数理统计--参数估计、假设检验、方差分析(李志强) (3)汇总

教学单元案例： 参数估计与假设检验

北京化工大学 李志强

教学内容：统计量、抽样分布及其基本性质、点估计、区间估计、假设检验、方差分析 教学目的：统计概念及统计推断方法的引入和应用

（1）理解总体、样本和统计量等基本概念；了解常用的抽样分布；

（2）熟练掌握矩估计和极大似然估计等方法； （3）掌握求区间估计的基本方法； （4）掌握进行假设检验的基本方法； (5) 掌握进行方差分析的基本方法；

（6）了解求区间估计、假设检验和方差分析的MA TLAB 命令

。

教学难点：区间估计、假设检验、方差分析的性质和求法 教学时间：150分钟

教学对象：大一各专业皆可用

一、统计问题 引例

例1 已知小麦亩产服从正态分布，传统小麦品种平均亩产800斤，现有新品种产量未知，试种10块，每块一亩，产量为：

775,816,834,836,858,863,873,877,885,901

问：新产品亩产是否超过了800斤？

例2 设有一组来自正态总体),(2σμN 的样本0.497, 0.506, 0.518, 0.524, 0.488, 0.510, 0.510, 0.512. (i) 已知2

σ=0.012，求μ的95%置信区间； (ii) 未知2σ，求μ的95%置信区间； (iii)

求2

σ的95%置信区间。

例3现有某型号的电池三批, 分别为甲乙丙3个厂生产的, 为评比其质量, 各随机抽取5只电池进行寿命测试, 数据如下表示, 这里假设第i 种电池的寿命),(.~2σμi i N X .

(1) 试在检验水平下,检验电池的平均寿命有无显著差异? (2) 利用区间估计或假设检验比较哪个寿命最短.

二 统计的基本概念: 总体、个体和样本

（1）总体与样本

总体 在数理统计中,我们将研究对象的某项数量指标的值的全体称为总体,总体中的每个元素称为个体

比如，对电子元件我们主要关心的是其使用寿命.而该厂生产的所有电子元件的使用寿命取值的全体，就构成了研究对象的全体，即总体，显然它是一个随机变量，常用X 表示 为方便起见，今后我们把总体与随机变量X 等同起来看，即总体就是某随机变量X 可能取值的全体.它客观上存在一个分布，但我们对其分布一无所知，或部分未知，正因为如此，才有必要对总体进行研究.

简单随机样本

对总体进行研究，首先需要获取总体的有关信息. 一般采用两种方法：

一是全面调查.如人口普查，该方法常要消耗大量的人力、物力、财力.有时甚至是不可能的，如测试某厂生产的所有电子元件的使用寿命. 二是抽样调查. 抽样调查是按照一定的方法，从总体X 中抽取n 个个体.这是我们对总体掌握的信息.数理统计就是要利用这一信息，对总体进行分析、估计、推断.因此，要求抽取的这n 个个体应具有很好的代表性.

按机会均等的原则随机地从客观存在的总体中抽取一些个体进行观察或测试的过程称为随机抽样.从总体中抽出的部分个体,叫做总体的一个样本.

从总体中抽取样本时,不仅要求每一个个体被抽到的机会均等,同时还要求每次的抽取是独立的,即每次抽样的结果不影响其他各次的抽样结果,同时也不受其他各次抽样结果的影响.这种抽样方法称为简单随机抽样.由简单随机抽样得到的样本叫做简单随机样本.往后如不作特别说明,提到“样本”总是指简单随机样本.

从总体X 中抽取一个个体,就是对随机变量X 进行一次试验.抽取n 个个体就是对随机变量X 进行n 次试验,分别记为X1,X2,…,Xn.则样本就是n 维随机变量(X1,X2,…,Xn).在一次抽样以后, (X1,X2,…,Xn)就有了一组确定的值(x1,x2,…,xn),称为样本观测值.样本观测值(x1,x2,…,xn)可以看着一个随机试验的一个结果,它的一切可能结果的全体构成一个样本空间,称为子样空间.

