离散数学课后答案第1,2,4章武汉大学出版社

习题1.1

1、（1）否

（2）否

（3）是，真值为0

（4）否

（5）是，真值为1

2、（1）P：天下雨Q：我去教室┐P →Q

（2）P：你去教室Q：我去图书馆P →Q

（3）P，Q同（2）Q →P

（4）P：2是质数Q：2是偶数P∧Q

3、（1）0

（2）0

（3）1

4、（1）如果明天是晴天，那么我去教室或图书馆。

（2）如果我去教室，那么明天不是晴天，我也不去图书馆。

（3）明天是晴天，并且我不去教室，当且仅当我去图书馆。

习题1.2

1、（1）是

（2）是

（3）否

（4）是

（5）是

（6）否

2、（1）(P →Q) →R，P →Q，R，P，Q

（2）(┐P∨Q) ∨（R∧P），┐P ∨Q，R∧P，┐P，Q，R，P

（3）((P →Q) ∧(Q →P)) ∨┐(P →Q))，(P →Q) ∧(Q →P)，┐(P →Q)，P →Q，(Q →P)，P →Q，P，Q，Q，P，P，Q

3、（1）((P →Q) →(Q →P)) →(P →Q)

（2）((P →Q) ∨((P →Q) →R))→((P →Q) ∧((P →Q) →R))

（3）(Q →P∧┐P) →(P∧┐P →Q)

4、(P →Q) ∨((P∧Q) ∨(┐P∧┐Q)) ∧(┐P∨Q)

习题1.3

1、（1）I(P∨(Q∧R)) = I(P)∨(I(Q)∧I(R)) = 1∨(1∧0) = 1

（2）I((P∧Q∧R)∨(┐(P∨Q)∧┐(R∨S))) = (1∧1∧0)∨(┐(1∨1)∧┐(0∨1)) = 0∨(0∧0) = 0

（3）I((P←→R)∧(┐Q→S)) = (1←→0)∧(┐1→1) = 0∧1 = 0

（4）I((P∨(Q→R∧┐P))←→(Q∨┐S)) = (1∨(1→(0∧┐1)))←→(1∨┐1) = 1←→1 = 1 （5）I(┐(P∧Q)∨┐R∨((Q←→┐P)→R∨┐S)) = ┐(1∧1)∨┐0∨((1←→┐1)→(0∨┐1)) = 0∨1∨1 = 1

2、（1）

P Q P→Q Q∧(P→Q) Q∧(P→Q)→P

0 0 1 0 1

0 1 1 1 0

1 0 0 0 1

1 1 1 1 1

（2）

P Q R Q∧R ┐(P∨(Q∧R)) P∨Q P∨R (P∨Q)∧(P∨R) 原式

0 0 0 0 1 0 0 0 0

0 0 1 0 1 0 1 0 0

0 1 0 0 1 1 0 0 0

0 1 1 1 0 1 1 1 0

1 0 0 0 0 1 1 1 0

1 0 1 0 0 1 1 1 0

1 1 0 0 0 1 1 1 0

1 1 1 1 0 1 1 1 0

（3）

P Q R P∨Q Q∧P P∨Q→Q∧P P∧┐R 原式

0 0 0 0 0 1 0 0

0 0 1 0 0 1 0 0

0 1 0 1 0 0 0 1

0 1 1 1 0 0 0 1

1 0 0 1 0 0 1 1

1 0 1 1 0 0 0 1

1 1 0 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 0 0

3、（1）原式<=> F→Q <=> T 原式为永真式

（2）原式<=> ┐T∨(┐(┐P∨Q)∨(┐┐Q∨┐P)) <=> (P∧┐Q)∨(Q∨┐P)

<=> (P∧┐Q)∨┐(P∧┐Q) <=> T 原式为永真式

（3）原式<=> ┐(P∧Q) ←→┐(P∧Q) <=> T 原式为永真式

（4）原式<=> P∧(Q∨R) ←→P∧(Q∨R) <=> T 原式为永真式

（5）原式<=> ┐(P∨┐Q)∨Q <=> (┐P∧Q)∨Q <=> Q 原式为可满足式

（6）原式<=> ┐(P∧Q)∨P <=> ┐P∨┐Q∨P <=> T∨┐Q <=> T 原式为永真式（7）原式<=> (┐P∨P∨Q)∧┐P <=> (T∨Q)∧┐P

<=> T∧┐P <=> ┐P 原式为可满足式

（8）原式<=> ┐((P∨Q) ∧(┐Q∨R))∨(┐P∨R) <=> (P∧┐Q)∨(Q∧┐R)∨(┐P∨R) <=> ((P∧┐Q)∨┐P)∨((Q∧┐R)∨R)

<=>(( P∨┐P)∧(┐Q∨┐P))∨(( Q∨R)∧(┐R∨R))

<=> (┐Q∧┐P)∨( Q∨R) <=> T 原式为永真式

4、（1）左<=> ┐P∨┐Q∨P <=> ┐┐P∨(┐P∨┐Q) <=> 右

（2）左<=> ┐(┐P∨Q) <=> 右

（3）左<=> ┐(P∧Q)∨P <=> ┐P∨┐Q∨P <=> T∨┐Q <=> 右

（4）左<=> ┐(P→Q)∨┐(Q→P) <=> (P∧┐Q)∨(Q∧┐P) <=> 中

<=> ((P∧┐Q)∨Q)∧((P∧┐Q)∨┐P)

<=> (P∨Q)∧(┐Q∨Q)∧(P∨┐P)∧(┐Q∨┐P)

