专题05 动点与特殊三角形存在性问题大视野(解析版)

专题05 动点与特殊三角形存在性问题大视野

【例题精讲】

题型一、等腰三角形存在性问题

例1. 【2019·黄石期中】如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠ACB=30°，AB=2cm，E、F分别是AB、AC 的中点，动点P从点E出发，沿EF方向匀速运动，速度为1cm/s，同时动点Q从点B出发，沿BF方向匀速运动，速度为2cm/s，连接PQ，设运动时间为ts（0＜t＜1），则当t=______时，△PQF为等腰三角形．

【答案】2.

【解析】

解：∵∠ABC=90°，∠ACB=30°，AB=2，

∴AC=2AB=4，BC=√42?22=2√3，

∵E、F分别是AB、AC的中点，

∴EF=1

2

BC=√3，BF=

1

2

AC=2，EF∥BC，

由题意得：EP=t，BQ=2t，∴PF=√3-t，FQ=2-2t，

①当PF =FQ 时，

则√3-t =2-2t ， 解得：t =2-√3；

②当PQ =FQ 时，过Q 作QD ⊥EF 于D ，

则PF =2DF ， ∵BF =CF ，

∴∠FBC =∠C =30°， 由上知，EF ∥BC ， ∴∠BFP =∠C =30°，

则DF DQ ，PF ，

-t 2-2t ）

解得：t =

611

； ③当PF =PQ 时，∠PFQ =∠PQF =30°， ∴∠FPQ =120°，

而在P 、Q 运动过程中，∠FPQ 最大为90°，所以此种情况不成立；

故答案为：2-√3或

611

+． 例2. 【2019·广州市番禺区期末】已知：如图，在Rt ∥ABC 中，∥C =90°，AB =5cm ，AC =3cm ，动点P 从点B 出发沿射线BC 以1cm /s 的速度移动，设运动的时间为t 秒．

（1）求BC边的长；

（2）当∥ABP为直角三角形时，求t的值；

（3）当∥ABP为等腰三角形时，求t的值．

【答案】见解析.

【解析】解：（1）在Rt∥ABC中，BC2=AB2-AC2=52-32=16，∥BC=4（cm）；

（2）由题意知BP=t cm，

∥当∥APB为直角时，点P与点C重合，BP=BC=4cm，

即t=4；

∥当∥BAP为直角时，BP=tcm，CP=（t-4）cm，AC=3cm，在Rt∥ACP中，

AP2=32+（t-4）2，

在Rt∥BAP中，AB2+AP2=BP2，

即：52+[32+（t-4）2]=t2，

解得：t=25

4

，

当∥ABP为直角三角形时，t=4或t=25

4

；

（3）如图所示，

∥当AB=BP时，

t=5；

∥当AB=AP时，BP=2BC=8cm，

t=8；

∥当BP=AP时，AP=BP=tcm，CP=（4-t）cm，AC=3cm，在Rt∥ACP中，AP2=AC2+CP2，

所以t2=32+（4-t）2，

解得：t=25

8

，

综上所述：当∥ABP为等腰三角形时，t=5或t=8或t=25

8

．

例3. 【2019·乐亭县期末】如图，矩形OABC的顶点A，C分别在坐标轴上，B（8，7），D（5，0），点P 是边AB或边BC上的一点，连接OP，DP，当∥ODP为等腰三角形时，点P的坐标为______．

【答案】（8，4）或（5

2

，7）.

【解析】

解：∥四边形OABC是矩形，B（8，7），

∥OA=BC=8，OC=AB=7，

∥D（5，0），

∥OD=5，

∥点P是边AB或边BC上的一点，

∥当点P在AB边时，OD=DP=5，

∥AD=3，

由勾股定理得：P A=√52?32=4，

∥P（8，4）．

当点P在边BC上时，只有PO=PD，此时P（5

2

，7）．

故答案为：（8，4）或（5

2

，7）．

题型二、直角三角形存在性问题

例1. 【2019·厦门六中月考】如图，在RtΔABC中，∥B=90°，AC=60，∥A=60°．点D从点C出发沿CA方向以每秒4个单位长的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒2个单位长的速度向点B匀速运动，设点D、E运动的时间是t秒(0

（1）求证：AE=DF；

（2）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，说明理由．

（3）当t为何值时，ΔDEF为直角三角形？请说明理由．

【答案】见解析.