（2）样本函数与统计量

设n x x x ,,,21 为总体的一个样本，称

??= （n x x x ,,,21 ）

为样本函数，其中?为一个连续函数。如果?中不包含任何未知参数，则称?（n x x x ,,,21 ）为一个统计量。

2、统计量

（1）常用统计量

样本均值

.11

∑==n

i i x n x

样本方差

∑=--=n

i i

x x n S 1

2

2.)(11 （与概率论中的方差定义不同）

样本标准差

.)(111

2∑=--=n

i i x x n S 样本k 阶原点矩

∑===n i k

i k k x n M 1

.,2,1,1

样本k 阶中心矩

∑==-='n

i k i k

k x x n M 1

.,3,2,)(1 （二阶中心矩∑=-=n i i X X n S 1

2

2

)(1*与概率论中的方差定义相同）

例6．2：用测温仪对一物体的温度测量5次，其结果为（℃）：1250，1265，1245，1260，1275，求统计计量X ，S 2

和S 的观察值.,,2s s x 和

（2）统计量的期望和方差

μ=)(X E ，n

X D 2

)(σ=

，

22)(σ=S E ，2

21)*(σn

n S E -=

, 其中∑=-=n i i X X n S 1

2

2

)(1*，为二阶中心矩。

)(~,,,21x F X X X n ，i.i.d ，独立同分布。无限总体抽样。

(3) 随机数生成

在Matlab 中各种随机数可以认为是独立同分布的，即简单随机样本。以下罗列在Matlab 中的实现方法。

)1,0U(~,,,21n X X X ，均匀分布样本

n=10;x=rand(1,n)

),U(~,,,21b a X X X n

n=10;a=-1;b=3;x=rand(1,n);x=(b-a)*x+a

)1,0N(~,,,21n X X X ，正态分布样本

n=10;x=randn(1,n)

),N(~,,,221b a X X X n

mu=80.2;sigma=7.6;m=1;n=10; x=normrnd(mu,sigma,m,n)

上面首先对总体均值赋值mu=80.2;再对标准差赋值sigma=7.6; m=1;n=10;分别对生成的随机阵对的行数和列数进行赋值，然后可直接利用Matlab 自带的函数normrnd 生成正态分布的随机数。

类似地可生成m 行n 列的随机矩阵，服从指定的分布。生成随机数的函数后缀都是rnd ，前缀为分布的名称。常用分布的随机数产生方法罗列如下，注意使用前先要对参数赋值。

x=betarnd(a,b,m,n) 参数为a,b 的beta 分布； x=binornd(N,p,m,n) 参数为N,p 的二项分布； x=chi2rnd(N,m,n) 自由度为N 的2χ分布； x=exprnd(mu,m,n) 总体期望为mu 的指数分布； x=frnd(n1,n2,m,n) 自由度为n1与n2的F 分布； x=gamrnd(a,b,m,n) 参数为a,b 的Γ分布；

x=lognrnd(mu,sigma,m,n) 参数为mu 与sigma 的对数正态分布； x=poissrnd(mu,m,n) 总体均值为mu 的Poisson 分布； x=trnd(N,m,n) 自由度为N 的T 分布； Matlab 统计工具箱中还有一些其它分布，不再一一列举。

3、三个抽样分布（χ2

、t 、F 分布）

1.3 三个常用分布

以下罗列出数理统计中三个重要分布的概念与性质。

1.3.1 2χ分布

定义1.2 设一维连续型随机变量X 的密度函数为

??

???≤>Γ=--0

,00,e )

2/(21

)(2122

/x x x n x f x n n n （1-2）

则称X 服从自由度为n 的2χ分布，记为)(~2n X χ。

0510152025303540

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

图1-2 2χ分布密度函数示意图

（1）期望与方差：n X =E ，n X 2=D

（2）来源：若)1,0N(~,,,21n X X X 独立同分布，则

)(~22

2221n X X X n χ+++

（3）可加性：若)(~

121n Y χ，)(~222n Y χ，且两者独立，则有

)(~21221n n Y Y ++χ

(4)重要结论：若),N(~,,,221σμn X X X ，则

)1(~)()1(22

1

2

2

2

--=

-∑=n X X

S n n

i i

χσσ

以下给出了自由度为5,10,20的2

χ分布的密度函数，如图1-2所示。

1.3.2 t 分布

定义1.3 设一维连续型随机变量X 的密度函数为

2

1

2

1)2

()21

(

)(+-

???

