高等数学极限习题100道
设，求证：．lim ()lim ()x x x x f x A f x A →→==00 求极限lim sin
sin x x x x →021
[]求极限lim cosln()cosln x x x →+∞
+-1 求极限．lim sin x x x
→+011
求极限．lim
arctan x x
x
x →∞+2112 求极限lim ()x x x e →∞+11 求极限limarctan arcsin x x x →∞?1 求极限．lim x x x →-+0121
22 )sin 1(sin lim n n n -+∞→求数列的极限
[]A
x f A
u f u x u x x x u u x x =?=≠?=?→→→)(lim )(lim )()(lim 0
00试证：，又，且设
设试确定实数，之值，使得：当时，为无穷小；
当时，为无穷大。
f x x x
a b x a f x x b f x ()ln ()()=
-→→1
设，问：当趋于何值时，为无穷小。f x x
x x f x ()tan ()=2
．
该邻域内 的某去心邻域，使得在证明：存在点，且，若)()()(lim )(lim 00
x f x g x A
B B x g A x f x x x x >>==→→
设，试证明：
对任意给定的，必存在正数，使得对适含不等式；的一切、，都有成立。lim ()()()x x f x A x x x x x x f x f x →=><-<<-<-<0
00010201221εδδδε
．，试用极限定义证明：已知：A x f A x f x x x x =>=→→)(lim
0)(lim 0
{}{}{}是否也必发散？同发散，试问数列与若数列n n n n y x y x +
求的表达式f x x x x n n n ()lim =-+→∞+2121
设 其中、为常数，，求的表达式；
确定，之值，使，．
f x x x a bx x a b a f x a b f x f f x f n n n x x ()lim sin
cos()
()()()()lim ()()lim ()()=+++<<==-→∞-→→-2121
1
2
1
021211π
π
求的表达式f x x n n ()lim
(ln )=+→∞+11221 的表达式．求n n n n n x
x x x x f ---+∞→++=1
2lim )( ．，求，设)(lim )()()()(1)(33)(2
2x f x f x x x x f x x x n n n n ∞
→=?++?+?+=+-=? 求的表达式．f x x x x
x x x
x n n ()lim ()()=+++++++??????→∞-11122221 求的表达式．f x x x n n
n ()lim =+→∞1 ．，求，其中设n n k n
k k n S k b b k S ∞→=+==∑lim )!1(1
求的表达式。f x x x x x x x n n n n ()lim ()()()=+-+-++-????
?
?→∞1121212222 ．
的表达式，其中求01
)1(1)1(lim
)(≥+++++=∞
→x x x x x x f n
n n ．其中．求数列的极限)0( )(23)(23lim 1
1>>-+-+++∞→b a b a b a n n n n n
求数列的极限．lim ()n n n n →∞?+?-53323 求数列的极限．lim()n n n →?++++-12345321
2
．
，其中求数列的极限1)321(lim 12<++++-∞
→q nq q q n n
求数列的极限
其中．
lim ()()()()()()()()n a a a a a a a n a n a n a →∞+++++++++-+++??
??
??>11211231110 ??
????+-++?+?∞→)12)(12(1
531311lim n n n 求数列的极限 ．求数列的极限??
????+++?+?+?∞→)1(1
431321211lim n n n []
)0( )1(321lim 2222
32>-++++∞→a n n
a n 其中求数列的极限
．求数列的极限??
?
???--+++++∞→2)1(321(21lim 2n n n n 求数列的极限．lim ()n n n n →∞
+-+21
[]
求数列的极限．lim ()n n n n →∞
++--2451
．求数列的极限n
n n n n n )
1)(1(63lim 34+---+∞→
．
其中．求数列的极限)1( 2lim ≠+∞→a a a n
n
n ．求数列的极限)1
1()311)(211(lim 222n
n ---∞→ 求数列的极限．lim n n n →∞+1000012
求数列的极限．lim n n n n n →∞++-+2243
351 求数列的极限．lim()n n n →∞
+-1
求数列的极限．lim n n n n →∞
++123
)200( 2
1
22lim
≠>>+-+--+∞
→b b a n b n n a n n 且，．求数列的极限
求数列的极限．lim ()n n n n →∞--1212 求数列的极限． lim ()n n n n →∞-+-1
213
求极限．lim n n n
n n →∞--?-??+?2103103102102121
．
，，且的某邻域内若在B x g A x f x g x f x x x x x ==>→→)(lim )(lim )()(0
0．试判定是否可得：B A >
是否成立？为什么？
，则，若0)()(lim 0)(1
lim 0)(lim 0
00=βα≠=β=α→→→x x b x x x x x x x x
[
]
[
]
确定，之值，使，
并在确定好，后求极限a b x x ax b a b x x x ax b x x lim
()lim ()
→+∞
→+∞
++-+=++-+347034722
求极限．lim()x x
x x x →∞+--11
求极限．lim cos sin x x x
x x →∞+-23
求极限lim ()()()()()()
x x x x x x x →∞++++++++--121311011011112222
[
]
求极限．lim ()x x
x x x →+∞
++-+2251 求极限．lim ()x x x x →-∞
-+++485212
讨论极限．lim x x x
x x e e e e
→∞---+2343232 求极限．lim ()()()()()()()x x x x x x x x →∞-----++121314151233232 求极限．lim ()()()()()
()x x x x x x x →∞+++++-?121314151532
22222222335 求极限．lim ()()()
x x x x →∞--+43326723425 求极限 ，．lim ()x x x a a a a →+∞+>≠1012 求极限．lim tan tan(
)x x x →
?-π
π
4
24
为无穷小．时，之值，使当，确定)(54)(2b ax x x x f x b a +-+-=-∞→
求极限．lim x x x x x →-+-+1343243 求极限．lim x x x x →-+-222564 求极限．lim x x x →+--23
322
2
求极限．lim x x x x →--+-2251254
求极限．lim x x x →+-0255 求极限lim ()()()()x x x x x →---++--0352312114132 求极限．lim ()()x x x x →+--023242
11 ．为自然数，求极限)( )2(lim n m a
x a a x n n m
m a x ---→ 求极限lim ()()x x x x →+-+0531214 求极限．lim ()x x x
→+-04131
设f x ax a x ax a x a
()()()=------221
1222
问：当为何值时，；
当为何值时，； 当为何值时，，并求出此极限值。()lim ()()lim ()()lim ()1212
301
112
a f x a f x a f x x x x →→→
=∞=
>
求极限．lim
csc cot x x x x →-0 求极限．lim cos x ax
x
→-021 求极限．lim tan sin x x x x →+-+03
11 )20(tan tan lim π<α<α-α-α→ 求极限x x x 求极限 为常数，．lim sin cos sin cos ()x x x
px px p p →+-+-≠0110 讨论极限．lim cos x x x
→-022
．求极限x
x x x x x tan cos sin 1lim 0-+→
求极限．lim ln()x x x →+013
．求数列的极限1)4
1(arctan lim 2+π-+∞→n n n n 求数列的极限．lim sin n
n e n →∞ ．求数列的极限12sin 2lim -∞→πn n n 求数列的极限．lim (cos )n n n →∞-2
1π
[] 答（ ）
存在
不一定存在
都存在，而，不一定存在
存在，但不一定存在存在，但，则
，上的单调增函数，，是定义在设)(lim )()(lim )0()0()()0()0()()0()0()()()(0
0000000x f D x f x f x f C x f x f B x f x f A b a x b a x f x x x x →→+--++-∈
．
存在，并求出此极限值，证明：，且设n n n n x ax x a x ∞
→+=
>>lim 011 。
存在，并求出此极限值，证明，且设n n n n x x x x ∞
→++==lim 2211
设，且其中，证明极限存在，并求出此极限值．
x x x a
x a x n n n n n 110120>=
+>+→∞
()()lim
设，，，．证明极限存在，并求出此极限值。x x x x x x x x n n
n
n n 010*******==+
+=+++→∞
lim
存在．求证：为正整数，设n n n x n n x ∞→++++
=lim )(131211222 .lim 131
1311311112存在，求证：设n n n n x x ∞→++++++++=
设，，，，证明：；求极限．x x x n n x n x n n n n 1212132413521246211
21
2=
=??=??-??<+→∞
()
()
()()lim
求极限．lim ...x x x x x x →∞+++++100101
010010001
232 {}．为定数）证明：适合设数列0lim ( ,11=<≤∞→+n n n
n n x r r x x
x
求极限．lim
tan tan cos()x x x
x →
-+π
π
3
336
求数列的极限．lim !n n n →∞2 ．则＂证明数列的极限用极限存在的＂夹逼准02
lim =∞→n n n
．
求数列的极限)1
2111(lim 222n
n n n n +++++∞
→ ．求数列的极限1
!
sin lim
3
2+∞
→n n n n
．求数列的极限??
