安徽师范大学附属中学2020-2021学年高一第一学期期末考试数学试题及答案
2020-2021学年安徽师大附中高一（上）期末数学试卷
一、选择题（共10小题）.
1．设P和Q是两个集合，定义集合P﹣Q＝{x|x∈P，且x?Q}，如果P＝{x|1＜2x＜4}，Q＝{y|y＝2+sin x，x∈R}，那么P﹣Q＝（）
A．{x|0＜x≤1}B．{x|0≤x＜2}C．{x|1≤x＜2}D．{x|0＜x＜1} 2．已知x1＝，x2＝，＝log3x3，则（）
A．x1＜x3＜x2B．x2＜x1＜x3C．x1＜x2＜x3D．x3＜x1＜x2
3．已知角α的始边与x轴的正半轴重合，顶点在坐标原点，角α终边上的一点P到原点的距离为，若α＝，则点P的坐标为（）
A．（1，）B．（，1）C．（，）D．（1，1）
4．若sin x＜0，且sin（cos x）＞0，则角x是（）
A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角5．已知函数f（x）＝，则满足f（2x+1）＜f（3x﹣1）的实数x的取值范围是（）
A．（，+∞）B．（2，+∞）C．（，2）D．（1，2）
6．函数f（x）＝在[﹣π，π]的图象大致为（）
A．B．
C．D．
7．已知x＞0，y＞0，lg2x+lg8y＝lg2，则的最小值是（）
A．2B．2C．4D．2
8．已知函数，若实数m∈（0，1），则函数g（x）＝f（x）﹣m 的零点个数为（）
A．0B．1C．2D．3
9．已知函数f（x）＝，则f（x）的最大值为（）
A．﹣2B．﹣1C．0D．1
10．已知函数f（x）＝x+log3（9x+1），则使得f（x2﹣x+1）﹣1＜log310成立的x的取值范围是（）
A．（0，）B．（﹣∞，0）∪（1，+∞）
C．（0，1）D．（﹣∞，1）
二、填空题（共5小题）.
11．（4分）命题“?x0∈R，log2x0+2＜0”的否定是．
12．（4分）计算（lg2）2+lg2?lg50+lg25＝．
13．（4分）如图，直角△POB中，∠PBO＝90°，以O为圆心、OB为半径作圆弧交OP 于A点．若圆弧等分△POB的面积，且∠AOB＝α弧度，则＝．
14．（4分）设函数f（x）＝x2+ax+b（a，b∈R），若关于x的不等式0≤f（x）≤﹣x+6的解集为[2，3]∪{6}，则b﹣a＝．
15．（4分）用M I表示函数y＝sin x在闭区间I上的最大值．若正数a满足M[0，a]≥M[a，2a]，则a的最大值为．
三、解答题：本大题共6小题，共50分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．解答写在答题卡上的指定区域内．
16．（8分）记函数的定义域为集合A，函数g（x）＝lg[（x﹣a+1）（x﹣a ﹣1）]的定义域为集合B．
（Ⅰ）求集合A；
（Ⅱ）若A∩B＝A，求实数a的取值范围．
17．（8分）已知sin（）＝，且0，求sin（）﹣cos（+x）的值．
18．（8分）已知函数f（x）＝log a（3﹣ax）．
（1）当x∈[0，2]时，函数f（x）恒有意义，求实数a的取值范围；
（2）是否存在这样的实数a，使得函数f（x）在区间[1，2]上为减函数，并且最大值为1？
如果存在，试求出a的值；如果不存在，请说明理由．
19．（8分）我国所需的高端芯片很大程度依赖于国外进口，“缺芯之痛”关乎产业安全、国家经济安全．如今，我国科技企业正在芯片自主研发之路中不断崛起．根据市场调查某手机品牌公司生产某款手机的年固定成本为40万美元，每生产1万部还需另投入16万美元．设该公司一年内共生产该款手机x万部并全部销售完，每万部的销售收入为R
