尖子生数学三角形培优训练100题集锦
九年级培优圆与相似辅导专题训练含答案
九年级培优圆与相似辅导专题训练含答案 一、相似 1．如图所示，将二次函数y=x2+2x+1的图象沿x轴翻折，然后向右平移1个单位，再向上平移4个单位，得到二次函数y=ax2+bx+c的图象．函数y=x2+2x+1的图象的顶点为点A．函数y=ax2+bx+c的图象的顶点为点B，和x轴的交点为点C，D（点D位于点C的左侧）． （1）求函数y=ax2+bx+c的解析式； （2）从点A，C，D三个点中任取两个点和点B构造三角形，求构造的三角形是等腰三角形的概率； （3）若点M是线段BC上的动点，点N是△ABC三边上的动点，是否存在以AM为斜边的 Rt△AMN，使△AMN的面积为△ABC面积的？若存在，求tan∠MAN的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）解：y=x2+2x+1=（x+1）2的图象沿x轴翻折，得y=﹣（x+1）2， 把y=﹣（x+1）2向右平移1个单位，再向上平移4个单位，得y=﹣x2+4， ∴所求的函数y=ax2+bx+c的解析式为y=﹣x2+4 （2）解：∵y=x2+2x+1=（x+1）2， ∴A（﹣1，0）， 当y=0时，﹣x2+4=0，解得x=±2，则D（﹣2，0），C（2，0）； 当x=0时，y=﹣x2+4=4，则B（0，4）， 从点A，C，D三个点中任取两个点和点B构造三角形的有：△ACB，△ADB，△CDB， ∵AC=3，AD=1，CD=4，AB= ，BC=2 ，BD=2 ， ∴△BCD为等腰三角形， ∴构造的三角形是等腰三角形的概率=
（3）解：存在， 易得BC的解析是为y=﹣2x+4，S△ABC= AC?OB= ×3×4=6， M点的坐标为（m，﹣2m+4）（0≤m≤2）， ①当N点在AC上，如图1， ∴△AMN的面积为△ABC面积的， ∴（m+1）（﹣2m+4）=2，解得m1=0，m2=1， 当m=0时，M点的坐标为（0，4），N（0，0），则AN=1，MN=4， ∴tan∠MAC= =4； 当m=1时，M点的坐标为（1，2），N（1，0），则AN=2，MN=2， ∴tan∠MAC= =1； ②当N点在BC上，如图2， BC= =2 ， ∵BC?AN= AC?BC，解得AN= ， ∵S△AMN= AN?MN=2，
《全等三角形》数学培优作业
A B C D E 固始三中八年级上期《全等三角形》数学培优作业 （考查内容：边角边） 命题人：吴全胜1、已知：如图，AB＝AC，F、E分别是AB、AC的中点。求证：△ABE≌△ACF。 2、已知：点A、F、E、C在同一条直线上，AF＝CE，BE∥DF，BE＝DF． 求证：△ABE≌△CDF． 3、已知：如图AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE，求证：△ABD≌△ACE 4、如图，△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，试说明△ABD≌△ACD。 A B D C 5、已知：如图，AD∥BC，CB AD=。求证：CBA ADC? ? ?。 6、已知：如图，AD∥BC，CB AD=，CF AE=。求证：CEB AFD? ? ?。 7、已知：如图，点A、B、C、D在同一条直线上，DB AC=，DF AE=，AD EA⊥，AD FD⊥，垂足分别是A、D。求证：FDC EAB? ? ?
8、已知：如图，AC AB=，AE AD=，2 1∠ = ∠。求证：ACE ABD? ? ?。 9、如图，在ABC ?中，D是AB上一点，DF交AC于点E，FE DE=，CE AE=， AB与CF有什么位置关系？说明你判断的理由。 10、已知：如图，DBA CAB∠ = ∠，BD AC=。求证∠C=∠D 11、已知：如图，AC和BD相交于点O，OC OA=，OD OB=。 求证：DC∥AB。 12、已知：如图，AC和BD相交于点O，DC AB=，DB AC=。求证：C B∠ = ∠。 13、已知：如图,D、E分别是△ABC的边AB,AC的中点,点F在DE的延长线上,且EF=DE． 求证：(1)BD=FC (2)AB∥CF 14、已知: 如图 , AB=AC , EB=EC , AE的延长线交BC于D．求证：BD=CD． 15、已知，△ABC和△ECD都是等边三角形，且点B，C，D在一条直线上求证： BE=AD D C A B E
解直角三角形培优练习题(含答案)
l1．已知在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=α，AC=3，那么AB的长为（）A．3sinαB．3cosαC．D． 2．在Rt△ABC中，AD是斜边BC上的高，如果BC=a，∠B=α，那么AD等于（）A．asin2αB．acos2αC．asinαcosαD．asinαtanα 3．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=6，D是AC边上一点，若tan∠DBA=，则tan∠CBD的值为（） A．B．C．1 D． （第3题）（第4题）（第8题） 4．△ABC在直角坐标系中的位置如图所示，∠C=90°，点C的坐标为（，﹣），则点B 的坐标是（） A．（，0）B．（，0）C．（，0）D．（2，0） 5．等腰三角形的底角为30°，底边长为2，则腰长为（） A．