? ??+Γ+Γ=n n n x n n

n x f π （1-3）

则称X 服从自由度为n 的t 分布，记为)(~n t X 。

-3

-2-10123

00.05

0.10.150.20.250.30.35

0.4

图1-3 t 分布密度函数与标准正态分布密度函数

（1）密度函数特点：与标准正态分布类似，方差较大。∞→n 时，

2

2e

21)(x n x f -

=

→π

?（标准正态分布密度函数）

（2）来源：设)1,0N(~X ，)(~

2n Y χ，且两者独立，则

)(~/n t n

Y X

（3）重要结论：设),N(~,,,221σμn X X X ，则

)1(~/--=

n t n

S X T μ

1.3.3 F 分布

定义1.4 设一维连续型随机变量X 的密度函数为

???????≤>?

??

? ??+=+--0

,

00,1)(22112211

x x x n n cx x f n n n （1-4） 其中常数

22121211

)2

()2()2(

n

n

n n n n n c ???? ??ΓΓ+Γ= 则称X 服从第一自由度1n ，第二自由度2n 的F 分布，记为),(~21n n F X 。

（1）密度函数特点：在1=x 附近密度函数取值较大，为单峰非对称的。当两个自由度都很大时，X 取值以较大概率集中在1=x 附近。以下画出了)12,8(F 的密度函数

00.51 1.52 2.53

图1-4 F 分布密度函数

（2）来源：设)(~

12n X χ，)(~22n Y χ，且两者独立，则

),(~//212

1

n n F n Y n X F =

（3）重要结论：设1,,21n X X X 为来自总体),(2

11σμN 的简单随机样本，2

,,,21n Y Y Y 为来自总体),(222σμN 的简单随机样本，且两者独立。又设两个样本方差分别为21S 与2

2S ，则

)1,1(~//2122

212

2

21--=n n F S S F σσ

三、点估计的两种方法

（1）矩法

所谓矩法就是利用样本各阶原点矩代替相应的总体矩，来建立估计量应满足的方程，从而求得未知参数估计量的方法。

设总体X 的分布中包含有未知数m θθθ,,,21 ，则其分布函数可以表成

).,,,;(21m x F θθθ 显示它的k 阶原点矩),,2,1)((m k X E v k k ==中也包含了未知参数

m θθθ,,,21 ，即),,,(21m k k v v θθθ =。又设n x x x ,,,21 为总体X 的n 个样本值，其

样本的k 阶原点矩为

∑=∧

=n i k

i k x n v 1

1

).,,2,1(m k =

这样，我们按照“当参数等于其估计量时，总体矩等于相应的样本矩”的原则建立方程，即有

??????

?

?

??

?

???