（x）万美元，且R（x）＝．当该公司一年内共生产该款手机
2万部并全部销售完时，年利润为704万美元．
（1）写出年利润W（万美元）关于年产量x（万部）的函数解析式；
（2）当年产量为多少万部时，公司在该款手机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润．
20．（8分）已知函数f（x）＝lg，f（1）＝0，当x＞0时，恒有f（x）﹣f（）＝lgx．（1）求f（x）的表达式及定义域；
（2）若方程f（x）＝lgt有解，求实数t的取值范围；
（3）若方程f（x）＝lg（8x+m）的解集为?，求实数m的取值范围．
21．（10分）已知函数f（x）＝2sin（x+）?cos x﹣1．
（1）当x∈[﹣，]时，f2（x）﹣mf（x）﹣m≤0恒成立，求实数m的取值范围；
（2）是否同时存在实数a和正整数n，使得函数g（x）＝f（x）﹣a在[0，nπ]上恰有2021个零点？若存在，请求出所有符合条件的a和n的值；若不存在，请说明理由．
参考答案
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设P和Q是两个集合，定义集合P﹣Q＝{x|x∈P，且x?Q}，如果P＝{x|1＜2x＜4}，Q＝{y|y＝2+sin x，x∈R}，那么P﹣Q＝（）
A．{x|0＜x≤1}B．{x|0≤x＜2}C．{x|1≤x＜2}D．{x|0＜x＜1}解：P＝{x|0＜x＜2}，Q＝{y|1≤y≤3}；
∴P﹣Q＝{x|0＜x＜1}．
故选：D．
2．已知x1＝，x2＝，＝log3x3，则（）
A．x1＜x3＜x2B．x2＜x1＜x3C．x1＜x2＜x3D．x3＜x1＜x2
解：∵＜，
0＜＜20＝1，
又由，得＞1，
∴x1＜x2＜x3．
故选：C．
3．已知角α的始边与x轴的正半轴重合，顶点在坐标原点，角α终边上的一点P到原点的距离为，若α＝，则点P的坐标为（）
A．（1，）B．（，1）C．（，）D．（1，1）
解：设P（x，y），
由任意角的三角函数的定义得：sinα＝sin，则y＝1；
cosα＝cos，则x＝1．
∴点P的坐标为（1，1）．
故选：D．
4．若sin x＜0，且sin（cos x）＞0，则角x是（）
A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角解：∵﹣1≤cos x≤1，且sin（cos x）＞0，
∴0＜cos x≤1，
又sin x＜0，
∴角x为第四象限角，
故选：D．
5．已知函数f（x）＝，则满足f（2x+1）＜f（3x﹣1）的实数x的取值范围是（）
A．（，+∞）B．（2，+∞）C．（，2）D．（1，2）
解：函数f（x）＝，可得f（x）在x≥1上单调递增，
可得f（x）的最小值为1，
由f（2x+1）＜f（3x﹣1）可得3x﹣1＞1，且3x﹣1＞2x+1，
即有x＞且x＞2，则x＞2．
故选：B．
6．函数f（x）＝在[﹣π，π]的图象大致为（）
A．B．
C．D．
解：∵f（x）＝＝，
∴f（﹣x）＝＝＝﹣f（x），
∴f（x）为奇函数，排除选项A，
当x∈（0，）时，sin x＞0，cos x＞0，∴f（x）＞0，排除选项C，
当x＝π时，f（π）＝＞0，排除选项B，
故选：D．
7．已知x＞0，y＞0，lg2x+lg8y＝lg2，则的最小值是（）
A．2B．2C．4D．2