<=> (P∨Q)∧┐(P∧Q) <=> 右

(5)左( P Q) ( R Q) (P Q) Q 右

5.(1)左Q P Q 右

(2)(P (Q R)) ((P Q) (P R))

( P Q R) ( P Q) ( P R)

(P Q R) (P Q) P R

(P Q R) ((P P) ( Q P)) R

(P Q R) ( Q P R)

(P Q R) (P Q R)

T

故P (Q R) (P Q) (P R)

(3).(P Q) (P P Q)

( P Q) P (P Q)

( P Q) ( P P) ( P Q)

( P Q) ( P Q)

T

故P Q P P Q

(4).((P Q) Q) P Q

( ( P Q) Q) P Q

(( P Q) Q) P Q

( P Q) (Q Q) P Q

(P Q) (P Q)

T

故(P Q) Q P Q

(5).((P P) Q) ((P P) R) (Q R)

(( T Q) ( T R)) Q R

(Q R) Q R

Q R Q R

Q T

T

故((P P) Q) ((P P) R) Q R

(6)左(Q F) (R F)

( Q F) ( R F)

Q R

R

R Q 右

6.(1)原式( P Q R)

(2)原式P Q P (P Q P)

(3)原式P (Q R P) P Q R ( P Q R)

7.(1)原式( P Q P)

(2)原式( P Q R) P Q ( ( P Q R) P Q)

(3)原式P Q (R P) (P Q (R P))

8. (1) (P Q) (( P ( P Q)) R) P

(2)(P Q R) ( P R)

(3)(P F) (Q T)

习题1.4

1.(1)原式( P Q) (( P Q) (Q P))

( P Q) (Q P)

(P Q) Q P

Q P,既是析取范式又是合取范式

(2)原式(( P Q) ( P Q)) ( ( P Q) ( P Q))

(P Q) (P Q) 析取范式

P (Q Q)合取范式

(3)原式P Q S ( P Q)析取范式

( P ( P Q)) Q S

P Q S合取范式

(4)原式P P Q Q R既是析取范式又是合取范式

2.(1)原式P Q R为真的解释是：000，001，011，100，101，110，111

故原式的主析取范式为:

( P Q R) ( P Q R) ( P Q R) (P Q R) (P QR) (P Q R) (P Q R)

(2)原式(P Q) R

(P Q (R R)) ((P P) R)

(P Q R) (P Q R) (P Q) ( P R)

(P Q R) (P Q R) (P (Q Q) R) ( P (Q Q) R)

(P Q R) (P Q R) (P Q R) (P Q R) ( P Q R) ( P Q R)

(P Q R) (P Q R) (P Q R) ( P Q R) ( P Q R)为真的解释是101，100，111，011，001 (3)原式( P (Q R)) (P ( Q R))

(( P (Q R)) P) (( P (Q R)) ( Q R))

( P P) (Q P R) ( P Q R) (Q R Q R)

(P Q R) ( P Q R)

为真的解释是：000,111

(4)原式P P Q Q R P Q R为真的解释是：001，010，011，100，101，110，111

故原式的主析取范式为：

( P Q R) ( P Q R) ( P Q R) (P Q R) (P Q R) (P Q R) (P Q R)

3.(1)原式P Q P Q T主合取范式，无为假的解释。

(2)原式(P Q R) ( P Q R) ( P Q R) ( P Q R)

为真的解释为：111，011，001，000，故为假的解释为：010，100，101，110

原式的主合取范式为：

(P Q R) ( P Q R) ( P Q R) ( P Q R)

(3)由2.(2)知，原式为真的解释是：101，100，111，011，001，故为假的解释是：000，010，110.

故原式的主合取范式为：(P Q R) (P Q R) ( P Q R)

(4)由2.(4)知，原式为假的解释是：000，故原式的主合取范式为：P Q

R

4.(1)左式( P Q) ( P R)

( P Q (R R)) ( P (Q Q) R)

( P Q R) ( P Q R) ( P Q R)

右式P (Q R) ( P Q) ( P R)

( P Q R) ( P Q R) ( P Q R)

