高二期中考试试题
1.已知命题p ：1
,sin 2
x x x $?R . 则p ?为 （A ）1
,sin 2x x x $?R （B ）1,sin 2x x x "?R （C ）1
,sin 2
x x
x $纬R （D ）1,sin 2
x x x "纬R 2.设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ．则“10a >”是“32S S >”的（） （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件
（D ）既不充分又不必要条件
3.若q p ,是两个简单命题，且“p 或q ”的否定是真命题，则必有（ ） A ．p 真q 真 B.p 假q 假 C.p 真q 假 D.p 假q 真
4.22cos 15sin 15 -的值为
（A ）
1
2
（B （C （D
5.执行如图所示的程序框图，若输入3x =，则输出y 的 值为（D ） （A ）5（B ）7 （C ）15 （D ）31
6.某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的体积是（c ）
（A ）（B ）
（C ）
53
3
（D ）233
7.若直线1x y
a b
+=与圆221x y +=有公共点，则（）
A ．221a b +≤
B ．221a b +≥
C ．22
111a b +≤
D ．2211a b
+≥1
8.已知P 是椭圆
19
252
2=+y x 上的点，1F 、2F 分别是椭圆的左、右焦点，若2
1
|
|||2121=
?PF PF ，则△21PF F 的面积为（）
A. 33
B. 32
C. 3
D.
3
3 9函数22sin 3cos y x x =+的最小正周期为_____．.
10.若圆与圆（a>0）的公共弦的长为，则___________
11.圆2
2430x y x +-+=
的圆心到直线0x =的距离是_____. 12.命题“若2x <1，则-1 13. 已知命题，0122≤++ax ax ．如果命题是假命题， 则实数的取值范围是. 14.有下列四个命题： ①命题“若1xy =，则x ，y 互为倒数”的逆命题； ②命题“面积相等的三角形全等”的否命题； ③命题“若1m ≤，则220x x m -+=有实根”的逆否命题； ④命题“若A B B = ，则A B ?”的逆否命题. 其中是真命题的是（填上你认为正确的命题的序号）. 15.（本小题满分13分） 在△ABC 中，已知2sin cos sin()B A A C =+． （Ⅰ）求角A ； （Ⅱ）若2BC =，△ABC ，求AB ． 16. 已知两点A （2，3）、B （4，1），直线l ：x +2y －2=0，在直线l 上求一点P . （1）使|P A |+|PB |最小； （2）使|P A |－|PB |最大. 17．（本小题满分14分） 在正方体''''ABCD A B C D -中, 棱,','',''AB BB B C C D 的中点分别是,,,E F G H , 如图所示． （Ⅰ）求证：'AD ∥平面EFG ； （Ⅱ）求证：'A C ^平面EFG ； （Ⅲ）判断点,',,A D H F 是否共面? 并说明理由. 2 2 4x y +=2 2 260x y ay ++- ==a :p R x ∈?p a C' C 18. 如图，圆1O 与圆2O 的半径都是1，124O O =. 过动点P 分别作圆2O 、圆2O 的切线PM PN ，（M N ， 分别为切点） ，使得PM =. 试建立适当的坐标系，并求动点P 的轨迹方程 19.（本小题满分14分）设p :实数x 满足，其中， 实数满足 （1）若且为真，求实数的取值范围； （2）若p 是q 的必要不充分条件,求实数的取值范围. 20．（本小题满分14分） 如图，A ，B 是椭圆22 221x y a b +=(0)a b >> 的两个顶点．||AB =AB 的斜 率为1 2 - ． （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）设直线l 平行于AB ，与,x y 轴分别交于点,M N ， 与椭圆相交于,C D ．证明：△OCM 的面积等于△ODN 的面积． 22 430x ax a -+<0a ≠:q x 2260, 280. x x x x ?--≤??+->??1,a =p q ∧x a 15.（Ⅰ）解：由πA B C ++=，得sin()sin(π)sin A C B B +=-=．……………3分 所以原式化为B A B sin cos sin 2=．………………4分 因为(0,π)B ∈，所以0sin >B ， 所以 2 1 cos =A ．………………6分 因为(0,π)A ∈， 所以 π 3 A =．………………7分 （Ⅱ）解：由余弦定理， 得222222cos BC AB AC AB AC A AB AC AB AC =+-??