浙江省鄞州高级中学高三数学复习讲义平面向量与圆锥曲线的综合问题

平面向量与圆锥曲线的综合问题

例１已知F １、F ２分别是椭圆2

214

x y +=的左、右焦点. （Ⅰ）若P 是第一象限内该数轴上的一点，125

PF PF ?=-

，求点P 的作标；（Ⅱ）设过定点M （0，２）的直线l 与椭圆交于同的两点A 、B ，且∠ADB 为锐角（其中O 为作标原点），求直线l 的斜率k 的取值范围.

解析：本题主要考查直线、椭圆、平面向量的数量积等基础知识，以及综合运用数学知识解决问题及推理计算能力．（Ⅰ）易知2a =，1b =

，c =

∴1(F

，2F ．设(,)P x y (0,0)x y >>．则

125

(,,)34

PF PF x y x y x y ?=---=+-=-，又2214x y +=，

联立222274

x y x y ?+=????

+=??，解得2

211342x x y y =??=?????=

=????，P ．（Ⅱ）显然0x =不满足题设条件．可设l 的方程为2y kx =+，设11(,)A x y ，22(,)B x y ．

联立22

222214(2)4(14)1612042x y x kx k x kx y kx ?+=??++=?+++=??=+?

∴1221214x x k =

+，122

1614k x x k

+=-+由22

(16)4(14)120k k ?=-?+?> 22163(14)0k k -+>，2430k ->，得23

k >．１又AOB ∠为锐角

cos 00AOB OA OB ?∠>??>，∴12120OA OB x x y y ?=+>

又2

12121212(2)(2)2()4y y kx kx k x x k x x =++=+++ ∴1212x x y y +2

1212(1)2()4k x x k x x =++++222

1216(1)2()41414k

k k k k

=+?

+?-+++

222

12(1)21641414k k k k k +?=-+++224(4)014k k -=>+∴2144

k -<<．２综１２可知

k <<，∴k 的取值范围是33(2,)(,2)22-- 例２已知正三角形OAB 的三个顶点都在抛物线2

2y x =上，其中O 为坐标原点，设圆C 是

OAB 的内接圆（点C 为圆心）

（I ）求圆C 的方程；

（II ）设圆M 的方程为2

(47cos )(7cos )1x y θθ--+-=，过圆M 上任意一点P 分别作

圆C 的两条切线PE PF ，，切点为E F ，，求CE CF ?的最大值和最小值．

本小题主要考查平面向量，圆与抛物线的方程及几何性质等基本知识，考查综合运用解析几何知识解决问题的能力．满分１４分．

（I ）解法一：设A B ，两点坐标分别为2112y y ?? ???，，2

222y y ??

???

，，由题设知 222

2222

222

111222

12()2222y y y y y y y y ??????++=-+- ? ? ???????

．解得22

1212y y ==，所以(63)A ，

，(623)B -，或(63)A -，，(63)B ，．设圆心C 的坐标为(0)r ，，则2

643

r =

?=，所以圆C 的方程为22(4)16x y -+= 解法二：设A B ，两点坐标分别为11()x y ，，22()x y ，，由题设知

22221122x y x y +=+．又因为2112y x =，2222y x =，可得22

112222x x x x +=+．即

1212()(2)0x x x x -++=．由10x >，20x >，可知12x x =，故A B ，两点关于x 轴对称，

所以圆心C 在

x 轴上．设C 点的坐标为(0)r ，，则A 点坐标为332r ??

? ???

，，于是有

3322r ?=?????

，解得4r =，所以圆C 的方程为22

(4)16x y -+=．（II ）解：设2ECF a ∠=，则2

||||cos 216cos 232cos 16CE CF CE CF ααα===-．

在Rt PCE △中，4

cos ||||

x PC PC α=

=，由圆的几何性质得 ||||17PC MC +=≤18+=，||||1716PC MC -=-=≥，所以12

cos 23

α≤≤，由此可

得

CE CF --

≤≤．则CE CF 的最大值为169-，最小值为8-．

例３已知(10)F ，，直线:1l x =-，P 为平面上的动点，过点P 作l 的垂线，垂足为点Q ，且QP QF FP FQ ?=?．（Ⅰ）求动点P 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）过点F 的直线交轨迹C 于A B ，两点，交直线l 于点M ．（１）已知1MA AF λ=，2MB BF λ=，求12λλ+的值；（２）求

MA MB 的最小值．

解法一：（Ⅰ）设点()P x y ，，则(1)Q y -，，由QP QF FP

=(10)(2)(1)(2)x y x y y +-=--，，，，，化简得2

:4C y x =．

（Ⅱ）（１）设直线AB 的方程为：

1(0)x my m =+≠．设11()A x y ，，22()B x y ，，又21M m ?

?-- ??

?，联立方程组241y x x my ?=?=+?，，，消去x 得：2440y my --=，2

(4)120m ?=-+>，

121244y y m y y +=??=-?，．

由，1MA AF λ=2

MB BF λ=得：1112y y m λ+=-2222

y y m λ+=- 整理得：1121my λ=--2221my λ=--12122112m y y λλ??∴+=--+ ???

1222y y m y y +=--

2424

m =--

-0=

解法二：（Ⅰ）由QP QF FP FQ =得：()0FQ PQ PF +=，()()0PQ PF PQ PF ∴-+=

0PQ PF ∴-=PQ PF ∴=

所以点P 的轨迹C 是抛物线，由题意，轨迹C 的方程为：2

4y x =．

（Ⅱ）（１）由已知1MA AF λ=，2MB BF λ=，得120λλ<．则：

12MA AF MB

λλ=-

．…………１过点A B ，分别作准线l 的垂线，垂足分别为1A ，1B ，

则有：1

1MA AA AF

MB BB BF =

=．…………２由１２得：12AF AF BF

BF λλ-=

，即120λλ+=．（Ⅱ）（２）解：由解法一，(

121M M MA MB y y y y =

1212(1)()M M

m y y y y y y =+-++2224(1)44m m m m =+-+?+224(1)4m m ?

?=++ ??

22214(2)4216m m m ?=++

+= ? ??

?≥当且仅当2

21m m =，即1m =±时等号成立，所以MA MB 最小值为16．

同步练习

１设F 为抛物线2

4y x =的焦点，A B C ，，为该抛物线上三点，若FA FB FC ++=0，则

FA FB FC ++=（ B ）Ａ．9

Ｂ．6 Ｃ．４

Ｄ．３

２设12F F ，

分别是双曲线2

y x -

=的左、右焦点．若点P 在双曲线上，且120PF PF ?

