、F 、H 四点， 试判断四边形 当 EF 丄GH 时，四边形EGFH 的形状是

__________ 在（2）的条件下，若 AC=BD ，四边形EGFH 在（3）的条件下，若 AC 丄BD , 边于 (1) (2) (3) (4)

如图①, 如图②, 如图③, 如图④, BD 交于点0,过点0作直线EF 、GH ，分别交平行四边形的四条 连结 EG 、GF 、FH 、HE. EGFH 的形状，并说明理由；

试判断四边形 B H

F C

图①

H

B F C

图②

的形状是 ___________ ; EGFH 的形状，并说明理由. （第1题图）

2. 已知：如图，在正方形 （1） 求证：BE = DF; （2） 连接AC 交EF 于点0延长0C 至点M 使0M= 0A 连接 是什么特殊四边形？并证明你的结论. ABC ［中，点E 、F 分别在BC 和CD±, AE = AF

.

EM FM 判断四边形 AEMF

3.如图， ABM 为直角，点C 为线段BA 的中点，点D 是射线BM 上的一个动点（不与

⑵ 当点E运动到什么位置时，四边形EGFH是菱形？并加以证明.

⑶ 若⑵ 中的菱形EGFH是正方形，请探索线段EF与线段BC的关系，并证明你的结论.

点B重合)，连结AD ,作BE AD ,垂足为E ,连结CE ,过点E作EF CE，交BD 于F .

(2) (1)求证：BF FD ;

A在什么范围内变化时，四边形ACFE是梯形，并说明理由;

A在什么范围内变化时，线段

1

DE上存在点G，满足条件DG - DA，并说明理

4

由

.

⑴ 试探索四边形EGFH的形状，并说明理由.

(第25题图〕

5.如图所示，在△ ABC中，分别以AB AC BC为边在BC的同侧作等边△ ABD等边△ ACE

等边△ BCF

(1)求证：四边形DAEF i平行四边形；

(2)探究下列问题：(只填满足的条件，不需证明)

①当△ABC满足____________________________ 条件时,

②当△ABC满足____________________________ 条件时,

③当△ABC满足____________________________ 条件时,

存在.

四边形

四边形

以D

DAEF是矩形；

DAEF是菱形；

A E、F为顶点的四边形不

E

(第29题图)

6.如图，已知正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点丄EB于G, AG交BD于点F,贝U 0E= OF,

对上述命题，若点丄EB，交EB的延长线于点G , AG的延长线交DB的延长线于点F,其它条件不

变，则结论"0E= OF”还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，说明理由。

0, E是AC上一点，过A作AG E在

AC的延长线上，AG

AE FC

ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 上的点，且——=——=

BE BF

8.如图，E 、F 分别是正方形 取一点G ,使AG = AD , EG 与DF 相交于点 H 。求证：AH =

AD 。

9、如图，等腰梯形ABCD 中，AB // CD ,对角线AC 、 P 、Q 分别是0D 、OA 、BC 的中点。

(1) 求证：△ PQS 是等边三角形；

(2)若 AB = 8, CD = 6，求 S PQS 的值。

问题一图 1 GC = AH DG HD =k ( k > 0)，阅读下列材料, 然后回答下面的问题:

FC = GC BF DG

AE = AH

BE HD

①连结AC ,则EF 与GH 是否一定平行，答：

_____

EFGH 是平行四边形; BD 只需满足 ________ BD 只需满足

如上图，连结BD ??? EH // BD , FG //

BD

② 当k 值为 ________ 时, ③ 在②的情形下，对角线 ④ 在②的情形下，对角线 四边形 AC 和 AC 和 条件时, 条件时, EFGH 为矩形; EFGH 为菱形;

G

第2题图

7、在四边形

ABCD 的边 AB 、BC 上的点，且 EF // AC ，在 DA

的延长线上

(3)右S PQS ■ S AOD = 4■ 5，求CD - AB 的值。

10.将一把三角尺放在边长为1的正方形ABCD上，并使它的直角顶点P在对角线AC上滑行，直角的一边始终经过点B，另一边与射线DC相交于点Q。

探究：设A、P两点间的距离为x。

(1)当点Q在边CD上时，线段PQ与线段PB之间有怎样的关系？试证明你观察得到的结论；

(2)当点Q在边CD上时，设四边形PBCQ的面积为y ,求y与x之间的函数关系式，并写出函数的定义域；

(3)当点P在线段AC上

滑行时，△ PCQ是否可能成为等

腰三角形，如果可能，指出

x值；如果不可能，请说明

11、如图，四边形ABCD为正方形，DE // AC , AE = AC , 求

证：CE = CF.

第4题图

所有能使^ PCQ成为等腰三角形的点Q的位置，并求出相应的理由

(题目中的图形形状大小都相同，供操作用)。

AE与CD相交于F.

12、如图，四边形ABCD为正方形，DE // AC,且CE= CA，直线EC交DA延长线于F. 求证：AE =

AF.