故原式成立。

(2)左式（P∧┐Q）∨（P∧Q），

右式（P∨P）∧(┐Q∨P) P∧（P∨┐Q）P （P∧┐Q）∨（P∧Q），故原式成立

(3)左式（P∧Q）∧┐（P∧Q）F，主析取范式

右式┐（P∨Q）∧（P∨Q）F，

故原式成立

(4)左式T∨（P∧Q）T，主合取范式

右式┐（P∧Q）∨（P∧Q）T，

故原式成立

习题1.5

1.（1）①P∧Q 前提

②P ①，化简

③P→(Q→R) 前提

④Q→R ②，③，MP

⑤Q ①，化简

⑥R ④，⑤，MP

（2）①R 前提

②┐（Q∧R）前提

③┐Q∨┐R ②，E11

④┐Q ①，③，析取三段论

⑤┐P∨Q 前提

⑥┐P ④，⑤，析取三段论

（3）①┐S 假设前提

②S∨P 前提

③P ①，②，析取三段论

④（P→Q）∧（P→R）前提

⑤P→Q ④，化简

⑥P→R ⑤，化简

⑦Q ③，⑤，MP

⑧R ③，⑥，MP

⑨Q∧R ⑦，⑧，合取引入

⑩┐（Q∧R）前提

?（Q∧R）∧┐（Q∧R）⑨，⑩，合取引入

?F ?，E21

故原推理成立

（4）①┐R 假设前提

②（P→Q）→R 前提

③┐（P→Q）①，②，拒取式

④P∧┐Q ③，E14，E10

⑤Q∧T 前提

⑥P∧┐Q∧Q∧T ④，⑤，合取引入

⑦F ⑥，E21，E17

故原推理成立

2.（1）①P 附加前提

②┐P∨Q 前提

③Q ①，②，析取三段论

④┐Q∨R 前提

⑤R ③，④，析取三段论

⑥R→S 前提

⑦S ⑤，⑥，MP

⑧P→S CP

（2）①P 附加前提

②P→Q 前提

③Q ①，②，MP

④P∧Q ①，③，合取引入

⑤P→P∧Q CP

（3）①P∧Q 附加前提

②P ①，化简

③P∨Q ②，附加规则

④P∨Q→R 前提

⑤R ③，④，MP

⑥P∧Q→R CP

（4）①P 附加前提

②Q 附加前提

③P→（Q→R）前提

④Q→R ①，③，MP

⑤R ②，④，MP

⑥Q→（R→S）前提

⑦R→S ②，⑥，MP

⑧S ⑤，⑦，MP

⑨P→Q→R CP

3.（1）①┐（┐P）假设前提

②P ①，E1

③P→┐Q 前提

④┐Q ②，③，MP

⑤Q∨┐R 前提

⑥┐R ④，⑤，析取三段论

⑦R∧┐S 前提

⑧┐R∧R∧┐S ⑥，⑦，合取引入

⑨F ⑧，E21，E17

故原推理成立

（2）①┐（R∨S）假设前提

②┐R∧┐S ①，E10

③┐R ②，化简

④┐S ②，化简

⑤P→R 前提

⑥Q→S 前提

⑦┐P ③，⑤，拒取式

⑧┐Q ④，⑥，拒取式

⑨┐P∧┐Q ⑦，⑧，合取引入

⑩┐（P∨Q）⑨，E10

?P∨Q 前提

?┐（P∨Q）∧（P∨Q）⑩，?，合取引入

?F ?，E21

故原推理成立

（3）1.┐(┐S) 假设前提

2.S 1,E1

3.S→┐Q 前提

4.┐Q 2, 3,MP

5.┐R Q 前提

6.(┐R→Q) ∧(R→┐Q) 5,E15

7.┐R→Q 6,化简

8.R 4, 7,拒取式

9.┐R 前提

10.R∧┐R 8,9,合取引入

11.F 10,E21

故反推原理正确

(4) 1.┐(P Q) 假设前提

2.┐（P→Q）∨┐(Q→P) 1,E15,E11

3.┐(P→Q) →┐(R∨S) 前提

4. (Q→P) ∨┐R 前提

5.┐(Q→P) →┐R 4,E14

6.┐(R∨S) ∨┐R 2，3，5构造二难性

7.┐((R∨S) ∧R) 6，E11

8.┐R 7，E13

9.R 前提

10.┐R∧R 8，9合取引入

11.F 10，E21

故反推原理正确

4 （1）先证├┐┐A→A

①┐┐A 附加前提

②┐┐A→(┐A→┐┐┐A) P31例1.5.7中用┐A置换

用┐┐┐A置换A

③(┐A→┐┐┐A) ①，②，MP

④(┐A→┐┐┐A) →(┐┐A→A) L3中用┐┐A置换B

⑤┐┐A→A ③，④，MP

⑥A ①，⑤，MP

⑦┐┐A→A 演绎定理

再证├A→┐┐A

①┐┐┐A→┐A 上述结论中用┐A置换A

②(┐┐┐A→┐A) →(A→┐┐A) L3中用┐┐A置换A，用A置换B

③A→┐┐A ①，②，MP

最后证├((B→A) →(┐A→┐┐B))

①B→A 附加前提

②┐┐B→B 上述结论

③┐┐B→A ①，②，HS

④A→┐┐A 上述结论

⑤┐┐B→┐┐A ③，④，HS

⑥(┐┐B→┐┐A) →(┐A→┐B) L3中用┐B置换A，用┐A 置换B

⑦┐A→┐B ⑤，⑥，MP

⑧(B→A) →(┐A→┐B) 演绎定理

(2)先证├┐(A→B) →A

①┐(A→B) 附加前提

②┐A→(A→B) P31,例1.5.7

③(┐A→(A→B)) →(┐(A→B) →┐┐A) （1）

④┐(A→B) →┐┐A ②，③，MP

⑤┐┐A ①，④，MP

⑥┐┐A→┐A 上述结论

⑦A ⑤，⑥，MP

⑧┐(A→B) →A 演绎定理

再证├┐(A→B) →(B→A)

①┐(A→B) →A 上述结论

②A→(B→A) L1

③┐(A→B) →(B→A) ①，②，HS

习题1.6

1. P→Q┐P∨Q(P↓P) ∨Q┐((P↓P) ↓Q) ((P↓P) ↓Q)↓((P↓P) ↓Q)

(P∨Q) ∧R┐(┐(P∨Q) ∨┐R) ┐((P↓Q) ∨(R↓R))

(P↓Q) ↓(R↓R)

2. P∧(Q→R) P∧(┐Q∨R) ?(P∧┐Q) ∨(P∧R) ?┐(P↑┐Q) ∨┐(P↑R) ?┐((P↑(Q↑Q)) ∧(P↑R)) ?(P↑(Q↑Q)) ↑(P↑R)

3.(1)左式?P∧Q?┐(┐P∨┐Q) ?右式

(2)左式?P∨Q?┐(┐P∧┐Q) ?右式

4．（1）否，见P33，例1.6.1

（2）否，见P33，例1.6.1

（3）是，P→Q ?┐(P Q),P∧Q?┐(┐P∨┐Q) ?┐(P→┐Q) ?