=，则12PF PF +=（ B ）A

Ｂ．

Ｄ．３已知12F F 、是椭圆的两个焦点．满足1·2MF ＝0的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（C ）A ．（0，１）Ｂ．（0，21

] Ｃ．（0，22）Ｄ．[2

2，１）

４已知椭圆122

22=+b

y a x 的左、右焦点分别为F １、F ２，且|F １F ２|=２c ，点A 在椭圆上，

211F F AF ?=0221c AF AF =?，则椭圆的离心率e=

（）

Ａ．

3 Ｂ．

3- Ｃ．

5- Ｄ．

2 ５ P 是抛物线)1(2

2-=

y x 上的动点，点A （0,—１）

，点M 满足2PM MA =，则点M 的轨迹方程是（ A ） A ）)31(612

+=y x （B ）)31(612+=x y （C ）)31(312-=y x （D ）)1(3

2+-=y x

6 .已知两点M （—２，0）、N （２，0），点P 为坐标平面内的动点，满足

||||MN MP MN NP ?+?

＝0，则动点P （x ，y ）的轨迹方程为（ B ）

A.x y 82= Ｂ．x y 82

-= C.x y 42= D.x y

7设直线l 过点P （0，３），和椭圆22

194

x y +=顺次交于A 、B 两点，若AP PB λ= 则的取值范围为______

8已知点()()A ,2,B 04o -，

，动点()P ,x y 满足2.8PA PB y =-，则动点P 的轨迹方程是_2

y =_____

9椭圆E 的中心在原点O ，焦点在x 轴上，其离心率3

=e , 过点C （—１,0）的直线l 与椭圆E 相交于A 、B 两点，且满足点C 满足2AC CB =

（１）用直线l 的斜率k （ k ≠0 ）表示△OAB 的面积；（２）当△OAB 的面积最大时，求椭圆E 的方程。

解：（１）设椭圆E 的方程为12222=+b y a x （ a ＞b ＞0 ），由e =3

2=a c

∴a ２=３b ２故椭圆方程x ２ + ３y ２ = ３b ２

设A （x １,y １）、B （x ２,y ２）,由于点C （—１，0）分向量AB 的比为２，

∴???

????=+-=+0

32132212

1y y x x 即???-=+-=+21212)1(21y y x x

由???+==+)

1(332

22x k y b y x 消去y 整理并化简得（３k ２+１）x ２+6k ２x +３k ２—３b ２=0 由直线l 与椭圆E 相交于A （x １,y １）, B （x ２,y ２）两点得：

????

???

+-=+-=+>?13331360222212221k b k x x k k x x C 的内分点）是恒成立（点而S △OAB |1|||2

|)1(|23||23|2|21||212222221+=+==--=-=x k x k y y y y y ５由１３得:x ２+１=—1322+k ，代入５得：S △OAB = )0(1

|32

≠+k k k （２）因S △OAB =

23|

|1||3313||32=≤+=+k k k k , 当且仅当,3

=k S △OAB 取得最大值此时 x １ + x ２ =—１, 又∵

1x x + =—１ ∴x １=１,x ２ =—２将x １,x ２及k ２ =

代入４得３b ２ = ５ ∴椭圆方程x ２ + ３y ２ = ５１0在平面直角坐标系xOy

中，经过点(0且斜率为k 的直线l 与椭圆2

212

x y +=有两个不同的交点P 和Q ．（I ）求k 的取值范围；II ）设椭圆与x 轴正半轴、y 轴正半轴的交点分别为A B ，，是否存在常数k ，使得向量OP OQ +与AB 共线？如果存在，求k 值；如果不存在，请说明理由．

解：（Ⅰ）由已知条件，直线l

的方程为y kx =+

代入椭圆方程得2

2(12

x kx ++=．１３

整理得221102k x ??

+++=

???

１直线l 与椭圆有两个不同的交点P 和Q 等价于2

221844202k k k ??

?=-+=->

???

，

解得2k <-

或2k >．即k 的取值范围为2

22???--+ ? ?????

，，∞∞．（Ⅱ）设1122()()P x y Q x y ，，，，则1212()OP OQ x x y y +=++，，

由方程１，122

12x x k

+=-

+．２

又1212()y y k x x +=++ ３

而(01)(A B AB =-，，．

所以OP OQ +与AB 共线等价于1212)x x y y +=+，

将２３代入上式，解得k =

．

由（Ⅰ）知2k <-或2

k >，故没有符合题意的常数k ．

2021年高中数学-平面向量专题

第一部分：平面向量的概念及线性运算欧阳光明（2021.03.07）一.基础知识自主学习 1．向量的有关概念名称定义备注向量既有又有的量；向量的大小叫做向量的(或称) 平面向量是自由向量零向量长度为的向量；其方向是任意的记作0 单位向量长度等于的向量非零向量a的单位向量为± a |a| 平行向量方向或的非零向量 0与任一向量或共线共线向量的非零向量又叫做共线向量相等向量长度且方向的向量两向量只有相等或不等，不能比较大小相反向量长度且方向的向量0的相反向量为0 2.向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义) 运算律加法求两个向量和的运算(1)交换律： a＋b＝b＋a. (2)结合律： (a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．减法求a与b的相反向量－b 的和的运算叫做a与b 的差法则 a－b＝a＋(－b) 数乘求实数λ与向量a的积的运算 (1)|λa|＝|λ||a|. (2)当λ>0时，λa的方向与a的方向；当λ<0时，λa的方向与a的方向；当λ ＝0时，λa＝0. λ(μa)＝λμa； (λ＋μ)a＝λa＋μa； λ(a＋b)＝λa＋λb. 向量a(a≠0)与b共线的条件是存在唯一一个实数λ，使得b＝λa. 二.难点正本疑点清源 1．向量的两要素向量具有大小和方向两个要素．用有向线段表示向量时，与有向线段起点的位置没有关系．同向且等长的有向线

段都表示同一向量．或者说长度相等、方向相同的向量是相等的．向量只有相等或不等，而没有谁大谁小之说，即向量不能比较大小． 2．向量平行与直线平行的区别向量平行包括向量共线(或重合)的情况，而直线平行不包括共线的情况．因而要利用向量平行证明向量所在直线平行，必须说明这两条直线不重合．三．基础自测 1．化简OP →－QP →＋MS →－MQ → 的结果等于________． 2．下列命题：①平行向量一定相等；②不相等的向量一定不平行；③平行于同一个向量的两个向量是共线向量； ④相等向量一定共线．其中不正确命题的序号是_______． 3．在△ABC 中，AB →＝c ，AC →＝b.若点D 满足BD →＝2DC →，则AD → ＝________(用b 、c 表示)． 4．如图，向量a －b 等于() A ．－4e1－2e2 B ．－2e1－4e2 C ．e1－3e2 D ．3e1－e2 5．已知向量a ，b ，且AB →＝a ＋2b ，BC →＝－5a ＋6b ，CD → ＝7a －2b ，则一定共线的三点是 () A ．A 、B 、DB ．A 、B 、C C ．B 、C 、DD ．A 、C 、D 四．题型分类深度剖析题型一平面向量的有关概念例1 给出下列命题： ①若|a|＝|b|，则a ＝b ；②若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则AB →＝DC → 是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件；③若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ；④a ＝b 的充要条件是|a|＝|b|且a ∥b ；⑤若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c.其中正确的序号是________．变式训练1 判断下列命题是否正确，不正确的请说明理由． (1)若向量a 与b 同向，且|a|＝|b|，则a>b ； (2)若|a|＝|b|，则a 与b 的长度相等且方向相同或相反； (3)若|a|＝|b|，且a 与b 方向相同，则a ＝b ； (4)由于零向量的方向不确定，故零向量不与任意向量平行； (5)若向量a 与向量b 平行，则向量a 与b 的方向相同或相反； (6)若向量AB →与向量CD → 是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点在一条直线上； (7)起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量； (8)任一向量与它的相反向量不相等题型二平面向量的线性运算例2 如图，以向量OA →＝a ，OB →＝b 为边作?OADB ，BM →＝13BC →，CN →＝13 CD →，用a 、b 表示OM →、ON →、MN → . 变式训练2 △ABC 中，AD →＝23 AB →，DE ∥BC 交AC 于E ，BC 边上的中线AM 交DE 于N.设AB →＝a ，AC → ＝b ，用a 、b 表示向量AE →、BC →、DE →、DN →、AM →、AN →. 题型三平面向量的共线问题例3 设e1，e2是两个不共线向量，已知AB →＝2e1－8e2，CB →＝e1＋3e2，CD → ＝2e1－e2. (1)求证：A 、B 、D 三点共线； (2)若BF → ＝3e1－ke2，且B 、D 、F 三点共线，求k 的值．

