中考数学压轴题(对称问题、双动点对称问题)

y —x 2+ bx + c 与 x 轴交于 A (5, 0)、B (- 1, 0)两

点，过点A 作直线AC 丄x 轴，交直线y =2 x 于点C ; (1 )求该抛物线的解析式;

(2)求点A 关于直线y =2x 的对称点A '的坐标，判定点A '是否在抛物线上，并说明理由;

(3 )点P 是抛物线上一动点，过点 P 作y 轴的平行线，交线段 CA '于点M ，是否存在这样的点 P ,

使四边形PACM 是平行四边形？若存在，求出点

P 的坐标；若不存在，请说明理由.

/

\

/

/.

r 习

O /A

x

分析： (1、利用待定系数法求出抛物线的解析式;

(2 )首先求出对称点 A '的坐标，然后代入抛物线解析式，即可判定点 A '是否在抛物线上?本问关 键在于求出A '的坐标?如答图所示，作辅助线，构造一对相似三角形

Rt △A t A“Rt △OAC ，禾U 用相

似关系、对称性质、勾股定理，求出对称点 A '的坐标；

(3)本问为存在型问题?解题要点是利用平行四边形的定义，列出代数关系式求解?如答图所示， 平行四边形的对边平行且相等，因此 PM = AC =10 ;利用含未知数的代数式表示出 PM 的长度，然

后列方程求解.

可+5b 心0

1 ，

解得

丄-b+c=O 4

(2014 ?济宁，第22题11分)如图，抛物线 解答：解：(1 )：y =

—x 2+ bx + c 与 x 轴交于 A (5, 0)、 B (- 1 , 0、两点, 抛物线的解析式为

(2、如答图所示，过点A '作A'E丄x轴于E, AA '与OC交于点D ,

???点 C 在直线 y =2x 上，「.c ( 5, 10 )

???点A 和A '关于直线y =2x 对称，??? OC 丄AA ' , D = AD .

??OA =5 , AC =10 ,

???°c=J OA ' + A 严珂5? +1*= 5诉.???S ^OAC =3OC ?AD =2OA ?AC , ??AD U Q 诉.-AA =^5,

在 Rt △A t A 和 Rt △OAc 中，T /A'AE + ZA'A C =90 °,A CD + ZA A C =90 ° ,

???zA 'AE = /ACD .又 vZ A 'EA = Z°AC =90 ° , 『F AK ???Rt △A EA“Rt

ZOAC .????

??A 'E =4 , AE =8 .???°E =AE - °A =3 .???点 A '的坐标为(-3 , 4),

??PM //AC,

?要使四边形PACM 是平行四边形，只需 PM = AC ?又点M 在点P 的上方,

會-x -

》=10 .

解得X 1=2 , X 2=5 （不合题意，舍去） 当 x =2 时，y =-

OA AC OC

当 x = - 3 时，y =-x( -3) 2+3

4 --=4 ?所以，点A '在该抛物线上.

4

（3）存在?理由：设直线 CA A 的解析式为y =kx + b ,

5出丸

-3k+b=4

x ，gx 2

-x -

斗），则点M 为（x ,

3 25 —x+—

4 4

4 4

?当点P 运动到（2 ,

）时，四边形 PACM 是平行四边形.

4

，解得

设点P 的坐标为（ ).

?直线CA '的解析式为y 宀讨…9分）

点评：本题是二次函数的综合题型，考查了二次函数的图象及性质、待定系数法、相似、平行四边形、勾股定理、对称等知识点，涉及考点较多，有一定的难度.第( 2)问的要点是求对称点 A '的坐标，

第(3)问的要点是利用平行四边形的定义列方程求解.

.(2014 ?贵州黔西南州，第26题16分)如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx + c经过A (- 3, 0 )、B (1 , 0 )、C (0 , 3 )三点，其顶点为D，连接AD，点P是线段AD上一个动点

(不与A、D重合)，过点P作y轴的垂线，垂足点为E,连接AE.

(1 )求抛物线的函数解析式，并写出顶点D的坐标；

(2 )如果P点的坐标为(x, y), APAE的面积为S,求S与x之间的函数关系式，直接写出自变量

x的取值范围，并求出S的最大值；

(3 )在(2)的条件下，当S取到最大值时，过点P作x轴的垂线，垂足为F,连接EF,把厶PEF沿

实用文案

直线EF折叠，点P的对应点为点

第1题图

分析： (1 )由抛物线y = ax 2+ bx + c 经过A (- 3 , 0 )、B (1 , 0 )、C (0, 3)三点，则代入求得 a , b ，c ,进而

得解析式与顶点 D .