?===∑∑∑=∧∧∧=∧∧∧=∧∧

∧n i m i m m n i i m n i i m x n v x n v x n v 121122121

211.1),,,(,1),,,(,

1),,,(θθθθθθθθθ 由上面的m 个方程中，解出的m 个未知参数),,,(21∧

∧∧m θθθ 即为参数（m θθθ,,,21 ）的矩估计量。

例7．1：设总体)(~λP X ，求对λ的矩估计量。

（2）最大似然法

所谓最大似然法就是当我们用样本的函数值估计总体参数时，应使得当参数取这些值时，所观测到的样本出现的概率为最大。

当总体X 为连续型随机变量时，设其分布密度为),,,;(21m x f θθθ ，其中

m θθθ,,,2

1 为未知参数。又设n x x x ,,,2

1 为总体的一个样本，称

),,,;(),,,(1

1122∏==n

i m i m n x f L θθθθθθ

为样本的似然函数，简记为L n . 当总体X 为离型随机变量时，设其分布律为),,,;(}{21m x p x X P θθθ ==，则

称

),,,;(),,,;,,,(1

111222∏==n

i m i m n x p x x x L θθθθθθ

为样本的似然函数。

若似然函数),,,;,,,(2211m n x x x L θθθ 在m ∧

∧∧θθθ,,,2

1 处取到最大值，则称

m ∧

∧∧

θθθ,,,2

1 分别为m θθθ,,,21 的最大似然估计值，相应的统计量称为最大似然估计量。

我们把使L n 达到最大的m ∧

∧∧θθθ,,,2

1 分别作为m θθθ,,,21 的估计量的方法称为最大似然

估计法。 由于ln x 是一个递增函数，所以L n 与ln L n 同时达到最大值。我们称

m i L i

i i

n

,,2,1,0ln ==??∧

=θθθ

为似然方程。由多元微分学可知，由似然方程可以求出),,2,1)(,,,(21m i x x x n i i ==∧

∧

θθ为i θ的最大似然估计量。 容易看出，使得L n 达到最大的i ∧

θ也可以使这组样本值出现的可能性最大。

2、估计量的评选标准

（1）无偏性

定义1.5 设总体X 含有未知参数θ，n X X X ,,,21 为来自总体的简单随机样本，又

设),,,(??21n X X X θθ=为θ的一个估计量。若在给定范围内无论θ如何取值，总有θθ

θ=)?(E ，则称θ?为θ的一个无偏估计量；若θθθ≠)?(E ，则称θ?为θ的一个有偏估计量。 注意无偏估计的含义是：由于样本的随机性，估计值有时候偏大，有时候偏小，多次估计的平均值才能靠近真实的未知参数值。

若总体X 的均值E （X ）和方差D （X ）存在，则样本均值x 和样本方差S 2分别为E （X ）和 D （X ）的无偏估计，即

E （x ）=E （X ）， E （S 2）=D （X ）。

无论无偏估计还是有偏估计，可以统一使用“均方误差”MSE 评价：

22)]?(E [)?(D )?(E )?MS E(θθθθθθθ

θθ-+=-= （2-1） 对于无偏估计，0)]?(E [2=-θθθ，但)?(D θθ

可能很大，果真如此，它就不是一个好的估计量。反之，对于有偏估计，虽然0)]?(E [2≠-θθθ，但如果与)?(D θθ

相加之后)?MSE(θ仍然较小，则它就是一个较好的估计量。

例 2.1 设总体)(~

2n X χ，2021,,,X X X 为来自总体的简单随机样本，欲估计总

体均值μ（注意n 未知），比较以下三个点估计量的好坏：

211100101?X X -=μ

，)(2

1

?)11()10(2X X +=μ，X =3?μ 解 本例题给出了利用MSE 评价点估计量的随机模拟方法。由于)(2n χ的总体均值为

n ，因此我们可以先取定一个固定值，例如50==μn ，然后在这个参数已知且固定的总

体中抽取容量为20的样本，分别用样本值依照三种方法分别计算估计值（注意谁也别偷看底牌50==μn ），看看哪种方法误差大，哪种方法误差小。一次估计的比较一般不能说明问题，正如低手射击也可能命中10环，高手射击也可能命中9环。如果连续射击1万次，比较总环数（或平均环数），多者一定是高手。同理，如果抽取容量为20的样本10000=N 次，分别计算

∑=-≈N

k i i k N 1

20])(?[1)?MSE(μμμ

小者为好。

N=10000; m=5; n=20; mse1=0; mse2=0; mse3=0; for k=1:N

x=chi2rnd(m,1,n); m1=101*x(1)-100*x(2); m2=median(x); m3=mean(x);

mes1=mse1+(m1-m)^2; mes2=mse2+(m2-m)^2; mes3=mse3+(m3-m)^2; end

mse1=mes1/N mse2=mes2/N mse3=mes3/N

以上程序保存为ex21.m ，命令窗口中键入ex21，运算结果为

mse1 = 58.1581 mse2 = 7.8351e-005 mse3 = 9.4469e-006

可见第一个虽为无偏估计量，但MSE 极大，表现很差。第二个虽为有偏估计，但表现与第三个相差不多，也是较好的估计量。另外，重复运行ex21，每次的结果是不同的，但优劣表现几乎是一致的。

例2.2 设5021,,,X X X 为来自],0[θ上服从均匀分布的总体的简单随机样本，容易

得到未知参数的矩估计量X 2?1=θ，最大似然估计量),,,max(?50

212X X X =θ，试用随机模拟的方法比较两者的优劣。

解 不妨设5=θ，以下程序给出了两者的评价。

s=5; N=10000;

mse1=0; mse2=0; for k=1:N

x=5.*rand(1,50); s1=2*mean(x); s2=max(x);

mse1=mse1+(s1-s)^2; mse2=mse2+(s2-s)^2; end

mse1=mse1/N; mse2=mse2/N; [mse1,mse2]