宁波市各高中排名表

为了孩子，该知道的宁波全大市中学排名 ★★★★★ 1. 镇海中学（经过二十年的追赶，成为宁波 NO.1，是无可争议，实至名归，今年成为百年学府。最近美国某教育机构给中国高中的排名中，名列浙江省第1，全国第22名） 2. 效实中学（又称5中，瘦死的骆驼比马大，市区双骆驼之一，学子心目中曾经和镇海齐名的名校。比镇海中学小一岁，如今江河日下，居然沦落到靠上线总人数来吆喝，感觉其素质教育也是言过其实，不过英语教学着实不错，近年中考难度下降，生源质量有下降之嫌。虽然在中国名校的高考升学率，已经被镇海中学赶超，但凭其过硬的英语教育，在海外，尤其是北美，欧洲的世界顶级研究生院中，效实学子的数量和势力异常庞大，远非其他学校可比拟）以上2所名校代表宁波中等教育界的最好水平，人才辈出，各自为共和国培养的中科院院士数量都是两位数。中国第一学府给宁波地区的自主招生名额，也只给这两所学校。 ★★★★ 3. 慈溪中学（老牌名校，县级市学校里面的老大，每年都有北大、清华。目前稳居宁波三甲） 4. 鄞州中学（老牌名校，吸引了鄞州的最好生源，近年高考成绩不输效实，但是缺乏顶尖学生） 5~9. 余姚中学，奉化中学，北仑中学，象山中学，宁海中学（这5所为个县市的老大，算是齐名，成绩优异，不再细分） 10. 宁波中学（又称1中，市区双骆驼的第二只，宁波名校中资历最老的学校，宁波地区传统3强。在上世纪，已经成为百年学府，曾经的“国立”二字，更是拥有宁波地区其他中学从没有享受过的待遇。90年代出过省状元，曾风光一时，2000年后一蹶不振，搬到鄞州后更是把不少生源拱手让给二中，当年响誉全省的“国立浙江四中”，现在已沦落到“宁波高教园区第一名校”。好在历界毕业生留在宁波发展的居多，不像效实那样，在外地和海外比例高。随着近几年“国考”盛行，宁中校友当上宁波市区公务员的数量众多，正所谓“朝中有人好提拔”，

高中数学平面向量知识点总结

高中数学必修4之平面向量知识点归纳一.向量的基本概念与基本运算 1向量的概念： ①向量：既有大小又有方向的量向量一般用c b a ,,……来表示，或用有向线段的起点与终点的大写字母表示，如：AB u u u r 几何表示法 AB u u u r ，a ；坐标表示法),(y x yj xi a 向量的大小即向量的模（长度），记作|AB u u u r |即向量的大小，记作｜a ｜向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小． ②零向量：长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的， 0 与任意向量平行零向量a ＝0 ｜a ｜＝0 由于0r 的方向是任意的，且规定0r 平行于任何向量，故在有关向量平行（共线）的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件．（注意与0的区别） ③单位向量：模为1个单位长度的向量向量0a 为单位向量｜0a ｜＝1 ④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量任意一组平行向量都可以移到同一直线上方向相同或相反的向量，称为平行向量记作a ∥b 由于向量可以进行任意的平移(即自由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量数学中研究的向量是自由向量，只有大小、方向两个要素，起点可以任意选取，现在必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”、的含义，要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的． ⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量相等向量经过平移后总可以重合，记为b a 大小相等，方向相同 ),(),(2211y x y x 2 12 1y y x x 2向量加法求两个向量和的运算叫做向量的加法设,AB a BC b u u u r u u u r r r ，则a +b r =AB BC u u u r u u u r =AC u u u r （1）a a a 00；（2）向量加法满足交换律与结合律；向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”：（1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量（2）三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点当两个向量的起点公共时，用平行四边形法则；当两向量是首尾连接时，用三角形法

浙江省宁波市鄞州区2019-2020学年(上)七年级语文期中考试试卷(含答案)

2019学年第一学期七年级语文学科期中试卷一、书写（3分)（本题根据卷面书写情况评分。请你在答题时努力做到书写正确、工整。）二、积累和运用（27分） 1．根据拼音写汉字（4分）轻轻地打开七年级上册语文课本，眼前花团锦簇、美不胜收:解决散步时的分歧，zhāng （▲）显中华民族尊老爱幼的美德；瘫痪的史铁生在秋天怀念与母亲jué（▲）别时收获着“好好儿活”的勇气；跟轻风流水应hè（▲）着的牧童的笛声传递着春的气息；还有那可爱的水藻把终年zhù（▲）蓄的绿色奉献给济南的冬天…… 2．古诗文名句默写（8分）（1）峨眉山月半轮秋，▲。（《峨眉山月歌》李白）（2）▲，于我如浮云。（《<论语>十二则》）（3）乡书何处达，▲。（《次北固山下》王湾）（4）▲，一夜征人尽望乡。（《夜上受降城闻笛》李益）（5）《<论语>十二则》中论述学与思的辩证关系的句子是：▲，▲。（6）古诗中多有借明月抒发思乡怀人之情的诗句，请写出连续的两句：▲，▲。 3．解释下列句中加点词语（4分）（1）撒盐空中差可拟．（▲ ）（2）未若柳絮因．风起（▲ ）（3）人不知而不愠．（▲ ）（4）博学而笃．志（▲ ） 4.下列的文化常识错误的一项是（▲ ）（3分） A .《闻王昌龄左迁龙标遥有此寄》中的左迁在古代表示降职贬官。 B .古人称谓有谦称和尊称，称别人的父母为令尊、令堂，称自己的父母则为家严、家慈。 C .古代男子20岁（成人）举行加冠礼时取字，字是指在本名以外表示德行或本名的意义的名字，例如孔子字仲尼。 D .“寒舍”“晚生”“拙笔”“阁下”都是谦辞。 5.名著阅读（8分）（1）对名著《朝花夕拾》内容理解不正确的一项是（▲ ）（3分） A .《朝花夕拾》是鲁迅先生于1926年所作的一部回忆性小说集。 B .在《无常》一文中，鲁迅提到：无常有黑白两种，白无常又叫活无常，黑无常又叫死无常，人们喜爱的是白无常。 C .《五猖会》记叙作者儿时父子之间一场微妙的冲突——我对五猖会的热切盼望和父亲的阻难。