4 B．2C．2 D． 6．在Rt△ABC中，∠C=90°，如果∠A=α，AB=c，那么BC等于（） A．c?sinαB．c?cosαC．c?tanαD．c?cotα 7．在△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，如果a2+b2=c2，那么下列结论正确的是（） A．csinA=a B．bcosB=c C．atanA=b D．ctanB=b 8．如图，为估算某河的宽度，在河对岸边选定一个目标点A，在近岸取点B，C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，点E在BC上，并且点A，E，D在同一条直线上．若测得BE=30m，EC=15m，CD=30m，则河的宽度AB长为（） A．90m B．60m C．45m D．30m
9．如图，在地面上的点A处测得树顶B的仰角为α度，若AC=6米，则树高BC为（）A．6sinα米B．6tanα米C．米D．米 10．如图，在4×4的正方形方格图形中，小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点都在格点上，则图中∠ABC的余弦值是（） A．2 B．C．D． （第9题）（第10题）（第11题）11．如图，△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，CD⊥AB，垂足为D，则BD：AD的值为（）A．B．C．D． 12．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，以点A为圆心，BC长为半径画弧交AB于点D，分别以点A、D为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点E，连接AE，DE，则∠EAD 的余弦值是（） A．B．C．D． （第12题）（第13题）（第14题） 13．如图，点E是矩形ABCD中CD边上一点，△BCE沿BE折叠为△BFE，点F落在AD上，若sin∠DFE=，则tan∠EBF的值为（） A．B．C．D． 14．如图，点A、B、O是正方形网格上的三个格点，⊙O的半径是OA，点P是优弧 上的一点，则tan∠APB的值是（）
全等三角形证明题培优提高经典例题练习题
全等三角形证明题专练 1、已知，如图，AB ⊥AC ，AB ＝AC ，AD ⊥AE ，AD ＝AE 。求证：BE ＝CD 。 2、已知：如图，AB ⊥BC ，AD ⊥DC ，AB=AD ，若E 是AC 上一点。求证：EB=ED 。 D A E C B 3、已知：如图，AB 、CD 交于O 点，CE//DF ，CE=DF ，AE=BF 。求证：∠ACE=∠BDF 。 A E D C B A B C D E F O
4、如图，△ABC 中，AB=AC ，过A 作GE ∥BC ，角平分线BD 、CF 交于点H ，它们的延长线分别交GE 于E 、G ，试在图中找出三对全等三角形，并对其中一对给出证明。 5、如图，在△ＡＢＣ中，点Ｄ在ＡＢ上，点Ｅ在ＢＣ上，ＢＤ＝ＢＥ。 （１） 请你再添加一个条件，使得△ＢＥＡ≌△ＢＤＣ，并给出证明。 你添加的条件是：________ ___ （2）根据你添加的条件，再写出图中的一对全等三角形： ______________（不再添加其他线段，不再标注或使用 其他字母，不必写出证明过程） 6、已知：如图，△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，E 是AD 上一点，BE 的延长线交AC 于F ，若BD=AD ，DE=DC 。求证：BF ⊥AC 。 F E D C A B G H A B C D E F
7、已知：如图，△ABC 和△A ＇B ＇C ＇中，∠BAC=∠B ＇A ＇C ＇，∠B=∠B ＇，AD 、A ＇D ＇分别是∠BAC 、∠B ＇A ＇C ＇的平分线，且AD=A ＇D ＇。求证：△ABC ≌△A’B’C’。 8、已知：如图，AB=CD ，AD=BC ，O 是AC 中点，OE ⊥AB 于E ，OF ⊥CD 于F 。求证：OE=OF 。 A B C D E F O 9、已知：如图，AC ⊥OB ，BD ⊥OA ，AC 与BD 交于E 点，若OA=OB ，求证：AE=BE 。 O B A C D E A B C D A' B' C' D' 1 2 3 4
中考数学备考之圆与相似压轴突破训练∶培优 易错 难题篇含答案
中考数学备考之圆与相似压轴突破训练∶培优易错难题篇含答案 一、相似 1．已知，如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，OF⊥BC于点F，交⊙O于点E，AE与BC交于点H，点D为OE的延长线上一点，且∠ODB=∠AEC． （1）求证：BD是⊙O的切线； （2）求证：CE2=EH?EA； （3）若⊙O的半径为，sinA= ，求BH的长． 【答案】（1）证明：如图， ∵∠ODB=∠AEC，∠AEC=∠ABC， ∴∠ODB=∠ABC， ∵OF⊥BC， ∴∠BFD=90°， ∴∠ODB+∠DBF=90°， ∴∠ABC+∠DBF=90°， 即∠OBD=90°， ∴BD⊥OB， ∴BD是⊙O的切线 （2）证明：连接AC，如图2所示： ∵OF⊥BC， ∴， ∴∠CAE=∠ECB， ∵∠CEA=∠HEC，