解：∵lg2x+lg8y＝lg2，∴lg（2x?8y）＝lg2，∴2x+3y＝2，∴x+3y＝1．
∵x＞0，y＞0，∴＝＝2+＝4，当且仅当x＝3y＝时取等号．
故选：C．
8．已知函数，若实数m∈（0，1），则函数g（x）＝f（x）﹣m 的零点个数为（）
A．0B．1C．2D．3
解：画出函数f（x）＝的图象，如图所示；
由函数g（x）＝f（x）﹣m＝0，得出m＝f（x）；
又m∈（0，1），则y＝m与y＝f（x）由3个交点，
所以函数g（x）有3个零点．
故选：D．
9．已知函数f（x）＝，则f（x）的最大值为（）
A．﹣2B．﹣1C．0D．1
解：f（x）＝＝sin x+2+﹣4，
令t＝sin x+2，t∈[1，3]，则y＝t+﹣4，
由对勾函数的性质可知y＝t+﹣4在[1，2]上单调递减，在（2，3]上单调递增，
当t＝1时，y＝1，t＝3时，y＝，
所以函数f（x）的最大值为1．
故选：D．
10．已知函数f（x）＝x+log3（9x+1），则使得f（x2﹣x+1）﹣1＜log310成立的x的取值范围是（）
A．（0，）B．（﹣∞，0）∪（1，+∞）
C．（0，1）D．（﹣∞，1）
解：因为f（x）＝x+log3（9x+1）在R上单调递增，
由f（x2﹣x+1）﹣1＜log310成可得，f（x2﹣x+1）＜1+log310＝f（1），
所以x2﹣x+1＜1，
解得，0＜x＜1．
故选：C．
二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．11．（4分）命题“?x0∈R，log2x0+2＜0”的否定是?x∈R，log2x+2≥0．解：命题“?x0∈R，log2x0+2＜0”的否定是“?x∈R，log2x+2≥0”．
故答案为：?x∈R，log2x+2≥0．
12．（4分）计算（lg2）2+lg2?lg50+lg25＝2．
解：原式＝2 lg5+lg2?（1+lg5）+（lg2）2＝2 lg5+lg2（1+lg5+lg2）
＝2 lg5+2 lg2＝2；
故答案为2．
13．（4分）如图，直角△POB中，∠PBO＝90°，以O为圆心、OB为半径作圆弧交OP 于A点．若圆弧等分△POB的面积，且∠AOB＝α弧度，则＝．
解：设扇形的半径为r，
则扇形的面积为αr2，直角三角形POB中，PB＝r tanα，
△POB的面积为r×r tanα，由题意得r×r tanα＝2×αr2，
∴tanα＝2α，
∴＝．
故答案为：．
14．（4分）设函数f（x）＝x2+ax+b（a，b∈R），若关于x的不等式0≤f（x）≤﹣x+6的解集为[2，3]∪{6}，则b﹣a＝27．
解：函数f（x）＝x2+ax+b（a，b∈R），
所以不等式0≤f（x）≤﹣x+6可化为，
即，
又该不等式组的解集为[2，3]∪{6}，
所以3、6是x2+ax+b＝0的根，且2、6是方程x2+（a+1）x+b﹣6＝0的根，
所以b＝3×6＝18，a＝﹣（3+6）＝﹣9，且b﹣6＝2×6＝12，即b＝18，a+1＝﹣（2+6）＝﹣8，即a＝﹣9；
所以b﹣a＝18﹣（﹣9）＝27．
故答案为：27．
15．（4分）用M I表示函数y＝sin x在闭区间I上的最大值．若正数a满足M[0，a]≥M[a，2a]，则a的最大值为．．
解：当a∈[0，]时，2a∈[0，π]，M[0，a]＝sin a，M[a，2a]＝1，
由M[0，a]≥M[a，2a]，得sin a≥，此时不成立；
当a∈[，π]时，2a∈[π，2π]，M[0，a]＝1，M[a，2a]＝sin a，