【解析】解：（1）证明：在ΔDFC中，∥DFC=90°，∥A=60°，DC=4t，

∥DF=2t

又∥AE=2t

∥AE=DF；

（2）能；

理由如下：

∥AB∥BC，DF∥BC，

∥AE∥DF．

又AE=DF，

∥ 四边形AEFD为平行四边形．

∥∥A=60°，AC=60，

∥AB=30，BC

∥AD=AC-DC=60-4t，

∥平行四边形AEFD为菱形，则AE=AD

∥2t=60-4t，

解得：t=10

即当t=10时，四边形AEFD为菱形；

（3）当t=7.5或12时，ΔDEF为直角三角形；

理由如下：

∥∥EDF=90°时，四边形EBFD为矩形．

在RtΔAED中，∥CDF=∥A=60°，

∥AD=2AE．即60-4t=4t，

∥t=7.5

∥∥DEF=90°时，由（2）知EF∥AD，

∥∥ADE=∥DEF=90°．

∥∥C=90°-∥A=30°

可得：60-4t=t

解得：t=12

∥∥EFD=90°时，

∥DF∥BC，

∥点E运动到点B处，用了AB÷2=15秒，点D就和点A重合，点F也就和点B重合，点D，E，F不能构成三角形．此种情况不存在；

综上所述，当t=7.5或12时，∥DEF为直角三角形．

题型三、等腰直角三角形存在性问题

例1. 【2019·株洲市期末】（1）操作思考：如图1，在平面直角坐标系中，等腰Rt∥ACB的直角顶点C在原点，将其绕着点O旋转，若顶点A恰好落在点（1，2）处．则∥OA的长为______；∥点B的坐标为______．（直接写结果）

（2）感悟应用：如图2，在平面直角坐标系中，将等腰Rt∥ACB如图放置，直角顶点C（-1，0），点A（0，4），试求直线AB的函数表达式．

（3）拓展研究：如图3，在直角坐标系中，点B（4，3），过点B作BA∥y轴，垂足为点A，作BC∥x轴，垂足为点C，P是线段BC上的一个动点，点Q是直线y=2x-6上一动点．问是否存在以点P为直角顶点的等腰Rt∥APQ，若存在，请求出此时P的坐标，若不存在，请说明理由．

【答案】（1，B(-2，1)；（2）（3）见解析.

【解析】解：

（1）过点B作BE∥x轴于E，过点A作AF∥x轴于F，

∥A（1，2），

∥OF=1，AF=2，OA=√12+22=√5，

∥∥AOB=90°，AO=OB，

∥∥BEO∥∥OF A，

∥BE=OF=1，OE=AF=2，

∥B（-2，1）．

故答案为√5，（-2，1）；

（2）过点B作BH∥x轴于H，

∥∥ACB=90°，AC=CB，

∥∥BHC∥∥COA，

∥HC=OA=4，BH=CO=1，OH=HC+CO=4+1=5，

∥B（-5，1）．

设直线AB的表达式为：y=kx+b，

将A（0，4）和B（-5，1）代入得，

b=4, -5k+b=1，解得：k=0.6，b=4，

即直线AB的函数表达式为：y=0.6x+4．

（3）设Q（t，2t-6），分两种情况：

∥当点Q在x轴下方时，Q1M∥x轴，与BP的延长线交于点Q1．

∥∥AP1Q1=90°，

∥∥AP1B+∥Q1P1M=90°，

∥∥AP1B+∥BAP1=90°，

∥∥BAP1=Q1P1M，

∥∥AP1B∥∥P1Q1M，

∥BP1=Q1M，P1M=AB=4，

∥B（4，3），Q（t，2t-6），

∥MQ1=4-t，BP1=BM-P1M=-2t+5，

即4-t=-2t+5，

解得：t=1

∥BP1=-2t+5=3，

此时点P与点C重合，

∥P1（4，0）；

∥当点Q在x轴上方时，Q2N∥x轴，与PB的延长线交于点Q2．同理可证∥ABP2∥∥P2NQ2．

同理求得P2（4，4

3）．

综上，P的坐标为：P1（4，0），P2（4，4

3

）．

【刻意练习】

1. 【2019·大连市期末】如图，直线x=t与直线y=x和直线y=

1

2

-x+2分别交于点D、E（E在D的上方）．

（1）直线y=x和直线y=

1

2

-x+2交于点Q，点Q的坐标为______；

（2）求线段DE的长（用含t的代数式表示）；

（3）点P是y轴上一动点，且∥PDE为等腰直角三角形，求t的值及点P的坐标．

【答案】见解析.