∴△CEH∽△AEC， ∴， ∴CE2=EH?EA （3）解：连接BE，如图3所示： ∵AB是⊙O的直径， ∴∠AEB=90°， ∵⊙O的半径为，sin∠BAE= ， ∴AB=5，BE=AB?sin∠BAE=5× =3， ∴EA= =4， ∵， ∴BE=CE=3， ∵CE2=EH?EA， ∴EH= ， ∴在Rt△BEH中，BH= . 【解析】【分析】（1）要证BD是⊙O的切线，只需证∠OBD=90°，因为∠OBC+∠BOD=90°，所以只须证∠ODB=∠OBC即可。由圆周角定理和已知条件易得∠ODB=∠ABC，则∠OBC+∠BOD=90°=∠ODB+∠BOD，由三角形内角和定理即可得∠OBD=90°； （2）连接AC，要证CE2=EH?EA；只需证△CEH∽△AEC，已有公共角∠AEC，再根据圆周角定理可得∠CAE=∠ECB，即可证△CEH∽△AEC，可得比例式求解； （3）连接BE，解直角三角形AEB和直角三角形BEH即可求解。 2．如图所示，△ABC和△ADE是有公共顶点的等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，EC的延长线交BD于点P．
(完整word版)三角形提高题 培优卷
1 、如图，三角形ABC 内任一点P ，连接PA 、PB 、PC ， 求证：1/2（AB+BC+AC ）
8、如图，△ABC 中，AD 是高，AE ，BF 是角平分线，它们相交于点O ，∠CAB ＝50°，∠ C ＝60°，求∠DAC 及∠BOA ． 9．观察并探求下列各问题，写出你所观察得到的结论，并说明理由。 （1）如图①，△ABC 中，P 为边BC 上一点，试观察比较BP + PC 与AB + AC 的大小，并 说明理由。 C B A P 图① （2）将（1）中点P 移至△ABC 内，得图②，试观察比较△BPC 的周长与△ABC 的周长的大小，并说明理由。 C B A P 图② （3）将（2）中点P 变为两个点P 1、P 2得图③，试观察比较四边形BP 1P 2C 的周长与△ABC 的周长的大小，并说明理由。 C B A P 1P 2 图③ （4）将（3）中的点P 1、P 2移至△ABC 外，并使点P 1、P 2与点A 在边BC 的异侧，且∠P 1BC ＜∠ABC ，∠P 2CB ＜∠ACB ，得图④，试观察比较四边形BP 1P 2C 的周长与△ABC 的周长的大小，并说明理由。 图④ C B A P 1P 2
相似三角形培优训练含答案
相似三角形分类提高训练 一、相似三角形中的动点问题 1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，过点B作射线BB1∥AC．动 点D从点A出发沿射线AC方向以每秒5个单位的速度运动，同时动点E从点C 沿射线AC方向以每秒3个单位的速度运动．过点D作DH⊥AB于H，过点E作 EF⊥AC交射线BB1于F，G是EF中点，连接DG．设点D运动的时间为t秒． （1）当t为何值时，AD=AB，并求出此时DE的长度； （2）当△DEG与△ACB相似时，求t的值． 2.如图，在△ABC中，ABC＝90°，AB=6m，BC=8m，动点P以2m/s的速度从A点出发，沿AC向点C 移动．同时，动点Q以1m/s的速度从C点出发，沿CB向点B移动．当其中有一点到达终点时，它们都停止移动．设移动的时间为t秒． （1）①当t=2.5s时，求△CPQ的面积； ②求△CPQ的面积S（平方米）关于时间t（秒）的函数解析式； （2）在P，Q移动的过程中，当△CPQ为等腰三角形时，求出t的值． 3.如图1，在Rt△ABC中，ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，点D在边AB上运动，DE平分CDB交边BC 于点E，EM⊥BD，垂足为M，EN⊥CD，垂足为N． （1）当AD＝CD时，求证：DE∥AC； （2）探究：AD为何值时，△BME与△CNE相似？ 4.如图所示，在△ABC中，BA＝BC＝20cm，AC＝30cm，点P从A点出发，沿着 AB以每秒4cm的速度向B点运动；同时点Q从C点出发，沿CA以每秒3cm的 速度向A点运动，当P点到达B点时，Q点随之停止运动．设运动的时间为x． （1）当x为何值时，PQ∥BC？ （2）△APQ与△CQB能否相似？若能，求出AP的长；若不能说明理由．
浙教版2020学年《解直角三角形》培优提升特训(Word版无答案)
解直角三角形同步复习与提升 一、选择题 1. 如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为（4,3），则cos α的值是（ ) A. 34 B.43 C.35 D.45 2. 如图，△ABC 内接于半径为5的⊙O 中，圆心O 到弦BC 的距离为3，则∠A 的正切值为（ ） A. 35 B.45 C.34 D.43 3. 已知抛物线y=-x 2-2x+3与x 轴交于A ，B 两点，将这条抛物线的顶点记为点C ，连接AC ，则tan ∠CAB 的值为（ ） A.12 B.55 C.25 5 D.2 4.如图，在四边形ABCD 中，点E 、F 分别是AB 、AD 的中点，若EF=2，BC=5，CD=3，则tanC=（ ） A.34 B.43 C.35 D.45 5.如图，在等腰直角三角形ABC 中，∠C=90°，AC=6，D 是AC 上一点，若tan ∠DBA=1 5 ，则AD 等于（ ） A. 2 B.2 C.1 D.2 2 6.如图，在菱形ABCD 中，DE ⊥AB ，cosA=3 5 ，BE=2，则tan ∠DBE 的值是（ ） A.12 B.2 C.52 D.55
