2018高考数学二轮复习专题七选修系列第2讲不等式选讲课时规范练

第2讲 不等式选讲（选修4-5）

1．(1)(2017·江苏卷)已知a ，b ，c ，d 为实数，且a 2＋b 2＝4，c 2＋d 2

＝16，证明ac ＋bd ≤8.

(2)设a ＞0，|x －1|＜a 3， |y －2|＜a 3

，求证|2x ＋y －4|＜a . 证明：(1)因为a 2＋b 2＝4，c 2＋d 2＝16，

且(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2，

所以(ac ＋bd )2≤4×16＝64，故ac ＋bd ≤8.

(2)因为|x －1|＜a 3，|y －2|＜a 3

， 所以|2x ＋y －4|＝|2(x －1)＋(y －2)|≤2|x －1|＋|y －2|＜2×a 3＋a 3

＝a .故原不等式得证．

2．(2017·郴州三模)在平面直角坐标系中，定义点P (x 1，y 1)、Q (x 2，y 2)之间的“直角距离”为L (P ，Q )＝|x 1－x 2|＋|y 1－y 2|，已知点A (x ，1)、B (1，2)、C (5，2)三点．

(1)若L (A ，B )＞L (A ，C )，求x 的取值范围；

(2)当x ∈R 时，不等式L (A ，B )≤t ＋L (A ，C )恒成立，求t 的最小值．

解：(1)由定义得|x －1|＋1＞|x －5|＋1，

则|x －1|＞|x －5|，两边平方得8x ＞24，解得x ＞3.

(2)当x ∈R 时，不等式|x －1|≤|x －5|＋t 恒成立，也就是t ≥|x －1|－|x －5|恒成立， 因为|x －1|－|x －5|≤|(x －1)－(x －5)|＝4，

所以t ≥4，t min ＝4.

故t 的最小值为4.

3．(2016·全国卷Ⅲ)已知函数f (x )＝|2x －a |＋a .

(1)当a ＝2时，求不等式f (x )≤6的解集；

(2)设函数g (x )＝|2x －1|.当x ∈R 时，f (x )＋g (x )≥3，求a 的取值范围． 解：(1)当a ＝2时，f (x )＝|2x －2|＋2.

解不等式|2x －2|＋2≤6得－1≤x ≤3.

因此f (x )≤6的解集为{x |－1≤x ≤3}．

(2)当x ∈R 时，f (x )＋g (x )＝|2x －a |＋a ＋|1－2x |≥|2x －a ＋1－2x |＋a ＝|1－a |＋a .

当x ＝12

时等号成立， 所以当x ∈R 时，f (x )＋g (x )≥3等价于|1－a |＋a ≥3.①

当a ≤1时，①等价于1－a ＋a ≥3，无解．

当a ＞1时，①等价于a －1＋a ≥3，解得a ≥2.

所以a 的取值范围是[2，＋∞)．

4．(2016·全国卷Ⅱ)已知函数f (x )＝??????x －12＋????

??x ＋12，M 为不等式f (x )＜2的解集． (1)求M ；

(2)证明：当a ，b ∈M 时，|a ＋b |＜|1＋ab |.

(1)解：f (x )＝?????－2x ，x ≤－12

，1，－12＜x ＜12

，2x ，x ≥12

. 当x ≤－12

时，由f (x )＜2得－2x ＜2， 解得x ＞－1，所以－1＜x ≤－12

； 当－12＜x ＜12

时，f (x )＜2恒成立． 当x ≥12

时，由f (x )＜2得2x ＜2， 解得x ＜1，所以12

≤x ＜1. 所以f (x )＜2的解集M ＝{x |－1＜x ＜1}．

(2)证明：由(1)知，当a ，b ∈M 时，－1＜a ＜1，－1＜b ＜1.

从而(a ＋b )2－(1＋ab )2＝a 2＋b 2－a 2b 2－1＝(a 2－1)(1－b )2＜0，

所以(a ＋b )2＜(1＋ab )2，

因此|a ＋b |＜|1＋ab |.

5．(2017·池州模拟)已知函数f (x )＝|2x －a |＋a .

