二次含参问题经典
二次含参问题经典集团文件发布号：（9816-UATWW-MWUB-WUNN-INNUL-DQQTY-
不等式恒成立、存在性问题（一元二次不等式）
一、知识、方法回顾
（一）一元二次不等式
1．定义：含有一个未知数且未知数的最高次数为_____的不等式叫一元二次不等式．
2．解法：一般地，当0
a>时
（二）解分式不等式的常见方法：
法一：符号法则
其它情况类比分析，结论如下：
()0__________()f x g x
f x
g x ≥?；()
0_________()f x g x ≤?． 法二：化分式不等式为整式不等式
分式不等式
()
0()
f x
g x >，由符号法则可知，()()f x g x 、同号，从而()()0f x g x ?>，其它情况类比分析，结论如下：
()
0()()0()
f x f x
g x g x >??>； ()0________()f x g x
0__________
()f x g x ?≤???． （三）典型例题 例1、解下列不等式：
（1）227210x x ≤-+<； （2）2||60x x +-≤； （3）
2317x x -<+； （4）1
01x x
<-< 练习1.关于x 的不等式02<+-c bx ax 的解集为),(),(+∞-∞βα ，其中0<<βα，则不等式02>++a bx cx 解集为 ．
2.若不等式220ax bx ++>的解集为11
(,)23
-，则a b +的值为_____________．
3.若不等式22210x x k -+->对一切实数x 恒成立，则实数k 的范围为__________．
4.设1)1()(2++-=x a ax x f （1）解关于x 的不等式()0f x >；
（2）若对任意的]1,1[-∈a ，不等式()0f x >恒成立，求x 的取值范围.
二、含参不等式解法（一元二次不等式） 1.二次项系数为常数
例1解关于x 的不等式：.0)2(2>+-+a x a x 2.二次项系数含参数
例2解关于x 的不等式：.01)1(2<++-x a ax 例3解关于x 的不等式：.012<-+ax ax 练习：1.解关于x 的不等式
（1）033)1(22>++-ax x a （2）2110x a x a ?
?-++< ??
?
；
（3）2(21)20()ax a x a -++>∈R ； （4）(2)4
21
a x x +-≤-（其中0a >）.
2. 设1)1()(2++-=x a ax x f （1）解关于x 的不等式()0f x >；
（2）若对任意的]1,1[-∈a ，不等式()0f x >恒成立，求x 的取值范围.
三、不等式的恒成立问题
例1.已知不等式0122>+-ax x 对]2,1[∈x 恒成立，其中0>a ，求实数a 的取值范围。
小结：不等式恒成立问题的处理方法 1、转换求函数的最值：
（1）若不等式()A f x <在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()()min A f x f x
（2）若不等式()B f x >在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()()max B f x f x >?的上界小于B 。
练习1.已知()22x x a
f x x
++=对任意[)()1,,0x f x ∈+∞≥恒成立，试求实数a 的取值
范围。 2、分离参数法
（1）将参数与变量分离，即化为()()g f x λ≥（或()()g f x λ≤）恒成立的形式； （2）求()f x 在x D ∈上的最大（或最小）值；
（3）解不等式()()max g f x λ≥ (或()()min g f x λ≤) ，得λ的取值范围。
练习1. 已知函数]4,0(,4)(2∈--=x x x ax x f 时0)( 2. 已知二次函数x ax x f +=2)(，若[]1,0∈x 时，恒有1)(≤x f ，求a 的取值范围。 3、数形结合法 （1）若不等式()()f x g x >在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上函数()y f x =和图象在函数()y g x =图象上方； （2）若不等式()()f x g x <在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上函数()y f x =和图象在函数()y g x =图象下方。 例3. 设x x x f 4)(2--= , a x x g -+=13 4 )(,若恒有)()(x g x f ≤成立,求实数a 的取值范围. 练习1. 当)2 1,0(∈x 时，不等式x x a log 2<恒成立，求a 的取值范围． 4、变换主元法 例 对于满足40≤≤p 的一切实数，不等式342-+>+p x px x 恒成立，试求x 的取值范围。 练习1. 对任意]1,1[-∈a ，不等式024)4(2>-+-+a x a x 恒成立，求x 的取值范围。 2.设函数b x x a x h ++= )(，对任意]2,21[∈a ，都有10)(≤x h 在]1,4 1 [∈x 恒成立，求实数b 的取值范围。 练习题 1.当()1,2x ∈时，不等式240x mx ++<恒成立，则m 的取值范围__________ 2.当x ∈(1,2)时，不等式(x-1)2 3. 若不等式23log 0a x x -<在10,3x ??∈ ?? ? 内恒成立，求实数a 的取值范围是 4．设()222f x x ax =-+,当x ∈[-1,+∞]时，都有()f x a ≥恒成立，求a 的取值范围。 5. 不等式()24420x a x a +-+->恒成立，求实数x 的取值范围。 6. R 上的函数()f x 既是奇函数，又是减函数，且当0,2 πθ?? ∈ ?? ? 时，有 () ()2cos 2sin 220f m f m θθ++-->恒成立，求实数m 的取值范围。若对于任意 1a ≤， 7.已知定义在区间[0,2]上的两个函数()f x 和()g x ，其中2()24f x x ax =-+（1a ≥）， 2 ()1 x g x x = +．（1）求函数()y f x =的最小值()m a ； （2）若对任意1x 、2[0,2]x ∈，21()()f x g x >恒成立，求a 的取值范围． 四、不等式的存在性问题 若在区间D 上存在实数x 使不等式()f x k >成立，则等价于在区间D 上 ()max f x k >； 若在区间D 上存在实数x 使不等式()f x k <成立，则等价于在区间D 上的 ()min f x k <． 例1.若关于x 的不等式23x ax a --≤-的解集不是空集，则实数a 的取值范围是 ． 2.已知函数()f x x m =-，函数()()m m x f x x g 72-+?=． （1）若1=m ，求不等式()0≥x g 的解集； （2）若对任意(]4,1∞-∈x ,均存在[)23,x ∈+∞,使得()()21x g x f >成立，求实数m 的取值范围． 练习1.若存在正数x 使2()1x x a -<成立，则a 的取值范围是（ ） A ．(,)-∞+∞ B ．(2,)-+∞ C ．(0,)+∞ D ．(1,)-+∞ 2. 设a ∈R ，二次函数2()22.f x ax x a =--若()0f x >的解集为A ， {}|13,B x x A B =<<≠?，求实数a 的取值范围。 五、二次方程根的分布 1 .因为二次函数，二次方程，二次不等式之间有着密切的联系，它们之间相互转化，二次方程的根转化为方程中的系数满足不等式，而二次不等式的问题又可转化为二次函数问题； 2 .一元二次方程根的分布问题，表面上是方程问题，实际上往往是二次函数的图像性质问题，它应用上的广泛性和灵活性是高考的热点。根据初中所学知识，已知方程的根可以确定方程中字母系数的值，同理已知方程根的范围也可以确定方程中 字母系数的范围，对于一元二次方程可结合图像，函数与方程根的关系，将问题转化为解关于字母系数的不等式组的问题。 3 方法指南： 设实系数的一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个根为ac b x x 4,,221-=?，设 )0()(2≠++=a c bx ax x f 。 1、方程有两个正根??? ??>>+>??0002121x x x x 2、方程有两个负根??? ??><+>??0002 121x x x x 3、方程有两个符号相反的根???<>??00 2 1x x 4、021>< ???><>??0)(2-0