P ┐Q, P∨Q?┐P→Q?┐(┐P Q),P Q?(P→Q) ∧(Q→P) ?

┐(┐(P→Q) ∨┐(Q→P)) ?┐((P→Q) →┐(Q→P)) ?

(P→Q) ┐(Q→P) ?┐(P Q) (Q P)

{┐，}中去掉┐，无法表示否定，去掉，无法表示二元运算

(4 ) 否。{┐，→}为极小全功能集

(5 ) 否。因为没公式A(P,Q)仅含P,Q, ┐, ,则A(P,Q)仅在两种解释下为真，而P∧Q仅在一种解释下为真，故A(P,Q)与A不等价，即P∧Q不能用仅含┐?的公式等价地表示。（6）是。┐P ?P↑P,

P∧Q ?┐(P↑Q) ?(P↑Q) ↑(P↑Q),

P∨Q ?┐(┐P∧┐Q) ?┐P↑┐Q ?(P↑P) ↑(Q↑Q),

P Q?(P→Q) ∧(Q→P) ?┐((P→Q) ↑(Q→P)) ?

┐((P↑(Q↑Q)) ↑(Q↑(P↑P))) ?

((P↑(Q↑Q)) ↑(Q↑(P↑P))) ?((P↑(Q↑Q)) ↑(Q↑(P↑P)))↑((P↑(Q↑Q))↑(Q↑(P↑P))

(7) 否，由（6）知

(8)是，类似于（6）

习题2.1

1.(1)R(x):x是实数，M(x,y):x比y大，┐$x(R(x) ∧"y(R(y) →M(x,y)))

(2)R(x):x是实数，M(x,y):x等于y，N(z,x,y):z在x与y之间,"x"y(R(x) ∧R(y) ∧┐M(x,y) →$z(R(z) ∧N(z,x,y) ∧┐M(z,x) ∧┐M(z,y)))

(3)E(x):x是偶数，M(x):x是质数。$!x(E(x) ∧M(x))

(4)O(x):x是奇数，E(x):x是偶数。┐$x(E(x) ∧M(x))

(5)N(x):x是自然数，M(X):x+1=0, ┐$x(N(x) ∧M(x))

(6)N(x):x是自然数，M(x,y):x+1=y, "x(N(x) →$!y(N(y) ∧M(x,y)))

(7)M(x):x是火车，N(x):x是汽车，F(x,y):x比y快，"x(M(x) →$y(N(y) ∧F(x,y)))

2. (1)┐$xL(x,0)

(2) "x"y"z(L(x,y) ∧L(y,z) →L(x,z))

(3) "x"y(L(x,y)→$z(L(z,0) ∧G(f(x,z),f(y,z)))).其中f(u,v)=uv

(4) $x"yM(x,y,y)

(5) "x$yA(x,y,x)

3. (1) $!x(E(x) ∧M(x))

(2)N(x):x是自然数，F(x,y):x大于y,M(x,y):x-1=y

"x(N(x) ∧F(x,0) →$!y(N(y) ∧M(x,y)))

(3)M(x):x是平面上的点，N(x):x直线，F(z,x,y):z过x与y，

"x"y(M(x) ∧M(y) →$!z(N(z) ∧F(z,y,x)))

(4)M(x):x是平面上的点，N(x):x是平面上的直线，F(x,y):x在y上，G(x,y):x过y. H(x,y):x 平行y

"x"y(N(x) ∧M(y) ∧┐F(y,x) →$!z(N(z) ∧G(z,y) ∧H(z,x)))

4.(1)存在x,对任意y,有x*y=1;

(2)对任意x,存在y,使x*y=1.

(3)对任意x,存在y，使x*y=0

(4)存在x,对任意y，有x*y=0

(5)对任意x,存在y，使x*y=x

(6)存在x,对任意y，有x*y=x

(7)对任意x和y，存在y，使x-y=y

习题2.2

1. (1)x是约束变元，也是约束出现；y是自由变元，也是自由出现。

(2)x(P(x) ∨Q(x))中的x皆为约束出现，也是约束变元，R(x)中的x为自由出现，也是自由变元

(3)x,y是约束出现，也是约束变元；z是自由出现，也是自由变元。

(4)"x(P(x) ∧$xQ(x))中的x圴为约束出现，也是约束变元；"yR(z,y)中的y为约束出现，也是约束变元z和R(x,y)中的x与y为自由出现也是自由变元

2. (1) "的辖域为P(x) →Q(x,y); $的辖域为P(x)

(2) ",$的辖域均为R(x,y) ∨P(y)

(3) "x,"y的辖域为R(x,y) ∨P(y,z); $x的辖域为Q(x)

(4) ",$的辖域均为R(x,y)

3. (1) "zP(z) ∨"y$wR(w,y) ∨Q(x)

(2) "u(P(u,y) ∨Q(y)) ∧$vR(∏,v,z)

(3) $u"vP(v,u) →"wP(w,y) ∧$zR(x,z)

习题2.3

1. (1)P(1) ∨Q(1)=1.P(2) ∨Q(2)=1.原式在I下为1

(2)由(1)知，原式在I下为1

(3)P(1) ∧Q(1)=0,原式在I下为0

(4)P(1) ∧Q(1)=0,P(2) ∧Q(2)=0.原式在I下为0

(5)P(1) →Q(1)=1,原式在I下为0

(6)P(2) →Q(2)=1,原式在I下为1

(7)P(2)=0, "xP(x)=0;Q(1)=0, "xQ(x)=0,原式在I下为0

(8)P(1)=1, $xP(x)=1;Q(2)=1, $xQ(x)=1,原式在I下为1

2.(1)构造I1：DI1={α}，, ,原式在I1下为0

构造I2: DI2={α，β}，, 原式在I2下为1，故得证

(2) )构造I1：DI1={α}，, , 原式在I1下为0

构造I2: DI2={α} , , 原式在I2下为1，故得证

(3) 构造I1：DI1={α}, , 原式在I1下为0

构造I2: DI2={α}, , 原式在I2下为1，故得证

(4) 构造I1：DI1={α,β}, , 原式在I1下为0

构造I2: DI2={α}, , 原式在I2下为1，故得证.