(1)若不等式f (x )≤6的解集为{x |－2≤x ≤3}，求实数a 的值；

(2)在(1)的条件下，若存在实数n 使f (n )≤m －f (－n )成立，求实数m 的取值范围． 解：(1)函数f (x )＝|2x －a |＋a ，

由f (x )≤6，可得?????6－a ≥0，a －6≤2x －a ≤6－a ， 解得a －3≤x ≤3.

又不等式的解集为{x |－2≤x ≤3}，

可得a －3＝－2，所以实数a ＝1.

(2)在(1)的条件下，f (x )＝|2x －1|＋1，

所以f (n )＝|2n －1|＋1，存在实数n 使f (n )≤m －f (－n )成立，即f (n )＋f (－n )≤m ，即|2n －1|＋|2n ＋1|＋2≤m .

由于|2n －1|＋|2n ＋1|≥|(2n －1)－(2n ＋1)|＝2，

所以|2n －1|＋|2n ＋1|的最小值为2，所以m ≥4，

故实数m 的取值范围是[4，＋∞)．

6．(2017·郑州质检)已知a ＞0，b ＞0，函数f (x )＝|x ＋a |＋|x －b |的最小值为4.

(1)求a ＋b 的值；

(2)求14a 2＋19

b 2的最小值． 解：(1)因为|x ＋a |＋|x －b |≥|a ＋b |，

所以f (x )≥|a ＋b |，当且仅当(x ＋a )(x －b )＜0时，等号成立，

又a ＞0，b ＞0，

所以|a ＋b |＝a ＋b ，所以f (x )的最小值为a ＋b ，

所以a ＋b ＝4.

(2)由(1)知a ＋b ＝4，b ＝4－a ，

14a 2＋19b 2＝14a 2＋19(4－a )2＝1336a 2－89a ＋169

＝ 1336? ??

??a －16132＋1613， 当且仅当a ＝1613，b ＝3613时，14a 2＋19b 2的最小值为1613

. 7．(2017·乐山二模)已知定义在R 上的函数f (x )＝|x －m |＋|x |，m ∈N *

，若存在实数x 使得f (x )＜2成立．

(1)求实数m 的值；

(2)若α，β＞1，f (α)＋f (β)＝6，求证：4α＋1β≥94

. (1)解：因为|x －m |＋|x |≥|x －m －x |＝|m |，

所以要使|x －m |＋|x |＜2有解，

则|m |＜2，解得－2＜m ＜2.

因为m ∈N *

，所以m ＝1.

(2)证明：α，β＞1，f (α)＋f (β)＝2α－1＋2β－1＝6，

所以α＋β＝4，

所以4α＋1β≥14? ????4α＋1β(α＋β)＝14?

????5＋4βα＋αβ≥14? ????5＋2 4βα·αβ＝94， 当且仅当4βα＝αβ，即α＝83，β＝43时“＝”成立，

故4α＋1β≥94

. (1)求实数m 的值；

(2)若不等式

a －5x ＜??????1＋1x －??????1－m x ＜a ＋2x 对x ∈(0，＋∞)恒成立，求实数a 的取值范围．

解：(1)由|x －m |＜|x |，得|x －m |2＜|x |2，

即2mx ＞m 2，

又不等式|x －m |＜|x |的解集为(1，＋∞)，

则1是方程2mx ＝m 2的解，解得m ＝2(m ＝0舍去)．

(2)因为m ＝2，所以不等式a －5x ＜??????1＋1x －????

??1－m x ＜a ＋2x 对x ∈(0，＋∞)恒成立等价于不等式a －5＜|x ＋1|－|x －2|＜a ＋2对x ∈(0，＋∞)恒成立．

设f (x )＝|x ＋1|－|x －2|＝?????2x －1，0＜x ＜2，3，x ≥2，

当0＜x ＜2时，f (x )是增函数，－1＜f (x )＜3，

当x ≥2时，f (x )＝3.

因此函数f (x )的值域为(－1，3]．

从而原不等式等价于?

????a －5≤－1，a ＋2＞3.解得1＜a ≤4. 所以实数a 的取值范围是(1，4]．