7.如图，在△ABC 中，若∠B=30°，sinC=3 5 ，AC=10，则AB=( ) A.12 B.14 C.1 6 D.20
8. 如图，△ACB 中，∠ACB=RT ∠，已知∠B=α，∠ADC=β，AB=a ，则BD 的长可以表示（ ） A. a·（cosα-cosβ） B.a tanβ-tanα C.acosa -a ·sinαtanβ D.a ·cos α-asin α·a ·tan β 9. 因为cos60°=12 ，cos240°=- 1 2 ，所以cos240°=cos(180°+60°)=- cos60°；由此猜 想、推理：当α为锐角时有cos （180°+α）= - cosα，由此可知：cos210°=（ ） A. -12 B.- 22 C..- 3 2 D. 3 10. 如图，在平面直角坐标系中，AB=35，连结AB 并延长至C ，连结OC ，若满足OC 2=BC ·AC ，tanα=2，则点C 的坐标为（ ） A. (-2,4) B.(-3,6) C.(-53，103 ) D.（- 263，283 ） 二、填空题 11. 在△ABC 中，若|sinA-3 2 |+|cosB - 12 |=0，则∠C= ° 12. 若3tan(α+10°)=1，则锐角α= ° 13. 如图，在△ABC 和△DEF 中，∠B=40，∠E=140°，AB=EF=5，BC=DE=8，则两个三角形面积的大小关系为：S △ABC S △DEF .（填“＞”，或“=”，“＜”） 14. 已知：实常数a ，b ，c ，d 同时满足下列两个等式：①asinθ+bcosθ-c=0；①acosθ-bsinθ+d=0(其中θ为任意角)，则a 、b 、c 、d 之间的关系式是： 15. 如图 ，△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，CE 平分∠ACB ，∠AEC=45°，若AC=2，tan ∠ACB=34，则AB 的长为 .
全等三角形培优经典题
全等三角形培优经典题
全等三角形培优习题 1、已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EF⊥BD交BC于F，连接DF，G为DF中点，连接EG，CG． （1）直接写出线段EG与CG的数量关系； （2）将图1中△BEF绕B点逆时针旋转45o，如图2所示，取DF中点G，连接EG，CG． 你在（1）中得到的结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明． （3）将图1中△BEF绕B点旋转任意角度，如图3所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？ A D E G 图1 F A D C G 图2 F A E 图3 D
2、数学课上，张老师出示了问题：如图1，四边形ABCD 是正方形，点E是边BC的中点．90 AEF ∠=o，且EF交正方 形外角DCG ∠的平行线CF于点F，求证：AE=EF．经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB的 中点M，连接ME，则AM=EC，易证AME ECF △≌△，所以AE EF =．在此基础上，同学们作了进一步的研究： （1）小颖提出：如图2，如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上（除B，C外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE=EF”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由； （2）小华提出：如图3，点E是BC的延长线上（除C 点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE=EF”仍然成立．你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由． A D F C G E 图A D F C G E 图 A D F C G E B 图
相似三角形培优难题集锦(含答_案)
一、相似三角形中的动点问题 1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，过点B作射线BB1∥AC．动点D从点A出发沿射线AC方向以每秒5个单位的速度运动，同时动点E从点C沿射线AC 方向以每秒3个单位的速度运动．过点D作DH⊥AB于H，过点E作EF⊥AC交射线BB1于F， G是EF中点，连接DG．设点D 运动的时间为t秒． （1）当t为何值时，AD=AB，并 求出此时DE的长度； （2）当△DEG与△ACB相似时， 求t的值． 2.如图，在△ABC 中，ABC＝90°，AB=6m，BC=8m，动点P以2m/s的速度从A点出发，沿AC向点C移动．同时，动点Q以1m/s的速度从C点出发，沿CB向点B移动．当其中有一点到达终点时，它 们都停止移动．