(2) 由P 在AD 上，则可求 AD 解析式表示P 点?由S/APE =?PE ?y p ，所以S 可表示，进而由 函数最值性质易得 S 最值.

(3) 由最值时，P 为(-,3),贝U E 与C 重合?画示意图，P '过作P 'M 丄y 轴，设边长通过

解直角三角形可求各边长度，进而得 P '坐标?判断P '是否在该抛物线上，将X P '坐标代入解析

式，判断是否为y p '即可.

解答： 解：(1 )???抛物线 y = ax 2+bx +c 经过 A (- 3, 0)、B (1, 0)、C (0, 3)三点,

? -X 2 - 2x +3= -( x +1 ) 2+4 , ???抛物线顶点坐标 D 为(-1 , 4).

(2) v A (- 3, 0), D (- 1 , 4),

vP 在 AD 上，「.P (x , 2x +6 ),

?S ZAPE = ?PE ?y P = ?( - x )?(2x +6 ) = - x 2 - 3x (- 3 v x v- 1 ),

(3) 如图1，设P'F 与y 轴交于点N ，过P '作PM 丄y 轴于点M ,

9a - 3b-^c=0

a=- 1

丿 a+b+c=O ，解得 b=- 2

、c-3

???解析式为 y = - x 2 -

2x +3

???设AD 为解析式为 y = kx + b ，有 (-3k+b=0 (-k+b=4

，解得

?AD 解析式: y =2 x +6 ,

S 取最大值.

当x =

???ZPEF 沿 EF 翻折得△ P'EF ,且 P (-, 3),

???ZPFE = /P'FE, PF =P'F =3 , PE =P'E =, ???PF//y ^,A Z PFE = /FEN ,

?/Z PFE = ZP 'FE,.?./FEN = /P 'FE,「.EN = FN ,

设 EN = m ，贝U FN = m , P N =3 — m .

在 Rt /△P EN 中，?(3 — m ) 2+ () 2=m 2,「.m =

???S 仲 EN =?P'N ?P E = ?EN ?P M ,「.P M =

在 Rt △EMP '中，E M = i ； ■ 「 I -

'=,.?.OM =EO — EM =,

V 2

10

???P'

???点P '不在该抛物线上.

点评：本题考查了待定系数法求抛物线解析式，

二次函数图象、性质及设边长利用勾股定理解直角三

角形等常规考点，题目考点适中，考法新颖，适合学生练习巩固.

（2014 ?攀枝花，第24题12分）如图，抛物线 y=ax2 — 8ax+12a （a >0）与x 轴交于 A 、B 两点

（A 在B 的左侧），与y 轴交于点 C ,点D 的坐标为（-6, 0）,且Z ACD=90 ° .

1C1

q

q

当时，y =-（

不）

10

2

— 2? +3= 10

F ，

,).

B

(1 )请直接写出A 、B 两点的坐标; (2 )求抛物线的解析式； (3 )抛物线的对称轴上是否存在点 P ,使得△ PAC 的周长最小？若存在，求出点

P 的坐标及周长的

最小值；若不存在，说明理由；

(4) 平行于y 轴的直线m 从点D 出发沿x 轴向右平行移动，到点 A 停止.设直线 m 与折线DCA 的交点为G ,与x 轴的交点为H (t , 0).记△ACD 在直线m 左侧部分的面积为 s ,求s 关于t 的函

分析：

(1 )令y-ax2 - 8ax+12a-0 ，解一兀一次方程，求出点 A

、B 的坐标； (2)

由/ACD=90。可知公CD 为直角三角形，利用勾股定理，列出方程求出 a 的值，进而求 出

抛物线的解析式；

(3) APAC 的周长=AC+PA+PC , AC 为定值，则当 PA+PC 取得最小值时，△ PAC 的周长最 小.设点C 关于对称轴的对称点为 C '，连接AC '与对称轴交于点P ,由轴对称的性质可知点 P 即为所求； 解答：

解：(1)抛物线的解析式为：

y=ax2 - 8ax+12a (a > 0),

令 y=0，即 ax2 - 8ax+12a=0 ，解得 x 仁2 , x2=6 ,「.A (2 , 0 ) , B (6 , 0). (2)抛物线的解析式为：

y=ax2 - 8ax+12a (a > 0),

连接AC '，与对称轴交于点P ,则点P 为所求.此时△ PAC 周长最小，最小值为 AC+AC 设直线AC '的解析式为y=kx+b ，则有:

严 Q L-JVS

|8k+b=2\/3,解得［

3

墜

当 x=4 时，y= ■

,：P (4 ,

■').