参考运行结果： 0.1655 0.0186

本例中，最大似然估计精度较高。注意矩法估计量是无偏估计，本例中最大似然估计量显然是有偏估计，且一定是偏小的。 （2）有效性

设),,,,(2111n x x x ∧

∧

=θθ和),,,,(2122n x x x ∧

∧

=θθ是未知参数θ的两个无偏估计

量。若21)(∧∧<θθD D ，则称21∧

∧θθ比有效。

例7．2：设n x x x ,,,,21 是总体的一个样本，试证下列式子并比较有效性。

（1）;21103513211x x x ++=

∧

μ （2）;125

41313212x x x +

+=∧μ （3）.12

1

43313213x x x -

+=∧μ

（3）一致性（相合性）

设n ∧

θ是θ的一串估计量，如果对于任意的正数ε，都有

,0)|(|lim =>-∧

∞

→εθθn n P

则称n ∧

θ为θ的一致估计量（或相合估计量）。

3、 区间估计

所谓区间估计，就是用两个估计量1?θ与2?θ估计未知参数θ，使得随机区间)?,?(2

1θθ能够包含未知参数的概率为指定的α-1。即：

αθθθθ-≥<<1)??(2

1P 称满足上述条件的区间)?,?(21θθ为θ的置信区间，称α-1为置信水平。1?θ称为置信下限，2

?θ称为置信上限。 3.1 单正态总体均值的置信区间

（1）方差2

02σσ=已知情形

查表求2

αu 满足：对于)1,0N(~ξ，2

)(2

α

ξα=

>u P 。(上分位数 )

对于总体),(20σμN 中的样本n X X X ,,,21 ，μ的置信区间为：

),

(2

2

αασσu n

X u n

X +

-

（2-4）

其中2

αu 可以用norminv(1-a /2)计算。

例2.3 设

1.1,

2.2, 3,3, 4.4, 5.5

为来自正态总体)3.2,N(2μ的简单随机样本，求μ的置信水平为95%的置信区间。

解 以下用Matlab 命令计算：

x=[1.1,2.2,3.3,4.4,5.5]; n=length(x); m=mean(x); c=2.3/sqrt(n); d=c*norminv(0.975); a=m-d; b=m+d; [a,b]

计算结果为 1.2840 5.3160 （2）方差2

σ未知情形

对于总体),(2σμN 中的样本n X X X ,,,21 ，μ的置信区间为：

),(2

2

ααt n S

X t n S X +

-

（2-4） 其中2

αt 为自由度1-n 的t 分布临界值。

数据同上，继续利用Matlab 计算

S=std(x); dd=S*tinv(0.975,4)/sqrt(n); aa=m-dd; bb=m+dd; [aa,bb]

结果为 1.1404 5.4596

3.2 单正态总体方差的置信区间

由于)1(~)(1

21

22

--=

∑=n X X

W n

i i

χσ，查表求临界值1c 与2c ，使得

α-=<<1)21(c W c P

则2

σ的置信区间为

))1(1

1

,)1(2

1

(

22S n c S n c -?-? （2-5） 其中查表可用chi2inv 进行。数据同上，以下求2

σ的置信区间。

c1=chi2inv(0.025,4); c2=chi2inv(0.975,4);

T=(n-1)*var(x); aaa=T/c2; bbb=T/c1; [aaa,bbb]

计算结果为 1.0859 24.9784

3.3 两正态总体均值差的置信区间

（1）方差已知情形

设),N(~,,,21121σμm X X X ，),N(~,,,2

2221σμn Y Y Y ，两样本独立，此时

21μμ-的置信区间为

???

? ??++-+--n m u Y X n m u Y X 2221222212,σσσσαα

（2-6） 这里我们已经知道2

αu 可用norminv(0.975)求得，Matlab 计算很容易。

（2）方差未知但相等：22

221σσσ==

此时21μμ-的置信区间为

?

??

?

??+-?--C t Y X C t Y X 22,αα （2-7） 其中2)1()1(112

2

21-+-+-+

=n m S n S m n m C ，而2

αt 依照自由度2-+n m 计算。 3.4 两正态总体方差比的置信区间

此时，查自由度为)1,1(--n m 的F 分布临界值表，使得

α-=<<1)21(c F c P

则2

221/σσ的置信区间为：

???