???
?+
++++∞→222)2(1
)2(1)1(1lim n n n n 求极限．lim ln()ln()x x x e e →+∞++233223 求极限．lim ln()ln()x x x x x →∞++-+6325734 求极限．lim x x x x x
x
→+∞+++
[]设，，当，当讨论及．
f x x
g x x x x x g x f g x x x ()sin ()lim ()lim ()==-≤+>??
???
??→→22
0200
ππ [])()(lim , )()(lim )(lim 0000
u f x f u f u f u x x x u u x x =?==?→→→证明：，设。
求极限 、为正整数．lim ()x m n m n x x x x m n →-+-12
）
答（ 无限接近等于小于不确定的值无限循环小数1)(1
)(1)()(9.0D C B A
{}．求证：适合若数列r
ra a a r a a r a a a n n n n n n n --=
<<-=-∞
→-+1lim )10()(1
211
n n n n
n n x x n a n n a x 1lim , 0!
＋求极限为正整数是常数， 其中设∞→>?=
求数列的极限．lim(sec )n n n
→∞π2
设时，与是等价无穷小且证明：x x x x x f x A
x f x A
x x x x →?=?=→→00
αβαβ()()lim ()()lim ()()
设，且，
试证明必有的某个去心邻域存在，使得在该邻域内有界lim ()()
.
x x
f x A A x f x →=≠001
[][]下述结论：
＂若当时，与是等价无穷小，则当时，与也是等价无穷小＂是否正确？为什么？
x x x x x x x x →→++0011αβαβ()()ln ()ln ()
．求极限应用等阶无穷小性质，x
x x x )
1arctan()1arctan(lim
--+→
求极限．lim
x x x
x x
→+--+0
215132
求极限．lim ()()x x x x →--+012
13
1416 求极限 为自然数．．lim
()()x n
ax x n a →+-≠01
110 求极限．lim ()x x x x →-+--313
522
3
设当时，与是等价无穷小，
且，，证明：．
x x x x f x x a f x x g x A f x x g x A x x x x x x →=≠-=-=→→→00001αβααβ()()lim ()()lim ()()
()
lim ()()
()
设当时，，是无穷小且证明：．
x x x x x x e e x x x x →-≠--00
αβαβαβαβ()()()()~()()()()
若当时，与是等价无穷小，
是比高阶的无穷小．
则当时，与是否也是等价无穷小？为什么？
x x x x x x x x x x x x →→--0101ααβααβαβ()()()()()()()()
[][]设当时，、是无穷小，且证明： 与是等价无穷小．
x x x x x x x x x x →-≠+-+-0011αβαβαβαβ()()()().
ln ()ln ()()()
设当时，是比高阶的无穷小．证明：当时，与是等价无穷小．
x x f x g x x x f x g x g x →→+00()()()()()
吗？为什么？
也是等价无穷小
与无穷小。试判定：等价是同阶无穷小，但不是与是等价无穷小，与时，若)()()()()()()()(110x x x x x x x x x x β-αβ-αβααα→
确定及，使当时，
与，是等价无穷小．
A n x f x x x g x Ax n →=++=0122()ln()()
．
时，，使当及求，， 设)(~)(0)(5sin 3sin 2sin )(x g x f x n A Ax x g x x x x f n →=+-=
设，为常数求及，使当时，f x e e e a g x Ax A n x f x g x a x a x a n
()()()()~().
()()=+-=→+-222
20
设， ，
确定及，使当时，．
f x x x x
g x A
x
k A x f x g x k ()()()~()=
+-++=→+∞221
设， ，
确定及，使当时，αβαβ()()()()~()
x x x x c x c n x x x n =-+=-→33211
证明不等式：．其中为正整数ln()()111
+ n 求极限，，为正的常数lim()()x bx x ax e a b →+01 求极限，，lim()()x x x x a b a b →+>>01 2 00 求极限，为任意实数．lim ()x n x x n →--111 求极限 lim ln ln ()x x x x x x x →-->00000 )10(lim ≠>--→a a a x a a a x a x ，，求极限 求极限 ，．lim ()x x a x a a →->≠03101 求极限．lim sin tan x x x e e x →-03 求极限．lim x x x e e x →-+-022 求极限．lim x x e x →-051 求极限 ，且，，lim()()x x x x xa xb a b a b a b →++>>≠≠≠01 1100112 求极限 ，．lim ()()x x x x a a a a →+∞+->≠211 101 求极限．lim ln(sec tan )sin x x x x →+0 求极限 ，为常数，且lim ln()ln()().x ax e b x a b a →+∞++>110 ． 求极限)0(ln 2)ln()ln(lim 020 000>--++→x x x x x x x x 求极限 ，．lim(cos cos )()x x x k k z →-≠+∈ααααππ1 2 求极限．lim cos x x x →+∞π 求极限lim()x x x →-01 12 求极限．lim()x x x x →∞+-21213 求极限．lim()x x x x x x →∞-++-2121 22 求极限lim(sin )tan x x x →π2 2 求极限．lim(sin cos )x x x x →+01 求极限．lim tan()cot x x x →-??????04π 求极限．lim(cos )x x x →+0 1 求极限．lim()x x x x →++0 211 []求极限lim ()ln()()ln()ln x x x x x x x x →+∞ ++-+++22211 求极限．lim lncos x x x →0 2 []．求极限x x x x )1ln()1ln(lim --++∞ → 求极限．－lim ln x x x →-121 []求数列的极限．lim ln()ln n n n n →∞+-1 求数列的极限lim().n n n n e →∞ +1 1 为正整数． ，，其中求数列的极限b a e e n n b n a n )(lim -∞ → 是常数其中求数列的极限0 ; ln 2)1ln()1ln(lim 2>?? ????--++∞→a a n a n a n n 求数列的极限．lim()n n n n →∞++211 求数列的极限，其中．lim ()n n n a a →∞ ->1 10 ．求数列的极限??????-+-+∞ →2)1 2() 12(22lim e e e n n n n 求数列的极限，其中，．lim()n n n n a b a b →∞+>>2 00 求数列的极限．lim( )n n n n →∞+-2121 ) 1(224323lim +∞→? ? ? ??+-n n n n n 求数列的极限 计算极限：．lim sin()n n a →∞ +?22π 设，，，则有 ， ，， ， 答（ ） f x x x x x f x a f x b A a b B a b C a b D a b x x ()sin sin lim ()lim ()()()()()=+==========→→∞11 111221220 计算极限lim ln x x x nx x e e e n →+++021 计算极限lim ln()ln()sec cos x x x x x x x →+++-+-02211 求极限 ，为非零常数lim tan sin ()x mx nx m n →0 计算极限lim x x x x →+-++-021111 计算极限 lim ()x a x a x a x a a →+-+--≥0220 计算极限．lim cos cos x x x →--0211 计算极限在 lim ln()ln()ln ()x a x a x a x a →++-->0220 计算极限lim (sin tan )x x x x →-0111 计算极限lim ()(cos )ln() sin x x e x x x →-?+-+042 21111 lim sin ()()()()x x x A B C D →∞= ∞10 不存在但不是无穷大 答（ ） lim sin ()()()()x x x A B C D →∞===∞1 10之值 不存在但不是无穷大 答（ ） 已知 其中、、、是非常数则它们之间的关系为 答（ ） lim tan (cos )ln()() () ()()()()x x A x B x C x D e A B C D A B D B B D C A C C A C →-+--+-===-==-0 11211022222 )1()1)(1)(1(lim 1242n x x x x x n ++++<∞ → 计算极限设 设及存在，试证明：．lim lim n n n n n x x x a a →∞→∞+==≤011 求lim(sin cos )x x x x →∞+2212 计算极限 lim ()()x a x a x a x a a →-++-≠322210 计算极限lim x x x x x x →-+---2322332 2 计算极限lim ln()cos x x x x e e x x →-?