高中数学平面向量公式(精选课件)

高中数学平面向量公式１、向量的的数量积定义:已知两个非零向量a，b。作OＡ＝a,OB=b，则角AOB称作向量ａ和向量b的夹角,记作〈ａ，b〉并规定0≤

２、向量的数量积不满足消去律，即:由ａ?b=a? c （a≠0)，推不出 b=ｃ。 3、|a?b｜≠|ａ｜?|b｜ 4、由 |a｜=|ｂ| ，推不出a=ｂ或ａ=－ｂ。 2、向量的向量积定义：两个向量a和ｂ的向量积(外积、叉积)是一个向量,记作ａ×b。若a、b不共线,则ａ×b的模是：∣a×b ∣＝｜ａ|?｜ｂ｜?ｓｉn〈a，b>；ａ×ｂ的方向是:垂直于ａ和ｂ,且ａ、ｂ和ａ×b按这个次序构成右手系.若ａ、ｂ共线，则a×b=0。...文档交流仅供参考... 向量的向量积性质: ∣a×ｂ∣是以a和b为边的平行四边形面积. a×a=０。 a‖b〈=〉ａ×b＝０。向量的向量积运算律 a×b=－b×a；（λa）×b=λ（ａ×b)=a×（λb)；（a+b)×c=a×ｃ+b×c。注:向量没有除法，“向量ＡB/向量CＤ”是没有意义的. 3、向量的三角形不等式 1、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a＋ｂ∣≤∣ａ∣+∣b∣；

2019-2020学年浙江省宁波市鄞州高级中学高二下学期复学测试语文试题 Word版

浙江省宁波市鄞州高级中学2020年高二年级第二学期复学测试语文试卷一、语言文字运用(共45分，每小题3分) 1．下列词语中加点的字，读音全都正确的一组是（） A、连累．（lèi）波诡云谲．（jué）箴．（zhēn）言稗．（bài）官野史 B、妩．（wǔ）媚自怨自艾．（yì）荆杞．（qǐ）风流蕴藉．（jiè） C、福祉．（zhǐ）桴．（fú）鼓相应洗涮．（shuā）溘．（kè）然长逝 D、经筵．（yán）改弦更．（gēng）张戏谑．（xuè）无的．（dí）放矢 2．下列各组词语中，没有错别字的一组是（） A、洗练影牒机心心相印各行其是 B、斜晖座右铭出类拔粹备感亲切 C、暮霭一炷香目不暇接清波粼粼 D、针灸挖墙角不为已甚得鱼忘筌 3．下列各句中加点的词语，使用不恰当的一句是（） A、这些第三代移民，在物质方面已经西化，但在精神方面，祖国母亲赋予．．他们的文化底蕴根深蒂固，难以更改。 B、在儒家传统中，孔孟总是形影相随．．．．，有大成至圣，则有亚圣，有《论语》，则有《孟子》。 C、百度正处于新旧交替、青黄不接．．．．之时，李彦宏肩上的担子确实很重。 D、徐峥新片《囧妈》在我市上映期间，电影票非常紧张，中途退场的观众更是凤毛麟角．．．．。4．下列各句中没有语病的一句是（） A.7月底建成的国外动物卫生信息系统能够动态监视国外动物疫情，科学评估进口动物和动物产品传入疫病的风险。 B.公司董事会把他吸收到领导班子里来，让他担任副总经理职务，是经过仔细、严格的考验和研究的。 C.作为一位杰出的思想家，孔子一生积极求索，“知其不可为而为之”，他的奋斗的一生是他这句格言的真实写照。 D.不少研究鲁迅先生的资料表明：鲁迅先生越到晚年，为无产阶级解放事业奋斗的思想就越来越更加明确，更加坚定。 5．下列句子运用的修辞手法与其他三项不同的一项是（） A．指点江山，激扬文字，粪土当年万户侯。（毛泽东《沁园春·长沙》） B．真愿成为诗人，把一切好听好看的字都浸在自己的心血里，像杜鹃似的啼出北平的俊伟。（老舍《想北平》） C．月光如流水一般，静静地泻在这一片叶子和花上。（朱自清《荷塘月色》） D．传统不是可以随气温变化而穿脱的外衣，甚至也不是可以因发育而定期蜕除的角质表皮。（庞朴《传统文化与文化传统》） 6.你的朋友约你一同去看电影，不巧你因故不能前往。下面四种回答，最得体的一项是（）A．很不凑巧，今晚有事，不能与你同去看电影，你另约他人吧！ B．谢谢你的好意！不过这部电影我已看过了，你自己去看吧！

高中数学平面向量doc

专题讲座高中数学“平面向量” 一、整体把握“平面向量”教学内容（一）平面向量知识结构图（二）重点难点分析

本专题内容包括：平面向量的概念、运算及应用．课标要求：平面向量（约12课时）（1）平面向量的实际背景及基本概念通过力和力的分析等实例，了解向量的实际背景，理解平面向量和向量相等的含义，理解向量的几何表示。（2）向量的线性运算 ①通过实例，掌握向量加、减法的运算，并理解其几何意义。 ②通过实例，掌握向量数乘的运算，并理解其几何意义，以及两个向量共线的含义。 ③了解向量的线性运算性质及其几何意义。（3）平面向量的基本定理及坐标表示 ①了解平面向量的基本定理及其意义。 ②掌握平面向量的正交分解及其坐标表示。 ③会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算。 ④理解用坐标表示的平面向量共线的条件。（4）平面向量的数量积

①通过物理中“功”等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义。 ②体会平面向量的数量积与向量投影的关系。 ③掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算。 ④能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。（5）向量的应用经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其他一些实际问题的过程，体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具，发展运算能力和解决实际问题的能力。依据课标要求，并结合前面的分析可知：新概念、新运算的定义，向量运算和向量运算的几何意义是本专题的重点，平面向量基本定理是坐标表示（几何代数化）的关键，也是本专题教学的难点。二、“平面向量”教与学的策略（一）在概念教学中，依据概念教学的方法，建构概念知识体系本专题的教学中，向量、向量的运算等都是新定义的概念，如何让这些概念的出现自然轻松，还能让学生迅速把握住本质，达成理解？不妨遵循概念教学的方法。比如说：“向量的概念”教学中，可从力、位移等实例引入，进行抽象概括，形成向量的概念。之后，提出“温度、功是不是向量？”这样的问题，通过比较，对向量的概念进行辨析，在此基础上，抓住向量的两个要点：大小、方向进行拓展，按如下表格整理，将向量概念精致化。概念辨析：

