三角函数的有关计算
Ⅰ．前景材料
雷达如何测定目标的高度（一）
雷达（radar ）是利用极短的无线电波进行探测的装置，无线电波传播时遇到障碍物就会反射回来，雷达就是根据这个原理把无线电波发射出去，再用接受装置接受反射回来的无线电波，这样就可以测定目标的方向、距离、大小等，雷达在使用上不受气候条件的影响，广泛应用于军事、天文、航海、航空等领域。
你知道雷达是如何测定目标的高度吗？
假设大地是一个平面，目标的高低角θ可以测出，根据无线电波的传播速度及其来回所用的时间，可以计算出雷达与目标之间的倾斜距离d （如图1-3-1）．这时，目标的高度为h=dsin θ．
当然，大地并不是平面，而是曲面，因此计算目标高度h 的近似公式是h=dsin θ+R d 22
．其中，R 表示地球的半径（约等于6370千米）．
Ⅱ．课前准备
一、课标要求
经历用计算器由已知锐角求它的三角函数值及由三角函数值求相应的锐角的过程，进一步体会三角函数的意义，能够运用计算器进行三角函数值的运算，能够运用计算器辅助解决含三角函数值计算的实际问题。
二、预习提示
对于一般角的三角函数值可以通过计算器来求；反过来已知锐角的三角函数值，我们也可以通过计算器求出角的大小．
三、预习效果反馈
1．用计算器计算cos48°，cos50°，并比较大小．
2．将sin69°，sin53°，sin41°，sin44°的值按由小到大的顺序排列是 ．
3．已知下列各值，求锐角A ．
（1）tanA=1.4036；（2）tanA=0.8637．
Ⅲ．课堂跟讲
一、背记知识随堂笔记
1．通过本节学习，我们要善于归纳学习中的规律和结论：
锐角A 的正弦值在0～1之间，即 ＜sinA ＜ ．
锐角A 的余弦值在0～1之间，即 ＜cosA ＜ ．
锐角A 的正切值取值范围是tanA ．
2．规律的探索
当角度在0°～90°之间变化时，正弦值随角度的增大而 ，余弦值随角度的增大而 ，正切值随角度的增大而 ．
3．常用名词
当从低处观测高处目标时，视线与水平线所成的锐角称为 ．
当从高处观测低处目标时，视线与水平线所成的锐角称为 ．
二、教材中“？”解答
1．问题（P 14） 解答：计算缆车垂直上升的高度BC ，要在Rt △ABC 中利用sin α计算．∵sin α=AB
BC ，∴BC =ABsin16°=55.12（米）． 要用科学计算器求出三角函数值，不同的计算器的按键方式可能不同，同学们可利用自己的计算器探索计算三角函数的具体步骤．
2．想一想（P 15） 解答：还能计算上升的高度和水平移动的距离等．
上升的高度为BD ·sin β=200×sin42°≈133.8261（米）．
水平移动的距离为BD ·cos β=200错误！链接无效。≈148.6290（米）．
3．问题（P 19） 解答：利用计算器算得，若sinA=4
1，则∠A=14°28′39″． 三、重点难点易错点讲解
本节重点是用计算器进行三角函数值的计算．
本节难点是解决简单的直角三角形问题．一般分为两种类型：一是已知直角三角形的一锐角和一条边，求另一直角边或第三边；二是已知直角三角形的两边，求某一锐角的度数．它们都是利用三角形中的边角关系，求三角函数问题．
四、经典例题精讲
（一）应用举例
【例1】 若∠A 是锐角，cosA=0.618，则sin （90°－∠A ）的值为 ．
思维入门指导：由余弦值求得正弦值方法较多，但要求90°－∠A 的正弦，因此应利用互余角正、余弦间的关系．
解：∵sin （90°－∠A ）=cosA ，且cosA=0.618，∴sin （90°－∠A ）=0.618．
点拨：掌握好互余角的正、余弦间的关系．
【例2】 如图1-3-2，在菱形ABCD 中，AE ⊥BC 于E ，sinB=
13
5，求四边形各内角的度数．
思维入门指导：由sinB=
135≈0.3846，用计算器求得∠B=22°37′8″，再利用菱形的性质求其他角的度数．
解：∵sinB=13
5，用计算器解得∠B=22°37′8″．
又∵菱形对角相等，邻角互补，
∴∠D=∠B=22°37′8″，∠A=∠C=180°－22°37′8″=157°22′52″．
点拨：由sinB=13
5，用计算器求得∠B 度数是解决本题的关键． （二）中考题
【例3】 （2003，广东）如图1-3-3，灯塔A 周围1000米水域内有礁石，一舰艇由西向东航行，在O 处测得灯塔A 在北偏东74°方向上，这时O 、A 相距4200米．如果不改变航向，此舰艇是否有触礁的危险？
解：设该航艇航行路线为OP ，过A 作AD ⊥OP ，垂足为D ．
则AD=OA ·sin ∠AOD
=4200×sin （90°－74°）
=4200×cos74°
≈1158（米）＞1000米．
故此航艇没有触礁的危险．
点拨：灯塔到航线的距离大于礁石区域半径，就不会有危险．
（三）学科内综合题
【例4】 已知2＋3是方程x 2－5sin θ·x ＋1=0的一个根, θ为锐角，求θ的度数． 解：设方程的另一根为x 1，由根与系数的关系，得（2＋3）x 1=1，∴x 1=2－3． ∴（2＋3）＋（2－3）=5sin θ．∴sin θ=5
4=0.8，利用计算器求得θ≈53°8′. 点拨：本题sin θ也可以根据方程的定义来解，这是方程与三角函数的综合题，把（2＋3）代入方程，解关于sin θ的方程即可．
【例5】 已知等腰三角形的底边为20，面积为3
100，求各角的大小．
解：如图1-3-4，作AD ⊥BC 于D ．∵AB=AC ，∴BD=DC ．
又∵BD=DC ，BC=20，∴BD=10．
∴∠BAC=180°－2×18°26′=143°8′．
点拨：三角函数是在直角三角形中定义的，故只有在直角三角形中才能应用，所以在解直角三角形或在不含直角三角形的其他图形中（如斜三角形、梯形等），必须通过作高线构造出直角三角形，这是解决三角形问题的常用办法．
（四）学科间综合题
【例6】 质量为20千克的物体M 在如图1-3-5所示的斜面上下滑，已知AB=10米，∠A=47°，求物体M 由B 滑向A 时重力所做的功．
思维入门指导：这是一道物理知识与数学知识的综合题，应正确理解物理学上功的概念及公式．本题考查斜面做功和正弦．
解：物体下滑的垂直高度为：
BC=AB ·sin47°=10×0.7314≈7．314（米）．
∴重力所做的功为W=F ·s=20×9.8×7.314≈1433.54（焦）．
点拨：重力所做的功为重力与物体在重力方向上移动的距离的乘积，重力在重力方向上移动的距离是BC 而不是AB ．
（五）创新题
【例7】 身高相同的甲、乙、丙三位同学星期天到野外去比赛放风筝，看谁放得高（第一名得100分，第二名得80分，第三名得60分）．甲、乙、丙放出的线长分别为300m 、250m 、200m ，线与地平面的夹角分别为30°、45°、60°（假设风筝线是拉直的，人的高度不计在内），请你给三位同学打一下分数．
思维入门指导：本题应利用三角函数求出每人放的风筝高度即可．
解：根据题意画出示意图1-3-6．设甲、乙、丙所放的风筝的高度为xm 、ym 、zm ．由正弦定义，得sin30°=300x ，sin45°=250y ，sin60°=200
z ．∴x=300sin30°=300×21=150（m ），y=250×sin45°=1252≈176.8（m ），z=200×sin60°=200×2