3. (1)成立。若"xA(x) →"xB(x)为0，则"xA(x)为1，且"xB(x)为0，即"I，"α∈DI,A（α）为1，且$β∈DI，B(β)为0，则A(β) →B(β)为0，故"x(A(x) →B(x))在I下为0，从而原式成立。

(2)不成立。构造I: DI={α，β}，, ,则A(α) →B(α)为0，故"x(A(x) →B(x))为0,而"xA(x), "xB(x)在I下均为0，故"xA(x) →"xB(x)在I下为1，从而("xA(x) →"xB(x)) →"x(A(x) →B(x))在I下为0，故原式不成立。

(3)成立。左式?┐$xA(x) ∨"xB(x) ?"x┐A(x) ∨"xB(x) "x(┐A(x) ∨B(x)) ?右式

(4)不成立。左式?"x(┐A(x) ∨B(x)) "x┐A(x) ∨"xB(x) ?┐$xA(x) ∨"xB(x) ?右式4. (1)左式?"x(A(x) ∨"yB(y)) ?右式

(2)左式?$x(A(x) ∧$yB(y)) ?$xA(x) ∧$yB(y) ?右式

(3)左式?"x(A(x) ∧"yB(y)) ?右式

(4)左式?$x(A(x) →$yB(y)) ?右式

(5)左式?"x(A(x) →"yB(y)) ?右式

5. 由$x(┐P(x) ∧┐Q(x)) $x┐P(x) ∧$x┐Q(x)知┐$x(┐P(x) ∧┐Q(x)) ┐($x┐P(x) ∧$x┐Q(x))

习题2.4

1.（1）反式?（xP(x) ∧x┐Q(x)）∨(xQ(x) ∧yR(y)) ?"x(P(x) ∧┐Q(x) ) ∨(zQ(z) ∧"yR(y)) ?"x$z"y((P(x) ∧┐Q(x)) ∨(Q(z) ∧R(y)))

(2)反式?"yP(y) ∨("x┐Q(x) ∧"xR(x)) ?"yP(y) ∨"x(┐Q(x) ∧R(x))

?"y"x(P(y) ∨(┐Q(x) ∧R(x)))

(3)反式?$x"y┐P(x,y) ∨($xQ(x,y) ∧R(x)) ?$u"v┐P(u,v) ∨($uQ(u,y) ∧R(x)) ?$u"v(┐P(u,v) ∨(Q(u,y) ∧R(x)))

(4)反式?"y$x(P(x) ∧┐Q(x,y)) ∨"y┐R(y) ∨$xP(x) ?"y($x((P(x) ∧┐Q(x,y)) ∨P(x)))

∨"y┐R(y) ?"y$xP(x) ∨"y┐R(y) ?$xP(x) ∨"y┐R(y) ?$x"y(P(x) ∨┐R(y))

(5)反式?$x┐P(x) ∨$xQ(x) ?$x(┐P(x) ∨Q(x))

2. (1) 反式的skolem范式为："x"y((P(x) ∧┐Q(x)) ∨(Q(f(x)) ∧R(y)))

(2) 反式的skolem范式为: "y "x(P(y) ∨(┐Q(x) ∧R(x)))

(3) 反式的skolem范式为: "v(┐P(a,v) ∨(Q(a,y) ∧R(x)))

(4) 反式的skolem范式为: "y(P(a) ∨┐R(y))

(5) 反式的skolem范式为: ┐P(a) ∨Q(a)

3.不正确。由于$xP(x,y) ∧$xQ(x) $x(P(x,y) ∧Q(x)),故（$xP(x,y) ∧$xQ(x)）→$yR(y) $x(P(x,y) ∧Q(x)) →$zR(z)

习题2.5

1.由P37例

2.1.3知，即证明"x(M(x) →D(x)) ∧M(a) D(a)