(完整word版)高中数学-平面向量专题.doc

第一部分：平面向量的概念及线性运算一.基础知识自主学习 1．向量的有关概念名称定义备注向量既有又有的量；向量的大小叫做向量平面向量是自由向量的(或称) 零向量长度为的向量；其方向是任意的记作 0 单位向量长度等于的非零向量 a 的单位向量为± a 向量|a| 平行向量方向或的非零向量 0 与任一向量或共线共线向量的非零向量又叫做共线向量相等向量长度且方向的向量两向量只有相等或不等，不能比较大小相反向量长度且方向的向量0 的相反向量为 0 2.向量的线性运算向量运算定义法则 (或几何运算律意义 ) 加法求两个向量和的运算求 a 与 b 的相反向量－ b 减法的和的运算叫做 a 与 b 的差 (1)交换律： a＋ b＝ b＋ a. (2)结合律： (a＋ b)＋ c＝ a＋ (b＋c)． a－ b＝ a＋ (－ b) 法则求实数λ与向量 a 的积的(1)|λa|＝ |λ||a|. ；λ(μa)＝λμa；数乘 (2)当λ>0 时，λa 的方向与 a 的方向运算当λ<0 时，λa 的方向与 a 的方向；当λ (λ＋μ)a＝λa＋μa；＝0 时，λa＝ 0. λ(a＋ b)＝λa＋λb. 3.共线向量定理向量 a(a≠0)与 b 共线的条件是存在唯一一个实数λ，使得 b＝λa. 二.难点正本疑点清源 1．向量的两要素向量具有大小和方向两个要素．用有向线段表示向量时，与有向线段起点的位置没有关系．同向且等长的有向线段都表示同一向量．或者说长度相等、方向相同的向量是相等的．向量只有相等或不等，而没有谁大谁小之说，即向量不能比较大小． 2．向量平行与直线平行的区别向量平行包括向量共线 (或重合 )的情况，而直线平行不包括共线的情况．因而要利用向量平行证明向量所在直线平行，必须说明这两条直线不重合．

宁波所有高中中学排名榜

宁波所有高中中学排名榜 1、镇海中学：宁波中学实力排名,2018年宁波所有初中中学排名榜经过二十年的追赶，成为宁波,是无可争议，实至名归，近年成为百年学府。最近美国某教育机构给中国高中的排名中,名列浙江省第1,全国第22名。 2、效实中学：又称5中，瘦死的骆驼比马大，市区双骆驼之一，学子心目中曾经和镇海齐名的名校，比镇海中学小一岁，如果江河日下，居然沦落到靠上线总人数来吆喝，感觉其素质教育也是言过其实，不过英语教学着实不错，近年中考难度下降，生源质量有下降之嫌。虽然在中国名校的高考升学率，已经被镇海中学赶超，但凭其过硬的英语教育，在海外，尤其是北美，欧洲的世界研究生院中，效实学子的数量和势力异常庞大,远非其他学校可比拟。以上2所名校代表宁波中等教育界的水平，人才辈出，各自为共和国培养的中科院院士数量都是两位数。中国第一学府给宁波地区的自主招生名额，也只给这两所学校。 3、慈溪中学：老牌名校，县级市学校里面的老大，每年都有北大、清华。目前稳居宁波三甲。 4、鄞州中学：老牌名校，吸引了鄞州的生源，近年高考成绩不输效实，但是缺乏顶尖学生。 5-9、余姚中学，奉化中学，北仑中学，象山中学，宁海中学：这5所为个县市的老大，算是齐名，成绩优异，不再细分。 10、宁波中学：又称1中，市区双骆驼的第二只，宁波名校中资历最老的学校，宁波地区传统3强。在上世纪，已经成为百年学府，曾经的“国立”二字，更是拥有宁波地区其他中学从没有享受过的待遇。90年代出过省状元，曾风光一时，2000年后一蹶不振，搬到鄞州后更是把不少生源拱手让给二中，当年响誉全省的“国立浙江四中”，现在已沦落到“宁波高教园区第一名校”。好在历界毕业生留在宁波发展的居多，不像效实那样，在外地和海外比例高。瘦死的骆驼比马大”，虽然近10年风光被周边地级市的兄弟学校掩盖，但是其悠久的历史成就，还是令人刮目相看。其为共和国贡献的院士数目虽然不及效实和镇海，但是也接近两位数。宁波传统3强——宁中，效实和镇中一起为共和国贡献了将近5%的院士。前10名的学校号称“甬城Top10”，在排资论辈的社会，后生再牛，也很难动摇这10所老牌院校在宁波的地位。高考前夕，这10所学校也经常组织“宁波十校联考”，宁中稳包垫底，效实也在倒数徘徊。 11、蛟川书院：源于镇海中学，现在是第三集团里的老大了，虽然因为资历的原因，连省三级都不在内，但是升学率让大部分省一级重点中学都汗颜。 12、慈溪浒山中学：慈溪市的千年老二，地位稳定，成绩优秀。 13、鄞州高级中学：随着近年来鄞州财政收入的大丰收，鄞州政府上亿打造的新学校，外语学效实，总体学镇海，办学不到10年，现在位居鄞州老二，前途无量。 14、宁波二中：市区新贵，评上省一级没几年，但是目标直指宁中，抢走不少宁中生源，但是也缺乏顶尖学生。从历史角度看，该校既有近百年的悠久历史，又有拿得出手的杰出校友代表，比如

高中数学平面向量习题及答案

第二章平面向量一、选择题 1．在△ABC 中，AB ＝AC ，D ，E 分别是AB ，AC 的中点，则( )． A ．AB 与AC 共线 B ．DE 与CB 共线 C ．与相等 D ．与相等 2．下列命题正确的是( )． A ．向量与是两平行向量 B ．若a ，b 都是单位向量，则a ＝b C ．若＝，则A ，B ，C ， D 四点构成平行四边形 D ．两向量相等的充要条件是它们的始点、终点相同 3．平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点A (3，1)，B (－1，3)，若点C 满足＝α OA ＋β OB ，其中 α，β∈R ，且α＋β＝1，则点C 的轨迹方程为( )． A ．3x ＋2y －11＝0 B ．(x －1)2＋(y －1)2＝5 C ．2x －y ＝0 D ．x ＋2y －5＝0 4．已知a 、b 是非零向量且满足(a －2b )⊥a ，(b －2a )⊥b ，则a 与b 的夹角是( )． A ． 6 π B ． 3 π C ． 23 π D ． 56 π 5．已知四边形ABCD 是菱形，点P 在对角线AC 上(不包括端点A ，C )，则＝( )． A ．λ(＋)，λ∈(0，1) B ．λ(＋)，λ∈(0，22 ) C ．λ(－)，λ∈(0，1) D ．λ(－)，λ∈(0， 2 2) 6．△ABC 中，D ，E ，F 分别是AB ，BC ，AC 的中点，则＝( )． A ．＋ B ．－ C ．＋ D ．＋ 7．若平面向量a 与b 的夹角为60°，|b |＝4，(a ＋2b )·(a －3b )＝－72，则向量a 的模为( )． (第1题)

