三角函数高考常见题型

三角函数题是高考数学试卷的第一道解答题，试题难度一般不大，但其战略意义重大，所以稳拿该题14分对文理科学生都至关重要。分析近年高考试卷，可以发现，三角解答题多数喜欢和平面向量综合在一起，且向量为辅，三角为主，主要有以下五类：

一、运用同角三角函数关系、诱导公式、和、差、倍、半等公式进行化简求值类。

例题1.（2012全国卷大纲7）已知α为第二象限角，sin cos αα+=

，则cos2α=

（A ）3- （B ）9- （C ）9 （D ）3

【答案】A .

例题2.【2012高考真题山东理7】若42ππθ??

∈????，，sin 2θ，则sin θ=

（A ）

35 （B ）45 （C ）4

（D ）34 【答案】D

例题 3.（2011浙江）（6）若02

α＜＜

，02π

β-

＜＜，1

cos()43

πα+=，

cos()423

πβ-=

cos()2βα+=

（A ）

3 （B ）3- （C ）9 （D ）9

- 【答案】C

例4. 已知向量33(cos

,sin ),(cos ,sin ),[,]22222

x x x x x π

π==-∈且a b 。

（1）若||+>a b x 的取值范围；

（2）函数()||f x =?++a b a b ，若对任意12,[

,]2

x x π

π∈，恒有12|()()|f x f x t -<,

求t 的取值范围。

解：（1）||||1,cos 2,||22cos 22cos 3x x x ==?=∴

+=+=->Q a b a b a b ，

即35cos .[,],26

x x x ππ

ππ<-

∈∴<≤Q 。（2）2

3()||cos 22cos 2(cos )2

f x x x x =?++=-=--

a b a b 。 max min 1cos 0,()3,()1x f x f x -≤≤∴==-Q ，

又12max min |()()|()()4,4f x f x f x f x t -≤-=∴>Q

【习题1】

1.【2012高考真题辽宁理7】已知sin cos 2αα-=，α∈(0，π)，则tan α=

(A) -1 (B) 22-

(D) 1 【答案】A 2.【2012高考真题江西理4】若tan θ+1

tan θ

=4,则sin2θ= A ．

15 B. 14 C. 13 D. 1

【答案】D 3.【2012高考重庆文5】sin 47sin17cos30cos17

-o o o o

（A ）32-

（B ）12-（C ）12 （D ）3

【答案】C

4.【2012高考真题四川4】如图，正方形ABCD 的边长为1，延长BA 至E ，使1AE =，

连接EC 、ED 则sin CED ∠=（）

A 、

31010 B 、1010 C 、510 D 、5

【答案】B 5.（2012考江苏11）α为锐角，若4cos 65απ?

?+= ??

?，则)122sin(π+a 的值为 ▲ ；

若41-3sin =???

??απ，则??

??+απ23cos 等于 .

6.已知a ∈(2π，π)，sin αtan2α= 【答案】34-

二、运用三角函数性质解题，通常考查正弦、余弦函数的单调性、周期性、对称轴及对

称中心。

例题1.【2012高考真题新课标理9】已知0ω>，函数()sin()4

f x x π

ω=+在(,)2π

π上

单调递减.则ω的取值范围是（）

()A 15[,]24 ()B 13[,]24 ()C 1

(0,]2

()D (0,2]

【答案】A

【解析】函数)4

sin()(π

ω+

=x x f 的导数为)4

cos()('π

ωω+

=x x f ，要使函数

)4sin()(πω+

=x x f 在),2(ππ上单调递减，则有0)4

cos()('≤+=π

ωωx x f 恒成立，

则πππωππk x k 223422+≤+≤+，即ππωππk x k 24524+≤≤+，所以Z k k x k ∈+≤≤+，ω

πωπωπωπ24524，

当0=k 时，ωπωπ454≤≤x ，又ππ<

πωπ≥≤45,24，

解得45,21≤≥ωω，即4

21≤≤ω，选A.

例题2.【2012高考新课标文9】已知ω>0，π?<<0，直线4π=x 和45π

=x 是函数

)(sin )(?ω+=x x f 图像的两条相邻的对称轴，则=?