【解析】

解：（1）联立y=x和y=

1

2

-x+2，

得：

4

3

4

3

x

y

?

=

??

?

?=

??

，

∥Q（4

3

，

4

3

），

故答案为：（4

3

，

4

3

）；

（2）在y=x中，当x=t时，y=t；

在y=

1

2

-x+2中，当x=t时，y=

1

2

-t+2，

∥E（t，-1

2

t+2），D（t，t）．∥E在D的上方，

∥DE=

1

2

-t+2-t=

3

2

-t+2．

（3）当t>0时，∥当PE=DE时，

3

2

-t+2=t，

解得：t=4

5

，

1

2

-t+2=

8

5

，

∥P点坐标为（0，8

5）．

∥当PD=DE时，

3

2

-t+2=t，

解得：t=4

5

，

∥P点坐标为（0，4

5）．

∥当PE=PD时，即DE为斜边，

∥

3

2

-t+2=2t，

解得：t=4

7

，

∥P点坐标为（0，8

7）．

当t＜0时，∥PE=DE和PD=DE时，得

3

2

-t+2=-t，

解得t=4＞0（不符合题意，舍去）；

∥PE=PD时，即DE为斜边，

3

2

-t+2=-2t，

解得：t=-4，

∥P点坐标为（0，0）．

综上所述：当t=4

5

时，∥PDE为等腰直角三角形，此时P点坐标为（0，

8

5

）或（0，

4

5

）；

当t=4

7

时，∥PDE为等腰直角三角形，此时P点坐标为（0，

8

7

）；

当t=-4时，∥PDE为等腰直角三角形，此时P点坐标为（0，0）．

2. 【2019·兴城市期末】如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b的图象经过点A（-2，6），且与x轴交于点B，与正比例函数y=3x的图象相交于点C，点C的横坐标是1．

（1）求此一次函数的解析式；

（2）请直接写出不等式（k-3）x+b＞0的解集；

（3）设一次函数y=kx+b的图象与y轴交于点M，点N在坐标轴上，当∥CMN是直角三角形时，请直接写出所有符合条件的点N的坐标．

【答案】见解析. 【解析】

解：（1）当x =1时，y =3x =3， ∥点C （1，3），

将A （-2，6），C （1，3）代入y =kx +b ，得：

26

3k b k b -+=??

+=?

， 解得：14

k b =-??=?，

∥直线AC 的解析式为：y =-x +4． （2）（k -3）x +b ＞0，即kx +b >3x ，

由图象可知，当x <1时，y =kx +b 的图象在y =3x 图象的上方， ∥（k -3）x +b ＞0的解集为：x <1. （3）∥直线AB 的解析式为y =-x +4， ∥点M 的坐标为（0，4）， ∥OB =OM ， ∥∥OMB =45°．

∥当∥CMN =90°时， ∥∥OMN =45°，∥MON =90°， ∥∥MNO =45°， ∥OM =ON ，

∥点N 1的坐标为（-4，0）； ∥当∥MCN =90°时， ∥∥CMN =45°，∥MCN =90°， ∥∥MNC =45°，

∥CN =CM ，

∥MN CM =2， ∥点N 2的坐标为（0，2）． 同理：点N 3的坐标为（-2，0）； ∥当∥CNM =90°时，CM ∥x 轴， ∥点N 4的坐标为（0，3）．

综上所述：当∥CMN 是直角三角形时，点N 的坐标为（-4，0），（0，2），（-2，0），（0，3）．

3. 【2019·泉州市晋江区期中】如图，在平面直角坐标系中，A （a ，0），B （0，b ），且a 、b 满足（a ﹣2）

2+

0．

（1）求直线AB 的解析式；

（2）若点M 为直线y ＝mx 上一点，且∥ABM 是等腰直角三角形，求m 值；

（3）过A 点的直线y ＝kx ﹣2k 交y 轴于负半轴于P ，N 点的横坐标为﹣1，过N 点的直线y ＝2k x ﹣2

k

交AP

于点M ，试证明

PM PN

AM

-的值为定值．

【答案】见解析．

【解析】解：（1）∥（a﹣2）20，∥a＝2，b＝4，

∥A（2，0），B（0，4），

设直线AB的解析式是y＝kx+b，

得：

20

4

k b

b

+=

?