3=1003≈173.2（m ），∴甲同学得60分，乙同学得100分，丙同学得80分．
点拨：本题关键是画出示意图帮助解题，本题命题形式和背景较新颖，形式活泼，与中学生假期娱乐生活紧密相连．
（六）应用题
【例8】如图1-3-7，沿AC方向开山修渠，为了加快施工速度，要在小山的另一边同时施工，从AC上的点B取∠ABD=135°，BD=1200米，∠BDE=45°，那么开挖点E 离D多远（精确到0．1米）正好能使A、C、E成一条直线？
思维入门指导：这是一道测量水平距离的应用题，根据已知可知∠DBE=∠BDE=45°，显然只要∠DEB=90°，A、C、E就成一条直线．
解：连接DB．∵∠ABD=135°，∴∠DBC=45°．
∵∠BDE=45°，且要A、C、E成一条直线，∴∠DEB=90°．在Rt△DEB中，
答：开挖点E离D应为848.4米．
点拨：本题体现了数学知识在现实生产中的应用，这是近几年各地市中考命题的热点内容之一．
【例9】如图1-3-8所示，在高2米，坡角为32°的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要多少米？（精确到0.1米）
思维入门指导：本题考查正、余弦的概念，既要铺水平面又要铺竖直面，因此地毯的总长度为（AC+BC）的长．
解：由题意，得地毯的长度为（AC+BC）的长．
在Rt△ABC中，∠A=32°，BC=2米．
∴AC+BC=3.20+2≈5.2（米）．
答：地毯的长度至少需要5.2米．
点拨：本题与实际生活联系密切，解题时应认真分析题目内容，准确理解题意，从整体上提炼出需要的地毯长为AC与BC的长度和．
Ⅳ．当堂练习（5分钟）
1．用计算器求下列各式的值：
（1）sin44′56″+cos5′36″；
（2）cos78°33′52″+tan50′36″；
（3）sin48°30′28″+cos53°26′34″+tan32″．
2．根据条件求角：
（1）sinα=0.964；（2）cosα=0.291；（3）tanα=8.665．
3．某段公路每前进100米，路面就升高4米，求这段公路的坡角．
【同步达纲练习】
Ⅴ．课后巩固练习
（90分 90分钟）
一、基础题（每题3分，共24分）
1．天河宾馆在重新装修后，准备在大厅的主楼梯上铺设某种红色地毯．已知这种地毯每平方米售价30元，主楼梯道宽2m ，其侧面如图1-3-9所示，则购买地毯至少需要（ ）
A ．405元
B ．504元
C ．84元
D ．168元
2．如图1-3-10，在高为h 的山顶上，测得一建筑物顶端与底部的俯角分别为30°和60°，用h 表示这个建筑物的高为（ ）
A ．32h
B ．23h
C ．33h
D ．3h
3．sin70°，cos70°，tan70°的大小关系是（ ）
A ．tan70°＜cos70°＜sin70°
B ．cos70°＜tan70°＜sin70°
C ．sin70°＜cos70°＜tan70°
D ．cos70°＜sin70°＜tan70°
4．如图1-3-11，某建筑物BC 直立于水平面，AC=9m ，要建造阶梯AB ，使每阶高不超过20cm ，则此阶梯最少要建 阶．（最后一阶不足20 cm 时，按一阶计算）
5．已知△ABC 中，∠C=90°，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别是a 、b 、c ，且c=3b ，则∠A= ．
6．α为锐角，sin 248°+sin 2α=1，则α= ．
7．已知sin42°54′=0.6807，若cos α=0.6807，则α= ．
8．“曙光中学”有一块三角形形状的花圃ABC ，现可直接测量到∠A=30°，AC=40m ，BC=25m ，请你求出这块花圃的面积．
二、学科内综合题（7分）
9．已知一元二次方程3x 2－4xsin α＋2（1－cos α）=0有两个不相等的实数根，α为锐角，求α的范围．
三、学科间综合题（每题10分，共20分）
10．如图1-3-12，某轮船沿正北方向航行，在A 点处测得灯塔B 在北偏西30°，船以每小时25海里的速度航行2小时后到达C 点，测得灯塔B 在北偏西75°，问当时船到达灯塔B 的正东方向时，船距灯塔有多远？（结果保留两个有效数字）
11．如图1-3-13，某人在A处利用杠杆抬起位于B点处的重物M．已知M=10千克，杠杆与地面的夹角为10°，在A处的人和B点处的重点与支点的距离都为3米，求这人将重物M抬至水平位置时所做的功．
四、应用题（每题5分，共15分）
12．我人民解放军在东海海域进行“保卫祖国”军事演习，当我机与我舰保持垂直的10km高度时，发现“敌舰”C在我机俯角15°的海面上浮出（如图1-3-14所示），请计算“敌舰”与我机的距离．（精确到1km）
13．刘岩同学到烈士陵园去测英雄纪念碑的高度，他在距碑42m的地方，用测角仪测得碑顶的仰角为30°．已知测角仪的高度是1.5m，求纪念碑的高度．
14．某校的教室A位于工地O的正西方向，且OA=200m，一部拖拉机从O点出发，以每秒5m的速度沿北偏西53°方向行驶．设拖拉机的噪声污染半径为130m，试问教室A 是否在拖拉机噪声污染范围内？若不在，请说明理由；若在，求出教室A受污染的时间有几秒？
五、创新题（8分）
一题多解
15．如图1-3-15，□ABCD的对角线AC的垂直平分线与AD、BC交于E、F两点．求证：四边形AFCE为菱形．
六、中考题（16分）
16．（2003，甘肃，8分）如图1-3-16所示，住宅区内的两幢楼，它们的高AB=CD=30m，两楼间的距离AC=24m，现需了解甲楼对乙楼的采光的影响情况．当太阳光与水平线的夹角
为30°时，求甲楼的影子在乙楼上有多高？（精确到0.1m，2≈1.41，3≈1.73）
17．（2004，天津，8分）在建筑楼梯时，设计者要考虑楼梯的安全程度．如图1-3-17，虚线为楼梯的斜度线，斜度线与地板的夹角为倾角θ，一般情况下，倾角θ愈小，楼梯的安全程度愈高．
如图1-3-18，设计者为提高楼梯的安全程度，要把楼梯的倾角由θ1减至θ2，这样楼梯占用地板的长度由d1增加到d2．已知d1=4m，∠θ1=40°，∠θ2=36°，求楼梯占用地板的长度增加了多少？（精确到0．01m）
参考数据：sin36°=0.5878，cos36°=0.8090，tan36°=0.7265，sin40°=0.6428，cos40°=0.7660，tan40°=0.8391．
加试题：竞赛趣味题（6分）
求证：在锐角三角形ABC中，b2=a2＋c2－2ac·cosB．
Ⅵ．探究题
为申办2010年冬奥会，须改变哈尔滨市的交通状况，在大直街拓宽工程中，要伐掉一棵树AB，在地面上事先划定以B为圆心、半径与AB等长的圆形危险区．现在某工人站在离B点3m远的D处测得树的顶端A点的仰角为60°，树的底部B的俯角为30°（如图1-3-19），
问距离B点8m的保护物是否在危险区内？（3的近似值取1．73）
参考答案
三角函数的有关计算
Ⅱ．三、1．cos48°=0.6691，cos50°=0.6428，cos48°＞cos50°．
2．∵sin69°=0.9336，sin53°=0.7986，sin41°=0.6561，sin44°=0.6947，
∴sin41°＜sin44°＜sin53°＜sin69°．