+021 ?? ????∞→→)2cos 2cos 2(cos lim lim 20n n x x x x 计算极限 {}．，试证明及满足设有数列0lim )10( lim 01 =<≤=>∞ →+∞→n n n n n n n a r r a a a a {}，试按极限定义证明： ，且满足设有数列)10( lim 0<≤=>∞ →r r a a a n n n n n ．0lim =∞ →n n a ．语言证明，试用 设A x f A A x f x x x x =δ-ε>=→→)(lim "")0()(lim 0 试问：当时，，是不是无穷小？x x x x →= 01 2α()sin 的某去心邻域，使得 试证明：必存在，且，设0,)(lim )(lim 0 x B A B x g A x f x x x x >==→→．在该邻域为)()(x g x f > 设，试研究极限f x x x f x x ()sin lim ()=→110 计算极限．lim ln()arcsin()x x x x →+---232312344 [] 答（ ） 大无界变量，但不是无穷小有界变量，但不是无穷无穷小量 无穷大量是时，则当， 设数列的通项为)()()()()1(12 D C B A x n n n n x n n n ∞→--+= 以下极限式正确的是 答（ ） ()lim()()lim()()lim()()lim()A x e B x e C x e D x x x x x x x x x →+→+-→∞-→∞-+=-=-=+=001 11111 1111 设， ，，，求．x x x n x n n n n 1110612==+=+→∞ ()lim a b A a D a A b a C b A b a B A b a A A b a A x f x b x x e x f x ax ======??? ??=≠-=→可取任意实数且可取任意实数，，可取任意实数，，可取任意实数，，之间的关系为，，则，且， 当，当设)()()(1)()(lim 0 01 )(0 答：( ) a A A b a D A b a a C b A b a B a A b a A A b a A x f x b x x ax d x f x ln )()()()()(lim 0 0) 1ln()(0 ======?? ? ??=≠+=→仅取可取任意实数，而，可取任意实数且可取任意实数，，可取任意实数，，之间的关系为，，则，，且当 ， ，当设 答：（ ） 答（ ） 可取任意实数可取任意实数可取任意实数，可取任意实数，间正确的关系是，，则，且当， ，当设2 )(2)(2)(2)()(lim 0 0cos 1)(2 2 2 a A b a D a A b a C a A b a B a A b a A A b a A x f x b x x ax x f x = == == ==??? ??=≠-=→ [][]设有，，且在的某去心邻域 内复合函数有意义。试判定是否 成立。若判定成立请给出证明；若判定不成立，请举出例子，并指明应如何加强已知条件可使极限式成立。 lim ()lim ()()lim ()x x u a x x x a f A x f x f x A →→→===0 0???? 设，当， 当 适合则以下结果正确的是仅当，，仅当，，可取任意实数，，可取任意实数，，都可能取任意实数 答（ ） f x x x b x x a x f x A A a b A B a A b C b A a D a b A x ()lim ()()()()()=++-≠=??? ??===-====-=→21 21114344434 设 当 当 且，则，，，可取任意实数，可取任意实数 答（ ）f x bx x x a x f x A b a B b a C b a D b a x ()lim ()()()()()=+-≠=??? ??=======→11 0033363 360 值。，试求时，且当，设a x x x e e x ax x x )(~)(0)(1) 1()(cos 3 12βα→-=β-+=α 求．lim x x x x x e e e e →∞---+234 ．，则设____________8)2(lim ==-+∞→a a x a x x x ． ____________) 31(lim sin 2 =+→x x x 当时，在下列无穷小中与不等价的是 答（ ） x x A x B x C x x D e e x x →-++--+--0121112 22 22()cos ()ln ()() 当时，下列无穷小量中，最高阶的无穷小是 答（ ） x A x x B x C x x D e e x x →++---+--01112 22()ln()()()tan sin () 计算极限lim cos x x x e x →---0 2 112 _____________________4sin 3 553lim 2 =?++∞→x x x x 1 lim 211--++++-→x n x x x x n n x 计算极限 131)1()1()1)(1(lim -→----n n x x x x x 计算极限 ．计算极限x x x π +→)(cos lim 0 讨论极限的存在性。limarctan x x →-11 1 的存在性。研究极限x x 1cot arc lim 0→ 研究极限．lim x x x x →∞++-223 1 ） 答（ 穷大的是时，下列变量中，为无当x D x C x B x x A x 1 cot arc )(1arctan )(ln )(sin ) (0+→ ________________1 ln 1lim 1=-→x x 。 时，恒有 ，使当存在一正整数，试判定下述结论，且设N n N a a n n n >=>∞ →"0lim 0是否成立？"1n n a a <+ 若试讨论是否存在？lim lim n n n n a A a →∞ →∞ = {}存在的 极限，试判定能否由此得出满足设有数列n n n n n n a a a a ∞ →+∞ →=-lim 0)(lim 1结论。 {}0lim 1001 =<<≤>∞→+n n n n n n a r r a a a a ，试证明，；满足设有数列 是否必存在？ 存在，则存在，设)(lim )(lim )() (lim 00x f x g x g x f x x x x x x →→→ ． ，则是否必有，若0)(lim 0)() (lim 0)(lim 0 00=≠==→→→x g A x g x f x f x x x x x x 答（ ） 小量的是时，下列变量中为无穷当1 ) 1)((ln 1) ()1ln()(1 sin 1)(012 2-+-+→x x D x C x B x x A x ． 是常数），试证明，时，设0)() (lim ()()(0 0=→∞→→→x f x g A A x g x f x x x x 若，且在的某去心邻域内，，则必等于，为什么？ lim ()()lim () ()lim ()x x x x x x g x x g x f x g x A f x →→→=≠=0 0000 若，不存在，则是否必不存在？若肯定不存在，请予证明，若不能肯定，请举例说明，并指出为何加强假设条件，使可肯定的极限时必不存在。 lim ()lim ()lim ()() ()()()x x x x x x f x A g x f x g x f x g x x x →→→=??→0 是否为无穷大？，试判定，若)()(lim )(lim )(lim 0 x g x f A x g x f x x x x x x ?=∞=→→→ []．，试证明，，设∞=+→∞→→→)()(lim )()(0 0x g x f A x g x f x x x x ．，试证明，时，设当∞=≠→∞→→→)()(lim )0()()(0 0x g x f A A x g x f x x x x 设，，则当时 与是同阶无穷小，但不是等价无穷小是比高阶的无穷小与不全是无穷小 αβαβαβαβαβ=+=→+∞ln ()~()()()x x arcctgx x A B C D 1 答：（ ） f x x x x A x B x C x f x D x f x ()sin ()()()()()()()()= ?<<+∞→+∞→+∈+∞→+11 0000 当时为无穷小当时为无穷大当，时有界 当时不是无穷大，但无界． 答（ ） 若，当时为无穷小，则 ， ，， ， 答（ ） f x x x ax b x A a b B a b C a b D a b ()()()()()=+--→∞==-===-=-=-=2 1 11111111 2 1 )63(lim -∞→++x x x x 求 求lim()n n n n n n n n n →∞+++++++++11222 22 ____)1 2(lim =+-∞→n n n n lim ()()()()n n n n n e e e e A B e C e D e →∞ -??= 1212 1 答（ ） ． ____))1(2121(lim =-+++-+++∞ →n n n 答（ ） 不存在，但不是无穷大为无穷大 等于 等于 . )( ;)(; 2)( ; 0)(2 cos lim 2 D C B A x x x +→ . )(0)2(; )10()()1(sin 1)(是否成为无穷大时，当，内是否有界，在，试判断：设x f x x f x x x f +→π = [ )设，试判断：在，上是否有界当时，是否成为无穷大 f x x x f x x f x ()cos ()()()()=+∞→+∞102 试证明不存在。limcos x x →01 0)(lim 0)(lim )()(0 0==αα≤→→x f x x x f x x x x x ，试证明，且的某去心邻域内若在 ．