《初中数学分层教学分层教学研究》结题报告
《在中学数学教学中对学生合情推理水平培养的研究》
研究报告
一、课题的提出
新的课程标准指出，??学生通过义务教育阶段的数学学习，经历观察、实验、猜想、证明等数学活动，发展合情推理水平和初步的演绎推理水平。"当今，教育领域正在全面推动，旨在培养学生创新水平的教学改革。但长期以来，中学数学教学十分强调推理的严谨性，过度渲染逻辑推理的重要性而忽视了生动活泼的合情推理，使人们误认为数学就是一门纯粹的演绎科学。事实上，数学发展史中的每一个重要的发现，除演绎推理外，合情推理也起重要作用，合情推理与演绎推理是相辅相成的。在证明一个定理之前，先得猜想、发现一个命题的内容，在完全作出证明之前，先得持续检验、完善、修改所提出的猜想，还得推测证明的思路。你先得把观察到的结果加以综合，然后加以类比，你得一次乂一次地实行尝试，在这个系列的过程中，需要充分使用的不是论证推理，而是合悄推理。合情推理的实质是“发现…猜想”，牛顿早就说过：“没有大胆的猜想就做不出伟大的发现。”著名的数学教育学波利亚早在1953年就大声疾呼：“让我们教猜测吧! 先猜后证一这是绝绝大部分的发现之道”。在解决问题时的合情推理的特征是不按逻辑程疗;去思考，但实际上是学生把自己的经验与逻辑推理的方法有机地整合进来的一种跳跃性的表现形式。所以在数学学习中，既要强调思维的严密性，结果的准确性，也要重视思维的直觉探索性和发现性，即应重视数学合情推理水平的培养。
二、课题的涵义
数学家波利亚说：“数学能够看作是一门证明的科学，但这仅仅一个方面，完成了数学理论，用最终形式表示出来，像是仅仅山证明构成的纯粹证明性。严格的数学推理以演绎推理为基础，而数学结论的得出及其证明过程是靠合情推理才得以发现的。”由一个或儿个已知判断推出另一未知判断的思维形式，叫做推理。合情推理是根据已有的知识和经验，在某种情境和过程中推出可能性结论的推理。合情推理就是一种合乎情理的推理，主要包括观察、比较、不完全归纳、类比、猜想、估算、联想、自觉、顿悟、灵感等思维形式。合情推理所得的结果具有偶然性，但也不是完全凭空想象，它是根据一定的知识和方法做出的探索性的判断，因而在平时的课堂教学中如何教会学生合情推理，
是一个值得探讨的课题。
三、课题的基本目标
模式，并通过实施分层教学提升全体参加实验同学对数学的学习兴趣和成绩。
通过课题的研究，增强教师自身的学习，使他们树立准确的学生观和教育观，增强组内的合作交流意识，使教师教学的实践水平和理论水平有较大提升，力争做科研型
教师。
四、课题研究的基本原则
1、整体性原则
合情推理水平中的各个环节是一个相互联系的整体，只有每个环节做扎实了，才能最终
实现课题的基本目标。
2、主体性原则
尊重学生的主体地位，激发和调动学生自我发展的积极性和创造性，满足学生的求知欲望和自我表现欲望。
3、对比性原则
在实施过程中釆取实验班级和非实验班级对照的形式，为以后的教学提供有价值的数据。
五、课题研究的方法与步骤
1、在“数与代数”中培养合情推理水平
在“数与代数”的教学中.计算要依据一定的“规则”——公式、法则、推理律等.因而计算中有推理，现实世界中的数量关系往往有其自身的规律。对于代数运算不但要求会运算，而且要求明口算理，能说出运算中每一步依据所涉及的概念运算律和法则，代数不能只巫视会熟练地准确地运算和解题，而应充分挖掘其推理的素材，以促动思维的发展和提升。如：有理数加法法则是以学生有实际经验的向东向西问题用不完全归纳推理得到的，教学时不能只重视法则记忆和使用，而对产生法则的思维一带而过，乂如，对于加乘法各运算律也都是釆用不完全归纳推理形式提岀的，重视这样的推理过程（即使不充分）既能解释算律的合理性，乂能增强对算律的感性理解和理解。再如，初中教材是用温度讣经过形象类比和推理引入数学数轴知识的。再如：求绝对值l-5l=? I+5I=? I-2I=? I+2I=? 1-3/21=? ∣+3∕2l=?从上面的运算中，你发现相反数的绝对值有什么关系？并作出简捷的叙述。通过这个例子，教学能够培养学生的合情推理水平，再结合数轴，能够让学生初步接触数形结合的解题方法，并且让学生了解绝对值的儿何意义。