点拨：用计算器计算时，一定注意先进入“角度”状态．
3．（1）tanA=1.4036，∠A=54.53°≈54°31′55″；
（2）tanA=0.8607，∠A=40.82°≈40°43′2″．
Ⅲ．1．0＜sinA ＜1；0＜cosA ＜1；tanA ＞0 2．增大；减小；增大 3．仰角；俯角 Ⅳ．1．解：（1）sin44°56″＋cos5′36″≈1．0131；
（2）cos78°33′52″＋tan50′36″≈0.2130；
（3）sin48°30′28″＋cos53°26′34″＋tan32″≈1．3448．
2．解：（1）α=74°34′46″；（2）α=73°4′56″；（3）α=83°25′1″．
点拨：用计算器计算三角函数注意：①首先进入“角度”状态；②已知三角函数值，求
角度时先启用第二功能键；③不足1°的角输入时，先输然后输入分、秒等．
3．解：设坡角为α．根据题意，得sin α=100
4=0.04，解得α=2°17′33″． Ⅴ．一、1．B 点拨：地毯总长为2．6＋5.8=8.4（m ），总面积为8.4×2=16.8（m 2），所以至少需要16.8×30=504（元）．
2．A 点拨：先算得山与建筑物的距离h ·cot60°，再解得山比建筑物高h ·cot60°·tan30°=31h ，故这个建筑物的高为3
2h ． 3．D 解：∵cos70°=sin20°，∴sin70°＞sin20°．∵tan70°＞sin70°，∴tan70°＞sin70°＞cos70°．
点拨：①同角的正切值必大于正弦值；②利用正弦增减性．本题也可以用计算器验证．
4．36 解：在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=38°，AC=9m ．
∵tanA=AC
BC ，∴BC=AC ·tanA=9×0.7812≈7.032（m ）． ∵每一阶高不超过20cm=0.2m ，∴此阶梯最少要建的阶数为2
.0032.7=35.16≈36． 点拨：所建阶梯的总高度不变（即为BC 长）． 5．70°31′51″ 点拨：∵∠C=90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边为a ，b ，c ，∴cosA=
c b ． ∵c=3b ，∴cosA=3
1，用计算器解得∠A=70°31′51″． 6．42° 点拨：sin 2α＋sin 248=1，cos 2（90°－α）＋sin 248°=1，∴90°－α=48°．∴α=42°．
7．47°6′ 点拨：sin42°54′=cos α，∴α＋42°54′=90°．∴α=47°6′．
8．解：分两种情况：（1）如答图1-3-1，过点C 作CD ⊥AB 于D ．在Rt △ADC 中，∠A=30°，AC=40，∴CD=20，AD=AC ·cos30°=203．
在Rt △CDB 中，CD=20，CB=25，∴DB=22CD CB =15．
∴S △ABC =21AB ·CD=2
1（AD ＋DB ）·CD=（2003＋150）（m 2）．
（2）如答图1-3-2，过点C 作CD ⊥AB 交AB 的延长线于D ．
由（1）可得CD=20，AD=203，DB=15，
∴S △ABC =21AB ·CD=2
1（AD ＋DB ）·CD=（2003＋150）（m 2）． 点拨：要全面分析考虑，按两种情况讨论．
二、9．解：∵二次方程有两个不相等的实数根，∴△＞0，即16sin 2α－24（1－cos α）＞0．
化简，得2（1－cos 2α）－3（1－cos α）＞0，分解为（1－cos α）（2 cos α－1）＞0． 又∵0＜cos α＜1，∴1－cos α＞0．∴2 cos α－1＞0．∴cos α＞2
1． ∵余弦函数值随角度的增大而减少，∴α＜60°，即0°＜α＜60°．
点拨：不要搞错余弦函数的增减性，把α的范围求为60°＜α＜90°．
三、10．解：如答图1-3-3，作BD ⊥AC 于D ，CE ⊥AB 于E ．由题意得∠BCD=75°，∠A=30°，AC=25×2=50．在Rt △ACE 中，∠A=30°，∠CEA=90°，
∴CE=21AC=21×50=25，AE=AC ·cos α=50×2
3=253． ∵∠BCD=75°，∠A=30°，∴∠EBC=75°－30°=45°．
∴△BEC 为等腰直角三角形．∴BE=CE=25．
∴AB=AE ＋BE=25＋253．
在Rt △ABD 中，∵∠A=30°，∴BD=21AB=2
1×25（3＋1）≈34（海里）． 答：略． 点拨：（1）理解题意，找准方向角及所求的距离；（2）构造直角三角形求BD ．
11．解：过点A 作地面作垂线AC ，过O 作OD ⊥AC 于D ，则∠AOD=10°，OD=3m ．在Rt △ADO 中，AD=OD ·tan10°≈3×0.18=0.54（m ）．
∴人做功为W=Mg·AD=10×9.8×0．54=52.92（焦耳）．
答：这人将重物M 抬至水平位置做功为52.92焦耳．
点拨：本题关键是求出AD 长；在力的方向上移动的距离可看作线段AD ．
四、12．解：约38km ． 点拨：
15sin 10≈38（km ）． 13．解：画出示意答图1-3-4．由题意，得BC=DE=42m ，CD=BE=1.5m ， ∠ADE=30°．在Rt △ADE 中，∵cos30°=
AD DE ，
∴AB=AE ＋BE=（143＋1．5）≈25．75（m ）．
答：纪念碑的高度为25.75m ．
点拨：也可以用正切AE=tan30°·DE 求．
14．解：画出示意图1-3-5．由题意，得∠α=53°，OA=200m ，作AB ⊥OM 于B ．∵∠α=53°，∴∠BOA=37°，∴AB=OA ·sin37°≈200×0．60=120．∵120＜130，∴A 在噪声污染范围内．据题意在OM 上取两点C 和D ，使AC=AD=130m ．
答：教室A 在拖拉机噪声污染范围内，受污染的时间为20秒．
点拨：画出示意图，将实际问题转化为数学问题是解决本题的关键．
五、15．证法一：∵AD ∥BC ，∴∠α=∠β．∴tan α=tan β．
∵EF 垂直平分AC ，∴∠AOE=∠FOC=90°，且OA=OC ．
证法二：∵AD ∥BC ，∴∠α=∠β．
∵EF 垂直平分AC ，∴OA=OC ，∠AOE=∠FOC=90°．∴△AOE ≌△COF ．∴EO=FO ． 又∵OA=OC ，∴四边形AFCE 是平行四边形．∵EF ⊥AC ，∴□AFCE 为菱形．
点拨：本题可以用三角形全等来证，也可以用三角函数来证．用三角函数证线段相等是本题的创新之处．
六、16．解：设甲楼的影子在乙楼上的最高点为E ，作EF ⊥AB ，垂足为F ，如答图1-3-6．
∵∠BEF=30°，∴在Rt△BFE中，BF=EF·tan30°=AC·tan30°=83≈13.8（m）．∴
CE=AF=AB－BF≈16.2（m）．
答：甲楼的影子在乙楼上的高度约为16．2m．
点拨：关键是根据实际意义画出几何图形．
17．解：在Rt△ABC中，BC=d1，∠ACB=∠θ1，AB=BC·tan∠ACB，∴AB= d1·tanθ1=4tan40°．在Rt△ABD中，BD= d2，∠ADB=∠θ2，∴AB= d2·tanθ2= d2tan36°．