? ?

?1/,2/2

2212221c S S c S S （2-7） 例2.4 设两台车床加工同一零件，各加工8件，长度的误差为： A ：-0.12 -0.80 -0.05 -0.04 -0.01 0.05 0.07 0.21 B ：-1.50 -0.80 -0.40 -0.10 0.20 0.61 0.82 1.24 求方差比的置信区间。

解 用Matlab 计算如下：

x=[-0.12,-0.80,-0.05,-0.04,-0.01,0.05,0.07,0.21]; y=[-1.50,-0.80,-0.40,-0.10,0.20,0.61, 0.82,1.24];

v1=var(x); v2=var(y);

c1=finv(0.025,7,7); c2=finv(0.975,7,7); a=(v1/v2)/c2; b=(v1/v2)/c1; [a,b] 计算结果为： 0.0229 0.5720

方差比小于1的概率至少达到了95%，说明车床A 的精度明显高。

三 假设检验（换令一个讲）

3.1 假设检验的基本概念

例3.1 已知小麦亩产服从正态分布，传统小麦品种平均亩产800斤，现有新品种产量未知，试种10块，每块一亩，产量为：

775,816,834,836,858,863,873,877,885,901

问：新产品亩产是否超过了800斤？

假设检验就是概率意义上的反证法。要证明命题H 1：800>μ，可以首先假设H 0：

800=μ。本体中容易计算样本均值超过800了，有没有可能超过800的原因是由于抽样的

随机性引起的？是否总体均值根本没有变化？我们看如下的统计量：

n

S X T /800-=

容易看出，如果新品种确有增产效应，T 应偏大，不利于H 0，取05.0=α，查表求临界值

αt ，使得αα=>)(t T P ，即构造不利于H 0，有利于H 1的小概率事件，如果在一次试验中

该小概率事件发生了，就有理由拒绝H 0，认为H 1成立。

严格逻辑意义上的反证法思路如下：欲证H 1成立，先假设其否命题H 0成立，然后找出逻辑意义上的矛盾，从而推翻H 0成立，严格证明H 1成立。假设检验的思路类似，只不过引出的不是矛盾，而是小概率事件在一次实验中发生。

我们称想要证明的命题H 1为备择假设，对立的命题H 0称为原假设，面对样本，我们必须表态是接受原假设还是拒绝原假设，这有可能出现两类错误。如果客观上原假设的确成立，面对样本的异常我们拒绝了原假设，这种“以真为假”的错误我们称为第一类错误，发

生的概率用α表示；如果客观上备择假设成立，我们却接受了原假设，这种“以假为真”的错误我们称为第二类错误，用发生的概率用β表示。假设假设检验一般首先控制第一类错误，即：当我们拒绝原假设时有比较充足的理由，犯错误的概率不超过预设的α，称α为显著性水平。常用的显著性水平有

01.0,05.0,1.0=α

这种预设显著性水平α的假设检验也称为显著性检验，以后我们提到的假设检验都是显著性检验。对于显著性检验，当接受原假设时，可以认为是拒绝的证据不足。

3.2 正态总体参数的假设检验

3.2.1 单正态总体均值的假设检验

设n X X X ,,,21 为来自正态总体),N(2σμ简单随机样本，0μ为我们关心的已知的值，原假设为：

H 0：0μμ=

（1）方差已知情形 此时，检验统计量为n

X U /0

σμ-=，H 0成立时)1,0N(~U ，依据备择假设的不同提法，

分三种情况分别给出拒绝域。

1）双侧检验 备择假设H 1：0μμ≠

拒绝域：2

||αu U >

这种情形我们关心的是总体均值是否发生了变化，增多减少都是我们同等关注的。例如要研究某种药物的副作用，是否引起血压的变化，变大变小都是副作用，如果实验证明了确有副作用，就该停产或慎用。