（A ）π4 （B ）π3 （C ）π

2 （D ）3π4

【答案】A 【解析】因为4

x 和45π=

x 是函数图象中相邻的对称轴，所以2

445T

=-ππ，即ππ2,2==T T .又πω

22==T ，所以1=ω，所以)sin()(?+=x x f ，因为4π=x 是函

数的对称轴所以ππ?πk +=+24，所以ππ

?k +=4

，因为π?<<0，所以4π?=，检

验知此时45π

=x 也为对称轴，所以选A.

例题3.函数1

-1

y x =的图像与函数2sin (24)y x x π=-≤≤的图像所有交点的横坐标之和

等于（）（A ）2 (B) 4 (C) 6 (D)8

解：函数1

-1

x y =

和函数)42(-sin 2≤≤=x x y π 的图像有公共的对称中心）（0,1，且函数

)42(-sin 2≤≤=x x y π的周期为2，做出两个函数在

同一坐标系内的图像，在区间）（4,1上有两个交点，根据对称性，在）（1,2-上也有两个交点，

故所有交点横坐标之和为4，选B 。

例题4 若(3sin ,0),(cos ,sin ),0x x x ωωωω==->m n ，在函数

()()f x t =?++m m n 的图象中，对称中心到对称轴的最小距离为4π，且当[0,]3

x π

∈时，()f x 的最大值为1。

（1）求函数()f x 的解析式；（2）若13

(),[0,]2

f x x π+=-∈，求实数x 的值。

解：由题意得(3sin cos ,sin )x x x ωωω+=+-m n ，

()()(3sin ,0)(3sin cos ,sin )f x t x x x x t ωωωω=?++=?+-+m m n

2cos )3sin cos x x x t x x x t ωωωωωω=++=?+

333

cos 22)2232

x x t x t πωωω=

-+=-++ （1）∵对称中心到对称轴的最小距离为

，∴()f x 的最小正周期T π=， 23

,1,())232

f x x t πππωω∴==∴=-++。

当[0,

x π

∈时，2[,],sin(2)[3

333x x π

ππ

π-

∈-

∴-∈，()[,3]f x t t ∴∈+。

max 1

()1,31,2,())32

f x t t f x x π=∴+==-∴=--Q 。

（2）由()f x =，得1sin(2)32x π-=-，由[0,]x π∈，得52333

x πππ

-≤-≤。故732,3

6124

x x π

πππ

∴=或

或

。【习题2】

1.已知函数)62(sin 4π

=x y )6

70π

≤

≤x （的图像与一条与x 轴平行的直线有三个交点，其

中横坐标分别为32,1,x x x )321x x x <<（，则=++3212x x x 【答案】3

8π

2.已知函数b a x b x a x f ,(cos -sin )(=为常数，),0R x a ∈≠的图像关于4

=x 对称，

则函数)-4

x f y π

=是（）（A ）偶函数且它的图象关于点)0,(π对称（B ）偶函数且它的图象关于点)0,2

3(π

对称（C ）奇函数且它的图象关于点)0,2

3(π

对称（D ）奇函数且它的图象关于点)0,(π对称【答案】D

3.（2006年湖南文）设点P 是函数x x f ωsin )(=的图象C 的一个对称中心，若点P 到图

象C 的对称轴上的距离的最小值4

，则)(x f 的最小正周期是（） A ．2π B. π C. 2π D. 4

【答案】B

4.(2012年全国卷.理科14）函数x

x y cos 3-sin =)20π<≤x （取最大值时，=x

【答案】6

5π=

x . 5.已知b x x f ++=)cos(2)(?ω对于任意实数x 都有)()4

(x f x f -=+

成立，且

1)8

(-=π

f ，则实数b 的值为 .【答案】3-或1.

三、三角函数的图像及性质

【例题】1.【2012高考浙江文6】把函数y=cos2x+1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），然后向左平移1个单位长度，再向下平移 1个单位长度，得到的图像是

【答案】A

【例题】2.函数b x A x f +?+ω=)sin()(的图象如图，则)(x f 的解析式和

++=)1()0(f f S )2006()2(f f +?+的值分别为（）