∴d2－d1≈4．620－4≈0．620≈0.62（m）．
答：楼梯占用地板的长度增加了0.62m．
加试题：证明：如答图1-3-7，作CD⊥BC于D，设DB=x，则AD=c－x．
在Rt△BCD中，x=a·cosB，CD2=a2－x2．
在Rt△ACD中，由勾股定理，得AC2=CD2＋AD2，
即b2=a2－x2＋（c－x）2=a2－2cx＋c2．
∵x=acosB，∴b2=a2＋c2－2ac·cosB．
Ⅵ．解：作CE⊥AB，垂足为E，根据题意，得CE=3m，∠BCE=30°，∠ACE=60°．
∴AB=AE＋BE=43≈4×1.73=6．92（m）＜8m．
因此可判断该保护物不在危险之内．
点拨：（1）构造直角三角形是角直角三角形中最常用、最基本的方法；（2）要参考距B 点8m远的保护物是否在危险区内，关键的一点是要测算出树AB的高度；（3）解应用题应学会建立数学模型．
三角函数的计算公式
三角函数的计算公式正弦函数 sinθ=y/r 余弦函数 cosθ=x/r 正切函数 tanθ=y/x 余切函数 cotθ=x/y 以及两个不常用，已趋于被淘汰的函数： 正矢函数versinθ =1-cosθ 余矢函数vercosθ =1-sinθ 同角三角函数间的基本关系式： ·平方关系： sin^2(α)+cos^2(α)=1 tan^2(α)+1=sec^2(α) cot^2(α)+1=csc^2(α) ·积的关系： sinα=tanα*cosα cosα=cotα*sinα tanα=sinα*secα cotα=cosα*cscα secα=tanα*cscα
cscα=secα*cotα ·倒数关系： tanα·cotα=1 sinα·cscα=1 cosα·secα=1 直角三角形ABC中, 角A的正弦值就等于角A的对边比斜边, 余弦等于角A的邻边比斜边 正切等于对边比邻边, 诱导公式 sin(-a)=-sin(a) cos(-a)=cos(a) sin(π2-a)=cos(a) cos(π2-a)=sin(a) sin(π2+a)=cos(a) cos(π2+a)=-sin(a) sin(π-a)=sin(a) cos(π-a)=-cos(a)
sin(π+a)=-sin(a) cos(π+a)=-cos(a) 三角函数恒等变形公式 ·两角和与差的三角函数： cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ) tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ) ·辅助角公式： Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)sin(α+t)，其中 sint=B/(A^2+B^2)^(1/2) cost=A/(A^2+B^2)^(1/2) tant=B/A Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)cos(α-t)，tant=A/B ·倍角公式： sin(2α)=2sinα·cosα=2/(tanα+cotα) cos(2α)=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α)
高中数学常用反三角函数公式
反三角函数公式 arc sin x + arc sin y = arc sin x – arc sin y = arc cos x + arc cos y = arc cos x – arc cos y = arc tan x + arc tan y = arc tan x – arc tan y = 2 arc sin x = 2 arc cos x = 2 arc tanx = cos (n arc cos x) = .
反三角函数图像与特征 反正弦曲线图像与特征反余弦曲线图像与特征 拐点(同曲线对称中心)：，该点切线斜率为1 拐点(同曲线对称中心)： ，该点切线斜率为－1 反正切曲线图像与特征反余切曲线图像与特征 拐点(同曲线对称中心)：，该点切线斜率 为1 拐点： ，该点切线斜率为－1 渐近线： 渐近线： .
名称 反正割曲线反余割曲线 方程 图像 顶点 渐近线 反三角函数的定义域与主值范围 函数主值记号定义域主值范围 反正弦若，则 反余弦若，则 反正切若，则 反余切若，则 反正割若，则 反余割若，则 式中n为任意整数. .
反三角函数的相互关系 arc sin x = arc cos x = arc tan x = arc cot x = sin x = x-x3/3!+x5/5!-...(-1)k-1*x2k-1/(2k-1)!+... (-∞
三角函数的有关计算
3. 三角函数的有关计算 【知识要点】运用计算器进行有关三角函数值的计算. 【能力要求】能够运用计算器进行有关三角函数值的计算， 并能解决含三角函数值计算的实际问题. 练习一 【基础练习】 一、填空题： 利用计算器解答（三角函数值保留.4个有效数字，角度精确 到秒） 1.sin38°18′= ，cos65°24′= ， tan5°12′= ； 2.tan46°52′+ cos31°47′= ； 3.已知sin α= 0.5138，则锐角α= ，已知2cos β= 0.7658，则锐角β = ； 二、选择题： 利用计算器解答. 1.下列各式正确的是（ ）； A. sin58°> cos32° B.sin36°41′+ sin25° 13′= sin61°54′ C. 2tan14.5°= tan29° D.tan34°28′·tan55° 32′= 1 2.下列不等式中，错误的是（ ）. A.sin72°> sin70°> cos74° B.cos24°> cos56°> sin31° C.tan29°< cos29°< sin29° D.sin64°< cos14° < tan64° 三、解答题： 1.用计算器求下列各式的值（保留4个有效数字）： （1） ?37sin 25； （2）sin48°32′+ cos56°24′； （3）???41cos 2341tan 5； （4）2sin 250°- tan62°+ 1.
2. 求下列各式中的锐角α（精确到分）： （1）3sin α-1 = 0； （2）2tan α= 3 5； （3）cos (2α- 24°) = 0.8480； （4）ααtan sin 3= 2.726. 【综合练习】 锐角△ABC 中，CD ⊥AB 于D ，AB = 3，AD = 2，BC = 6，求∠ACB 的度数（精确到1′）. 【探究练习】 计算tan1°tan2°tan3° … tan87°tan88°tan89°的 值，在计算过程中，你发现了什么规律？ 3. 三角函数的有关计算 练习一 【基础练习】一、1. 0.6198，0.4163，0.09101；2. 1.917；3. 30°55′02″，67°29′12″. 二、1. D ； 2. C. 三、1.（1）41.54；（2）1.303； （3）1.270；（4）0.2929. 2.（1）35°16′；（2）73°24′；（3）28°；（4）24°41′. 【综合练习】∠ACB = 65°54′. 【探究练习】 原式 = 1，规律：tan α·tan (90°-α) = 1（α为锐角）.