高三数学复习微专题之平面向量篇矩形大法教师

一、知识清单 1. 极化恒等式：如图，+=AD AB AC 2 ① -=CB A B A C ②,则： ①2 +②2 得：AC AD BC AB +=+242 2 22 ；①2-②2 得：AC AD BC AB ?=-4422 推广：AC AB AC BC AB AB AC cosA ?=?=?+-2 222 速记方法：?==-+-a b a b a b 4()()22，=++=+-a b a b a b 2 ()()2222 2. 矩形大法：如图，由极化恒等式可得 +=+PO BD 2PD PB 42 2 22①+=+PO AC 2 PA PC 422 22 ② 因为BD=AC ，所以PD PB PA PC +=+2222，速记方法：矩形外一点到矩形对角顶点的平方和相等。推广1：若ABCD 为平行四边形，则有PA PC PD PB =+-+-AC 2 )(BD 2 2 2 2 22 =-?= -AC AM BC 4 422 =4 1 0，且对于边AB 上任一点P ，恒有?≥?PB PC P B PC 00 。则( ) A.∠=ABC 90 B. ∠=BAC 90 C.=AB AC D. =AC BC 解析：D 为BC 中点，由极化恒等式有：?=-PC PD BC 4 PB 422 则当PD 最小时，PB ????? ?PC ????? 最小，所以过D 作AB 垂线，垂足即为P 0,作AB 中点E ，则CE ⊥AB ，即AC=BC 。 3. 已知向量a b e ,,是平面向量，e 是单位向量． ?-++===b e a b a b a ()12,3,0,求-a b 的范围？解析：由?-++=b e a b a ()10,得-?-=e b e a ()()0 如图，===OA a OB b OE e ,, ，构造矩形ACBE ，由矩形大法有 +=+OE OC OA OB 222 2，则=OC ==∈-+=-+-AB CE OC OE OC OE a b [,] [2 3 1,231] 高三数学复习微专题之平面向量篇第三讲：极化恒等式与矩形大法解析：由极化恒等式有：AB 16推广2：若P 为平面外一点，上述性质仍成立。二、典型例题1．（２０１９浙江模拟卷）在?ABC 中，M 是BC 的中点，AM =3，BC =10，则A B A ? C =_________． 2.（2019山东模拟）在?ABC 中,P 0是边AB 上一定点，满足P B AB

宁波市鄞州高级中学

宁波市鄞州高级中学试论数字“三”在文化建构中的作用刘少龙 [摘要]：语言中的文化符号对于民族文化的继承和建构有至关重要的作用。数字“三”在长达数千年的中国历史中，产生了一种奇特的文化指令功能，形成了独具一格的汉字文化。这体现在很多方面：丰富多彩的词汇和独特审美内涵的文化。 [关键词]：三礼文化建构语言中的文化符号，对于民族文化的继承和建构有至关重要的作用。对于在文化建构中，“民族文化的思想家们为了得到理论建构所需要的术语，往往用日常的语言符号通过隐喻的方式来指称他们认识到的范畴，于是就把日常的语言符号改造成了文化符号”，①正是这样的文化符号，在文化理论大厦的推衍、发生及建构过程中，起了一种“内核”的

功能。某些数字，因为汉民族的独特阐释而成为一种特殊的“文化符号”，以至在长达数千年的中国历史上，产生了一种奇特的文化指令功能，而且凭借汉民族某些文化人独特阐释活动创造出了独具一格的汉民族文化。这些数字所产生的文化功能和其他语言符号文化功能一样，根深蒂固地积淀在汉民族的心理结构之中。数字“三”作为一个神秘的文化语言符号，在我国汉民族的心理结构中，具有特殊的文化内涵和审美价值。中国的数字文化，素来有信三、喜八和崇九的传统，但很多人对“三”这个神秘的文化符号了解的还不够，本文试图从词汇学和文化学的视野，对数字“三”作一些考察。壹作为数词，“三”既可以实指“二加一所得之数”，也可以泛指，虚指多、好、差等各种褒贬概念，是个约数。这种用法，在“三”和别的数词组合时更常见，其大致有以下几种情况：1.“三”单用表实义：如三光（古代指日月星）、三曹（曹操、曹丕与曹植的合称）、三伏（指初伏、中伏和末伏）、三王（夏禹、商汤和周文王）。 2．“三”单用虚指，多作褒义：如韦编三绝，三过其门而不入，三省吾身等。

(完整版)高中数学平面向量专题训练

高中数学平面向量专题训练一、选择题： 1、若向量方程23(2)0x x a --=r r r r ，则向量x r 等于 A 、65 a r B 、6a -r C 、6a r D 、65 a -r 2、两列火车从同一站台沿相反方向开去，走了相同的路程，设两列火车的位移向量分别为a r 和b r ，那么下列命题中错误的一个是 A 、a r 与b r 为平行向量 B 、a r 与b r 为模相等的向量 C 、a r 与b r 为共线向量 D 、a r 与b r 为相等的向量 3、AB BC AD +-=u u u r u u u r u u u r A 、AD u u u r B 、CD uuu r C 、DB u u u r D 、DC u u u r 4、下列各组的两个向量，平行的是 A 、(2,3)a =-r ，(4,6)b =r B 、(1,2)a =-r ，(7,14)b =r C 、(2,3)a =r ，(3,2)b =r D 、(3,2)a =-r ，(6,4)b =-r 5、若P 分AB u u u r 所成的比为4 3 ，则A 分BP u u u r 所成的比为 A 、7 3 - B 、3 7 - C 、73 D 、 3 7 6、已知(6,0)a =r ，(5,5)b =-r ，则a r 与b r 的夹角为 A 、045 B 、060 C 、0135 D 、0120 7、已知i r ，j r 都是单位向量，则下列结论正确的是 A 、1i j ?=r r B 、22 i j =r r C 、i r ∥j i j ?=r r r D 、0i j ?=r r 8、如图，在四边形ABCD 中，设AB a =u u u r r ，AD b =u u u r r ， BC c =u u u r r ，则DC =u u u r A 、a b c -+r r r B 、()b a c -+r r r C 、a b c ++r r r D 、b a c -+r r r 9、点),0(m A )0(≠m ，按向量a r 平移后的对应点的坐标是)0,(m ，则向量a r 是 C B A D