①"x(M(x) →D(x)) 前提

②M(a) →D(a) ①,VS

③M(a) 前提

④D(a) ②,③,MP

2. (1) ①"x(P(x) →Q(x)) 前提

②P(z) →Q(z) ①,VS

③"y┐Q(y) 前提

④┐Q(z) ③,VS

⑤┐P(z) ②,④,拒取式

⑥"x┐P(x) ⑤,UG

(2)①┐$x(P(x) ∨Q(x)) 假设前提

②"x(┐P(x) ∧┐Q(x)) ①,Q1,E10

③$xP(x) 前提

④P(c) ③,ES

⑤┐P(c) ∧┐Q(c) ②,VS

⑥P(c) ∧┐P(c) ∧Q(c) ④,⑤,合取引入

⑦F ⑥,E21,E17

故反式成立

(3)①"xP(x) 附加前提

②P(y) ①,VS

③"x(P(x) →Q(x)) 前提

④P(y) →Q(y) ③,VS

⑤Q(y) ②,④,MP

⑥"xQ(x) ⑤,UG

⑦"xP(x) →"xQ(x) CP

(4)①$x(P(x) →R(x)) 前提

②P(c) →R(c) ①,ES

③"x(┐P(x) →Q(x)) 前提

④┐P(c) →Q(c) ③,VS

⑤"x┐Q(x) 前提

⑥┐Q(c) ⑤,VS

⑦P(c) ④,⑥,拒取式，E1

⑧R(c) ②,⑦,MP

⑨$xR(x) ⑧.EG

(5)①$x(P(x) ∧Q(x)) 前提

②P(c) ∧Q(c) ①,ES

③P(c) 化简

④"x(P(x) →Q(x) ∧R(x)) 前提

⑤P(C) →Q(c) ∧R(c) ④,VS

⑥Q(c) ∧R(c) ③,⑤,MP

⑦$x(Q(x) ∧R(x)) ⑥,EG

3.(1)①$xP(x) 附加前提

②P(c) ①,ES

③┐($xP(x) ∧Q(a)) 前提

④"x┐P(x) ∨Q(a) ③,Q3,E11

⑤┐P(c) ∨┐Q(a) ④,VS

⑥┐Q(a) ②,⑤,析取三段论

⑦$xP(x) →┐Q(a) CP

(2)①"x(P(x) ∨Q(x)) 前提

②P(y) ∨Q(y) ①,VS

③"x┐P(x) 前提

④┐P(y) ③,VS

⑤Q(y) ②,④,析取三段论

⑥"xQ(x) ⑤,UG

(3)①┐"x(P(x) ∨Q(x)) 前提

②$x（┐P(x) ∨┐Q(x)）①,Q4,E11

③┐P(c) ∨┐Q(c) ②,ES

④"xP(x) 前提

⑤P(c) ④,VS

⑥┐Q(c) ③,⑤,析取三段论

⑦$x┐Q(x) ⑥,EG

⑧┐"xQ(x) ⑦,Q4

4.(1)为真。

①$yP(y) 前提

②P(c) ①,ES

③"x(P(x) →Q(x)) 前提

④P(c) →Q(c) ③,VS

⑤Q(c) ②,④,MP

⑥$zQ(z) ⑤,EG

(2)为假。构造I：DI={α}, , ,则"x(P(x) ∨Q(x))为1，而"xP(x)为0，故"x(P(x) ∨Q(x)) →"xQ(x)为0.

(3)为真。

①"x(P(x) →Q(x)) 前提

②P(c) →Q(c) ①,VS

③┐Q(c) 前提

④┐P(c) ②,③,拒取式

⑤┐P(c) ∨Q(c) ④,附加规则

⑥P(c) →Q(c) ⑤,E14 ⑦$x(P(x) →Q(x)) ⑥,EG

习题4.1

1.（1）R={<0,0>,<0,2>,<2,0>,<2,2>}

（2）R={<1,1>,<1,2>,<2,1>,<2,2>,<3,1>} （3）R={<1,-1>,<1,1>,<2,-2>,<3,-3>} 2.(1)

2 M=????

??????001010010 1 3

（2） 0 3

M=?

?

???

????

???0000

11101110

1110 1 2

（3） M=???

?

??

?

???

???????

????

?0000000111111111000001111111

111111111111001111110 3.

+

+…+

=

|

|, A 上不同的m 元关系的个数==

4.A 上含元素最少和最多的二元关系分别是空关系Φ和全域关系AxA

习题4.2

1 (a)自反，反对称，可传递

(b)反对称，可传递

(c)自反，对称，可传递 (d)反自反，反对称 (e)反自反，反对称

(f)自反，反对称，可传递 2 (1)

：对称，

：对称，可传递，既不自反也不反自反

：反自反，对称，

：自反，对称，反对称，可传递

(2)

3 M= ?

?

???

????

???1000

01010011

0111 R 自反，对称 4 (a) M=

反自反，反对称，可传递

(b)M= 反自反，对称

(c)M= 不具有任何性质

5 a

B c

反自反，对称 a

b c ：自反，反对称 a

b c

：对称，反对称，可传递

b c

习题4.3

1. R S ={<1,2>,<1,3>,<2,4>,<3,3>,<4,2>}.

R S ={<2,4>}.

R -S ={<1,2>,<3,3>}

R ={<1,1>,<1,3>,<1,4>,<2,1>,<2,2>,<2,3>,<3,1>,<3,2>,<3,4>,<4,1>,<4,2>,<4,3>,<4,4>}

1R 2R 保持自反，反自反，对称。但不保持反对称，如1R ={<1,2>},2R ={<2,1>}均反对称，

但1R 2R ={<1,2>,<2,1>}非反对称，也不保持传递，如1R ={<1,2>},2R ={<2,1>}均课传递，但1R 2R ={<1,2>,<2,1>}非可传递。

1R 2R 保持自反，反自反，对称，反对称，可传递。

21R R -保持反自反，对称，反对称。但不保持自反，如1R ={<1,1>,<2,2>,<1,2>},2R ={<1,1>,<2,2>}均为{<1,2>}上的自反关系，但21R R -={<1,2>}

非自反，也不保持可传递，如1R ={<1,1>,<1,2>,<2,1>,<2,2>},2R ={<2,2>}均可传递，但

21R R -={<1,1>,<1,2>,<2,1>}非可传递。

1R A A -?保持对称，不保持自反。如A ={<1,2>},1R ={<1,1>,<2,2>}自反，1R A A -?={<1,2>,<1,2>}非自反，不保持反自反，如A ={1，2}，1R ={<1,2>}反自反，1R A A -?={<1,1>,<2,1>,<2,2>}非反自反，不保持反对称，如A ={1，2}，1R ={<1,1>}反对