常用的三角函数公式大全
三角函数公式 两角和公式 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) =tanAtanB -1tanB tanA + tan(A-B) =tanAtanB 1tanB tanA +- cot(A+B) =cotA cotB 1-cotAcotB + cot(A-B) =cotA cotB 1cotAcotB -+ 倍角公式 tan2A = A tan 12tanA 2- Sin2A=2SinA?CosA Cos2A = Cos 2A-Sin 2A =2Cos 2A-1=1-2sin 2A 三倍角公式 sin3A = 3sinA-4(sinA)3 cos3A = 4(cosA)3-3cosA tan3a = tana ·tan(3π+a)·tan(3 π-a) 半角公式 sin(2A )=2 cos 1A - cos(2A )=2 cos 1A + tan(2A )=A A cos 1cos 1+- cot( 2A )=A A cos 1cos 1-+
tan( 2 A )=A A sin cos 1-=A A cos 1sin + 和差化积
sina+sinb=2sin 2b a +cos 2 b a - sina-sinb=2cos 2b a +sin 2 b a - cosa+cosb = 2cos 2b a +cos 2 b a - cosa-cosb = -2sin 2b a +sin 2 b a - tana+tanb=b a b a cos cos )sin(+ 积化和差 sinasinb = - 2 1[cos(a+b)-cos(a-b)] cosacosb = 2 1[cos(a+b)+cos(a-b)] sinacosb = 2 1[sin(a+b)+sin(a-b)] cosasinb = 21[sin(a+b)-sin(a-b)] 万能公式 sina=2 )2 (tan 12tan 2a a + cosa=2 2 )2 (tan 1)2(tan 1a a +- tana=2 )2(tan 12tan 2a a - 其它公式 a?sina+b?cosa=)b (a 22+×sin(a+c) [其中tanc=a b ] a?sin(a)-b?cos(a) = )b (a 22+×cos(a-c) [其中tan(c)=b a ] 1+sin(a) =(sin 2a +cos 2 a )2 1-sin(a) = (sin 2a -cos 2 a )2
三角函数值的计算
第一章直角三角形的边角关系 2. 30°，45°，60°角的三角函数值 一、学生知识状况分析 学生的知识技能基础：本节课前学生已经学习了正切、正弦、余弦的定义。 学生活动经验基础：在相关知识的学习过程中，学生已经经历了一些统计活动，解决了一些简单的现实问题，感受到了数据收集和处理的必要性和作用，获得了从事统计活动所必须的一些数学活动经验的基础；同时在以前的数学学习中学生已经经历了很多合作学习的过程，具有了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力。 二、教学任务分析 本节课教学目标如下： 知识与技能： 1．经历探索30°、45°、60°角的三角函数值的过程，能够进行有关的推理，进一步体会三角函数的意义。 2．能够进行30°、45°、60°角的三角函数值的计算 3．能够根据30°、45°、60°的三角函数值说明相应的锐角的大小 过程与方法： 经历探索30°、45°、60°角的三角函数值的过程，发展学生观察、分析、发现的能力。 情感态度与价值观： 培养学生把实际问题转化为数学问题的能力。 教学重点： 能够进行30°、45°、60°角的三角函数值的计算；能够根据30°、45°、60°的三角函数值说明相应的锐角的大小 教学难点：三角函数值的应用 三、教学过程分析 本节课设计了六个教学环节：复习巩固、活动探究、讲解新课、知识应用、
A C B b a c 小结与拓展、作业布置。 第一环节 复习巩固 活动内容：如图所示 在 Rt △ABC 中，∠C=90°。 （1）a 、b 、c 三者之间的关系是 ， ∠A+∠B= 。 （2）sinA= ，cosA= ， tanA= 。 sinB= ，cosB= ，tanB= 。 （3）若A=30°，则 c a = 。 活动目的：复习巩固上一节课的内容 第二环节 活动探究 活动内容： [问题]为了测量一棵大树的高度，准备了如下测量工具：①含30°和60°两个锐角的三角尺；②皮尺.请你设计一个测量方案，能测出一棵大树的高度. 我们组设计的方案如下： 让一位同学拿着三角尺站在一个适当的位置B 处，使这位同学拿起三角尺，她的视线恰好和斜边重合且过树梢C 点，30°的邻边和水平方向平行，用卷尺测出AB 的长度，BE 的长度，因为DE=AB ，所以只需在Rt △CDA 中求出CD 的长度即可. 我们前面学习了三角函数的定义，如果一个角的大小确定，那么它的正切、正弦、余弦值也随之确定，如果能求出30°的正切值，在上图中，tan30°
三角函数常用公式
数学必修4三角函数常用公式及结论 一、三角函数与三角恒等变换 2、同角三角函数公式 sin 2α+ cos 2α= 1 α αcos tan = 3、二倍角的三角函数公式 sin2α= 2sin αcos α cos2α=2cos 2α-1 = 1-2 sin 2α= cos 2α- sin 2α α α α2tan 1tan 22tan -= 45、升幂公式 1±sin2α= (sin α±cos α) 2 1 + cos2α=2 cos 2α 1- cos2α= 2 sin 2α 6、两角和差的三角函数公式 sin (α±β) = sin αcos β土cos αsin β cos (α±β) = cos αcos β干sin αsin β ()β αβαβαtan tan 1tan tan tan μ±= ± 7、两角和差正切公式的变形： tan α±tan β= tan (α±β) (1干tan αtan β) ααtan 1tan 1-+=ααtan 45tan 1tan 45tan ?-+?= tan (4π+α) ααtan 1tan 1+-=α α tan 45tan 1tan 45tan ?+-?= tan (4π-α) 8、两角和差正弦公式的变形（合一变形）
10、三角函数的诱导公式 “奇变偶不变，符号看象限。” sin (π－α) = sin α， cos (π－α) = －cos α， tan (π－α) = －tan α； sin (π+α) = －sin α cos (π+α) = －cos α tan (π+α) = tan α sin (2π－α) = －sin α cos (2π－α) = cos α tan (2π－α) = －tan α sin (－α) = －sin α cos (－α) = cos α tan (－α) = －tan α sin (2 π－α) = cos α cos (2 π－α) = sin α sin (2 π+α) = cos α cos (2 π+α) = －sin α 11.三角函数的周期公式 函数sin()y x ω?=+，x ∈R 及函数cos()y x ω?=+，x ∈R(A,ω,?为常数，且A ≠0，ω＞0)的周期2T π ω = ；函数 tan()y x ω?=+，,2 x k k Z π π≠+ ∈(A,ω,?为常数，且A ≠0，ω＞0)的周期T πω = . 解三角形知识小结和题型讲解 一、 解三角形公式。 1. 正弦定理 2. 余弦定理 在运用余弦定理的计算要准确，同时合理运用余弦定理的变形公式. 3.三角形中三内角的三角函数关系)(π=++C B A ○).tan(tan ),cos(cos ),sin(sin C B A C B A C B A +-=+-=+=（注：二倍角的关系） ○),2 sin(2cos ),2cos(2sin C B A C B A +=+= 5.几个重要的结论 ○B A B A B A cos cos ,sin sin <>?>； ○三内角成等差数列0 120,60=+=?C A B 2(ABC )sin sin sin a b c R R A B C ===?是的外接圆半径2222222222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c a b ab C =+-=+-=+-222 222 222 cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac a b c C ab +-= +-= +-=
三角函数解题技巧和公式(已整理)