在教学中，教材的每一个知识点在提出之前都实行该知识的合理性或产生必然性的思维
准备，要充分体现推理和推理过程，逐步培养学生合情推理水平。
2、在“空间与图形”中培养合情推理水平
在“空间与图形”的教学中.既要重视演绎推理.乂要重视合情推理。初中数学新课程标准
关于《空间与图形》的教学中指出：“降低空间与图形的知识内在要求, 力求遵循学生的心理发展和学习规律，着眼于直观感知与操作确认，多从学生熟悉的实际出发，让学生动手做一做，试一试，想一想，认别图形的主要特征与图形变换的基本性质，学会识别不同图形；同时乂辅以适当的教学说明，培养学生一定的合情的推理水平。”并为学生“利用直观实行思考”提供了较多的机会。学生在实际的操作过程中.要持续地观察、比较、分析、推理，才能得到准确的答案。如：在圆的教学中，结合圆的轴对称性，发现垂径定理及其推论；利用圆的旋转对称性，发现圆中弧、弦、圆心角之间的关系；通过观察、度量，发现圆心角与圆周角之间的数量关系；利用直观操作，发现点与圆、直线与圆、圆与圆之间的位置关系：等等。在学生通过观察、操作、变换探究出图形的性质后，还要求学生对发现的性质实行证明，使直观操作和逻辑推理有机地整合在一起，使推理论证成为学生观察、实验、探究得出结论的自然延续，这个过程中就发展了学生的合情推理水平.注意突出图形性质的探索过程，重视直观操作和逻辑推理的有机结合，通过多种手段，如观察度量、实验操作、图形变换、逻辑推理等来探索图形的性质。同时也有助于学生空间观点的形成，合情推理的方法为学生的探索提供努力的方向。
3、在“统讣与概率”中培养合情推理水平
统计中的推理是合情推理，是一种可能性的推理，与其它推理不同的是，由统讣推理得到的结论无法用逻辑推理的方法去检验，只有靠实践来证实。所以，“统计与概率”的教学要重视学生经历收集数据、整理数据、分析数据、作出推断和决策的全过程。如：为筹备新年联欢晚会，准备什么样的水果才能最受欢迎？首先应山学生对全班同学喜欢什么样的水果实行调查，然后把调查所得到的结果整理成数据，并实行比较，再根据处理后的数据作出决策，确定应该准备什么水果。这个过程是合情推理，其结果只能使绝绝绝大部分同学满意。
概率是研究随机现象规律的学科，在教学中学生将结合具体实例，通过掷硬币、转动转盘、摸球、讣算器（机）模拟等大量的实验学习概率的某些基本性质和简单的概率模型，加深对其合理性的理解。
4、在学生熟悉的生活环境中培养合情推理水平教师在实行数学教学活动时，如果只以教材的内容为素材对学生的合情推理水平实行培养，毫无疑问，这样的教学活动能促动学生的合情推理水平的发展。但是，除了学校的教育教学活动（以教材内容为素材）以外，还有很多活动也能有效地发展学生的合情推理水平。例如，人们日常生活中经常需要作出判断和推理, 很多游戏很多中也隐含着推理的要求。所以，要进一步拓宽发展学生合情推理水平的渠道，使学生感受到生活、活动中有“数学”，有“合情推
理”，养成善于观察、猜测、分析、归纳推理的好习惯。如，观察人行道彩色水泥地砖
铺设的方式：像图（1）（2）（3）这样铺下去，第n个图形中有多少块彩色水泥砖？（由不完全归纳法实行合情推理）再观察铺地所用的地砖不但能够是正方形，也能够是
正三角形……那么用正五边形的地砖能够没有缝隙乂不重叠地铺地吗？
六、课题研究的过程