?

=

?

，

解得：k＝﹣2，b＝4，

∥直线AB的函数解析式为：y＝﹣2x+4；

（2）当m＞0时，分三种情况：

∥如图，当BM∥BA，BM＝BA时，过点M作MN∥y轴于N，

∥∥MBA＝∥MNB＝∥BOA＝90°，

∥∥NBM+∥NMB＝90°，∥ABO+∥NBM＝90°，

∥∥ABO＝∥NMB，

∥∥BMN∥∥ABO，

∥MN＝OB＝4，BN＝OA＝2，

∥ON＝2+4＝6，

∥M的坐标为（4，6），

将（4，6）代入y＝mx得：m＝3

2

；

∥如图，

AM∥BA，AM＝BA，

过点M作MN∥x轴于N，∥BOA∥∥ANM，

同理，得M的坐标为（6，2），m＝1

3

；

∥如图，

AM∥BM，AM＝BM，

过M作MN∥X轴于N，MH∥Y轴于H，则∥BHM∥∥AMN，∥MN＝MH，

设M（x，x）代入y＝mx得：x＝mx，

∥m＝1，

m的值是3

2

或

1

3

或1；

当m＜0时，同理可得：m＝

1

4

-或

3

2

-或﹣2；

（3）解：设NM与x轴的交点为H，过M作MG∥x轴于G，过H作HD∥x轴，HD交MP于D点，连接ND，

由题意得：H（1，0），M（3，k），A（2，0），∥A为HG的中点，

∥∥AMG∥∥ADH，

由题意得：N点坐标为（-1，-k），P（0，-2k），∥ND∥x轴，N与D关于y轴对称，

∥∥AMG∥∥ADH∥∥DPC∥∥NPC，

∥PN＝PD＝AD＝AM，

∥PM－PN=PM－PD=DM=2AM，

即PM PN

AM

=2.

4. 【2019·厦门大学附中期末】如图（1），Rt∥AOB中，∥A＝90°，∥AOB＝60°，OB＝，∥AOB的平分线OC交AB于C，过O点作与OB垂直的直线ON．动点P从点B出发沿折线BC﹣CO以每秒1个单位长度的速度向终点O运动，运动时间为t秒，同时动点Q从点C出发沿折线CO﹣ON以相同的速度运动，当点P到达点O时P、Q同时停止运动．

（1）求OC、BC的长；

（2）当t＝1时，求∥CPQ的面积；

（3）当P在OC上，Q在ON上运动时，如图（2），设PQ与OA交于点M，当t为何值时，∥OPM为等腰三角形？求出所有满足条件的t值．

【答案】见解析．

【解析】解：（1）∥∥A ＝90°，∥AOB ＝60°，OB ＝ ∥∥B ＝30°，

∥OA ＝1

2

OB ，

由勾股定理得：AB ＝3， ∥OC 平分∥AOB ，

∥∥AOC ＝∥BOC ＝∥B ＝30°， ∥OC ＝BC ，

在∥AOC 中，由勾股定理得：AO 2+AC 2＝CO 2，

∥2+（3﹣OC ）2＝OC 2， 解得：OC ＝2， 即BC =2， ∥OC ＝2，BC ＝2．

（2）如图，过点C 作CH ∥PQ 于H ，

当t ＝1时，CQ ＝OQ ＝PC ＝PB ＝1， ∥PQ ∥OB ，

∥∥CPQ ＝∥B ＝30°， ∥CQ ＝CP ．CH ∥QP ，

∥QH ＝PH ，

∥CH ＝12PC ＝1

2

，AH ＝PH ，

∥QP

∥S ∥PQC ＝12?PQ ?CH ＝12×1

2

＝4．

（3）∥ON ∥OB ， ∥∥NOB ＝90°， ∥∥B ＝30°，∥A ＝90°， ∥∥AOB ＝60°， ∥OC 平分∥AOB ， ∥∥AOC ＝∥BOC ＝30°， ∥∥NOC ＝90°﹣30°＝60°， ∥OM ＝PM 时， ∥MOP ＝∥MPO ＝30°，