设移动的时间为t 秒． （1）①当t=2.5s时，求△CPQ的 面积； ②求△CPQ的面积S（平方米）关 于时间t（秒）的函数解析式； （2）在P，Q移动的过程中，当△CPQ为等腰三角形时，求出t的值． 3.如图1，在Rt△ABC中 ， ACB＝90°，AC＝6，BC＝ （1）当AD＝CD时，求证：DE∥AC； （2）探究：AD为何值时，△BME与△CNE相似？ 4.如图所示，在△ABC中， BA＝BC＝20cm，AC＝ 30cm，点P从A点出发， 沿着AB以每秒4cm的速 度向B点运动；同时点Q从C点出发，沿CA以每秒3cm的速度向A点运动，当P点到达B点时，Q点随之停止运动．设运动的时间为x． （1）当x为何值时，PQ∥BC？ （2）△APQ与△CQB能否相似？若能，求出AP的长；若不能说明理由． 5.如图，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点P 沿AB边从A开始向点B以2cm/s的速度移动；点Q 沿DA边从点D开始向点A以1cm/s的速度移动．如果P、Q同时出发，用t（s）表示移动的时间（0＜t ＜6）。 （1）当t为何值时，△QAP为等腰直角三角形？（2）当t为何值时，以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似？
三角形培优训练 题集锦
E D F C B A 三角形培优训练专题【三角形辅助线做法】 图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。 角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。 线段垂直平分线，常向两端把线连。要证线段倍与半，延长缩短可试验。 三角形中两中点，连接则成中位线。三角形中有中线，延长中线等中线。 【常见辅助线的作法有以下几种】 1、遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”。 2、遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”。 3、遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理。 4、过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”。 5、截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明。这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目。 6、已知某线段的垂直平分线，那么可以在垂直平分线上的某点向该线段的两个端点作连线，出一对全等三角形。 7、特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答。 1、已知，如图△ABC中，AB=5，AC=3，求中线AD的取值范围. 2、如图，△ABC中，E、F分别在AB、AC上，DE⊥DF，D是中点，试比较BE+CF与EF的大小.
数学锐角三角函数的专项培优练习题(含答案)及详细答案
一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．如图，海上观察哨所B 位于观察哨所A 正北方向，距离为25海里．在某时刻，哨所A 与哨所B 同时发现一走私船，其位置C 位于哨所A 北偏东53°的方向上，位于哨所B 南偏东37°的方向上． （1）求观察哨所A 与走私船所在的位置C 的距离； （2）若观察哨所A 发现走私船从C 处以16海里/小时的速度向正东方向逃窜，并立即派缉私艇沿北偏东76°的方向前去拦截．求缉私艇的速度为多少时，恰好在D 处成功拦截．（结果保留根号） （参考数据：sin37°＝cos53°≈，cos37 ＝sin53°≈去，tan37°≈2，tan76°≈） 【答案】（1）观察哨所A 与走私船所在的位置C 的距离为15海里；（2）当缉私艇以每小时617D 处成功拦截. 【解析】 【分析】 （1）先根据三角形内角和定理求出∠ACB ＝90°，再解Rt △ABC ，利用正弦函数定义得出AC 即可； （2）过点C 作CM ⊥AB 于点M ，易知，D 、C 、M 在一条直线上．解Rt △AMC ，求出CM 、AM ．解Rt △AMD 中，求出DM 、AD ，得出CD ．设缉私艇的速度为x 海里/小时，根据走私船行驶CD 所用的时间等于缉私艇行驶AD 所用的时间列出方程，解方程即可． 【详解】 （1）在ABC △中，180180375390ACB B BAC ?????∠=-∠-∠=--=. 在Rt ABC 中，sin AC B AB = ，所以3sin 3725155 AC AB ? =?=?=（海里）. 答：观察哨所A 与走私船所在的位置C 的距离为15海里. （2）过点C 作CM AB ⊥，垂足为M ，由题意易知，D C M 、、在一条直线上. 在Rt ACM 中，4 sin 15125 CM AC CAM =?∠=? =，3 cos 1595 AM AC CAM =?∠=?=. 在Rt ADM △中，tan MD DAM AM ∠=， 所以tan 7636MD AM ?=?=. 所以222293691724AD AM MD CD MD MC = +=+==-=，.