由M[0，a]≥M[a，2a]，得1≥sin a，即sin a≤，所以≤a≤π；
当a∈[π，]时，2a∈[2π，3π]，M[0，a]＝1，M[a，2a]＝sin2a或1，
由M[0，a]≥M[a，2a]，得1≥sin2a，即sin2a≤且2a≤2π+，解得π≤a≤；
当a∈[，+∞）时，2a∈[3π，+∞），M[0，a]＝1，M[a，2a]＝1，不合题意．
综上，a得最大值为．
故答案为：．
三、解答题：本大题共6小题，共50分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．解答写在答题卡上的指定区域内．
16．（8分）记函数的定义域为集合A，函数g（x）＝lg[（x﹣a+1）（x﹣a ﹣1）]的定义域为集合B．
（Ⅰ）求集合A；
（Ⅱ）若A∩B＝A，求实数a的取值范围．
解：（Ⅰ）由已知得：A＝{x|1﹣2x≥0}＝{x|2x≤1}＝{x|x≤0}（4分）
（Ⅱ）由B＝{x|（x﹣a+1）（x﹣a﹣1）＞0}＝{x|[x﹣（a﹣1）][x﹣（a+1）]＞0}（6分）∵a﹣1＜a+1∴B＝{x|x＜a﹣1或x＞a+1（8分）
∵A?B，∴a﹣1＞0，∴a＞1（12分）
17．（8分）已知sin（）＝，且0，求sin（）﹣cos（+x）的值．
解：∵0＜x＜，∴﹣＜﹣x＜，
∵已知sin（）＝，∴cos（）＝＝．
且0，求sin（）﹣cos（+x）的
∴sin（）﹣cos（+x）＝cos（﹣x）+cos（﹣x）＝2cos（﹣x）＝．18．（8分）已知函数f（x）＝log a（3﹣ax）．
（1）当x∈[0，2]时，函数f（x）恒有意义，求实数a的取值范围；
（2）是否存在这样的实数a，使得函数f（x）在区间[1，2]上为减函数，并且最大值为1？
如果存在，试求出a的值；如果不存在，请说明理由．
解：（1）由题设，3﹣ax＞0对一切x∈[0，2]恒成立，a＞0且a≠1，…（2分）
∵a＞0，∴g（x）＝3﹣ax在[0，2]上为减函数，…（4分）
从而g（2）＝3﹣2a＞0，
∴，
∴a的取值范围为．…（6分）
（2）假设存在这样的实数a，由题设知f（1）＝1，
即log a（3﹣a）＝1，∴，
此时，…（10分）
当x＝2时，f（x）没有意义，故这样的实数不存在．…（12分）
19．（8分）我国所需的高端芯片很大程度依赖于国外进口，“缺芯之痛”关乎产业安全、国家经济安全．如今，我国科技企业正在芯片自主研发之路中不断崛起．根据市场调查某手机品牌公司生产某款手机的年固定成本为40万美元，每生产1万部还需另投入16万美元．设该公司一年内共生产该款手机x万部并全部销售完，每万部的销售收入为R
（x）万美元，且R（x）＝．当该公司一年内共生产该款手机
2万部并全部销售完时，年利润为704万美元．
（1）写出年利润W（万美元）关于年产量x（万部）的函数解析式；
（2）当年产量为多少万部时，公司在该款手机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润．
解：（1）由题意可算出k＝6，则
当0＜x≤40时，W＝xR（x）﹣（16x+40）＝﹣6x2+384x﹣40，
当x＞40时，W＝xR（x）﹣（16x+40）＝﹣﹣16x+7360，
∴W＝．
（2）①当0＜x≤40时，W＝﹣6x2+384x﹣40＝﹣6（x﹣32）2+6104，
∴当x＝32时，W max＝W（32）＝6104，
②当x＞40时，W＝﹣﹣16x+7360＝﹣（+16x）