2）单侧检验（右侧） 备择假设H 1：0μμ>

拒绝域：αu U >

这种情形我们关心的是总体均值是否有增加效应，例如小麦亩产。无增产效应或者减产都是我们不希望看到的，我们希望证明的是增产了。

3）单侧检验（左侧） 备择假设H 1：0μμ<

拒绝域：αu U -<

这种情形我们希望看到总体均值变小了。每匹布上疵点的个数。新工艺后是否有减少。 （2）方差未知情形 原假设H 0：0μμ=

此时，检验统计量为n

S X T /0μ-=

，H 0成立时)1(~-n t T ，依据备择假设的不同提法，

分三种情况分别给出拒绝域。

1）双侧检验 备择假设H 1：0μμ≠

拒绝域：2

||αt T >

2）单侧检验（右侧） 备择假设H 1：0μμ> 拒绝域：αt T > 3）单侧检验（左侧） 备择假设H 1：0μμ<

拒绝域：αt T -<

其实，上一章中区间估计与这里的双侧检验本质上是相同的：区间套中0μ接受原假设，没套中则拒绝原假设。只不过检验统计量的计算更简单些。类似于单侧检验，也可以有单侧区间估计。

3.2.2 单正态总体方差的假设检验

设n X X X ,,,21 为来自正态总体),N(2

σμ简单随机样本，0σ为我们关心的已知的值，原假设为H 0：0σσ=，检验统计量为

2

1

2

2

2

2)()1(σ

σ

χ∑=-=

-=

n

i i

X X

S

n

当H 0成立时，)1(~

22-n χχ，由此可查)1(2-n χ临界值表，构造拒绝域。

（1）双侧检验 此时备择假设为H 1：0σσ≠，也就是说，我们希望通过样本找到总

体方差比较2

0σ有明显变化的证据，无论变大变小都是我们希望证明的。

此时取临界值1c 与2c ，使得2

)1(2

α

χ=

≤c P ，2

)1(2

α

χ=

>c P ，拒绝域为：1

2c <χ（方差变小了），或者22

c >χ（方差变大了）。

当n 已经赋值的时候，执行如下Matlab 命令可得到临界值。

a=0.05, n=20, c1=chi2inv(a/2,n-1), c2=chi2inv(1-a/2,n-1),

（2）单侧检验（右侧） 此时备择假设为H 1：0σσ>，也就是说，我们关心的是方差是否变大了。此时临界值为c 满足αχ=>)(2

c P ，可用

c=chi2inv(1-a,n-1)

（3）单侧检验（左侧） 此时备择假设为H 1：0σσ<，也就是说，我们关心的是方差是否变小了。此时临界值为c 满足αχ=<)(2c P ，可用

c=chi2inv(a,n-1)

3.2.3 两正态总体均值的假设检验

设m X X X ,,,21 为来自正态总体),N(2

11σμ的简单随机样本，n Y Y Y ,,,21 为来自正

态总体),N(2

22σμ的简单随机样本，且两样本独立。为比较两个总体的期望，提出如下原假

设：

H 0：21μμ=

与前面类似，备择假设有双侧、单侧（左侧、右侧）等提法。

（1）方差已知情形 此时检验统计量为n

m

Y

X U 22

2

1

σ

σ

+

-=

，当H 0成立时U 服从标准正态分布，临界值αu ，

2

αu 含义及计算方法同前。

1）双侧检验 H 1：21μμ≠，拒绝域：2

||αu U >

2）右侧检验 H 1：21μμ>，拒绝域：αu U > 3）左侧检验 H 1：21μμ<，拒绝域：αu U -<

（2）方差未知但相等情形22

221σσσ==

此时原假设仍为H 0：21μμ=，备择假设同样有三种提法。检验统计量为：

n

m mn

S n S m n m Y X T +-+--+-=2

2

21)1()1()

2()

( 当H 0成立时)2(~-+n m t T ，由此得临界值αt ，2

αt 。

1）双侧检验 H 1：21μμ≠，拒绝域：2

||αt T >

2）右侧检验 H 1：21μμ>，拒绝域：αt T > 3）左侧检验 H 1：21μμ<，拒绝域：αt T -<

3.2.4 两正态总体方差的假设检验

设m X X X ,,,21 为来自正态总体),N(2

11σμ的简单随机样本，n Y Y Y ,,,21 为来自正态总体),N(2

22σμ的简单随机样本，且两样本独立。为比较两个总体的方差，提出如下原假设：

H 0：2

22

1σσ=

与前面类似，备择假设有双侧、单侧（左侧、右侧）等提法。此时检验统计量为2

22

1/S S F =，

当H 0成立时，)1,1(~--n m F F ，在Matlab 中，如果m,n 已经赋值，例如m=8,n=10则

c1=finv(0.025,7,9)，c2=finv(0.975,7,9)