∥∥PQO ＝180°﹣∥QOP ﹣∥MPO ＝90°， ∥OP ＝2OQ ， 即2（t ﹣2）＝4﹣t ，

解得：t ＝8

3

，

∥PM ＝OP 时，

此时∥PMO ＝∥MOP ＝30°， ∥∥MPO ＝120°， ∥∥QOP ＝60°，不存在； ∥OM ＝OP 时，

过点M 作MH ∥ON 于M ，

由题意得：OP ＝OM =4﹣t ，

∥MH =1

2

（4-t ），OH （4-t ），

∥OHM =∥OPM =75°， ∥∥HQM =45°，

∥QH =HM =1

2

（4-t ），

∥OQ =QH +OH ，

即

1

2

（4-t ）（4-t ）=t -2，

解得：t ，

综合上述：当t 为83

或63+时，∥OPM 是等腰三角形．

5. 【2019·潮州市期末】如图，在∥ABC 中，∥A =120°，AB =AC =4，点P 、Q 同时从点B 出发，以相同的速度分别沿折线B →A →C ，射线BC 运动，连接PQ . 当点P 到达点C 时，点P 、Q 同时停止运动. 设BQ =x ，∥BPQ 和∥ABC 重叠部分的面积为S . （1）求BC 的长；

（2）求S 关于x 的函数关系式，并写出x 的取值范围； （3）请直接写出∥PCQ 为等腰三角形时，x 的值.

【答案】见解析. 【解析】解：

（1）过点A 作AD ∥BC 于D ，

∥∥A =120°，AB =AC =4， ∥∥B =∥C =30°，

∥AD =1

2

AB =2，BD

∥BC =2BD

（2）当0

在Rt ∥PBN 中，BP =BQ =x ，∥B =30°， ∥PN =0.5x ， S =S ∥BPQ

=1

2×BQ ×PN =12×x ×12x =1

4

x 2，

当4

∥AP =BQ -AB =X -4，PC =AC -AP =8-x ， 在Rt ∥PCN 中，∥C =30°， ∥PN =

12PC =4- 12

x ， S =S ∥BPQ

=1

2

×BQ ×PN =12×x （4- 12

x ） =14

x 2

+2x

当＜x ＜8时，点P 在线段AC 上，点Q 在线段BC 的延长线上，过点P 作PN ∥BC 于点N ，

S=1

2

×BC×PN

=1

2

×（4-

1

2

x）

=

.

综上所述，S=

(

)

(

()

2

2

1

04

4

1

24

4

8

x x

x x x

x

?

<≤

?

?

?

-+<≤

?

?

?+<

（3）∥当点P在AB上，点Q在BC上时，∥PQC不可能是等腰三角形；

∥当点P在AC上，点Q在BC上时，PQ=QC，此时x

；

∥当点P在AC上，点Q在BC的延长线时，PC=CQ，此时x

6. 【2019·南宁市期末】如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∥B=90°，AD=8cm，BC=10cm，AB=6cm，点Q从点A出发以1cm/s的速度向点D运动，点P从点B出发以2cm/s的速度向点C运动，P、Q两点同时出发，当点P到达点C时，两点同时停止运动．若设运动时间为t（s）.

（1）直接写出：QD=，PC=；（用含t的式子表示）

（2）当t为何值时，四边形PQDC为平行四边形？

（3）若点P与点C不重合，且DQ≠DP，当t为何值时，∥DPQ是等腰三角形？

【答案】（1）8-t；10-2t；（2）（3）见解析.

【解析】解：（2）∥四边形PQDC为平行四边形，

∥QD=PC，

即8-t=10-2t，

解得：t=2.

（3）∥∥DPQ是等腰三角形，且DQ≠DP，

∥DQ=PQ或DP=PQ，

∥DQ=PQ，