+7360+7360＝5760，当且仅当即x＝50时，等号成立，即当x＝50时，W max＝5760，
综上所述，当x＝32时，W取得最大值为6104万美元，
即当年产量为32万部时，公司在该款手机的生产中所获得的利润最大，最大利润为6104万美元．
20．（8分）已知函数f（x）＝lg，f（1）＝0，当x＞0时，恒有f（x）﹣f（）＝lgx．（1）求f（x）的表达式及定义域；
（2）若方程f（x）＝lgt有解，求实数t的取值范围；
（3）若方程f（x）＝lg（8x+m）的解集为?，求实数m的取值范围．
解：（1）∵当x＞0时，f（x）﹣f（）＝lgx．
lg﹣lg＝lgx，
即lg﹣lg＝lgx，
即lg（?）＝lgx，
?＝x．
整理得（a﹣b）x2﹣（a﹣b）x＝0恒成立，
∴a＝b，
又f（1）＝0，
即a+b＝2，从而a＝b＝1．
∴f（x）＝lg，
∵＞0，
∴x＜﹣1，或x＞0，
∴f（x）的定义域为（﹣∞，﹣1）∪（0，+∞）
（2）方程f（x）＝lgt有解，
即lg＝lgt，
∴t＝，
∴x（2﹣t）＝t，
∴x＝，
∴＜﹣1，或＞0，
解得t＞2，或0＜t＜2，
∴实数t的取值范围（0，2）∪（2，+∞），
（3）方程f（x）＝lg（8x+m）的解集为?，
∴lg＝lg（8x+m），
∴＝8x+m，
∴8x2+（6+m）x+m＝0，
方程的解集为?，故有两种情况：
①方程8x2+（6+m）x+m＝0无解，即△＜0，得2＜m＜18，
②方程8x2+（6+m）x+m＝0有解，两根均在[﹣1，0]内，g（x）＝8x2+（6+m）x+m
则解得0≤m≤2
综合①②得实数m的取值范围是0≤m＜18．
21．（10分）已知函数f（x）＝2sin（x+）?cos x﹣1．
（1）当x∈[﹣，]时，f2（x）﹣mf（x）﹣m≤0恒成立，求实数m的取值范围；
（2）是否同时存在实数a和正整数n，使得函数g（x）＝f（x）﹣a在[0，nπ]上恰有2021个零点？若存在，请求出所有符合条件的a和n的值；若不存在，请说明理由．
解：（1）f（x）＝2sin（x+）?cos x﹣1＝2（sin x+cos x）cos x﹣1＝2sin x cos x+2cos2x﹣1＝sin2x+cos2x＝sin（2x+）．
当x∈[﹣，]时，2x+∈[0，]，f（x）∈[0，]，
要使f2（x）﹣mf（x）﹣m≤0恒成立，令t＝f（x），则t∈[0，]，
h（t）＝t2﹣mt﹣m≤0对任意t∈[0，]恒成立，
故，解得m≥2﹣2，
∴实数m的取值范围为[2﹣2，+∞）．
（2）假设同时存在实数a和正整数n，使得函数g（x）＝f（x）﹣a在[0，nπ]上恰有2021个零点，
即函数y＝f（x）与直线y＝a在[0，nπ]上恰有2021个交点，
当x∈[0，π]时，2x+∈[，]，
①当a＞或a＜﹣时，函数y＝f（x）与直线y＝a在[0，nπ]上无交点；
②当a＝±时，函数y＝f（x）与直线y＝a在[0，π]上仅有一个交点，要使函数y＝f （x）与直线y＝a在[0，nπ]上恰有20121个交点，则n＝2021；
③当﹣＜a＜1或1＜a＜时，函数y＝f（x）与直线y＝a在[0，π]上有两个交点，此时函数y＝f（x）与直线y＝a在[0，nπ]上有偶数个交点，
不可能有2021个交点，不符合；
④当a＝1时，函数y＝f（x）与直线y＝a在[0，π]上有三个交点，要使函数y＝f（x）与直线y＝a在[0，nπ]上恰有2021个交点，则n＝1010；
综上所述，存在实数a和正整数n满足条件：
当a＝时，n＝2021，当a＝1时，n＝1010．