过点C '作C'E 丄x 轴于点E ,则C'E=- 打AE=6 ,

在Rt △AC 'E 中，由勾股定理得：AC '=丫保3) +F*=4^ ； 在Rt △AOC 中，由勾股定理得： AC="— ' * 'C =4 .

?'AC+AC '4+4

「；.

?存在满足条件的点P ,点P 坐标为(4 , ° ), △PAC 周长的最小值为4+4、代.

令x=0 ，得 y=12a ,：C (0 , 12a ), OC=12a . 在 Rt &0D

中, 由勾股定理得:

CD2=OC2+OD2=

(12a )2+62=144a2+36 ； 在 Rt &OD 中, 由勾股定理得: AC2=OC2+OA2= (12a )2+22=144a2+4

；

在 Rt &OD DC2+AC2=AD2

即：(144a2+36 ) + (144a2+4 ) =82

Vs

73

解得：a= &或a=

-HT

(舍去)，

4V3

?抛物线的解析式为

y= & x2 — 3 x

8a

(3)存在.对称轴为直线:

x=- 2S =4

由(2)知C (0, N/3),则点C 关于对称轴

中, 由勾股定理

得:

x=4的对称点为C ' 8, 一；),

(4)①当-6 W t WO时，如答图4 - 1所示.

???直线m平行于y轴，

GH PH GH 二6+t 並

??? i即’；?，解得：GH= _(6+t )

???直线m平行于y轴，

GH^H OH _2-t _

???」-丄j 即'；，解得：GH= —?珂+2 ?':.

??S=S ?OD+S 梯形OCGH=OD ?OC+ (GH+OC )?OH

=X6 X2^ ':+ (—卜；~t+2 "F l+2"* g)?t

=—'t2+2 - t+6 「；.

s_］呼严+隅+朋CO

点评：本题是典型的二次函数压轴题，综合考查二次函数与一次函数的图象与性质、待定系数法、解一元二次方程、相似、勾股定理等知识点，难度不大.第( 3)考查最值问题，注意利用轴对

3

当 x =0 时 y = - ^―,「.OD =

,「.BF =OD ,

称的性质；第(4)问是动线型问题，考查分类讨论的数学思想，注意图形面积的计算.

(2014 ?山东烟台，第26题12分)如图，在平面直角坐标系中， Rt △ABC 的顶点A , C 分别在y 轴, x 轴上，/ ACB =90 °,OA = J3，抛物线y = ax 2 - ax - a 经过点B (2,—),与y 轴交于点D .

3

点B 关于直线AC 的对称点是否在抛物线上？请说明理由;

通过A AOC S ?F B 求得0C 的值，通过△ OCD ^Z FCB 得出DC = CB ,/OCD = /FCB ，然后 得出结论.

(3)设直线AB 的表达式为y =kx +b ,求得与抛物线的交点 E 的坐标，然后通过解三角函数求得

结果.

(2 )连接CD ,过点B 作BF 丄x 轴于点F ,则Z BCF + /CBF =90

???Z ACB =90 °,.??A CO + ZBCF =90 ° ,^A CO = ZCBF ,

AO DC

???小OC = ZCFB =90 ° ,A AOC S ZCFB ,.】…一…

(1) 求抛物线的表达式;

分析: (1)把点B 的坐标代入抛物线的表达式即可求得.

解答：(1)把点B 的坐标代入抛物线的表达式，得 =a 空-2a -

a ，解得 a v-：，

抛物线的表达式为y =

^X 2 -省X -寒

3 3 3

设 OC = m ，贝U CF =2 - m ，则有

，解得 m = m =1 ,「?OC = OF =1 ,

延长BA 交抛物线于点E ,

?/ZDOC = /BFC =90 °,.gCD S /FCB ,.?.DC = CB ,/OCD = /FCB ,

???点B 、C 、D 在同一直线上， ???点B 与点D 关于直线AC 对称, ???点B 关于直线AC 的对称点在抛物线上.

???qAC = /EDG ,「.ED//AC .

点评：本题考查了待定系数法求解析式，三角形相似的判定及性质，以及对称轴的性质和解三角函数 等知识的理解和掌握.