长期以来，我国数学教育工作者注重采用“严谨性、形式化”的方式发展学生的演绎推理水平，忽视了学生合惜推理水平的培养。随着素质教育的推行，越来越多的数学教育工作者意识到合情推理对于创新水平的重要作用，现行的《初中数学课程标准》在保留了传统的数学课程对于演绎推理的重视的基础上，提出了“发展学生的合情推理水平”。把合情推理首次明确写入了数学课程的培养IJ标中。课题组在仔细研究阅读了相关合情推理文献的基础上，首先对合情推理实行了界定，并简要概括了归纳、类比、联想、直觉四种合情推理的重要形式的涵义与作用。其次，在对620名初中学生和30名一线教师的调查分析与访谈，得出如下主要结论：（1）当前初中生合情推理水平总体上比较欠缺，尤其是类比推理和直觉想象水平。（2）初中生的合情推理水平发展具有阶段性与层次性的特点。（3）教师们对课程标准中所提的合情推理在教学理念上较为认可，但实际教学中并没有很好地体现出合情推理的应有的地位和作用，教师缺乏在该方面的教学模式与教学方法的指导。（4）《北师大版》实验教材为我们展开合情推理的教学实践提供了广阔的舞台与空间。最后我们对合情推理的课堂教学模式实行了构想，结合实证研究，概括与提炼了在初中数学教学中展开合情推理教学的若干途径与方法：（1）从“教师的教育观点、学生的学习方式”入手，探索与尝试有利于合情推理水平培养的课堂教学模式与方法。（2）从“新课程的教材内容”入手，使用数学方法论的方法，挖掘和寻找有利于合IW推理水平提升的生长点。（3）从平时的“数学解题研究”入手，在数学解题过程中培养合情推理水平。（4）从“学生成长的阶段性与各类学生的差异性（层次性）”入手，做好初中学生合情推理水平的阶段性与层次性的培养。
七、课题研究的成果
近儿年的研究中，我们认为我们取得的成果主要有以下四个方面：
1、通过对课题的硏究，我们课题组的全体教师在理论水平和业务水平方面有了较大的提升。合情推理水平的发展方向首先就是课堂教学上要以精彩的内容来吸引人。这就要求教师不但精心备课，而且要深入到学生中间去了解学生，发现问题，解决问题，增强自身的再学习。在课题的研究过程中，课题组中有一人在2008年举行的“河北省多媒体与数学课堂赛课”活动中获省一等奖，是张家口市桥东区的首次获一等奖，十多篇论文发表
在各级各类刊物上，课题组成员经常被教研室邀请对全区教师展开讲座，先后参与了《轻巧夺冠》、《全程突破》两本书的编写工作，一批年轻教师依靠这个课题迅速成长起来了。
2、实验班的学生与非实验班的相比数学学习兴趣提升了，学习的主动性意识增强了，在各级各类考试中均名列前茅，多人次在数学竞赛中获奖，在去年的中考中取得了优异成绩。特别是我校学生的优秀率和及格率是全区最高的。
3、通过课题的研究，不但增强了组内同事之间的凝聚力，合作精神大大的增强了，而且师生间的关系融洽了。很多老师跟同学交上了朋友，他们之间不但只讨论数学问题，生活上、思想上、学习上的问题也经常在一起交流。
4、构建了合情推理水平培养的基本教学模式。通过课题的研究我们摸索出了如何在学生活动中、教学目标中、教学方法中、作业分层中、辅导中的培养方法，为以后的教学提供了参考。
八、经验与教训反思
通过儿年来的研究，我们认为对学生合情推理水平的培养是必要的，是适合当今教育理念的。对初中数学培养学生合情推理水平有以下优点：
一、老师角色的转变
在合情推理的培养中，学生的学习方式正山传统的接受式学习向探究式学习转变，教师作为促动者，主要是协助学生确定适当的学习Ll标，并确认和协调达到LI标的最佳途径；指导学生形成良好的学习习惯、掌握学习策略和发展水平；创设丰富的教学情境，激发学生的学习动机和学习兴趣，充分调动学生的学习积极性；为学生提供学习上的各种便利，为学生服务；建立一个接纳的支持性的宽松的课堂气氛；与学生一起分享他们的情感体验和成功喜悦：和学生一道探求真理；正视过失和错误。
二、学生更加喜欢数学了
与实验前相比，合情推理的培养过程中更加重视对学生创新精神和实践水平的培养，注重学生的兴趣与经验，注重知识与技能，过程与方法，情感态度与价值观的三维LJ标，将教学IJ标转化为学生的“自我需求”；并且教学内容更贴近学生生活，学生在课堂上真正成了学习的主人，他们能主动参与，新自实践，课堂表现勃勃生机，学生更喜欢学数学了。
三、注重对学生学习过程中动手水平的培养