试证明，，且的某去心邻域内若在B A B x g A x f x g x f x x x x x ≥==≥→→ ; )(lim )(lim )()(0 答（ ） 不存在，但不是无穷大为无穷大 等于 等于之值 . )( ; )(; 0)( ; 1)(1 1 sin lim D C B A x x x → （ ） 答 高阶的无穷小是比高阶的无穷小是比是等价无穷小与等价无穷小是同阶无穷小，但不是与时（ ），则当，设. )()()(; )()()(; )()()(; )()()(133)(11)(3x x D x x C x x B x x A x x x x x x αββαβαβα→-=β+-= α 答（ ） ， ，， ，，则必有设. 104)( ; 64)(; 104)( ; 52)(14lim 231=-=-==-=====-+--→A a D A a C A a B A a A A x x ax x x ） 答（ 不存在但不是无穷大 为等于 等于的极限 时，当. )( ; )(; 0)( ; 2)(1 1)(11 1 2D C B A e x x x f x x ∞--=→- 的值。．试确定满足和，设当a x x x x ax x x )(~)(cos 1)(1) 1()(02 3 2βα-=β-+=α→ 求，使a b x x ax b x lim()→∞++-+=321 12 之值。 ，试确定设b a b ax x x x , 0)743(lim 2=--+++∞ → n n n n x n x x x ∞ →+=+==lim )21(32111，求，，，设 设， ，，，求．x x x n x n n n n 1142312==+=+→+∞ ()lim 计算数列极限lim tan()n n n →∞+? ?????π41 )1 arctan 1(arctan lim +-+∞→n n n n n n 计算极限 ．及，试确定，设当k A Ax x x x x k ~11)(03333--+=α→ 设，求与使αα()lim () ()x x x x A K x x A A x k =++-+=≠→+∞2210 的值为， 极限)00()1(lim 0≠≠+→b a a x x b x 答（ ） ． ． a be D e C a b B A a b ) ()(ln )(1)( 设 ，试确定，之值。lim (cos ) ()x x a x b x a a b →+-= >0 2 221 2 0 设，试确定，之值。lim ()x x ax bx a b →+∞ -++=3122 设，试确定，之值。lim x x ax x b x a b →+++-=13221 3 )(lim x x x x x --++∞→计算极限 x x x x x x tan 2cos sin 1lim 0-+→计算极限 计算极限lim tan sin tan sin x x x x x e e →+-+-044 研究极限的存在性。lim cos ()x ax x a →->0220 {}．收敛，并求极限，试证数列，，．，，设n n n n n n x x n x x x x ∞ →+=-=∈lim )21(2)20(2 11 设，，，，试研究极限．x x x x n x n n n n n 112 0212<=-=+→∞ ()lim ． ，试研究极限，，，设n n n n n x n x x x x ∞ →+=-=>lim )21(222 11 n n n n n b n n n n n n n n n b a b a n b a b b a a b a ∞ →∞ →→∞ →++==+==lim lim lim lim )21( 21111存在，且存在，试证明：，，，，是两个函数，令，设 cos 20e e lim x x x →-计算极限 x x x x x x x ??? ??+-+++∞→lim 计算极限 x x x x )1 21(lim 2+-∞→计算极限 至少有一 及，则能否得出＂，，且若0lim 0lim 000lim ==≠≠=∞ →∞ →∞ →n n n n n n n n n y x y x y x 式成立＂的结论。 {}{}{}反例。 ，如否定结论则需举出如肯定结论请给出证明是否也必是无界数列。试判定： ， 都是无界数列，，设数列n n n n n n z y x z y x = 计算极限lim sinln()sinln()x x x x →∞+-+? ? ????1311 极限．； ． ．； ．． 答（ ） lim(cos )x x x A B C D e →- = 1 12 2 01 极限的值为（ ） ．； ．； ．； ．． 答（ ） lim ()x x x e e x x A B C D →--+0210123 答（ ） ．．； ．； ．； ．的值为（ ） 极限2 3 326103sin 3cos 1lim 0D C B A x x x x -→ 下列极限中不正确的是 ．； ．；．；．． 答（ ） A x x B x x C x x D x x x x x x lim tan sin lim cos lim sin()lim arctan →→-→→∞=+=---==0112 32322121120π π 极限．； ．； ．； ．． 答（ ） lim ln()ln()x x x x x x A B C D →+++-+= 0222 110123 极限．； ．； ．； ．． 答（ ） lim(cos )x x x A B e C D e →- = 112 12 01 答（ ） ． ．；．；．； ．为等价无穷小量的是时，与当 )sin ( 11)1ln( 2sin 0x x x D x x C x B x A x x +--+-→ ） 答（ ．低阶无穷小量． ．高阶无穷小量；量； ．同阶但非等价无穷小．等价无穷小量；的是无穷小量－时，无穷小量 当D C B A x x x x 12111-+→ 为常数，则数组，等价，其中与时，无穷小量当n m mx x x x n 2sin sin 20-→的值为，）中，（n m n m 答（ ） ． ，．； ，．； ，．； ，．)13()31()23()32(D C B A 已知，则的值为 ．； ．； ．； ．． 答（ ） lim() x x kx e k A B C D →+=-0 1 1111 2 2 极限的值为 ．； ．； ．； ． 答（ ） lim()x x x A e B e C e D e →∞---11 221 4 1 4 下列等式成立的是 ．； ．； ．；．． 答（ ） A x e B x e C x e D x e x x x x x x x x lim()lim()lim()lim()→∞→∞→∞+→∞++=+=+=+=1211 1111 22222212 答（ ） ．．； ．； ．； ．极限2210 1 ) 21(lim e D e C e B e A x x x -→= - 极限的值为（ ） ．； ．； ．； ．． 答（ ） lim( )x x x x A e B e C e D e →∞+---+11 4 2244 极限的值是 ．； ．； ．； ．． 答（ ） lim x x x x A B e C e D e →∞----+?? ? ? ?2121121 1 2 2 下列极限中存在的是 ．； ．；．； ． 答（ ） A x x B e C x x D x x x x x x lim lim lim sin lim →∞→→∞→++-201011111 21 极限的值为 ．；． ． ．． 答（ ）lim tan sin x x x x A B b C D →-∞03 011 2 极限．； ．； ．； ．． 答（ ） lim sin x x x A B C D →-= -∞ππ 101 已知，则的值为 ．； ．； ．； ．． 答（ ） lim cos sin x a x x x a A B C D →-=-01 2 0121 已知，则的值为 ．； ．； ．； ．． 答（ ）lim sin () x kx x x k A B C D →+=----02333 2 66 答（ ） ．，．； ，．； ，．； ，．为，的值所组成的数组，，则常数设)11()11()10()01()(0)11 (lim 2-=--++∞→D C B A b a b a b ax x x x 1、函数 ()12 ++=x x x f 与函数()11 3--=x x x g 相同． 错误 ∵当两个函数的定义域和函数关系相同时，则这两个函数是相同的。 ∴ ()12 ++=x x x f 与()113--=x x x g 函数关系相同，但定义域不同，所以()x f 与() x g 是不同的函数。 2、如果()M x f >（M 为一个常数），则()x f 为无穷大． 错误 根据无穷大的定义，此题是错误的。 3、如果数列有界，则极限存在． 错误 如：数列()n n x 1-=是有界数列，但极限不存在 4、a a n n =∞ →lim ，a a n n =∞ →lim ． 错误 如：数列()n n a 1-=，1) 1(lim =-∞ →n n ，但n n )1(lim -∞ →不存在。 5、如果()A x f x =∞ →lim ，则()α+=A x f （当∞→x 时，α为无穷小）． 正确 根据函数、极限值、无穷小量的关系，此题是正确的。 6、如果α～β，则()α=β-αo ． 正确 ∵1lim =α β ，是 ∴01lim lim =?? ? ??-=-αβαβα，即βα-是α的高阶无穷小量。 7、当0→x 时，x cos 1-与2 x 是同阶无穷小． 正确 ∵2122sin 412lim 2sin 2lim cos 1lim 2 02 2020=????? ? ????==-→→→x x x x x x x x x 8、 01 sin lim lim 1sin lim 000=?=→→→x x x x x x x ． 错误 ∵x x 1 sin lim 0→不存在，∴不可利用两个函数乘积求极限的法则计算。 9、 e x x x =?? ? ??+→11lim 0 ． 错误 ∵e x x x =?? ? ??+∞ →11lim 10、点0=x 是函数x x y =的无穷间断点． 错误 =-→x x x 00lim 1lim 00-=--→x x x ，=+→x x x 00lim 1lim 00=+→x x x ∴点0=x 是函数x x y =的第一类间断点． 