等腰三角形培优提高试题
等腰三角形培优提高试题
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一．选择题（共6小题） 1．已知，等腰三角形的一条边长等于6，另一条边长等于3，则此等腰三角形的周长是（）A．9 B．12 C．15 D．12或15 2．如图所示，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD、CE分别为∠ABC与∠ACB的角平分线且相交于点F，则图中的等腰三角形有（） A．6个B．7个C．8个D．9个 （第2题）（第3题）（第4题） 3．如图，直线a、b相交于点O，∠1=50°，点A在直线a上，直线b上存在点B，使以点O、 A、B为顶点的三角形是等腰三角形，这样的B点有（） A．1个B．2个C．3个D．4个 4．如图，△ABC的面积为8cm2，AP垂直∠B的平分线BP于P，则△PBC的面积为（）A．3cm2B．4cm2C．5cm2D．6cm2 5．在等腰△ABC中，AB=AC，中线BD将这个三角形的周长分为15和12两个部分，则这个等腰三角形的底边长为（） A．7 B．11 C．7或11 D．7或10 6．如图：D，E分别是△ABC的边BC、AC上的点，若AB=AC，AD=AE，则（） A．当∠B为定值时，∠CDE为定值B．当∠α为定值时，∠CDE为定值 C．当∠β为定值时，∠CDE为定值D．当∠γ为定值时，∠CDE为定值 二．填空题（共8小题） 7．已知等腰三角形一腰上的中线将三角形周长分成2：1两部分，已知三角形底边长为5cm，
则腰长为cm． 8．如图，在△ABC中，EG∥BC，BF平分∠ABC，CF平分∠ACB，AB=10，AC=12，△AEG的周长为． （第8题）（第9题）（第10题） 9．如图，已知△ABC中，AB=AC，D是BC上一点，且AD=DB，DC=CA，则∠BAC=°．10．如图，△ABC中，AP垂直∠ABC的平分线BP于点P．若△ABC的面积为32cm2，BP=6cm，且△APB的面积是△APC的面积的3倍．则AP=cm． 11．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为48°，则该等腰三角形的底角的度数为．12．如图是由9个等边三角形拼成的六边形，若已知中间的小等边三角形的边长是2，则六边形的周长是． （第12题）（第14题）（第14题） 13．如图，∠AOB=60°，C是BO延长线上的一点，OC=10cm，动点P从点C出发沿CB以2cm/s 的速度移动，动点Q从点O发沿OA以1cm/s的速度移动，如果点P、Q同时出发，用t （s）表示移动的时间，当t=时，△POQ是等腰三角形． 14．如图：已知在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，在直线AC上找点P，使△ABP是等腰三角形，则∠APB的度数为． 三．解答题（共15小题） 15．如图，已知AB=AC=AD，且AD∥BC，求证：∠C=2∠D．
2020-2021九年级培优相似辅导专题训练及详细答案
2020-2021九年级培优相似辅导专题训练及详细答案 一、相似 1．如图，抛物线与x轴交于两点A（﹣4，0）和B（1，0），与y轴交于点C（0，2），动点D沿△ABC的边AB以每秒2个单位长度的速度由起点A向终点B 运动，过点D作x轴的垂线，交△ABC的另一边于点E，将△ADE沿DE折叠，使点A落在点F处，设点D的运动时间为t秒． （1）求抛物线的解析式和对称轴； （2）是否存在某一时刻t，使得△EFC为直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由； （3）设四边形DECO的面积为s，求s关于t的函数表达式． 【答案】（1）解：把A（﹣4，0），B（1，0），点C（0，2）代入 得：，解得：， ∴抛物线的解析式为：， 对称轴为：直线x=﹣； （2）解：存在，∵AD=2t， ∴DF=AD=2t， ∴OF=4﹣4t， ∴D（2t﹣4，0）， ∵直线AC的解析式为：，∴E（2t﹣4，t）， ∵△EFC为直角三角形，分三种情况讨论： ①当∠EFC=90°，则△DEF∽△OFC， ∴，即，解得：t= ； ②当∠FEC=90°，
∴∠AEF=90°， ∴△AEF是等腰直角三角形， ∴DE= AF，即t=2t， ∴t=0，（舍去）， ③当∠ACF=90°，则AC2+CF2=AF2，即（42+22）+[22+（4t﹣4）2]=（4t）2，解得：t= ，∴存在某一时刻t，使得△EFC为直角三角形，此时，t= 或； （3）解：∵B（1，0），C（0，2）， ∴直线BC的解析式为：y=﹣2x+2， 当D在y轴的左侧时，S= （DE+OC）?OD= （t+2）?（4﹣2t）=﹣t2+4 （0＜t＜2）； 当D在y轴的右侧时，如图2， ∵OD=4t﹣4，DE=﹣8t+10，S= （DE+OC）?OD= （﹣8t+10+2）?（4t﹣4），即 （2＜t＜）． 综上所述： 【解析】【分析】（1）（1）利用待定系数法，将点A、B、C的坐标代入函数解析式，建立方程组求解即可。 （2）根据题意分别求出AD、DF、OF的长，表示出点D的坐标，利用待定系数法求出直线BC的函数解析式，表示出点E的坐标，再分三种情况讨论△EFC为直角三角形：①当∠EFC=90°，则△DEF∽△OFC，根据相似三角形的性质，列出关于t的方程求解即可； ②∠FEC=90°，∠AEF=90°，△AEF是等腰直角三角形求出t的值即可；③当∠ACF=90°，则AC2+CF2=AF2，建立关于t的方程求解即可，从而可得出答案。 （3）求得直线BC的解析式为：y=-2x+2，当D在y轴的左侧时，当D在y轴的右侧时，如图2，根据梯形的面积公式即可得到结论。 2．已知：如图一，抛物线与x轴正半轴交于A、B两点，与y轴交于点
著名机构初中数学培优讲义解直角三角形.第04讲.学生版