称，1R A A -?={<1,1>,<2,1>,<2,2>}非反对称，不保持可传递，如A ={1，2}，1R ={<1,1>}可传递，1R A A -?={<1,1>,<2,1>,<2,2>}非可传递，1~

R 保持自反，反自反，对称，反对称，可传递。

21R R 保持自反性，不保持反自反，如1R ={<1,2>},2R ={<2,1>}均反自反，但21R R ={<1,1>}

非反自反，不保持对称，如1R ={<1,2>,<2,1>},2R ={<1,1>}均对称，但21R R ={<2,1>}非对称，不保持反对称，如1R ={<1,2>,<2,2>},2R ={<2,1>，<2,2>}均反对称，

21R R ={<1,1>,<1,2>,<2,1>,<2,2>}非反对称，不保持课传递，如1R ={<1,2>,<3,4>},2R ={<2,3>，<4,5>}均可传递，21R R ={<1,3>,<3,5>}

3.(1)S R ={,,,}, R R ={,,,,}

R S ={,,,,,}, S S ={,,}

(2) ??

???????

???=001010100000

0101R M ?

?

???

?

?

?????=0001110000010000

S M 4. R ,S 对称?R ~=R ，S ~

=S ，S R ?对称?S R =S R （上面要加一个弯弯，打不出来）=R S ~

~ =R S

5.(1) R 反自反?φ=?>?<>∈?<∈?R I R x x I x x R x x A x A A ,,,,, (2) R 反对称?R x y R y x >∈<>∈∈<，亦即R R y x ~

, >∈<，有y x =，即A A I R R I y x ??>∈<~

, . (3)

R 可传递?R z y y x >∈<>∈<,，有

R R R R z x ??>∈< ,。

6.(1) )()()()()()(21212121R r R r I R I R I R R R R r A A A ===

(2) )(21R R s =)()(2121R R R R (第二个括号上面有一个大弯弯，打不出来)

=2121~~R R R R =)~

()~(2211R R R R =)()(21R s R s

(3)题目有误，应改为)()()(2121R t R t R R t ?

(4) 1R ={<1,2>},2R ={<2,3>},11)(R R t =,22)(R R t =,)(21R R t ={<1,2>,<2,3>,<1,3>}

)()(21R t R t ={<1,2>,<2,3>},)(21R R t ≠)()(21R t R t

7.(1)==A I R R R R r )()(2121 )()()()(2121R r R r I R I R A A = (2) )()()()(),()(,212121212121R s R s R R s R s R s R R s R R R R ????? (3) =1R {<1,2>,<1,3>}, =2R {<1,2>,<3,1>}, ==)()(21R s R s {<1,2>,<2,1>,<1,3>,<3,1>}

=)()(21R s R s {<1,2>,<2,1>,<1,3>,<3,1>}, =)(21R R s {<1,2>,<2,1>},

(4) )()()()(),()(,212121212121R t R t R R t R t R t R R t R R R R ????? (5) 1R ={<1,3>}, 2R ={<1,2>,<2,3>}, =)(1R t {<1,3>}, =)(2R t {<1,2>,<2,3>,<1,3>},

=)()(21R t R t {<1,3>}, φ=)(21R R t , )()()(2121R R t R t R t ≠

8.(1) i

i i i i i

R R R R I i 21

1

1

2

1

,∞

=∞

=+????? ，即)()(21R t R t ?

（2）A I R R r =)(~（*）A I R ~

~ ==A I R =)(R r ；

)(~R t =i i R ∞=1

=i

i R ∞=1

（i R 上面有～）=i i R ~1

∞

= =i i R ∞=1

=)(R t ；

)()(R rt R tr =，R 可传递?R R t =)(?)()()(R r R r R tr ?=可传递。

(3)先用数学归纳法证明： 1

)(-=i i

i

A R R I R …A I R +∈?I i 。当1=i 时，显然成

立。 设 1

-i i

R

R …A I R =i A I R )( 则

1)(+i A I R = 1()()()(-=i i A i A A R R I R I R I R …)A I R

= ))(())((1-i A i A R I R R I R …))(())((A A A I I R R I R = ))()((i A i R I R R …))()(())()((A A A A I I I R R I R R = )(1i i R R +…)()(2A I R R R = i i R R 1+…A I R

故得证

∞

=∞

====1

1

)()()(i A i i A I R I R t R rt 1(-i i R R …)A I R

i i i R R R R I i R R R R )~(~,,~~, ?∈???+i i i R R R R I i )~(~, ?∈??+。

)()(R t R st =)(R t （*）= )(1

i

i R ∞

=)(1

i

i R ∞

= （*）)~(1

i i

i R R ∞

==)()~

(1

R ts R R i i =?∞

=

（*）有此标记的为前面的符号上面有～符号。

9，题目有误，应改为yRz xRy A z A y A x z y x ∧∧∈∧∈∧∈???(…… (1) 如}3,2,2,1{><><=R

(2) R 反传递R z y y x >∈<>

,R R R z x =>∈

φ=?>?

