功率谱密度

功率谱密度谱是一种概率统计方法，是对随机变量均方值的量度。一般用于随机振动分析，连续瞬态响应只能通过概率分布函数进行描述，即出现某水平响应所对应的概率。

功率谱密度是结构在随机动态载荷激励下响应的统计结果，是一条功率谱密度值—频率值的关系曲线，其中功率谱密度可以是位移功率谱密度、速度功率谱密度、加速度功率谱密度、力功率谱密度等形式。数学上，功率谱密度值—频率值的关系曲线下的面积就是方差，即响应标准偏差的平方值。

谱是个很不严格的东西，常常指信号的Fourier变换，是一个时间平均（time average）概念功率谱的概念是针对功率有限信号的(能量有限信号可用能量谱分析)，所表现的是单位频带内信号功率随频率的变换情况。保留频谱的幅度信息，但是丢掉了相位信息，所以频谱不同的信号其功率谱是可能相同的。有两个重要区别：1。功率谱是随机过程的统计平均概念，平稳随机过程的功率谱是一个确定函数；而频谱是随机过程样本的Fourier变换，对于一个随机过程而言，频谱也是一个“随机过程”。（随机的频域序列）2。功率概念和幅度概念的差别。此外，只能对宽平稳的各态历经的二阶矩过程谈功率谱，其存在性取决于二阶局是否存在并且二阶矩的Fourier变换收敛；而频谱的存在性仅仅取决于该随机过程的该样本的Fourier变换是否收敛。热心网友回答提问者对于答案的评价：谢谢解答。

频谱分析（也称频率分析），是对动态信号在频率域内进行分析，分析的

结果是以频率为坐标的各种物理量的谱线和曲线，可得到各种幅值以频率为变

量的频谱函数F(ω)。频谱分析中可求得幅值谱、相位谱、功率谱和各种谱密

度等等。频谱分析过程较为复杂，它是以傅里叶级数和傅里叶积分为基础的。

功率谱是个什么概念？它有单位吗?

随机信号是时域无限信号，不具备可积分条件，因此不能直接进行傅氏变换。一般用具有统计特性的功率谱来作为谱分析的依据。功率谱与自相关函数是一个傅氏变换对。功率谱具有单位频率的平均功率量纲。所以标准叫法是功率谱密度。通过功率谱密度函数，可以看出随机信号的能量随着频率的分布情况。像白噪声就是平行于w轴，在w轴上方的一条直线。

功率谱密度，从名字分解来看就是说，观察对象是功率，观察域是谱域，通常指频域，密度，就是指观察对象在观察域上的分布情况。一般我们讲的功率谱密度都是针对平稳随机过程的，由于平稳随机过程的样本函数一般不是绝对可积的，因此不能直接对它进行傅立叶分析。可以有三种办法来重新定义谱密度，来克服上述困难。

一是用相关函数的傅立叶变换来定义谱密度；二是用随机过程的有限时间傅立叶变换来定义谱密度；三是用平稳随机过程的谱分解来定义谱密度。三种定义方式对应于不同的用处，首先第一种方式前提是平稳随机过程不包含周期分量并且均值为零，这样才能保证相关函数在时差趋向于无穷时衰减，所以lonelystar说的不全对，光靠相关函数解决不了许多问题，要求太严格了；对于第二种方式，虽然一个平稳随机过程在无限时间上不能进行傅立叶变换，但是对于有限区间，傅立叶变换总是存在的，可以先架构有限时间区间上的变换，在对时间区间取极限，这个定义方式就是当前快速傅立叶变换（FFT）估计谱密度的依据；第三种方式是根据维纳的广义谐和分析理论：Generalized harmonic analysis, Acta Math, 55(1930),117-258,利用傅立叶-斯蒂吉斯积分，对均方连续的零均值平稳随机过程进行重构，在依靠正交性来建立的。

另外，对于非平稳随机过程，也有三种谱密度建立方法，由于字数限制，功率谱密度的单位

是G的平方/频率。就是就是函数幅值的均方根值与频率之比。是对随机振动进行分析的重要参数。

功率谱密度的国际单位是什么?

如果是加速度功率谱密度，加速度的单位是m/s^2,

那么，加速度功率谱密度的单位就是(m/s^2)^2/Hz,

而Hz的单位是1/s,经过换算得到加速度功率谱密度的单位是m^2/s^3.