内容 基本要求 略高要求 较高要求 勾股定理及逆定理 已知直角三角形两边长，求第三条边 会用勾股定理解决简单问题；会用勾股定理的逆定理判定三角形是否为直角三角形 会运用勾股定理解决有关的实际问 题。 解直角三角形 知道解直角三角形的含义 会解直角三角形；能根据问题的需要添加辅助线构造直角三角形；会解由两个特殊直角三角形构成的组合图形的问题 能综合运用直角三角形的性质解决有关问题 锐角三角函数 了解锐角三角函数（正弦、余弦、正切、余切），知道特殊角的三 角函数值 由某个角的一个三角函数值，会求这个角其余两个三角函数值；会求含有特殊角的三角函数值的计算 能用三角函数解决与直角三角形有关的简单问题 模块一、勾股定理 1．勾股定理的内容：如果直角三角形的两直角边分别是a 、b ，斜边为c ，那么a 2＋b 2＝c 2．即直角三 角形中两直角边的平方和等于斜边的平方。 注：勾——最短的边、股——较长的直角边、 弦——斜边。 知识点睛 中考要求 解直角三角形
C A B c b a 如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。即 222,,ABC AC BC AB ABC ?+=?在中如果那么是直角三角形。 4．勾股数： 满足a 2 +b 2=c 2的三个正整数，称为勾股数．勾股数扩大相同倍数后，仍为勾股数．常用勾股数：3、4、5； 5、12、13；7、24、25；8、15、17。 模块二、解直角三角形 一、解直角三角形的概念
根据直角三角形中已知的量（边、角）来求解未知的量（边、角）的过程就是解直角三角形． 二、直角三角形的边角关系 如图，直角三角形的边角关系可以从以下几个方面加以归纳： c b a C B A （1）三边之间的关系：222a b c += (勾股定理) （2）锐角之间的关系：90A B ∠+∠=? （3）边角之间的关系：sin cos ,cos sin ,tan a b a A B A B A c c b ===== 三、 解直角三角形的四种基本类型 （1）已知斜边和一直角边(如斜边c ，直角边a )，由sin a A c = 求出A ∠，则90B A ∠=?-∠， b =； （2）已知斜边和一锐角(如斜边 c ，锐角A )，求出90B A ∠=?-∠，sin a c A =，cos b c A =； （3）已知一直角边和一锐角(如a 和锐角A )，求出90B A ∠=?-∠，tan b a B =，sin a c A =； （4）已知两直角边(如a 和b ) ，求出c =tan a A b =，得90B A ∠=?-∠． 具体解题时要善于选用公式及其变式，如sin a A c =可写成sin a c A =，sin a c A =等． 四、解直角三角形的方法 解直角三角形的方法可概括为：“有斜(斜边)用弦(正弦，余弦)，无斜用切(正切，余切)，宁乘毋除，取原避中”．这几句话的意思是：当已知或求解中有斜边时，就用正弦或余弦；无斜边时，就用正切或余切； 当所求的元素既可用乘法又可用除法时，则用乘法，不用除法；既可由已知数据又可用中间数据求得时，则用原始数据，尽量避免用中间数据． 五、解直角三角形的技巧及注意点 在Rt ABC ?中，90A B ∠+∠=?，故sin cos(90)cos A A B =?-=，cos sin A B =．利用这些关系式，可在解题时进行等量代换，以方便解题． 六、如何解直角三角形的非基本类型的题型 对解直角三角形的非基本类型的题型，通常是已知一边长及一锐角三角函数值，可通过解方程(组)来转化为四种基本类型求解； （1）如果有些问题一时难以确定解答方式，可以依据题意画图帮助分析；
三角形培优经典题型
《三角形》练习题 班级_________ 姓名__________ 分数__________一、选择题（每题4分） 1．等腰三角形的两边长分别是3和7，那么它的周长是（） A、13 B、16 C、17 D、13或17 2、如图1，图中三角形的个数为（） A．17 B．18 C．19 D．20 3、在△ABC中，∠A-∠C=25°，∠B-∠A=10°，则∠B=（） A、28° B、35° C、15° D、21° 4、如图2，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线相交于D点， ∠A=50°，则∠D=（） A．15°B．20°C．25°D．30° 5、已知一个多边形的每一个内角都等于135°，则这个多边形是（） A. 五边形 B. 六边形 C. 七边形 D. 八边形 6、如图3，∠ABD，∠ACD的角平分线交于点P，若∠A=50°，∠D=10°， 则∠P的度数为（） A．15°B．20°C．25°D．30° 7、一个多边形截去一个内角后，形成另一个多边形，它的内角和为2520°， 则原来多边形的边数不可能是（） A、15条 B、16条 C、17条 D、18条 8、已知三条线段分别是a、b、c且a＜b＜c（a、b、c均为整数）， 若c=6，则线段a、b、c能组成三角形的个数为（） A、3个 B、4个 C、5个 D、6个
图1 图2 图3 二、填空题（每题4分） 9、若△ABC的三边长分别是4，X，9，则X的取值范围是_____， 周长L的取值范围是_____；当周长为奇数时，X=_____ 10、一条线段的长为a，若要使3a—l，4a+1，12－a这三条线段组成一个三角形，则a 的取值范围__________． 11、等腰三角形一腰上的中线把这个等腰三角形的周长分成12和10两部分， 则此等腰三角形的腰长是_____ 12、如图4，小亮从A点出发，沿直线前进100m后向左转30°，再沿直线前进100m， 又向左转30°，…照这样走下去，他第一次回到出发地A点时，一共走了________m 13、如图5，在△ABC中E是BC上的一点，EC=2BE，点D是AC的中点，S△ABC=12， 则S△ADF -S△BEF=_____. 14、如图6，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数是______° 15、如图7，DC平分∠AD B，E C平分∠AEB，若∠DAE＝α， ∠D BE＝β，则∠D CE＝______ (用α、β表示)． 16、如图8，DO平分∠CDA，BO平分∠CBA，∠A=20°，∠C=30°，∠O=______°.