=+-?……………9分 因为 2BC = ， 1π sin 23 AB AC ??= 所以 228AB AC +=．………………11分 因为4AB AC ?=，所以 2AB =.………………13分 16.解：（1）可判断A 、B 在直线l 的同侧，设A 点关于l 的对称点A 1的坐标为（x 1，y 1）. 221+x +2·23 1+y －2=0， 2311--x y ·（－2 1 ）=－1. x 1=－ 5 2 ， y 1=－5 9. 由两点式求得直线A 1B 的方程为y =11 7（x －4）+1，直线A 1B 与l 的交点可求得为P （2556 ， －25 3）. 由平面几何知识可知|P A |+|PB |最小. （2）由两点式求得直线AB 的方程为y －1=－（x －4），即x +y －5=0. 直线AB 与l 的交点可求得为P （8，－3），它使|P A |－|PB |最大. 17.（Ⅰ）证明：连接'BC . 在正方体''''ABCD A B C D -中，''AB C D =，AB ∥''C D . 所以四边形''ABC D 是平行四边形. 所以 'AD ∥'BC . 因为 ,F G 分别是',''BB B C 的中点， 所以 FG ∥'BC . 所以 FG ∥'AD .……………………………………2分 A 则有 解得 因为,'EF AD 是异面直线， 所以'AD ?平面EFG . 因为FG ì平面EFG ， 所以'AD ∥平面EFG .………………………………………4分 （Ⅱ）证明：连接'B C . 在正方体''''ABCD A B C D -中，''A B ^平面''BCC B ，'BC ì平面''BCC B ， 所以 '''A B BC ⊥. 在正方形''BCC B 中，''B C BC ⊥， 因为 ''A B ì平面''A B C ，'B C ì平面''A B C ，''''A B B C B = ， 所以'BC ⊥平面''A B C . ……………………………………6分 因为 'A C ì平面''A B C ， 所以 ''BC A C ⊥. ……………………………………7分 因为 FG ∥'BC ， 所以 'A C FG ⊥. 同理可证：'A C EF ⊥. 因为 EF ì平面EFG ，FG ì平面EFG ，EF FG F = ， 所以 'A C ^平面EFG . ……………………………………9分 （Ⅲ）点,',,A D H F 不共面. 理由如下：……………………………………10分 假设,',,A D H F 共面. 连接',,C F AF HF . 由（Ⅰ）知，'AD ∥'BC ， 因为'BC ì平面''BCC B ，'AD ?平面 ''BCC B . 所以'AD ∥平面''BCC B . ……………………………………12分 因为''C D H ?， 所以平面'AD HF 平面'''BCC B C F =. 因为'AD ì平面'AD HF ， 所以'AD ∥'C F . 所以'C F ∥'BC ，而'C F 与'BC 相交，矛盾. 所以点,',,A D H F 不共面. ……………………………………14分 18. 19.（1）由得， 当时，解得1<,即为真时实数的取值范围是1<. 2 2 430x ax a -+<(3)()0x a x a --<1a =3x G F E D' C' B' A'D C B A H G F E D' C' B' A' D C B A 由,得,即为真时实数的取值范围是. 若为真，则真且真， 所以实数的取值范围是. (2)p 是q 的必要不充分条件，即q p ,且p q ， 设A =， B =，则A 不包含B , 又，当时，A =；时，. 所以当时，有解得12a <≤， 当时，显然，不合题意. 所以实数的取值范围是. 20．（本小题满分14分） （Ⅰ）解：依题意，得1 , 2b a ?=?=………………2分 解得2a =，1b =．………………3分 所以椭圆的方程为2 214 x y +=．………………4分 （Ⅱ）证明：由于l //AB ，设直线l 的方程为1 2 y x m =-+，将其代入2214x y +=，消去y ， 整理得2224440x mx m -+-=．………………6分 设11(,)C x y ，22(,)D x y ． 所以22122 121632(1)0, 2,2 2. m m x x m x x m ??=-->? +=??=-?………………8分 证法一：记△OCM 的面积是1S ，△ODN 的面积是2S ． 由(2,0)M m ，(0,)N m ， 则12S S =? 1211 |2|||||||22 m y m x ??=???12|2|||y x =．………………10分 因为122x x m +=， 2260280 x x x x ?--≤??+->??23x <≤q x 23x <≤p q ∧p q x 23x <(,3)a a 0a <()3,A a a =0a >2,33,a a ≤??