浙江省宁波市鄞州高级中学2021届高三10月月考语文试题含答案

鄞州高级中学2021届高三10月月考语文科试题卷一、语言文字运用(共20分) 1.下列各句中，没有错别字且加点字的注音全都正确的一项是(3分)（） A.遇到懂行且对他道行喷喷称赏的，老谈就会喜不自禁，当场开一堂扬扬洒酒的篆(zhuàn)刻课。喜欢而缺钱的穷学生，期期艾艾（ài）地舍不得走，老谈见状，爽快对折，半卖半送。 B.蓦(mò)地，叮叮淙淙响起古筝声，却是一个穿着旗袍的女子，十指娴熟地弹着我听了干百遍的《姑苏好风光》，我的心仿佛也被这音乐填满了似的充盈(yín)而富足。 C.汉柏劫后余生，仅存一脉生机。那些受尽岁月盘剥(bō),变得赤裸裸的枝丫，依然苍劲(jìng)有力地直指天穹，它质问的姿态，显然不是针对曾经的风霜和雨雪，而是生命本身。 D.鼻腔深处强烈地一酸，喉头处像硬硬地埂(gěng)了一个什么硬物，他觉得自己的泪水带着一股温热迅疾地流下来了，他连忙转过头，有些踉跄(qiàng)地疾疾地走了过来。阅读下面的文段，完成2-3题。领略趣味的能力一半固然．．由于天资，另一半也由于修养。大约静中比较容易见出趣味。 [甲]物理上有一条定律说：两物不能同时并在于同一空间，这个定律在心理方面也可以说得通。一般人不能感受趣味，大半因为心地太忙，不空所以不灵。我所谓“静”，便是指心界的空灵，不是指物界的沉寂，物界永远不沉寂的。[乙]你的心境愈空灵，你愈不觉得物界沉寂，或者我还可以进一步说，你的心界愈空灵，你也愈不觉得物界喧嘈。所以习静并不必定要六根清净．．．．，也不必定学佛家静坐参禅。[丙]静与闲也不同：许多闲人不必都能领略静中趣味。而能领略静中趣味的人，也不必定要闲。在百忙中，在尘世喧嚷中，你偶尔．．．．丢开一切，悠然遐想，你心中便蓦然似有一道灵光闪烁，无穷妙悟便左右逄源．．。这就是忙中静趣。 (改编自朱光潜《谈静》) 2.文段中加点的词语，运用不正确的一项是(3分)（） A.固然 B.六根清净 C.偶尔 D.左右逢源 3.文段中画横线的甲、乙、丙句，标点有误的一项是(2分) A.甲 B.乙 C.丙. 4.下列各句中，没有语病的一项是(3分)（） A.2020年，对于石油投资者和生产者，是破天荒的一年，石油价格大幅下跌，不仅改写了石油业的历史，也打破了人们对于商品价格的认识：市场宁愿给钱，也不愿意拿到原油现货

高一数学平面向量知识点及典型例题解析

高一数学第八章平面向量第一讲向量的概念与线性运算一．【要点精讲】 1．向量的概念 ①向量：既有大小又有方向的量。几何表示法AB u u u r ，a ；坐标表示法),(y x j y i x a 。向量的模（长度），记作|AB u u u r |.即向量的大小，记作｜a |。向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小. ②零向量：长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的，规定0r 平行于任何向量。（与0的区别） ③单位向量｜ a ｜＝1。④平行向量（共线向量）方向相同或相反的非零向量，记作a ∥b ⑤相等向量记为b a 。大小相等，方向相同 ),(),(2211y x y x 2121y y x x 2．向量的运算（1）向量加法：求两个向量和的运算叫做向量的加法.如图，已知向量a ，b ，在平面内任取一点A ，作AB u u u r a ，BC u u u r b ，则向量AC 叫做a 与b 的和，记作a+b ，即 a+b AB BC AC u u u r u u u r u u u r 特殊情况： a b a b a+b b a a+b (1) 平行四边形法则三角形法则C B D C B A A 向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加： AB BC CD PQ QR AR u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r L ，但这时必须“首尾相连”。②向量减法：同一个图中画出 a b a b r r r r 、要点:向量加法的“三角形法则”与“平行四边形法则”（1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量。（2）三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点.（3）实数与向量的积 3．两个向量共线定理：向量b 与非零向量a 共线有且只有一个实数，使得b =a 。二．【典例解析】题型一：向量及与向量相关的基本概念概念例1判断下列各命题是否正确 (1)零向量没有方向 (2)b a 则, (3)单位向量都相等 (4) 向量就是有向线段

浙江省宁波市鄞州中学2019-2020学年高三下学期期初考试地理试题(word无答案)

浙江省宁波市鄞州中学2019-2020学年高三下学期期初考试地理试题一、单选题 (★) 1 . 武汉火神山医院总建筑面积3.39万平方米，从方案设计到建成交付仅用时10天，被誉为“中国速度”。下图反映了火神山医院建设过程中周边地表的变化过程。对周边地表的变化过程进行动态监测运用的地理信息技术是（） A．GPS B．RS C．数字地球D．GIS (★★) 2 . 读图，完成下面小题【小题1】关于图示地区各处的岩石叙述正确的是（） A．①处岩石是变质作用形成的B．②处岩石曾经历高温高压环境 C．③处岩石肯定含有化石D．④处岩石不可能含有较多气孔【小题2】关于图示地区叙述正确的是（）A．甲处断层发育侵蚀成谷B．乙处是沉积作用形成的山 C．丙处是地壳断裂下陷形成的谷D．丁处的山形成早于乙处 (★) 3 . 下图为欧洲局部地区示意图。完成下面小题。

【小题1】形成M洋流的大气环流是 A．东北信风B．盛行西风C．西南季风D．极地东风【小题2】洋流M使N地 A．水循环更新速度加快B．河流冬季结冰期缩短 C．沿海地区的降水减少D．内河航运的速度加快 (★★) 4 . 从秦岭第二高峰鳌山（海拔3476米）徒步至第一高峰太白山（海拔3767米）的户外徒步线路——鳌太线（左图），以山水形胜而出名。但其积雪多、难度大、危险性高对户外爱好者提出挑战，尤其以称为“石海”一段的路段最难，基本上是在碎石上攀爬。右图示意“石海”景观。据此完成下面小题。【小题1】“石海”形成的主要地质作用是（） A．风化作用B．流水侵蚀C．风力侵蚀D．冰川作用【小题2】如果徒步旅行者从北坡攀登鳌山并沿穿越线路至主峰太白山，沿途可能看到（） A．山麓常绿树种郁郁葱葱B．穿越线路沿途溪流潺潺 C．山顶终年白雪皑皑D．又高又密的针阔混交林 (★★) 5 . 读某地海平面等压线分布示意图，图示时间内该地区的天气变化为（）

高中数学平面向量知识点总结及常见题型(供参考)

