高等工程数学第六章习题及答案

第6章 常微分方程数值解法 讨论一阶常微分方程初值问题

(,),,

()dy

f x y a x b

dx y a η

?=≤≤????=?? (6.1.1)

的数值解法.

数值解法可区分为两大类：

(1) 单步法：此类方法在计算1n x + 上的近似值1y n + 时只用到了前一点n x 上的信息.如

Euler 法，

Runge-Kutta 法，Taylor 级数法就是这类方法的典型代表.

(2) 多步法：此类方法在计算

1y

n +时，除了需要n x 点的信息外，还需要12,,n n x x -- ，等前面若干

个点上的信息.线性多步法是这类方法的典型代表.

离散化方法

1. Taylor(台劳)展开方法

2. 化导数为差商的方法

3. 数值积分方法

一、线性多步法

基本思想：是利用前面若干个节点上()y x 及其一阶导数的近似值的线性组合来逼近下一个节点上()y x 的值. 1．一般公式的形式

10

1

',,1,,

p

p

n i

n i

i n i i i y a y

h b y n p p +--==-=

+=+∑∑

其中

i a ,i b 为待定常数，p 为非负整数.

说明：

(1)在某些特殊情形中允许任何i a 或i b 为零，但恒假设p a 和p b 不能同时全为零，此时称为1p +步法，它

需要

1p +个初始值01,,,.p y y y 当0p =时，定义了一类1步法，即称单步法.

(2) 若1

0b -=，此时公式的右端都是已知的，能够直接计算出1n y +，故此时称为显式方法；若10b -≠，

则公式的右端含有未知项111'(,),n n n y f x y +++=此时称其为隐式方法.

2．逼近准则 准确成立：

10

1

()()'(),,1,.

p

p

n i

n i

i n i i i y x a y x

h b y x n p p +--==-=

+=+∑∑

【定义 6.1】 如果对任意()r y x M =，某一线性多步法准确成立，而当()y x 为某一个1r +次多项式时，线性多步法不准确成立，则称此线性多步法是r 阶的. 注：

（1）方法的阶越高，逼近效果越好. （2）1p +步法的最高阶可达 22r p =+. 3．线性多步法阶与系数的关系 局部截断误差

10

1

()()'(),,1,.

p

p

n n i

n i

i n i i i T y x a y x

h b y x n p p +--==-=-

-=+∑∑

()

01()'()(),

q

q n n n q n T c y x c hy x c h y x =++++

其中

00

101

1

011,1[()],1{1[()()2,3,.!p

i i p p

i i i i p p

q q q i i i i c a c i a b c i a i b q q ===--==-?

=-?

?

?

=--+?

???

?=--+-=??∑∑∑∑∑

【定理6.1】 线性多步法是r 阶的充分必要条件是

0110,0r r C C C C +====≠

称

1r C +为误差常数.

线性多步法是相容的：满足条件010C C ==,即

00

1

1,()1

p

i i p

p

i

i

i i a i a b

===-?=????-+

=??∑∑∑

4．线性多步法的构造方法 待定系数法：

r 阶方法的系数,i

i

a b 确定，可令0

10,r C

C C ==== 即解下面方程得到

1,0()101

1()(),2,3,,01p a i

i p p

i a b i i i i p p

q q i a q i q r i i i ?

=∑?

?=?

?-+=∑∑?

?==-?

?

?-?-+-=∑∑?==-?

二、线性多步法的收敛性 记

1

(),p

p p i

i

i r r

a r

ρ+-==-

∑

1

().

p

i p i

i r b r

σ-=-=

∑

分别称为线性多步法的第一、第二特征多项式.

()r ρ以及相应的线性多步法满足根条件：若()r ρ的所有根的模均不大于1，且模为1的根是单根。

【定理6.3】若线性多步法收敛，则其满足根条件.

【定理6.5】若线性多步法是收敛的，则其一定是相容的.

【定理6.6】线性多步法收敛的充分必要条件是该方法是相容的且满足根条件. 三、线性多步法的数值稳定性 称

1

1(;)(1)()()(),

p

p p i

i

i i o

r h h b r

a

h b r

r h r πλλλρλσ+--==--

+=-∑

为线性多步法的稳定多项式.记(;)0r h πλ=的根为

01(),(),,().

p r h r h r h λλλ

它们连续地依赖于h λ的值。 有性质：

2

0()1(),0;r h h O h h λλ=++→ 记h h λ=.

【定义6.5】设某线性多步法是收敛的，()i r h 是其稳定多项式(;)r h π的根(1,2,,).i p =

（1） 若对任意[,]h R αβ∈?有

0|()||(),1,2,,i r h r h i p ≤=

且当0|()||()i r h r h =时，()i r h 是单根，则称此方法在[,]αβ上为相对稳定的.称［α,β］为相对稳定区间.

（2） 若对任意的(,)h R σδ∈?有

|()|1,1,2,,i r h i p <=

则称此方法在(,)σδ上为绝对稳定的.称(,)σδ是绝对稳定区间.

四、Runge-Kutta 法 1．RK 法的一般形式

s 级RK 法的一般形式为

1111,(,),1,2,,s

n n i i i s i n i n

ij j j y y h b K K f x c h y h

a K i s +=-=?

=+?

???=++=??

∑∑

其中，,,i i ij b c α 都是常数，

110,0,1,2,,1

j c j s α===- .

s 级RK 方法的局部截断误差

11

()(),

s

n n n i i i T y x y x h b K +==--∑

2．二级RK 法 二级RK 法的一般形式

11122122211,(,),(,).n n n n n n y y hb K hb K K f x y K f x c h y ha K +=++??

==++?

达到2阶时应选取

12121,,,b b c α 满足方程

1222

2211,1,21.2b b b c b c ?

?+=?

?

=??

?

=??

这是四个未知数的三个方程，有无穷多解.以2c 为自由参数得22212121,2,11.

2b c a c b c ?

=???

=???=-?

?

此时

223

2

24

1[(

)(''2'''')

6

4

1'('')]()

6

n xy x y y x y c T h f f f f f f f f f O h =-

+++++

注：二级RK 法最高只能达到2阶.

常用的二级2阶RK 法.

（1） 中点方法(取

212c =

)

1[,(,)];

2

2

n n n n n n h h y y hf x y f x y +=++

+

（2） Heun 方法(取

223c =

)

122[(,)3(,(,)];

4

3

3

n n n n n n n n h y y f x y f x h y hf x y +=+

++

+

（3） 改进的Euler 方法(取2

1c =)

1[(,)(,(,)]

2

n n n n n n n n h y y f x y f x h y hf x y +=+

+++

其中，Heun 公式是选择参数2c 使截断误差系数达到极小化得到的.

3． 四级RK 法

四级4阶RK 法的经典方法公式

112341213243(22),

6(,),(,),22(,),(,).22n n n n n n n n n n h y y K K k k h h K f x y K f x y K h h K f x y K K f x h y hK +?

=++++??

?

==++?

?

?

=++=++??

5． RK 法绝对的稳定性

【定义6.6】如果一个RK 法以步长h 应用于试验方程时，所得数值解

0()n y n →→∞.则称该RK 法对确定的

h h λ=是绝对稳定的.

注：

（1）二级2阶RK 法具有相同的绝对稳定区间：(2,0)- （2）四级4阶RK 法具有形同的绝对稳定区间：( 2.78,0)-