浅论关于三角函数的几种解题技巧 本人在十多年的职中数学教学实践中，面对三角函数内容的相关教学时，积累了一些解题方面的处理技巧以及心得、体会。下面尝试进行探讨一下： 一、关于)2sin (cos sin cos sin ααααα或与±的关系的推广应用： 1、由于ααααααααc o s s i n 21c o s s i n 2c o s s i n )c o s (s i n 2 22±=±+=±故知道)c o s (s i n αα±，必可推出)2sin (cos sin ααα或，例如： 例1 已知θθθθ33cos sin ,3 3 cos sin -= -求。 分析：由于)cos cos sin )(sin cos (sin cos sin 2233θθθθθθθθ++-=- ]cos sin 3)cos )[(sin cos (sin 2θθθθθθ+--= 其中，θθcos sin -已知，只要求出θθcos sin 即可，此题是典型的知sin θ-cos θ，求sin θcos θ的题型。 解：∵θθθθcos sin 21)cos (sin 2-=- 故：3 1cos sin 31)33( cos sin 212=?==-θθθθ ]cos sin 3)cos )[(sin cos (sin cos sin 233θθθθθθθθ+--=- 39 4 3133]313)33[(332=?=?+= 2、关于tg θ+ctg θ与sin θ±cos θ，sin θcos θ的关系应用： 由于tg θ+ctg θ=θ θθθθθθθθθcos sin 1cos sin cos sin sin cos cos sin 22=+=+ 故：tg θ+ctg θ，θθcos sin ±，sin θcos θ三者中知其一可推出其余式子的值。 例2 若sin θ+cos θ=m 2，且tg θ+ctg θ=n ，则m 2 n 的关系为（ ）。 A ．m 2=n B ．m 2= 12+n C ．n m 2 2= D ．22m n =
三角函数计算公式大全
三角函数计算公式大全-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1
三角函数公式 三角函数是数学中属于初等函数中的超越函数的函数。它们的本质是任何角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。通常的三角函数是在平面直角坐标系中定义的。其定义域为整个实数域。另一种定义是在直角三角形中，但并不完全。现代数学把它们描述成无穷数列的极限和微分方程的解，将其定义扩展到复数系。 三角函数公式看似很多、很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律，就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在。 定义式 锐角三角函数任意角三角函数 图形 直角三角形 任意角三角函数 正弦（sin） 余弦（cos） 正切（tan或t g） 余切（cot或ct g） 正割（sec） 余割（csc） 表格参考资料来源：现代汉语词典[1]． 函数关系 倒数关系：①；②；③ 商数关系：①；②． 平方关系：①；②；③．
诱导公式 公式一：设为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： 公式二：设为任意角，与的三角函数值之间的关系： 公式三：任意角与的三角函数值之间的关系： 公式四：与的三角函数值之间的关系： 公式五：与的三角函数值之间的关系： 公式六：及的三角函数值之间的关系：
记背诀窍：奇变偶不变，符号看象限[2]．即形如（2k+1）90°±α，则函数名称变为余名函数，正弦变余弦，余弦变正弦，正切变余切，余切变正切。形如2k×90°±α，则函数名称不变。 诱导公式口诀“奇变偶不变，符号看象限”意义： k×π/2±a(k∈z)的三角函数值．(1)当k为偶数时，等于α的同名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时原三角函数值的符号；(2)当k为奇数时，等于α的异名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时原三角函数值的符号。 记忆方法一：奇变偶不变，符号看象限：
三角函数的有关计算导学案 (2)
第一章 直角三角形的边角关系 §1.1 从梯子的倾斜程度谈起 学习目标 1、 经历探索直角三角形中边角关系的过程 2、 理解锐角三角函数（正切、正弦、余弦）的意义，并能够举例说明 3、 能够运用三角函数表示直角三角形中两边的比 4、 能够根据直角三角形中的边角关系，进行简单的计算 学习重点和难点 重点：理解正切、正弦、余弦函数的定义 难点：理解正切、正弦、余弦函数的定义 学习过程 第一单元 一、引入课题 直角三角形是特殊的三角形，无论是边，还是角，它都有其它三角形所没有的性质。这一章，我们继续学习直角三角形的边角关系。 二、自主学习 1、梯子的倾斜程度 梯子是我们是日常生活中常见的物体。 （1）在图1-1中，梯子AB 和EF 哪个更陡？ 你是怎样判断的？你有几种判断方法？ （2）在图1-2中，梯子AB 和EF 哪个更陡？ 你是怎样判断的？你有几种判断方法？ 归纳小结： 如果梯子的长度不变，那么墙高与地面的比值 ，则梯子越陡； 如果墙的高度不变，那么底边与梯子的长度的比值 ，则梯子越陡； 如果底边的长度相同，那么墙的高与梯子的高的比值 ，则梯子越陡； 2、想一想 如图1-3,小明想通过测量11C B 及1AC ，算出它们的比，来说明 梯子的倾斜程度；而小亮则认为，通过测量22C B 及2AC ，算出它们 的比，也能说明梯子的倾斜程度，你同意小亮的看法吗？ （1）直角三角形11C AB 和直角三角形22C AB 有什么关系？ (2) 111AC C B 和2 2 2AC C B 有什么关系？ （3）如果改变2B 在梯子上的位置呢？比值 。由此我们得出结论：当直角三角形中的锐角确定之后，它的对边与邻边之比也 。 二、明确概念 通过对前面的问题的讨论，我们知道可以用倾斜角的对边与邻边之比来刻画梯子的倾斜程度。当倾斜角确定时，其对边与邻边的比值随之确定。这一比值只与倾斜角的 有关，而与直角三角形的大小 。
三角函数快速算法
三角函数快速算法(反正切，正余弦，开平方) 2010-09-08 09:14:27| 分类：| 标签：|字号订阅 #define REAL float #define TAN_MAP_RES 0.003921569 /* (smallest non-zero value in table) */ #define RAD_PER_DEG 0.017453293 #define TAN_MAP_SIZE 256 #define MY_PPPIII 3.14159 #define MY_PPPIII_HALF 1.570796 float fast_atan_table[257] = { 0.000000e+00, 3.921549e-03, 7.842976e-03, 1.176416e-02, 1.568499e-02, 1.960533e-02, 2.352507e-02, 2.744409e-02, 3.136226e-02, 3.527947e-02, 3.919560e-02, 4.311053e-02, 4.702413e-02, 5.093629e-02, 5.484690e-02, 5.875582e-02, 6.266295e-02, 6.656816e-02, 7.047134e-02, 7.437238e-02, 7.827114e-02, 8.216752e-02, 8.606141e-02, 8.995267e-02, 9.384121e-02, 9.772691e-02, 1.016096e-01, 1.054893e-01, 1.093658e-01, 1.132390e-01, 1.171087e-01, 1.209750e-01, 1.248376e-01, 1.286965e-01, 1.325515e-01, 1.364026e-01, 1.402496e-01, 1.440924e-01, 1.479310e-01, 1.517652e-01, 1.555948e-01, 1.594199e-01, 1.632403e-01, 1.670559e-01, 1.708665e-01, 1.746722e-01, 1.784728e-01, 1.822681e-01, 1.860582e-01, 1.898428e-01, 1.936220e-01, 1.973956e-01, 2.011634e-01, 2.049255e-01, 2.086818e-01, 2.124320e-01, 2.161762e-01, 2.199143e-01, 2.236461e-01, 2.273716e-01, 2.310907e-01, 2.348033e-01, 2.385093e-01, 2.422086e-01, 2.459012e-01, 2.495869e-01, 2.532658e-01, 2.569376e-01, 2.606024e-01, 2.642600e-01, 2.679104e-01, 2.715535e-01, 2.751892e-01, 2.788175e-01, 2.824383e-01, 2.860514e-01, 2.896569e-01, 2.932547e-01, 2.968447e-01, 3.004268e-01, 3.040009e-01, 3.075671e-01, 3.111252e-01, 3.146752e-01, 3.182170e-01, 3.217506e-01, 3.252758e-01, 3.287927e-01, 3.323012e-01, 3.358012e-01, 