11、函数()x f x 1 =必在闭区间[]b a ,内取得最大值、最小值． 第一章 函数、极限和连续 §1.1 函数 一、 主要容 ㈠ 函数的概念 1. 函数的定义: y=f(x), x ∈D 定义域: D(f), 值域: Z(f). 2.分段函数: ? ??∈∈=21)()(D x x g D x x f y 3.隐函数: F(x,y)= 0 4.反函数: y=f(x) → x=φ(y)=f -1 (y) y=f -1 (x) 定理:如果函数: y=f(x), D(f)=X, Z(f)=Y 是严格单调增加(或减少)的； 则它必定存在反函数： y=f -1(x), D(f -1)=Y, Z(f -1 )=X 且也是严格单调增加(或减少)的。 ㈡ 函数的几何特性 1.函数的单调性: y=f(x),x ∈D,x 1、x 2∈D 当x 1＜x 2时,若f(x 1)≤f(x 2), 则称f(x)在D 单调增加( )； 若f(x 1)≥f(x 2), 则称f(x)在D 单调减少( )； 若f(x 1)＜f(x 2), 则称f(x)在D 严格单调增加( )； 若f(x 1)＞f(x 2), 则称f(x)在D 严格单调减少( )。 2.函数的奇偶性：D(f)关于原点对称 偶函数：f(-x)=f(x) 奇函数：f(-x)=-f(x) 3.函数的周期性： 周期函数：f(x+T)=f(x), x ∈(-∞，+∞) 周期：T ——最小的正数 4.函数的有界性： |f(x)|≤M , x ∈(a,b) ㈢ 基本初等函数 1.常数函数： y=c ， (c 为常数) 2.幂函数： y=x n , (n 为实数) 3.指数函数： y=a x , (a ＞0、a ≠1) 4.对数函数： y=log a x ,(a ＞0、a ≠1) 5.三角函数： y=sin x , y=con x y=tan x , y=cot x 第二章 极限与连续 一、教学要求 1.了解极限概念，了解无穷小量的定义与基本性质，掌握求极限的方法. 2.了解函数连续性的概念，掌握函数连续性的性质及运算. 重点：极限的计算，函数连续性的性质及运算。 难点：极限、连续的概念。 二、课程内容导读 1. 掌握求简单极限的常用方法。求极限的常用方法有 (1) 利用极限的四则运算法则； (2) 利用两个重要极限； (3) 利用无穷小量的性质（无穷小量乘以有界变量还是无穷小量）； (4) 利用连续函数的定义。 例1 求下列极限： （1）x x x 33sin 9lim 0-+→ （2）1)1sin(lim 21--→x x x （3）x x x 1 0)21(lim -→ （4）2 22)sin (1cos lim x x x x x +-+∞→ （5）)1 1e (lim 0-+→x x x x 解（1）对分子进行有理化，然后消去零因子，再利用四则运算法则和第一重要极限计算，即 x x x 33sin 9lim 0-+→ =) 33sin 9()33sin 9)(33sin 9(lim 0++++-+→x x x x x =3 3sin 91lim 3sin lim 00++?→→x x x x x =21613=? （2）利用第一重要极限和函数的连续性计算，即 )1)(1()1sin(lim 1 )1sin(lim 121-+-=--→→x x x x x x x 11lim 1)1sin(lim 11+?--=→→x x x x x 2 11111=+?= （3）利用第二重要极限计算，即 x x x 10)21(lim -→＝2210])21[(lim --→-x x x 2e -=。 （4）利用无穷小量的性质（无穷小量乘以有界变量还是无穷小量）计算，即 222222222)sin 1(lim ]1cos 1[lim )sin 1(1cos 1lim )sin (1cos lim x x x x x x x x x x x x x x x x +-+=+-+=+-+∞→∞→∞→∞→= 1 注：其中当∞→x 时，x x x x sin 1sin =，)1(cos 11cos 2222-=-x x x x 都是无穷小量乘以有界变量，即它们还是无穷小量。 （5） 利用函数的连续性计算，即 )11e (lim 0-+→x x x x ＝11 01e 00-=-+? 2. 知道一些与极限有关的概念 (1) 知道数列极限、函数极限、左右极限的概念，知道函数在某点极限存在的充分必要条件是该点左右极限都存在且相等； (2) 了解无穷小量的概念，了解无穷小量与无穷大量的关系，知道无穷小量的性质； (3) 了解函数在某点连续的概念，知道左连续和右连续的概念，了解“初等函数在定义区间内连续”的结论；会判断函数在某点的连续性，会求函数的间断点； 例2 填空、选择题 (1) 下列变量中，是无穷小量的为（ ） A. )0(1ln +→x x B. )1(ln →x x C. )0(e 1 →-x x D. )2(422→--x x x 解 选项A 中：因为 +→0x 时， +∞→x 1，故 +∞→x 1ln ，x 1ln 不是无穷小量； 选项B 中：因为1→x 时，0ln →x ，故x ln 是无穷小量； 选项C 中：因为 +→0x 时，-∞→-x 1，故0e 1 →-x ；但是-→0x 时，x 1- +∞→，故+∞→-x 1 e ，因此x 1 e -当0→x 时不是无穷小量。 选项D 中：因为21422+=--x x x ，故当2→x 时，41422→--x x ，4 22--x x 不是无穷小量。 因此正确的选项是B 。 （2） 下列极限计算正确的是（ ）。 A.=→x x x 1sin lim 001sin lim lim 00=→→x x x x 第一章 极限论 极限可以说是整个高等数学的核心，贯穿高等数学学习的始终。因为有关函数的可积、连续。可导等性质都是用极限来定义的。毫不夸张地说，所谓高数，就是极限。衡量一个人高等数学的水平只需看他对极限的认识水平，对极限认识深刻，有利于高等数学的学习，本章将介绍数列的极限、函数的极限以及极限的求解。重点是求极限。 ??????? ?? ?? ?? 极限的定义数列极限极限的性质 函数极限的定义函数极限函数极限的性质 一、求极限的方法 1.利用单调有界原理 单调有界原理：若数列具有单调性、且有有界性，也即单调递增有上界、单调递减有下界，则该数列的极限一定存在。可以说，整个高等数学是从该结论出发来建立体系的。 利用该定理一般分两步：1、证明极限存在。2、求极限。 说明：对于这类问题，题中均给出了数列的第n 项和第1n +项的关系式，首先用归纳法或作差法或作商法等证明单调性，再证明其有界性（或先证有界、再证单调性），由单调有界得出极限的存在性，在最终取极限。 例1设0110,0,()0,1,2n n n a a x x x n x +>>=+=，…证{}n x 的极限存在，并求其极限。 分析：本题给出的是数列前后两项的关系，所以应该用单调有界原理求解。 解：由基本不等式，11()2n n n a x x x +=+≥n x 有下界；下面证单 调性，可知当2n ≥时，有2 111 ()()22n n n n n n n x a x x x x x x +=+≤+=，则n x 单调递减。综 合可得，则n x 单调递减有下界，所以lim n n x →∞ 存在；令lim n n x A →∞ = ，带入等式解得 A 评注：对于该题，再证明有界性的过程中用到基本不等式；特别是在证明单调性 第一章函数、极限、连续 习题一 一．选择题 1．下列各组中的函数f(x)与g(x)表示同一个函数的是（） A.f(x)=x,g(x)=x2 B.f(x)=2lgx,g(x)=lgx2 x,g(x)=x2 C.f(x)=x D.f(x)=x,g(x)=-x 2.函数y=4-x+sinx的定义域是( ) A.[0,1] B.[0,1)(1,4] C.[0,+∞) D.[0,4] 3.下列函数中,定义域为(-∞,+∞)的有( ) A.y=x-132 3 B.y=x2 C. y=x3 D.y=x-2 4.函数y=x2-1单调增且有界的区间是( ) A. [-1,1] B. [0,+∞) C. [1,+∞) D. [1,2] 5.设y=f(x)=1+logx+3 2,则y=f-(x)=( ) A.2x+3 B. 2x-1-3 C. 2x+1-3 D. 2x-1+3 6.设f(x)=ax7+bx3+cx-1,其中a,b,c是常数,若f(-2)=2，则f(2)=( A.-4 B.-2 C.-3 D.6 二．填空题 1．f(x)=3-x x+2的定义域是 2．设f(x)的定义域是[0,3]，则f(lnx)的定义域是。 3．设f(2x)=x+1，且f(a)=4，则a= 。 4．设f(x+11 x)=x2+x2，则f(x) 5．y=arcsin1-x 2的反函数是。 6．函数y=cos2πx-sin2πx的周期T。 ) ?π?sinx,x<17．设f(x)=?则f(-)=。 4??0,x≥1 2??1,x≤12-x,x≤1??8．设f(x)=?，g(x)=?，当x>1时，g[f(x)]= 。 x>1x>1???0?29．设f(x)=ax3-bsinx，若f(-3)=3，则f(3)=。 10．设f(x)=2x，g(x)=x2，则f[g(x)]=。 三.求下列极限 x3-1x2-91.lim2 2.lim x→1x-1x→3x-3 3.limx→52x-1-3+2x2-1 4. lim x→0xx-5 x2-3x+2x+2-35.lim 6. lim3x→1x→1x-xx+1-2 7.limx→1x+4-2-x-+x 8. lim2x→0sin3xx-1 高等数学函数极限与连续习题及答案 文件排版存档编号：[UYTR-OUPT28-KBNTL98-UYNN208] 1、函数 ()12 ++=x x x f 与函数()11 3--=x x x g 相同． 错误 ∵当两个函数的定义域和函数关系相同时，则这两个函数是相同的。 ∴()12 ++=x x x f 与 ()113--=x x x g 函数关系相同，但定义域不同，所以()x f 与 ()x g 是不同的函数。 2、如果()M x f >（M 为一个常数），则()x f 为无穷大． 