2

(2014年湖北咸宁23 . (10分))如图1 , P (m , n )是抛物线y=专--1上任意一点，I 是过点(0 , -2 )且与x 轴平行的直线，过点 P 作直线PH 丄I ，垂足为H . 【探究】

(1 )填空：当 m=0 时，OP= 1 , PH= 1 ;当 m=4 时，OP= 5

, PH= 5

;

【证明】

(2 )对任意m , n ,猜想OP 与PH 的大小关系，并证明你的猜想.

(3)过点E 作EG 丄y 轴于点G ,设直线 AB 的表达式为y =kx + b ，则

晳=2k+b

L J

.?.y=-

省x +换，代入抛物线的表达式-亨x+V3 爭-：

埠x 邊

解得x =2或x = - 2,

2

时y 「爭林=-

冬(—2)皿

当x =-

,：tan ZEDG = ???ZEDG =30 ° 'tan ZOAC =

+ '—AC =30

°， 解得k = -^2,

3

???点E 的坐标为(-2 ,

塾=

DG =

【应用】

2

(3)如图2，已知线段 AB=6，端点A , B 在抛物线y=— - 1上滑动，求 A , B 两点到直线I 的距

4

似(1 )利用勾股定理和 PH=y P - (- 2)可求出OP 与PH ，比较即得结论.

距离的和，即 A 、B 两点到原点的和，若 AB 不过点O ,则OA+OB >AB=6，若AB 过点O ,则 OA+OB=AB=6 ，所以OA+OB >6，即A 、B 两点到I 距离的和》6，进而最小值即为 6 . 解答： (1 )解：OP=1 , PH=1 ; OP=5 , PH=5 . 如图1，记PH 与x 轴交点为Q ,

当 m=0 时，P (0,- 1).此时 OP=1 , PH=1 . 当 m=4 时，P (4, 3).此时 PQ=3 , OQ=4 , ??QP= U FQ 2+0Q 2=5，PH=y P - (- 2) =3 -(- 2) =5 .

\

/ (眄

7

X

1 ____________________ 屮

H #

分析： (1 ) m 记为P 点的横坐标.m=0时，直接代入 x=0，得 P (0,- 1)，则OP , PH 长易知.当m=4时，直接代入 x=4，得 P

(4 , 3 ), OP 可有勾股定理求得，PH=y P -( - 2).

(2 )猜想OP=PH .证明时因为P 为所有满足二次函数 y=

2

普-1

的点,

般可设(m ,

■^- 1).类

(3)考虑(2)结论，即函数y=

2

—-1的点到原点的距离等于其到

I 的距离.要求A 、B 两点到I

离之和的最小值.

图］

（2）猜想：OP=PH

证明：过点P 作PQ 丄x 轴于Q , 2

TP 在二次函数y=M_ - 1上,

4

???设 P （m ,骨-1 ），贝 V PQ=| 骨-1|,

???幻PQ 为直角三角形,

, _______ 2 | 2 21 2 2

??QP=7F 2+OQ 珂备一丄）5珂（亍?+少1冷（話1）~牛+1，

PH=y P -（ - 2）=（ ? QP=PH .

(3 )解：如图2，连接OA , OB ，过点A 作AC 丄I 于C ,过点B 作BD 丄I 于D ，此时AC 即为A

在△AOB 中，：OB+OA > AB ,「.BD+AC > AB .

当 AB 过 O 点时，T OB+OA=AB ,「.BD+AC=AB .综上所述，BD+AC N AB , ??AB=6 ,

?BD+AC >6，即A , B 两点到直线I 的距离之和的最小值为 6.

OQ=|m| 点到I 的距离，BD 即为B 点到I 的距离.

13 2

点评： 本题考查了学生对函数与其图象的理解， 另外涉及一些点到直线距离， 利用勾股定理就坐标

系中两点间的距离及最短距离等知识点， 总体来说难度不高，但知识新颖易引发学生对数学知识的兴 趣，非常值得学生练习. (2014年河南)(23. 11分)如图，抛物线 y — x 2+bx + c 与x 轴交于A ( — 1,0),B (5,0 )两点，直线 3 y= ------x +3与y 轴交于点C,,与x 轴交于点D .点P 是x 轴上方的抛物线上一动点，过点 P 作PF 丄 4 x 轴于点F ,交直线CD 于点E ?设点P 的横坐标为 m 。 (1)求抛物线的解析式； (2 )若PE =5 EF,求m 的值； (3)若点E 是点E 关于直线PC 的对称点、是否存在点 P ,使点 已落在y 轴上？若存在，请直接写 出相应的点P 的坐标；若不存在，请说明理由。 解：⑴???抛物线y = — x 2

+ bx + c 与x 轴交于A (—1,0) , B (5,0)两点, 2 0= ( 1) b+c 0= 52 5b+c

b=4 c=5 ???抛物线的解析式为 y = —x 2

+4 x +5 . ...... 3分 (2 )点P 横坐标为m ,

3 贝U P (m ,— m 2 + 4m + 5) ,E (m ,— m +3) , F (m ,0),

4 ???点P 在x 轴上方，要使 PE =

5 EF,点P 应在y 轴右侧, v m v 5. PE = — m 2 + 4m + 5 — (— -m + 3)= 4 19 —m 2+ — m + 2 4 分两种情况讨论: 3

①当点E 在点F 上方时，EF = — m + 3.