3.392926e-01, 3.427755e-01, 3.462497e-01, 3.497153e-01, 3.531721e-01, 3.566201e-01, 3.600593e-01, 3.634896e-01, 3.669110e-01, 3.703234e-01, 3.737268e-01, 3.771211e-01, 3.805064e-01, 3.838825e-01, 3.872494e-01, 3.906070e-01, 3.939555e-01, 3.972946e-01, 4.006244e-01, 4.039448e-01, 4.072558e-01, 4.105574e-01, 4.138496e-01, 4.171322e-01, 4.204054e-01, 4.236689e-01, 4.269229e-01, 4.301673e-01, 4.334021e-01, 4.366272e-01, 4.398426e-01, 4.430483e-01, 4.462443e-01, 4.494306e-01, 4.526070e-01, 4.557738e-01, 4.589307e-01, 4.620778e-01, 4.652150e-01, 4.683424e-01, 4.714600e-01, 4.745676e-01,4.776654e-01, 4.807532e-01, 4.838312e-01,
三角函数的有关计算
三角函数的有关计算(一) 教学目标 (一)知识与技能 1.经历用计算器由已知锐角求三角函数值的过程,进一步体会三角函数的意义. 2.能够用计算器进行有关三角函数值的计算. 3.能够运用计算器辅助解决含三角函数值计算的实际问题. (二)过程与方法 1.借助计算器，解决含三角函数的实际问题，提高用现代工具解决实际问题的能力. 2.发现实际问题中的边角关系，提高学生有条理地思考和表达的能力. (三)情感与价值观要求 1.积极参与数学活动，体会解决问题后的快乐. 2.形成实事求是的态度. 教学重点 1.用计算器由已知锐角求三角函数值. 2.能够用计算器辅助解决含三角函数值计算的实际问题. 教学难点 用计算器辅助解决含三角函数值计算的实际问题. 教学方法 探索——引导. 教具准备 多媒体课件演示 教学过程 Ⅰ.提出问题，引入新课 用多媒体演示： [问题]如图，当登山缆车的吊箱经过点A 到达点B 时，它走过了200米，已知缆车行 驶的路线与水平面的夹角为∠a ＝16°，那么缆车垂直上升的距离是多少? 在Rt △ABC 中，∠α＝16°，AB=200米，需求出BC. 根据正弦的定义，sin16°=200 BC AB BC , ∴BC ＝ABsin16°＝200 sin16°(米). [师]200sin16°米中的“sin16°”是多少呢?我们知道，三角函数中，当角的大小确定时，三角函数值与直角三角形的大小无关，随着角度的确定而确定. 对于特殊角30°、45°、60°可以根据勾股定理和含这些特殊角的直角三
角形的性质，求出它们的三角函数值，而对于一般锐角的三角函数值，我们需借助于科学计算器求出这些锐角的三角函数值. 怎样用科学计算器求三角函数值呢? Ⅱ.讲授新课 1.用科学计算器求一般锐角的三角函数值. [师] 用科学计算器求三角函数值，要用到 和键.例如sin16°， cos42°， sin72° 38′25″.看显示的结果是否和表中显示的结果相同. (教学时应注意不同的计算器按键方式可能不同，可引导学生利用自己所使用的计算器探索计算三角函数值的具体步骤，也可以鼓励同学们互相交流用计算器计算三角函数值的方法) [师]大家可能注意到用计算器求三角函数值时，结果一般有10个数位,我们的教材中有一个约定.如无特别说明，计算结果一般精确到万分位. 下面就清同学们利用计算器求出本节刚开始提出的问题. 用计算器求得BC＝200sin16°≈55.12(m). [师]下面请同学们用计算器计算下列各式的值(多媒体演示). (1)sin56°；(2)sin15°49′； (3)cos20°；(4)tan29°； (5)tan44°59′59″；(6)sin15°+cos61°+tan76°. (以小组为单位，展开竞赛，看哪一组既快又准确) (1)sin56°≈0.8290； (2)sin15°49′≈0.2726； (3)cos20°≈0.9397； (4)tan29°≈0.5543； (5)tan44°59′59″≈1.0000； (6)sin15°+cos61°+tan76°≈0.2588+0.4848+4.0108=4.7544. [师]你能用计算器计算说明下列等式成立吗?(用多媒体演示) 下列等式成立吗? (1)sin15°+sin25°＝sin40°；
三角函数常用公式公式及用法
三角函数常用公式及用法 珠海市金海岸中学 唐云辉 1、终边相同的角及其本身在内的角的表示法: S={ | k 360°,k Z}，或者 S { | 用法：用来将任意角转化到 0?2的范围以便于计算。 公式中k 的求法： 如是正角就直接除以3600或2，得到的整数 就是我们 要求的k ，剩余的角就是公式中 的；如果是 负角，就先取绝对值然后再去除以 3600或者2，得到 的整数加1后再取相反数就是上述公式中的 k,等于3600或者2减去剩余的角的值。 用法：前者是弧长公式，用以计算圆弧的长度；后者为扇形的面积公式，用以计算扇形的面积。 3.三角形面积公式： 1 , 1 1 1 abc 2 S 』= a h a = ab si nC =—bc si nA = —ac si nB = =2R sin A si n B si nC 2 2 2 4R 2 a sin BsinC 2 sin A 2 2 b sinAsinC c sinAsinB = = =pr= P (P a)(p b)(p c) 2si nB 2sinC 1 ( 其中p -(a 2 4 ?同角关系： b c) , r 为三角形内切圆半径) (1 )、商的关系：① tan =y = sin x cos 用法：一般用来计算三角函数的值。 (2 )、平方关系：sin 2 cos 2 1 行运算，遇到sin cos m 就先平方而后再运算， 遇到sin cos sin 2 cos 2 这类题目就联想 2 2 到分母为"1” =s in cos 进行运算即可。 --------- K (3)、辅助角公式： asin bcos Va 2 b 2 sin( ) (其中 a>0,b>0 ，且 tan —) a 用法：用以将两个异名三角函数转化成同名三角函数，以便于求取相关的三角函数。 5、函数y= Asin( x ) k 的图象及性质：( 0, A 0 ) 2、 L 弧长= n nR R =180 扇 =丄LR 」F 2 2 2 n R 2 360 2k ,k Z} 用法：凡是见了 sin cos m 或者sin cos ?2 sin 2 cos 的形式题目都可以用上述平方关系进
1.3三角函数的有关计算导学案(含答案)
§1-3 三角函数的有关计算 学习目标 1.经历用由三角函数值求相应锐角的过程，进一步体会三角函数的意义. 2.能够利用计算器进行有关三角函数值的计算. 3.能够运用计算器辅助解决含三角函数值计算的实际问题. 学习重点 1.用计算器由已知三角函数值求锐角. 2.能够用计算器辅助解决含三角函数值计算的实际问题. 学习难点 用计算器辅助解决含三角函数值计算的实际问题. 学习过程 一、引入新课 已知tanA＝56.78，求锐角A. （上表的显示结果是以“度”为单位的.再按键即可显示以“度、分、秒”为单位的结果.） 二、习题训练 1.根据下列条件求锐角θ的大小： (1)tanθ＝2.9888；(2)sinθ=0.3957；(3)cosθ＝0.7850； (4)tanθ＝0.8972；(5) tanθ=22.3 (6) sinθ＝0.6； 3 (7)cosθ＝0.2 （8）tanθ=3；(9) sinθ＝ 2 实用文档
实用文档 2.某段公路每前进100米，路面就升高4米，求这段公路的坡角. 解：sin α＝100 4=0.04，α＝2°17′33″. 3.运用计算器辅助解决含三角函数值计算的实际问题. [例1]如图，工件上有-V 形槽.测得它的上口宽加20 mm 深19.2mm 。 求V 形角(∠ACB)的大小.(结果精确到1°) 分析：根据题意，可知AB ＝20 mm ，CD ⊥AB ，AC ＝BC ，CD=19.2 mm ， 要求∠ACB ，只需求出∠ACD(或∠DCB)即可. 解：tanACD= 2.1910=CD AD ≈0.5208∴∠ACD ＝27.5°∠ACB ＝2∠ACD ≈2×27.5°＝55°. [例2]如图，一名患者体内某重要器官后面有一肿瘤.在接受放射性治疗时，为了最大限度地保证疗效，并且防止伤害器官，射线必须从侧面照射肿瘤.已知肿瘤在皮下6.3 cm 的A 处，射线从肿瘤右侧9.8cm 的B 处进入身体，求射线的入射角度。 解：如图，在Rt △ABC 中， AC ＝6.3 cm ，BC=9.8 cm ， ∴tanB=8 .93.6=BC AC ≈0.6429. ∴∠B ≈32°44′13″. 因此，射线的入射角度约为32°44′13″. 小结：这两例都是实际应用问题，确实需要知道角度，而且角度又不易测量，这时我们根 据直角三角形边的关系.即可用计算器计算出角度，用以解决实际问题.