错误 根据无穷大的定义，此题是错误的。 3、如果数列有界，则极限存在． 错误 如：数列()n n x 1-=是有界数列，但极限不存在 4、a a n n =∞ →lim ，a a n n =∞ →lim ． 错误 如：数列()n n a 1-=，1)1(lim =-∞ →n n ，但n n )1(lim -∞ →不存在。 5、如果()A x f x =∞ →lim ，则()α+=A x f （当∞→x 时，α为无穷小）． 正确 根据函数、极限值、无穷小量的关系，此题是正确的。 6、如果α～β，则()α=β-αo ． 正确 ∵1lim =α β ，是 ∴01lim lim =?? ? ??-=-αβαβα，即βα-是α的高阶无穷小量。 7、当0→x 时，x cos 1-与2x 是同阶无穷小． 正确 ∵2122sin 412lim 2sin 2lim cos 1lim 2 02 2020=????? ? ????==-→→→x x x x x x x x x 8、 01 sin lim lim 1sin lim 000=?=→→→x x x x x x x ． 错误 ∵x x 1 sin lim 0→不存在，∴不可利用两个函数乘积求极限的法则计算。 9、 e x x x =?? ? ??+→11lim 0 ． 错误 ∵e x x x =?? ? ??+∞ →11lim 10、点0=x 是函数x x y =的无穷间断点． 错误 =-→x x x 00lim 1lim 00-=--→x x x ，=+→x x x 00lim 1lim 00=+→x x x ∴点0=x 是函数x x y =的第一类间断点． 第二章 导数与微分 典型例题分析 客观题 例 1 设)(x f 在点0x 可导,b a ,为常数,则=??+-?+→?x x b x f x a x f x ) ()(lim 000 ( ) )(0x f ab A ' )()(0x f b a B '+ )()(0x f b a C '- )(0x f b a D ' 答案 C 解 =??+-?+→?x x b x f x a x f x )()(lim 000=?-?+--?+=→?x x f x b x f x f x a x f x )] ()([)]()([lim 00000 -?-?+=→?x a x f x a x f a x ) ()(lim 000x b x f x b x f b x ?-?+→?)()(lim 000 )()(0x f b a '-= 例2（89303）设)(x f 在a x =的某个邻域内有定义,则)(x f 在a x =处可导的一个充分条件是( ) ?? ????-??? ??++∞→)(1lim )(a f h a f h A h 存在 h h a f h a f B h ) ()2(lim )(0+-+→存在 h h a f h a f C h 2) ()(lim )(0 --+→存在 h h a f a f D h ) ()(lim )(0 --→存在 答案 D 解题思路 (1) 对于答案)(A ，不妨设 x h ?=1，当+∞→h 时，+ →?0x ，则有 x a f x a f a f h a f h x h ?-?+=?? ? ???-??? ??++ →?+∞→)()(lim )(1lim 0存在，这只表明)(x f 在a x =处右导数存在,它并不是可导的充分条件,故)(A 不对. (2) 对于答案)(B 与),(C 因所给极限式子中不含点a 处的函数值)(a f ，因此与导数概念不相符和.例如，若取 ? ??≠==a x a x x f ,0,1)( 则)(B 与)(C 两个极限均存在，其值为零，但1)(0)(lim =≠=→a f x f a x ，从而)(x f 在 a x =处不连续，因而不可导，这就说明)(B 与)(C 成立并不能保证)(a f '存在，从而) (B 与)(C 也不对. (3) 记h x -=?,则0→?x 与0→h 是等价的,于是 第一学期期末高等数学试卷 一、解答下列各题 (本大题共16小题，总计80分) 1、(本小题5分) 求极限 lim x x x x x x →-+-+-2332121629124 2、(本小题5分) .d )1(22x x x ?+求 3、(本小题5分) 求极限limarctan arcsin x x x →∞?1 4、(本小题5分) ? -.d 1x x x 求 5、(本小题5分) ．求dt t dx d x ?+2021 6、(本小题5分) ??. d csc cot 46x x x 求 7、(本小题5分) ．求? ππ2 1 21cos 1dx x x 8、(本小题5分) 设确定了函数求．x e t y e t y y x dy dx t t ==?????=cos sin (),22 9、(本小题5分) ．求dx x x ?+3 01 10、(本小题5分) 求函数 的单调区间y x x =+-422 11、(本小题5分) ．求? π +2 02sin 8sin dx x x 12、(本小题5分) ．，求设 dx t t e t x kt )sin 4cos 3()(ωω+=- 13、(本小题5分) 设函数由方程所确定求 ．y y x y y x dy dx =+=()ln ,226 14、(本小题5分) 求函数的极值y e e x x =+-2 15、(本小题5分) 求极限lim ()()()()()()x x x x x x x →∞++++++++--121311011011112222 16、(本小题5分) .d cos sin 12cos x x x x ? +求 二、解答下列各题 (本大题共2小题，总计14分) 1、(本小题7分) ,,512沿一边可用原来的石条围平方米的矩形的晒谷场某农场需建一个面积为.,,才能使材料最省多少时问晒谷场的长和宽各为另三边需砌新石条围沿 2、(本小题7分) .823 2体积轴旋转所得的旋转体的所围成的平面图形绕和求由曲线ox x y x y == 三、解答下列各题 ( 本 大 题6分 ) 设证明有且仅有三个实根f x x x x x f x ()()()(),().=---'=1230 一学期期末高数考试(答案) 一、解答下列各题 (本大题共16小题，总计77分) 1、(本小题3分) 解原式:lim =--+→x x x x 22231261812 =-→lim x x x 261218 =2 2、(本小题3分) ?+x x x d )1(22 ?++=222)1()1d(21x x =-++12112x c . 3、(本小题3分) 因为arctan x <π2而limarcsin x x →∞ =10 故limarctan arcsin x x x →∞ ?=10 4、(本小题3分) ?-x x x d 1 x x x d 111?----= ??-+-=x x x 1d d =---+x x c ln .1 5、(本小题3分) 第一章 函数.极限和连续 第一节 函数 1. 决定函数的要素：对应法则和定义域 2. 基本初等函数：（六类） （1） 常数函数（y=c ）；（2）幂函数（y=x a ）； （3）指数函数（y=a x ，a>0,a ≠1）;（4）对数函数（y=log a x ，a>0,a ≠1） （5）三角函数；（6）反三角函数。 注:分段函数不是初等函数。特例：y =√x 2是初等函数 《 3.构成复合函数的条件：内层函数的值域位于外层函数的定义域之内。 4.复合函数的分解技巧：对照基本初等函数的形式。 5.函数的几种简单性质：有界性，单调性，奇偶性，周期性。 第二节 极限 1.分析定义 ?&>0(任意小) ??>0 当|x |>e（或0<|x ?x 0| 极限与连续习题 一．填空题 1. 当0→x 时，x cos 1-是2x 的_______________无穷小量. 2. 0x =是函数x x x f sin )(= 的___________间断点. 3. =-→x x x 20)11(lim ___________。 4. 函数11arctan )(-=x x f 的间断点是x =___________。 5. =--→x x e x x x sin )1(lim 20___________. 6. 已知分段函数sin ,0(),0 x x f x x x a x ?>?=??+≤?连续，则a =___________. 7. 由重要极限可知，()1 lim 1+2x x x →=___________. 8. 已知分段函数sin ,0()2,0 x x f x x x a x ?>?=??+≤?连续，则a =___________. 9. 由重要极限可知，1lim (1)2x x x →+∞+=___________. 10. 知分段函数()sin 1,1()1,1x x f x x x b x -?>?=-??-≤? 连续，则b =___________. 11. 由重要极限可知，1 0lim(12)x x x →+=___________. 12. 当x →1时，233+-x x 与2ln x x 相比，_______________是高阶无穷小量. 13. 251lim 12n n n -→∞??- ???=___________. 14. 函数2 2(1)()23x f x x x +=--的无穷间断点是x =___________. 15. 0tan2lim 3x x x →=___________. 16. 351lim 12n n n +→∞??- ???=___________. 17. 函数2 2(1)()23 x f x x x +=--的可去间断点是x =___________. 18. 2 01cos lim x x x →-=___________. 19. 253lim 12n n n +→∞??+ ???=___________. 20. 函数221()34 x f x x x -=+-的可去间断点是x =___________. 21. 当0x →时，sin x 与3x 相比，_______________是高阶无穷小量. 22. 计算极限22 1lim 1n n n +→∞??+ ???=___________. 