4

??PE =5 EF ,

??? —m 2+ 19 m + 2=5( — - m +

3)

4 4

即 2m 2— 17 m + 26=0，解得 m 1=2 ,

m 2= (舍去)

3

②当点E 在点F 下方时，EF =—m — 3.

4

19 3 ??PE =5EF ,.?.一m 2+ m + 2=5（ m — 3）,

4

4

即 m 2— m —17=0，解得 m 3= 1

69

, m 4= -

69

（舍去）,

（3）,点 P 的坐标为 P i （— -，U ）,P 2（4，5）, P 3（3 —、11，2 ,仃—3）. .... 11 分

2 4

【提示】??? E 和E /关于直线PC 对称，「./E /CP = /ECR 又v PE^y 轴，???/EPC = /ECP = ZPCE , /-PE = EC , 又???CE = CE /,????四边形PECE 为菱形.

过点 E 作 EM 丄 y 轴于点 M ,

^Z COD ,「.CE = 5m

4

5m 或 — m 2 + 匹m + 2= — ^m ,

4 4 4

解得 m 1= — 1 , m 2=4 , m 3=3 — . 11 , m 4=3+ .

11 （舍去）

2

2 2

???m 的值为2或1

.................................................................................................. 8?

?分

vPE =CE ,?— m 2

19 + — m + 2= 4

(2014?广州，第24题14分)已知平面直角坐标系中两定点 A (-1 , 0), B (4, 0),抛物线

$ =必+加■-』(说工口)过点A 、B ,顶点为C .点P (m , n ) (n <0 )为抛物线上一点.

(1)

求抛物线的解析式与顶点 C 的坐标.

(2) 当/ APB 为钝角时，求 m 的取值范围.

3

5

(3 )若」??一，当/APB 为直角时，将该抛物线向左或向右平移

t (Z ， )个单位，点 P 、C 移动

后对应的点分别记为匸、匚，是否存在t ,使得首尾依次连接 A 、B 、匸、丁所构成的多边形 的周长最短？若存在，求 t 值并说明抛物线平移的方向；若不存在，请说明理由. 【考点】动点问题.(1)二次函数待定系数法；

(2)存在性问题，相似三角形；

⑶最终问题，轴对称，两点之间线段最短

1

Z!=—

2

h = -

2

1】 -抛物线解析式为.■ - .. 丁 b 3

-顶点横坐标

，将T

2a 2

3 25

1

3

3

⑵如图，当—丄］:.一时，设

--,■.-.-- 一，

【答案】 ⑴解:依题意把4月的坐标代入得：；

a-b-2—^

-1.-2

2

3 1

-一代入抛物线得/ ■-..

则^=^ + 1^=4-^,^=扌那

过◎作直线i |-<轴，■ '：- ■- -■

\MED-b￡FD- -r0a--r0-2

2 02（注意用整体代入

法）

解得l 「l r [- 一「, r i'- \-：'.：l

当产在丄二；之间时，

-'.::n ..或2 ：；：厂：：;：二时，_n 为钝角.

⑶依题意呛> 3，且—二「二「:

：.PQ-2）

t325设J ■'移动（「：；”［向右，—：匚：向左）_，1--.

2 8连接''.■■■f■ '■则--」J 一^ + 一 - -<■-

又=L」'的长度不变■四边形周长最小，只需丄」「二最小即可将一二沿工轴向右平移5各单位到二_"处■沿工轴对称为:

???当且仅当厂、B、三点共线时，最小，且最小为

L13 *土

（——七试+3二产0+￡,2），设过FU的直线为厂&+5，代入2

卩+哄+― 2

^13 25,，此时 _+.一 __」

25

41 /V —

28

肩竺垃+2

28

?当，P、C向左移动

41 / 41（3 七）?、右

一—沁4 + ------------- +』二i.i 解得：

15

.单位时，此时四边形ABP ' C'周长最小。

41

15

f 二一一

41