全等三角形培优竞赛训练题
全等三角形培优竞赛训练题 1、已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EF丄BD交BC于F,连接DF , G为DF中点，连接EG, CG. (1 )直接写出线段EG与CG的数量关系； (2)将图1中厶BEF绕B点逆时针旋转450，如图2所示，取DF中点G,连接EG, CG. 你在(1)中得到的结论是否发生变化?写出你的猜想并加以证明. (3)将图1中厶BEF绕B点旋转任意角度，如图3所示，再连接相应的线段，问(1) 中的结论是否仍然成立？ 图1图2图3
学习参考
2、数学课上，张老师出示了问题：如图1 ,四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点. AEF 90°，且EF交正方形外角DCG的平行线CF于点F，求证：AE= EF. 经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB的中点M ,连接ME，则 AM = EC,易证△ AME =△ ECF ,所以AE EF . 在此基础上，同学们作了进一步的研究： (1)小颖提出：如图2,如果把点E是边BC的中点”改为点E是边BC上(除B, C外)的任意一点”，其它条件不变，那么结论AE=EF'仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由； (2)小华提出：如图3，点E是BC的延长线上(除C点外)的任意一点，其他条 件不变，结论AE= EF”仍然成立.你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由 图1图2图3
3、已知Rt A ABC 中，AC BC,Z C 90, D 为AB 边的中点，EDF 90° EDF绕D点旋转，它的两边分别交AC、CB （或它们的延长线）于E、F. 1 当EDF绕D点旋转到DE AC于E时（如图1），易证S A DEF S A CEF S A ABC- 2 当EDF绕D点旋转到DE和AC不垂直时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是 否成立？若成立，请给予证明；若不成立，S A DEF、S A C EF、S A ABC又有怎样的数量关 系？请写出你的猜想，不需证明 F 图 1图2
数学 反比例函数的专项 培优练习题附答案
一、反比例函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．如图．一次函数y=x+b的图象经过点B（﹣1，0），且与反比例函数（k为不等 于0的常数）的图象在第一象限交于点A（1，n）．求： （1）一次函数和反比例函数的解析式； （2）当1≤x≤6时，反比例函数y的取值范围． 【答案】（1）解：把点B（﹣1，0）代入一次函数y=x+b得： 0=﹣1+b， ∴b=1， ∴一次函数解析式为：y=x+1， ∵点A（1，n）在一次函数y=x+b的图象上， ∴n=1+1， ∴n=2， ∴点A的坐标是（1，2）． ∵反比例函数的图象过点A（1，2）． ∴k=1×2=2， ∴反比例函数关系式是：y= （2）解：反比例函数y= ，当x＞0时，y随x的增大而减少，而当x=1时，y=2，当x=6时，y= ， ∴当1≤x≤6时，反比例函数y的值：≤y≤2 【解析】【分析】（1）根据题意首先把点B（﹣1，0）代入一次函数y=x+b求出一次函数解析式，又点A（1，n）在一次函数y=x+b的图象上，再利用一次函数解析式求出点A的坐标，然后利用代入系数法求出反比例函数解析式，（2）根据反比例函数的性质分别求出当x=1，x=6时的y值，即可得到答案． 2．平行四边形ABCD的两个顶点A、C在反比例函数y= （k≠0）图象上，点B、D在x轴
上，且B、D两点关于原点对称，AD交y轴于P点 （1）已知点A的坐标是（2，3），求k的值及C点的坐标； （2）在（1）的条件下，若△APO的面积为2，求点D到直线AC的距离． 【答案】（1）解：∵点A的坐标是（2，3），平行四边形ABCD的两个顶点A、C在反比 例函数y= （k≠0）图象上，点B、D在x轴上，且B、D两点关于原点对称，∴3= ，点C与点A关于原点O对称， ∴k=6，C（﹣2，﹣3）， 即k的值是6，C点的坐标是（﹣2，﹣3）； （2）解：过点A作AN⊥y轴于点N，过点D作DM⊥AC，如图， ∵点A（2，3），k=6， ∴AN=2， ∵△APO的面积为2， ∴， 即，得OP=2， ∴点P（0，2）， 设过点A（2，3），P（0，2）的直线解析式为y=kx+b， ，得， ∴过点A（2，3），P（0，2）的直线解析式为y=0.5x+2，