23. 设函数()21,0,0x x f x x a x +>?=?-≤? ，在0x =处连续, 则a =__________ 24. 若当1x →时, ()f x 是1x -的等价无穷小, 则1()lim (1)(1) x f x x x →=-+_______ . 25. 计算极限1lim 1x x x →∞??- ???=__________. 26. 设e ,0,(),0.x x f x x a x ?≤=?+>? 要使()f x 在0x =处连续, 则 a = . 27. . 当x →0时，sin x x -与x 相比， 是高阶无穷 小量. 高等数学测试题（一）极限、连续部分（答案） 一、选择题（每小题4分，共20分） 1、 当0x →+时，（A ）无穷小量。 A 1sin x x B 1 x e C ln x D 1 sin x x 2、点1x =是函数31 1()1131x x f x x x x -? 的（C ）。 A 连续点 B 第一类非可去间断点 C 可去间断点 D 第二类间断点 3、函数()f x 在点0x 处有定义是其在0x 处极限存在的（D ）。 A 充分非必要条件 B 必要非充分条件 C 充要条件 D 无关条件 4、已知极限22 lim()0x x ax x →∞++=，则常数a 等于（A ）。 A -1 B 0 C 1 D 2 5、极限2 01 lim cos 1 x x e x →--等于（D ）。 A ∞ B 2 C 0 D -2 二、填空题（每小题4分，共20分） 1、21lim(1)x x x →∞ -=2 e - 2、 当0x →+时，无穷小ln(1)Ax α=+与无穷小sin 3x β=等价，则常 数A=3 3、 已知函数()f x 在点0x =处连续，且当0x ≠时，函数2 1()2x f x -=， 则函数值(0)f =0 4、 111lim[ ]1223(1) n n n →∞+++??+ =1 5、 若lim ()x f x π →存在，且sin ()2lim ()x x f x f x x ππ →= +-，则lim ()x f x π→=1 二、解答题 1、（7分）计算极限 222111 lim(1)(1)(1)23n n →∞- -- 解：原式=132411111 lim()()( )lim 223322 n n n n n n n n →∞→∞-++???=?= 2、（7分）计算极限 3 0tan sin lim x x x x →- 解：原式=2 322000sin 1sin 1cos 1cos 2lim lim lim cos cos 2x x x x x x x x x x x x x →→→--=== 3、（7分）计算极限 1 23lim( )21 x x x x +→∞++ 解：原式= 11 122 11 22 21lim(1)lim(1)121211lim(1)lim(1)22 x x x x x x x x x e x x +++→∞→∞+→∞→∞+=+++ =+?+=++ 4、（7分）计算极限 1 x x e →- 解：原式=201 sin 12lim 2 x x x x →= 5、（7分）设3214 lim 1 x x ax x x →---++ 具有极限l ，求,a l 的值 解：因为1 lim(1)0x x →-+=，所以 32 1 lim(4)0x x ax x →---+=， 因此 4a = 并将其代入原式 321144(1)(1)(4) lim lim 1011 x x x x x x x x l x x →-→---++--===++ 函数、极限、连续 1. ],[)(),(b a C x g x f ∈，在),(b a 内二阶可导且存在相等的最大值，又 ),()(),()(b g b f a g a f ==证明：(1))()(),,(ηηηg f b a =∈?使 (2))()(),,(ξξξg f b a ''=''∈?使 证明：设)(),(x g x f 分别在d x c x ==,处取得最大值M ，不妨设 )(b d c a d c <≤<≤此时，作辅助函数),()()(x g x f x F -=往证0)(),,(=''∈?ξξF b a 使 令),()()(x g x f x F -=则)(x F 在二阶可导上连续，在),(],[b a b a ，且 0)()(==b F a F ， ① 当d c <，由于 0)()()()(≥-=-=c g M c g c f c F 0)()()()(≤-=-=M d f d g d f d F 由“闭.连.”零点定理， )()(),,(],[ηηηg f b a d c =?∈?使 ② 当d c =，由于0)()()()()(=-=-=-=M M d g c f c g c f c F 即 )()(),,(ηηηg f b a =∈?使 对)(x F 分别在],[],,[b a ηη上用罗尔定理，),(),,(21b a ηξηξ∈∈?，使 0)()(21='='ξξF F ，在],[21ξξ上对)(x F 在用罗尔定理， ),(),(21b a ?∈?ξξξ，使0)(=''ξF ，)()(),,(ξξξg f b a ''=''∈?使. 2. 设数列}{n x 满足 ,2,1,sin ,011==<<+n x x x n n π (1) 证明存在n n x ∞ →lim ，并求该极限 (2) 计算2 1)(lim 1n x n n n x x +∞→ 分析：(1) 确定}{n x 为单调减少有下界即可 关于高等数学函数的极 限与连续习题及答案 Company number【1089WT-1898YT-1W8CB-9UUT-92108】 1、函数 ()12 ++=x x x f 与函数()11 3--=x x x g 相同． 错误 ∵当两个函数的定义域和函数关系相同时，则这两个函数是相同的。 ∴()12 ++=x x x f 与()11 3--=x x x g 函数关系相同，但定义域不同，所 以()x f 与()x g 是不同的函数。 2、如果()M x f >（M 为一个常数），则()x f 为无穷大． 错误 根据无穷大的定义，此题是错误的。 3、如果数列有界，则极限存在． 错误 如：数列()n n x 1-=是有界数列，但极限不存在 4、a a n n =∞ →lim ，a a n n =∞ →lim ． 错误 如：数列()n n a 1-=，1)1(lim =-∞ →n n ，但n n )1(lim -∞ →不存在。 5、如果()A x f x =∞ →lim ，则()α+=A x f （当∞→x 时，α为无穷小）． 正确 根据函数、极限值、无穷小量的关系，此题是正确的。 6、如果α～β，则()α=β-αo ． 正确 ∵1lim =α β ，是 ∴01lim lim =?? ? ??-=-αβαβα，即βα-是α的高阶无穷小量。 7、当0→x 时，x cos 1-与2x 是同阶无穷小． 正确 ∵2122sin 412lim 2sin 2lim cos 1lim 2 02 2020=????? ? ????==-→→→x x x x x x x x x 8、 01 sin lim lim 1sin lim 000=?=→→→x x x x x x x ． 错误 ∵x x 1 sin lim 0→不存在，∴不可利用两个函数乘积求极限的法则计算。 9、 e x x x =?? ? ??+→11lim 0 ． 错误 ∵e x x x =?? ? ??+∞ →11lim 10、点0=x 是函数x x y =的无穷间断点． 错误 =-→x x x 00lim 1lim 00-=--→x x x ，=+→x x x 00lim 1lim 00=+→x x x 高等数学第1-3章作业 一、求下列各极限 1. 求极限 1)1(3t a n lim 21--→x x x . 2. 求极限)ln 1 1(lim 1x x x x --→。 3. 求极限22 )2(sin ln lim x x x -→ ππ 4. 求极限) 1ln(1 02)(cos lim x x x +→ 5. 当0→x 时，)()1ln(2bx ax x +-+是2x 的高阶无穷小，求a ，b 的值 6. 求极限3 sin 1tan 1lim x x x x +-+→ 7. 求极限x x x x )1cos 2(sin lim ++∞→ 8. 求极限 x e e x x x 20sin 2lim -+-→ 二、求下列各函数的导数或微分 1、求函数x x y tan ln cos ?=的导数； 2、设.42arcsin 2x x x y -+= ，求1 =x dx dy 3、求)()(2 (2tan u f f y x =可导）的导数；4、设 x e x y x arccos )1(ln -= ， 求)0(y ' 5、 设 )ln(2 22222 2a x x a a x x y -+--= ，求y '。 6、设方程0=+-y x e e xy 确定了y 是x 的隐函数，求0 =''x y 。 7、 设x x e y x sin )1ln(+ +=,求dy 。 8、设)0(,2 2)()2(lim 20≠+=?-?+→?x x x x x f x x f x ，求)2(x df 。 三、应用题 1.讨论函数2 3 32x x y -=的（1）单调性与极值（2）凹凸区间与拐点 2. 求函数x x x f cos sin )(+=在]2,0[π上的极值。 3. 求函数 )0(ln 1)(2>-+=x x x x f 的极值 4. 在某化学反应中，反应速度)(x v 与反应物的浓度x 的关系为)()(0x x kx x v -=，其中0x 是反应开始时反应物的浓度，k 是反应速率常数，问反应物的浓度x 为何值时，反应速度 )(x v 达到最大值？ 练习题 1. 极限 x x x x x x x x x x x x x x x 1lim )4(1 1lim )3(15 86 5lim )2(31lim )1(2 3 1 2 2 32 ---+-+-+++-∞ →→→∞→ (5) 已知011lim 2 =??? ? ??