教学活动中注重引导学生展开观察、实验、猜想、验证，注重培养学生的动手水平。如在教学立体图形的平面展开图、利用轴对称的特征探索等腰三角形，等腰梯形的特征时，在抛硬币实验中，让学生动手操作，亲自实验，在实验中去发现问题，得出结论：学生能
在轻松、愉快的活动中掌握知识，使教学活动变得更加轻松。
四、充分利用网络资源
在教学中，充分利用网络资源，提升教学的效率。随着电脑的普及，学生对电脑的兴趣越来越浓，所以，我们充分利用这个资源，向学生推荐一些有意义的教育网站，准确引导学生利用网络资源，从网上来获取有用的知识。老师们也在建立了博客，除了资源共享，还激发了学生的兴趣。
课题研究中困惑
一、合情推理水平的培养中弱化了儿何逻辑推理过程
发展学生的数学水平，特别是思维水平是数学教育的首要任务。“数学是思维的科学”，所以数学的育人功能在很大水准上须通过发展学生的思维水平来体现，注重实验、实践、探索、猜测、归纳、类比等合情推理是适宜的，但淡化了逻辑推理，这样不利于学生的数学水平的全面发展，从实验前后我校学生在逻辑思维水平对比方面可体现出来。
二、教学中多媒体使用效率不高
讣算机辅助教学作为现代化教学手段,它能很好地处理静与动，局部与整体, 快与慢的关系，适时选择有探索意义的课件和内容能调动学生的学习情绪，提升兴趣，扩大知识的信息量，启迪思维，提升效率。但在实验中，一些老师在这方面仅仅课本搬家，完全取代黑板和粉笔。演示过程中视图晃动频繁，学生眼花缭乱，仅仅让五彩缤纷的图画增强学生的感官刺激。课体成了一种点缀，不利于学生思维水平的培养和理性思考。
三、分组合作学习、讨论“热闹”充当新课改“标签”
为对学生合情推理的水平实行培养，部分教师刻意追求上课气氛热闹，笑声越多越好，小组讨论流于形式，讨论问题数学思维层次低，指向不明，为讨论而讨论，以问代讲，“双向交流”太多太滥，教学出现盲Ij性、随意性，教学过程匆忙零乱，缺乏整体性。
合情推理水平研究的精神、理念要转化为实践不是一朝一夕就能完成的，学而不思而罔，思而不学则殆，精研、精思方能晓其义、识其神。
总来说之，通过两年多对该课题的研究，我们体会到对学生合情推理水平的培养虽然有一些困难和不足，但是它仍不失为提升学生数学思维水平、增强数学学习兴趣的有效手段，如何使学生的合情推理水平得到进一步的提升，需要我们在今后的教学实践中持续地学习和探索。
北师大版初中数学适宜合情推理水平培养的内容有第一册：1、负数的概念2、绝对值的意义
13、二元一次方程组的解法（代入法、加减法）
14两线段（角）大小比较的方法
15、两角互余性质、互补的性质。 第二册：
1、三角形的内角和外角的性质
2、三角形的三边关系
3、幕的运算法则（同底数幕的乘除法、积的乘方）
4、 整式的乘法公式（平方差公式、完全平方公式）
5、 因式分解（十字相乘法、分组分解法）
4、 二次函数、二次方程、二次不等式之间的关系
5、 射影定理
第六册： 1、特殊角的三角函数值
3、圆的相交系弦、切割线定理 3、有理数大小的比较
5、去括号法则
7、分配律
9、科学记数法
11、列方程（组）解应用题 4、有理数加法法则 6、有理数乘法符号法则 8、有理数乘方的符号法则 10、用字母表示数 12、二元一次方程的解 6、 异分母的分式加减法
第三册：
1、全等三角形的判定方法
3、直角三角形全等判定
5、不等式性质1、性质2的推导
7、 二元一次方程的整数解
第四册：
1、多边形的内角和
3、圆周角定理
5、圆锥的侧面积
7、正、反比例函数的图象性质
9、中位数和众位数
第五册：
1、韦达定理 3、二次函数y=a （x+m ） 2+k 的图象
2、等腰三角形的判定定理 4、根的判别式 6、列一元一次不等式解应用题 2、三角形的中位线 4、垂径定理 6、圆台的侧面积 8、一次函数的图象性质 10、方差与标准差 2、二次函数y=a （x+m ） 2的图象 2、弦切角定理
4、两圆的位置关系