同理，如果是位移功率谱密度，它的单位就是m^2*s,

如果是弯矩功率谱密度，单位就是(N*m)^2*s

位移功率谱——m^2*s

速度功率谱——m^2/s

加速度功率谱——m^2/s^3

信号傅立叶变换的幅度图和频谱图matlab示例

fs=100;

x=-2:1/fs:2;

y=sin(3*pi*x);

z=rectpuls(x);

figure;plot(x,y,x,z,':r');

my=abs(fft(y));

mz=abs(fft(z));

my=my/max(my); %归一化

mz=mz/max(mz); %归一化

f=(0:1/length(x):1)*fs;

figure;plot(f(1:fs/2),my(1:fs/2),f(1:fs/2),mz(1:fs/2),':r');

my=20*log10(my+eps);mz=20*log10(mz+eps);

figure;plot(f(1:fs/2),my(1:fs/2),f(1:fs/2),mz(1:fs/2),':r'

时域信号--->相关函数--(FFT变换)-->功率谱--(除以频率分辨率)-->功率谱密度，这叫做间接求法，可以抑制白噪声，或者通俗的说不规律信号，分析的点数越多，规律信号的信噪比越好。

时域信号--(FFT变换)-->幅度谱--(平方)-->功率谱，这叫直接求法，最好不要用，除非你就想分析噪声有多

功率谱密度

在物理学中，信号通常是波的形式，例如电磁波、随机振动或者声波。当波的频谱密度乘以一个适当的系数后将得到每单位频率波携带的功率，这被称为信号的功率谱密度（power spectral density, PSD）或者谱功率分布（spectral power distribution, SPD）。功率谱密度的单

位通常用每赫兹的瓦特数（W/Hz）表示，或者使用波长而不是频率，即每纳米的瓦特数（W/nm）来表示。

尽管并非一定要为信号或者它的变量赋予一定的物理量纲，下面的讨论中假设信号在时域内变化。

上面能量谱密度的定义要求信号的傅里叶变换必须存在，也就是说信号平方可积或者平方可加。一个经常更加有用的替换表示是功率谱密度（PSD），它定义了信号或者时间序列的功率如何随频率分布。这里功率可能是实际物理上的功率，或者更经常便于表示抽象的信号被定义为信号数值的平方，也就是当信号的负载为1欧姆(ohm)时的实际功率。此瞬时功率（平均功率的中间值）可表示为：

由于平均值不为零的信号不是平方可积的，所以在这种情况下就没有傅里叶变换。幸运的是维纳-辛钦定理（Wiener-Khinchin theorem）提供了一个简单的替换方法，如果信号可以看作是平稳随机过程，那么功率谱密度就是信号自相关函数的傅里叶变换。

信号的功率谱密度当且仅当信号是广义的平稳过程的时候才存在。如果信号不是平稳过程，那么自相关函数一定是两个变量的函数，这样就不存在功率谱密度，但是可以使用类似的技术估计时变谱密度。

f(t) 的谱密度和f(t) 的自相关组成一个傅里叶变换对（对于功率谱密度和能量谱密度来说，使用着不同的自相关函数定义）。

通常使用傅里叶变换技术估计谱密度，但是也可以使用如Welch法（Welch's method）和最大熵这样的技术。

傅里叶分析的结果之一就是Parseval定理（Parseval's theorem），这个定理表明能量谱密度曲线下的面积等于信号幅度平方下的面积，总的能量是：

：上面的定理在离散情况下也是成立的。另外的一个结论是功率谱密度下总的功率与对应的总的平均信号功率相等，它是逐渐趋近于零的自相关函数。

功率谱密度谱是一种概率统计方法，是对随机变量均方值的量度。一般用于随机振动分析，连续瞬态响应只能通过概率分布函数进行描述，即出现某水平响应所对应的概率。

功率谱密度的定义是单位频带内的“功率”（均方值）

功率谱密度是结构在随机动态载荷激励下响应的统计结果，是一条功率谱密度值—频率值的关系曲线，其中功率谱密度可以是位移功率谱密度、速度功率谱密度、加速度功率谱密度、力功率谱密度等形式。数学上，功率谱密度值—频率值的关系曲线下的面积就是方差，即响应标准偏差的平方值。