分别给出了05.0=α时的两个临界值，双侧检验的拒绝域为1c F <或2c F >。

c3=finv(0.05,7,9)

给出了左侧检验临界值，3c F <时拒绝原假设，认为备择假设H 1：2

221σσ<成立。

c4=finv(0.95,7,9)

给出了右侧检验临界值，4c F >时拒绝原假设，认为备择假设H 1：2221σσ>成立。

3.2.5 大样本非正态总体均值的假设检验

设n X X X ,,,21 为来自非正态总体的简单随机样本，设总体均值μ与总体方差2

σ有限，原假设

H 0：0μμ=

此时可以将n

S X U /μ-=

作为近似的检验统计量，当样本容量很大时（例如100），由

中心极限定理知H 0成立时U 近似服从标准正态分布，可以仿照3.2.1小节中的算法检验如下三个备择假设：

H 1：0μμ≠

； H 1：0μμ>； H 1：0μμ<

设m X X X ,,,21 为来自非正态总体的简单随机样本，n Y Y Y ,,,21 为来自非正态总体的简单随机样本，且两样本独立。两个总体有有限的均值与方差，均值为1μ与2μ，为比较两个总体的期望，提出如下原假设：

H 0：21μμ=

与前面类似，备择假设有双侧、单侧（左侧、右侧）等提法。此时可以将

n

S m S Y X U 22

21

+-=

近似作为检验统计量，当两个样本容量都很大时（例如100），由中心极限定理知H 0成立时U 近似服从标准正态分布，可以仿照3.2.3小节中的算法检验如下三个备择假设：

H 1：21μμ≠； H 1：21μμ>； H 1：21μμ<

3.5 总体分布的假设检验

设n X X X ,,,21 为来自总体)(x F 的简单随机样本，)(0x F 为已知的一个固定的分布函数，要进行如下的检验：

H 0：)()(0x F x F = H 1：)()(0x F x F ≠

对此检验问题，有两种常用的方法。

对总体分布进行假设检验，一般要求样本容量较大，例如至少100。

3.5.1 2χ检验

取正整数2/n m ≈

，将样本排序为)()2()1(n X X X ≤≤≤ ，将区间

],[)()1(n X X 1+m 等分，分点为

][1

)1()()1(X X m i

X t n i -++=， m i ,,2,1 =

这m 个分点将),(+∞-∞分割为1+m 个小区间，

],(11t -∞=?，],(212t t =?， ，],(1m m m t t -=?，),(1+∞=?+m m t

记i v 为落入i ?的样本点的个数，显然

n v m i i =∑+=1

1，

称n

v i

为X 落入i ?的频率。)(i i X p ?∈=P 表示H 0成立时X 落入i ?的概率，即

)(101t F p =，

)()(10202t F t F p -=， ，)()(100--=m m m t F t F p ，

)(101m m t F p -=+

检验统计量取为：

∑

∑+=+=-=??? ??-=112

1

12

)

(m i i

i i m i i i i np np v p n p n v V 可以证明，当H 0成立时V 近似服从自由度为m 的2

χ分布，对于显著性水平α，取临界值

v0=chi2inv(1-alpha,m)

当V>v0时，拒绝H 0。

四单因素方差分析

5.1.1 方差分析的基本概念

在实际问题中，人们常常需要在不同的条件下对所研究的对象进行对比试验，从而得到若干组数据（样本）。方差分析就是一种分析、处理多组实验数据间均值差异的显著性的统计方法。其主要任务是，通过对数据的分析处理，搞清楚各实验条件对实验结果的影响，以便更有效地指导实践，提高经济效益或者科研水平。

在统计中，人们称受控制的条件为因素，因素所处的状态称为水平。

如果只让一个因素变动，取该因素的多个不同水平进行试验，而其他因素保持不变，称该试验为单因素试验。例如小麦种植产量，只考虑“品种”这一因素，研究4个不同品种产量的差异，其它诸如施肥方案、灌溉方案等因素保持一致，就是一个4水平单因素试验。