平面向量一.向量的基本概念与基本运算 1 ①向量：既有大小又有方向的量向量一般用c b a ,,……来表示，或用有向线段的起点与终点的大写字母表示，如：AB 几何表示法 AB ，a ；坐标表示法,(y x yj xi a =+= 向量的大小即向量的模（长度），记作|AB |即向量的大小，记作｜a ｜向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小． ②零向量：长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的，0 与任意向量平行零向量a ＝0 ? ｜a ｜＝0 由于0的方向是任意的，且规定0平行于任何向量，故在有关向量平行（共线）的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件．（注意与0的区别） ③单位向量：模为1个单位长度的向量向量0a 为单位向量?｜0a ｜＝1 ④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量任意一组平行向量都可以移到同一直线上方向相同或相反的向量，称为平行向量记作a ∥b 由于向量可以进行任意的平移(即自由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量 ⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量相等向量经过平移后总可以重合，记为b a =大小相等，方向相同),(),(2211y x y x =?? ?==?2 12 1y y x x 2 求两个向量和的运算叫做向量的加法设,AB a BC b ==，则a +b =AB BC +=AC （1）a a a =+=+00；（2）向量加法满足交换律与结合律；向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”：（1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量（2）三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点当两个向量的起点公共时，用平行四边形法则；当两向量是首尾连接时，用三角形法则．向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加：

宁波市各高中排名表

★★★★★ 1. 镇海中学（经过二十年的追赶，成为宁波 NO.1，是无可争议，实至名归，今年成为百年学府。最近美国某教育机构给中国高中的排名中，名列浙江省第1，全国第22名） 2. 效实中学（又称5中，瘦死的骆驼比马大，市区双骆驼之一，学子心目中曾经和镇海齐名的名校。比镇海中学小一岁，如今江河日下，居然沦落到靠上线总人数来吆喝，感觉其素质教育也是言过其实，不过英语教学着实不错，近年中考难度下降，生源质量有下降之嫌。虽然在中国名校的高考升学率，已经被镇海中学赶超，但凭其过硬的英语教育，在海外，尤其是北美，欧洲的世界顶级研究生院中，效实学子的数量和势力异常庞大，远非其他学校可比拟）以上2所名校代表宁波中等教育界的最好水平，人才辈出，各自为共和国培养的中科院院士数量都是两位数。中国第一学府给宁波地区的自主招生名额，也只给这两所学校。 ★★★★ 3. 慈溪中学（老牌名校，县级市学校里面的老大，每年都有北大、清华。目前稳居宁波三甲） 4. 鄞州中学（老牌名校，吸引了鄞州的最好生源，近年高考成绩不输效实，但是缺乏顶尖学生） 5~9. 余姚中学，奉化中学，北仑中学，象山中学，宁海中学（这5所为个县市的老大，算是齐名，成绩优异，不再细分） 10. 宁波中学（又称1中，市区双骆驼的第二只，宁波名校中资历最老的学校，宁波地区传统3强。在上世纪，已经成为百年学府，曾经的“国立”二字，更是拥有宁波地区其他中学从没有享受过的待遇。90年代出过省状元，曾风光一时，2000年后一蹶不振，搬到鄞州后更是把不少生源拱手让给二中，当年响誉全省的“国立浙江四中”，现在已沦落到“宁波高教园区第一名校”。好在历界毕业生留在宁波发展的居多，不像效实那样，在外地和海外比例高。随着近几年“国考”盛行，宁中校友当上宁波市区公务员的数量众多，正所谓“朝中有人好提拔”，

20高考数学平面向量的解题技巧

第二讲平面向量的解题技巧【命题趋向】由2007年高考题分析可知： 1．这部分内容高考中所占分数一般在10分左右． 2．题目类型为一个选择或填空题，一个与其他知识综合的解答题． 3．考查内容以向量的概念、运算、数量积和模的运算为主．【考点透视】 “平面向量”是高中新课程新增加的内容之一，高考每年都考，题型主要有选择题、填空题，也可以与其他知识相结合在解答题中出现，试题多以低、中档题为主．透析高考试题，知命题热点为： 1．向量的概念，几何表示，向量的加法、减法，实数与向量的积． 2．平面向量的坐标运算，平面向量的数量积及其几何意义． 3．两非零向量平行、垂直的充要条件． 4．图形平移、线段的定比分点坐标公式． 5．由于向量具有“数”与“形”双重身份，加之向量的工具性作用，向量经常与数列、三角、解析几何、立体几何等知识相结合，综合解决三角函数的化简、求值及三角形中的有关问题，处理有关长度、夹角、垂直与平行等问题以及圆锥曲线中的典型问题等． 6．利用化归思想处理共线、平行、垂直问题向向量的坐标运算方面转化，向量模的运算转化为向量的运算等；利用数形结合思想将几何问题代数化，通过代数运算解决几何问题．【例题解析】 1. 向量的概念，向量的基本运算 (1)理解向量的概念，掌握向量的几何意义，了解共线向量的概念. (2)掌握向量的加法和减法. (3)掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件. (4)了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算.

(5)掌握平面向量的数量积及其几何意义,了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题,掌握向量垂直的条件. (6)掌握平面两点间的距离公式. 例1（2007年北京卷理）已知O 是ABC △所在平面内一点，D 为BC 边中点，且 2OA OB OC ++=0u u u r u u u r u u u r ，那么（）Ａ．AO OD =u u u r u u u r Ｂ．2AO OD =u u u r u u u r Ｃ．3AO OD =u u u r u u u r Ｄ．2AO OD =u u u r u u u r 命题意图:本题考查能够结合图形进行向量计算的能力．解： 22()(,22.OA OB OC OA DB OD DC OD DB DC OA OD AO OD ∴∴++=++++=-+==)=0,0,u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 故选A ．例2．（2006年安徽卷）在ABCD Y 中，,,3AB a AD b AN NC ===u u u r r u u u r r u u u r u u u r ，M 为BC 的中点，则MN =u u u u r ______.（用a b r r 、表示）命题意图: 本题主要考查向量的加法和减法,以及实数与向量的积. 解：343A =3()AN NC AN C a b ==+u u u r u u u r u u u r u u u r r r 由得，12 AM a b =+u u u u r r r ，所以,3111()()4 2 4 4 MN a b a b a b =+-+=-+u u u u r r r r r r r . 例3．（2006年广东卷）如图1所示，D 是△ABC 的边AB 上的中点，则向量 =CD ( ) （A ）BA BC 2 1+- （B ） BA BC 2 1-- （C ） BA BC 2 1- （D ）BA BC 2 1+ 命题意图: 本题主要考查向量的加法和减法运算能力. 解：BA BC BD CB CD 2 1+-=+=，故选A. 例4． ( 2006年重庆卷)与向量a r =71,,22b ? ?= ???r ?? ? ??27,21的夹解相等，且模为1的向量是 ( ) (A) ?? ?- ??53,5 4 (B) ?? ?- ??53,5 4或?? ? ??-53,54 （C ）?? ?- ??31,3 22 （D ）?? ?- ??31,3 22或?? ? ? ?- 31,3 22 命题意图: 本题主要考查平面向量的坐标运算和用平面向量处理有关角度的问题. 解：设所求平面向量为,c r 由433,,, 1. 555c c ???? =-= ? ?????r 4或-时5 另一方面,当222274134312525,,cos ,. 55271432255a c c a c a c ?? ?+?- ?????? =-=== ????????????+++- ? ? ? ?????????r r r r r r r 时