三角函数公式大全与立方公式
【立方计算公式，不是体积计算公式】 完全立方和公式 (a+b)^3 =(a+b)(a+b)(a+b) = (a^2+2ab+b^2)(a+b)=a^3 + 3(a^2)b + 3a(b^2)+ b^3 完全立方差公式 (a-b)^3 = (a-b)(a-b)(a-b)= (a^2-2ab+b^2)(a-b) = a^3 - 3(a^2)b + 3a(b^2)-b^3 立方和公式： a^3+b^3 = (a+b) (a^2-ab+b^2） 立方差公式： a^3-b^3=(a-b) (a^2+ab+b^2) 3项立方和公式： a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac) 三角函数公式 两角和公式 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) =tanAtanB -1tanB tanA + tan(A-B) =tanAtanB 1tanB tanA +- cot(A+B) =cotA cotB 1-cotAcotB + cot(A-B) =cotA cotB 1cotAcotB -+ 倍角公式 tan2A =A tan 12tanA 2- Sin2A=2SinA?CosA Cos2A = Cos 2A-Sin 2A=2Cos 2A-1=1-2sin 2A 三倍角公式 sin3A = 3sinA-4(sinA)3 cos3A = 4(cosA)3-3cosA tan3a = tana ·tan(3π+a)·tan(3 π-a) 半角公式 sin(2A )=2cos 1A - cos(2A )=2 cos 1A + tan(2A )=A A cos 1cos 1+- cot(2A )=A A cos 1cos 1-+ tan(2 A )=A A sin cos 1-=A A cos 1sin + 和差化积 sina+sinb=2sin 2b a +cos 2b a - sina-sinb=2cos 2b a +sin 2 b a - cosa+cosb = 2cos 2b a +cos 2b a - cosa-cosb = -2sin 2b a +sin 2 b a - tana+tanb=b a b a cos cos )sin(+ 积化和差
131三角函数的有关计算
课题 第一章 直角三角形的边角关系 1.3 三角函数的有关计算（第1课时） 学习目标 1、知识与技能 （1）基本目标 会用计算器计算由已知锐角求三角函数值。 （2）中层目标 经历用计算器由已知锐角求三角函数值的过程，进一步体会三角函数的意义。 （3）发展目标 用计算器辅助解决含三角函数值计算的实际问题。 2、过程与方法 小组合作探索用计算器求锐角三角函数值的按键顺序，教师引导学生分析解决含三角函数的实际问题。 3、情感、态度与价值观 积极参与合作交流，体会解决问题后的快乐。 学习重点 用计算器计算由已知锐角求其三角函数值。 学习难点 用计算器辅助解决含三角函数值的实际问题。 预习案 一、旧知回顾 1、在△ABC 中,已知AC=3,BC=4,AB=5,求∠A 、∠B 的三角函数值。 知识点：三角函数的定义。 2、计算：0 45cos 360sin 2 -3tan30° 知识点：30°、45°、60°角的三角函数值分别是多少。 二、预习自测 1、用科学计算器求三角函数值，要用到 键。 2、用科学计算器按度、分、秒时需用 键。 三、预习后我的疑惑： . 探究案 探究一 用计算器求一般锐角的三角函数值 问题：用科学计算器计算： sin16°，cos42°，tan85°和sin72°38′25″ 提示：1、阅读教材P15表格。 2、用自己的计算器按上述按键顺序计算sin16°，cos42°，tan85°，sin72°38′25″，看显示的结果是否和表中显示的结果相同。 3、不同的计算器按键方式不同，利用自己所使用的计算器探索计算三角函数值的具体步骤，可与同伴交流。 探究二 用计算器辅助解决含三角函数值计算的实际问题 问题：如图，当登山缆车的吊箱经过点A 到达点B 时，它走过了200米，已知缆车行驶的路线与水平面的夹角为∠α＝16°，那么缆车垂直上升的距离是多少？ 提示：在Rt △ABC 中，∠α＝16°，AB ＝200米，需求出BC 。 当缆车继续由点B 到达点D 时，它又走过了200m ，缆车由点B 到点D 的行驶路线与水平面的夹角是∠β＝42°，由此你能想到还能计算什么？
三角函数运算法则
三角函数常用公式：（^表示乘方，例如^2表示平方）正弦函数sinθ=y/r 余弦函数cosθ=x/r 正切函数tanθ=y/x 余切函数cotθ=x/y 正割函数secθ=r/x 余割函数cscθ=r/y 以及两个不常用，已趋于被淘汰的函数： 正矢函数versinθ =1-cosθ 余矢函数vercosθ =1-sinθ 同角三角函数间的基本关系式：· 平方关系： sin^2(α)+cos^2(α)=1 tan^2(α)+1=sec^2(α) cot^2(α)+1=csc^2(α) · 积的关系： sinα=tanα*cosα cosα=cotα*sinα tanα=sinα*secα cotα=cosα*cscα secα=tanα*cscα cscα=secα*cotα ·倒数关系： tanα·cotα=1 sinα·cscα=1 cosα·secα=1 直角三角形ABC中, 角A的正弦值就等于角A的对边比斜边, 余弦等于角A的邻边比斜边 正切等于对边比邻边, 三角函数恒等变形公式· 两角和与差的三角函数： cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ) tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ) · 辅助角公式： Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)sin(α+t)，其中 sint=B/(A^2+B^2)^(1/2) cost=A/(A^2+B^2)^(1/2) ·倍角公式：si n(2α)=2sinα·cosα=2/(tanα+cotα) cos(2α)=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α) tan(2α)=2tanα/[1-tan^2(α)] ·
1.3《三角函数的计算》教学设计
《三角函数的计算》教学设计 一、学生知识状况分析 1. 本章前两节学生学习了三角函数的定义，三角函数sinα、cosα、tanα值的具体意义，并了解了30°，45°，60°的三角函数值. 2. 学生已经学会使用计算器进行有理数的加、减、乘、除及平方运算，对计算器的功能及使用方法有了初步的了解. 二、教学任务分析 随着学习的进一步深入，当面临实际问题的时候，如果给出的角不是特殊角，那么如何解决实际的问题，为此，本节学习用计算器计算sinα、cosα、tanα的值，以及在已知三角函数值时求相应的角度.掌握了用科学计算器求角度，使学生对三角函数的意义，对于理解sinα、cosα、tanα的值∠α之间函数关系有了更深刻的认识. 根据学生的起点和课程标准的要求，本节课的教学目标和任务是： 知识与技能 1. 经历用计算器由已知锐角求三角函数的过程，进一步体会三角函数的意义. 2. 能够用计算器进行有关三角函数值的计算.能够运用计算器辅助解决含三角函数值计算的实际问题. 过程与方法 在实际生活中感受具体的实例，形成三角形的边角的函数关系，并通过运用计算器求三角函数值过程，进一步体会三角函数的边角关系.
情感态度与价值观 通过积极参与数学活动，体会解决问题后的快乐. 感悟计算器的计算功能和三角函数的应用价值 教学重点：用计算器求已知锐角的三角函数值.能够用计算器辅助解决含三角函数值计算的实际问题. 教学难点：能够用计算器辅助解决含三角函数值计算的实际问题三、教学过程分析 三、教学过程分析 本节课设计了六个教学环节：复习引入，探索新知、例题讲解，随堂练习，课堂小结，布置作业，课外探究. 第一环节 复习引入 活动内容： 用多媒体展示学生前段时间所学的知识，提出问题，从而引入课题. 直角三角形的边角关系： 三边的关系: 222a c b =+，两锐角的关系: ∠A+∠B=90°. 边与角的关系: 锐角三角函数 c a B A ==cos sin ，c b B A ==sin cos ，b a A =tan ， 特殊角30°,45°,60°的三角函数值. 引入问题： 1、你知道sin16°等于多少吗？ 1sin A ?4 A =∠=2、已知则