习题4.4

1.(1)A 上最大等价关系为A A ?，有2

n 个元素，秩为1 (2)A 上最小等价关系为A I ，有n 个元素，秩为n

2、（1）否。如1R ＝A I 为等价关系，但A ×A －A I 非自反，故非等价关系。 （2）否。如A ＝｛1，2，3｝，1R ＝｛<1,1>，<1,2>，<2,1>，<2,2>，<3,3>｝。

（3）是。1R 自反?1R I A ??A I ＝2A I ?21R ?21R 自反; 1R 对称?~21R ＝2

1~

R ＝

21R ?21R 对称; 1R 可传递?121R R ?（）?21221)(R R ??21R 可传递。

（4）否。如A ＝｛1，2，3｝，1R ＝｛<1,1>，<2,2>，<3,3>，<1,2>，<2,1>｝均为等价关系。但r （1R －2R ）＝｛<1,1>，<2,2>，<3,3>，<1,3>，<3,1>，<2,3>，<3,2>｝非可传递，故非等价关系。

（5）否。如A ＝｛1，2，3｝，1R ＝｛<1,1>，<2,2>，<3,3>，<1,2>，<2,1>｝，

2R ＝｛<1,1>，<2,2>，<3,3>，<1,3>，<3,1>｝均为等价关系。但1R 2R ＝｛<1,1>，

<2,2>，<3,3>，<1,2>，<2,1>，<1,3>，<3,1>｝非等价关系。

（6）否。如（5）中，1R ，2R ，1R ?2R ＝｛<1,1>，<2,2>，<3,3>，<1,2>，<2,1>，<1,3>，<3,1>｝非可传递，故非等价关系。

3、>∈R ，R 循环?∈R ?R 对称。

>∈R ，R 对称?∈R ?R 可传递，故R 为等价关系。

4、A x ∈?，1R 自反?∈1R ?∈2R ?2R 自反;

>∈1R ∧∈1R ?∈1R ∧∈1R ?∈2R ?2R 对称;

>，，，∈1R ，1R 可传递?，∈1R ?∈2R ?2R 可传递，故2R 为等价关系。

5、不正确。因为该题中a ，b 不一定具有任意性，而自反性定义中要求A x ∈?，xRx 。

6、（1）非 （2）非

（3）是，R ＝｛<1,1>，<1,2>，<1,7>，<2,1>，<2,2>，<2,7>，<7,1>，<7,2>，

<7,7>，<3,3>，<3,5>，<3,10>，<5,3>，<5,5>，<5,10>，<10,3>，<10,5>，<10,10>，<4,4>，<4,6>，<4,8>，<6,4>，<6,6>，<6,8>，<8,4>，<8,6>，<8,8>，<9,9>｝ 7、2,π∈?B Ai B Ai k j ，B Ai Ai B Ai B Ai k j k j )()()(=φφ==B ；

?∈∈???B x A x B A x , },...,2,1{m p ∈?，B Ai x B x Ai x p p ∈?∈∈,

)(1

B Ai U B A l m

l =??；

又B A B Ai U B A B Ai m l l m l l ???∈?=)(},,...,2,1{1

，故B A B Ai U l m

l ==)(1

。

故2π为划分。

8、R ]1[＝R ]5[＝｛1，5｝ R ]2[＝R ]4[＝｛2，4｝ R ]3[＝R ]6[＝｛3，6｝

R 诱导的划分π＝｛｛1，5｝，｛2，4｝，｛3，6｝｝。

9、>∈1R ，∈2R ?<，

y>>∈3R ?3R 自反。

2

21,12,132211,,,,R y y R x x R y x y x >∈<>∈?<>>∈<><

1R ，2

R 对称

31122212,11,2,,,,R y x y x R y y R x x >>∈<>?<<>∈<>∈?>∈<><<>><><∈<><， 23,22,1,R y y y y >∈<>∈<>∈<

33,31,1,R y x y x >>∈<>?<

10、（1）否。如A ＝｛1，2｝，1π＝｛｛1，2｝｝，2π＝｛｛1｝，｛2｝｝，21ππ?＝｛｛1，2｝，｛1｝，｛2｝｝非A 的划分。

（2）否。如（1），21ππ?＝φ，非A 的划分。

（3）否。1π＝｛｛1｝，｛2，3｝｝，2π＝｛｛1｝，｛2｝，｛3｝｝，1π－2π＝｛｛2，3｝｝，非A 的划分。

（4）是。=-1121))((ππππ 1121)(ππππ -

＝11ππφ=

习题4.5

1、（1）f c f d e c a b ≤≤≤≤,,,成立。

（2）a . e . f . b . d . c . （3）（a ）极大元a, e, f ；极小元c ；最小元c ；下界c ；最大下界c 。

（b ）极大元b, d ；极小元b, d ；下界c ；上界e ；最大下界c ；最小上界e 。

（c ）极大元e ；极小元b ；最大元e ；最小元b ；下界b, c ；上界e ；最大下界b ；最小上界e 。

（d ）极大元e ；极小元b, d ；最大元e ；最小元b ；下界c ；上界e ；最大下界c ；最小上界e 。

2、（1）1R 是，；2R 是，

；

3R 是，；4R 是，；5R 非；6R 非。

（2）均非拟序关系；1R 是全序关系，也是良序关系，其余均非全序关系和良序关系。

3、（1）R 为偏序关系?R 自反，反对称，可传递，由习题4.3，可知~R 自反，反对称，可传递?~

R 为偏序关系。

（2）R 为拟序关系?R 反自反，可传递，由习题4.3，可知~R 反自反，可传递?~

R 为拟序

关系。

（3）R 为全序关系?R 为偏序关系，且R y x A y x >∈<∈?,,,或R x y >∈<,?~

R 为偏序关系，且>∈<∈?x y A y x ,,,~R 或>∈

R 为全序关系。

（4）如≤><,N 为良序关系，但≥>>=<≤<,~

,N N 非良序关系。

4（1）若A B ?，则A x ∈?，但B x ?，从而B B x x ?>?<,，故'

,R x x >?<，即'

R 非

自反，故'

R 非偏序关系；若B ＝A ，则'

R ＝)(A A R ? R =为偏序关系。

（2）R 为拟序关系?R 反自反，'

'

R R R ??反自反；B z y x ∈?,,，若