--++∞→b ax x x x , 求常数a , b . (6) x x x x sin 1sin lim 20→ (7) 211lim 22x x x x ???? ??+-∞ → (8) x x x 21lim 0 -→ (9) x x x sin ) 31ln(lim 0-→ (10) ???? ??-∞→1lim 1 x x e x 2. 函数的连续性 (1) 确定b 的值, 使函数 ? ??<≥+==-00 2)(1 x e x b x x f y x 在x =0点连续. (2) 确定a , b 的值, 使函数 1 lim )(22 1 2+-+==-∞ →n n n x bx ax x x f y 在整个实数轴上连续. (3) 讨论下列函数的连续性, 并判断其间断点的类型. ① x x x f sin )(= ② ??????? =≠+-=00 01212)(1 1 x x x f x x 3. 连续函数的性质 (1) 设 1)(1 -+++=-x x x x f n n Λ, 证明： )(x f 有一个不大于1的正根. (2) 若),()(∞+-∞∈C x f , 且A x f x =∞ →)(lim , 证明: ),()(∞+-∞在x f 内有界. 提高 1o),()(∞+-∞在x f 内至少有一个最值存在. 2o 对于最值与A 间的任意值C , 存在21,ξξ, 使得 C f f ==)()(21ξξ. 2. 函数的连续性 (1) 确定b 的值, 使函数 ???<≥+==-00 2)(1 x e x b x x f y x 第一章 函数与极限 §1 函数 必作习题 P16－18 4 (5) (6) (8)，6，8，9，11，16，17 必交习题 一、一列火车以初速度0v ，等加速度a 出站，当速度达到1v 后，火车按等速运动前进；从 出站经过T 时间后，又以等减速度a 2进站，直至停止。 (1) 写出火车速度v 与时间t 的函数关系式； (2) 作出函数)(t v v =的图形。 二、 证明函数1 2+= x x y 在),(+∞-∞内是有界的。 三、判断下列函数的奇偶性： (1)x x x f 1sin )(2= ； (2)1 212)(+-=x x x f ； (3))1ln()(2++=x x x f 。 四、 证明：若)(x f 为奇函数，且在0=x 有定义，则0)0(=f 。 §2 初等函数 必作习题 P31－33 1，8，9，10，16，17 必交习题 一、 设)(x f 的定义域是]1,0[，求下列函数的定义域： (1))(x e f ； (2))(ln x f ； (3))(arcsin x f ； (4))(cos x f 。 二、(1)设)1ln()(2x x x f +=，求)(x e f -； (2)设23)1(2+-=+x x x f ，求)(x f ； (3)设x x f -= 11)(，求)]([x f f ，})(1{x f f 。)1,0(≠≠x x 三、设)(x f 是x 的二次函数，且1)0(=f ，x x f x f 2)()1(=-+，求)(x f 。 四、设???>+≤-=0, 20, 2)(x x x x x f ，???>-≤=0,0,)(2x x x x x g ，求)]([x g f 。 《高数》习题1（上） 一．选择题 1．下列各组函数中，是相同的函数的是（ ）. （A ）()()2ln 2ln f x x g x x == 和 （B ）()||f x x = 和 ( )g x =（C ）()f x x = 和 ( )2 g x = （D ）()||x f x x = 和 ()g x =1 4．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（ ）. （A ）连续且可导 （B ）连续且可微 （C ）连续不可导 （D ）不连续不可微 7．2 11 f dx x x ?? ' ? ???的结果是（ ）. （A ）1f C x ??-+ ??? （B ）1f C x ??--+ ??? （C ）1f C x ?? + ??? （D ）1f C x ?? -+ ??? 10．设()f x 为连续函数，则()1 02f x dx '?等于（ ）. （A ）()()20f f - （B ）()()11102 f f -????（C ）()()1 202 f f -????（D ） ()()10f f - 二．填空题 1．设函数 ()21 00x e x f x x a x -?-≠? =??=? 在0x =处连续，则a =. 2．已知曲线 ()y f x =在2x =处的切线的倾斜角为 5 6 π，则 ()2f '= . 3．() 2 1ln dx x x =+? . 三．计算 1．求极限 ①21lim x x x x →∞+?? ? ?? ②( ) 2 sin 1 lim x x x x x e →-- 2．求曲线()ln y x y =+所确定的隐函数的导数x y '. 3．求不定积分x xe dx -? 四．应用题（每题10分，共20分） 1．求曲线22y x =和直线4y x =-所围图形的面积. 《高数》习题1参考答案 一． 选择题 1．B 4．C 7．D 10．C 二．填空题 1．2- 2．3- ３．arctan ln x c + 三．计算题 １①2e ②16 2.1 1 x y x y '= +- 3. ()1x e x C --++ 四．应用题 高等数学习题库 淮南联合大学基础部 2008年10月 第一章 映射，极限，连续 习题一 集合与实数集 基本能力层次： 1: 已知：A ＝{x|1≤x ≤2}∪{x|5≤x ≤6}∪{3},B={y|2≤y ≤3} 求：在直角坐标系内画出 A ×B 解：如图所示A ×B ＝{（x,y ）| ,x A y B ∈∈ }. 2： 证明：∵ P 为正整数，∴p ＝2n 或p ＝2n+1，当p ＝2n+1时，p 2 ＝4n 2 +4n+1，不能被2整除，故p ＝2n 。即结论成立。 基本理论层次： 习题二 函数、数列与函数极限 基本能力层次 1： 解： 2： 证明：由得cxy ay ax b -=+即 ay b x cy a += -，所以 ()x f y = 所以命题成立 3： （1）2 2x y -= （2）lg(sin )y x = （3 []y x = （4）0,01,0x y x ≥?? =??取N ＝[1 ω ]，则当n>N 时,就有 11|1|n n n ω--=<有定义变知1lim 1n n n →∞-=成立 5：求下列数列的极限 （1）lim 3n n n →∞ （2）222 3 12lim n n n →∞+++ （3） （4）lim n 解：（1） 233n n n n <,又 2lim 03n n x →∞=,所以 0lim 03n n n →∞≤≤ , 故：lim 3n n n →∞＝0 （2）由于 222 3 312(1)(21)111 (1)(2)6n n n n n n n n n ++ +++= =++ 又因为：1111 lim (1)(2)63 n n n n →∞++=,所以：2223121 lim 3 n n n →∞+++ （3）因为： 所以： （4） 因为：111n n ≤≤+，并且1 lim(1)1n n →∞+=, 故由夹逼原理得 1n = 第二章 极限与连续 习题2-1 1、观察下列数列的变化趋势,判别哪些数列有极限,如有极限,写出它们的极限. (1)n n a x 1 = )1(>a ； 有. 0lim =∞→n n x . (2) n x n n 1 )1(1--=； 有. 0lim =∞→n n x . (3) n x n n 1 )1(--=； 无. (4) 2sin π n x n =； 无. (5) 1 1 +-= n n x n ； 有. 1lim =∞→n n x . (6) n n x )1(2-=； 无. (7) n x n 1 cos =； 有. 1lim =∞→n n x . (8) n x n 1 ln =. 无. 2、设9.01=u ,99.02=u , 个 n n u 999.0,=,问 (1) ?lim =∞ →n n u (2) n 应为何值时,才能使n u 与其极限之差的绝对值小于0001.0？ 解：(1) 显然,n n u 10 1 1- =,可见1lim =∞→n n u ； (2) 欲使4 101 0001.0101|1|= <=-n n u ,只需5≥n 即可. 3、对于数列? ?? ?? ?+=1}{n n x n ,),2,1( =n ,给定(1)1.0=ε;(2)01.0=ε; (3)001.0=ε时,分别取怎样的N ,才能使当N n >时,不等式ε<-|1|n x 成立,并利用极限定义证明此数列的极限为1. 解：欲使ε=<+=-+=-k n n n n x 10 1 1111|1|,只需110->k n . (1)若给定1.0=ε,此时1=k ,取91101=-=N 即可; (2)若给定01.0=ε,此时2=k ,取991102=-=N 即可; (3)若给定001.0=ε,此时3=k ,取9991103=-=N 即可; 下面证明1lim =∞→n n x . 欲使ε<<+= -n n x n 111|1|,只需ε 1>n . 0>?ε,取+∈+=N 1]1[εN ,当ε 1 ≥>N n 时,恒有ε<-|1|n x , 所以 1lim 1lim ==+∞ →∞→n n n x n n . 4、用极限定义考查下列结论是否正确,为什么？ (1)设数列}{n x ,当n 越来越大时,||a x n -越来越小,则a x n n =∞ →lim . 解：结论错误.例如取n x n 1 1+=,0=a ,显然n a x n 11||+=-越来越小, 但a x n n =≠=∞ →01lim . (2)设数列}{n x ,当n 越来越大时,||a x n -越来越接近于0,则a x n n =∞ →lim . 解：结论错误.例如取n x n 1 1+ =,0=a ,显然n a x n 11||+=-越来越接近于0,高等数学函数的极限与连续习题及答案
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