香农三大定理
香农第一、二、三定理
第一定理：
将原始信源符号转化为新的码符号，使码符号尽量服从等概分布，从而每个码符号所携带的信息量达到最大，进而可以用尽量少的码符号传输信源信息
第二定理：
当信道的信息传输率不超过信道容量时，采用合适的信道编码方法可以实现任意高的传输可靠性，但若信息传输率超过了信道容量，就不可能实现可靠的传输。
第三定理：
只要码长足够长，总可以找到一种信源编码，使编码后的信息传输率略大于率失真函数，而码的平均失真度不大于给定的允许失真度，即D'<=D
极点极限定理的简单应用
一道高考解析几何题的背景溯源 ──极点、极线与圆锥曲线的位置关系 湖北省阳新县高级中学邹生书 题目已知椭圆的两个焦点，点满足，则 的取值范围是，直线与椭圆的公共点的个数是. 这是2010年高考湖北卷文科第15题，本题是一道涉及到点、直线与圆锥曲线的位置关系的判定的考题．从高等几何的观点知，这里的点和直线就是椭圆 的一对极点与极线，本题第二问实际上是：已知椭圆的极点在椭圆内，判断极线与椭圆的位置关系．据笔者之前发表的文章中圆锥曲线极点和极线的几何性质可得如下结论： 定理已知点和直线是圆锥曲线的一对极点与极线．（1）若极点在曲线上，则极线与曲线的相切于点；（2）若极点在曲线内，则极线与曲线的相离；（2）若极点在曲线外，则极线与曲线的相交． 由该定理不难知道，考题中的直线与椭圆相离，故公共点个数为0．若运 用几何画板进行实验操作动态演示，不仅可以验证确认该结论，而且还可获得直观感知从而加深印象强化理解．本文将借用判别式法给出该定理的另一种证明． 为了表达方便我们给出圆锥曲线内部和外部的定义．圆、椭圆是封闭图形其内部和外部不言而喻，抛物线、双曲线不是封闭的是开的，我们参考一些杂志专著，对双曲线和抛物线的内部和外部给出如下定义：焦点所在的平面区域称为该曲线的内部，不含焦点的平面区域称为曲线的外部，曲线上的点既不在内部也不在外部．关于点与圆锥曲线位置关系我们有如下结论（这里证明从略）． 引理1已知点和抛物线．则（1）点在上 ；（2）点在内；（3）点在外．
引理2 已知点和椭圆（或圆）．则（1）点在 上；（2）点在内；（3）点在外．引理3已知点和双曲线．则（1）点在上 ；（2）点在内；（3）点在外．圆锥曲线把平面上的点分成三个部分：曲线上的点、曲线内的点和曲线外的点，每一部分的点的坐标对于曲线方程的左右两边的值具有相同的大小关系，真是“物以类集，人以群分”．下面将圆锥曲线分为抛物线、椭圆（圆）和双曲线三种情形，借用判别式法对定理给出如下证明． 定理1已知点和直线是抛物线的一对极点与极线．则（1）点在上直线与相切于点；（2）点 在内直线与相离；（3）点在外直线与 相交． 证明由得，，将其代入抛物线方程得， ，所以．所以，（1）点在上 直线与相切于点；（2）点在内 直线与相离；（3）点在外 直线与相交． 定理2已知点和直线是椭圆（圆） 的一对极点与极线．则（1）点在上
香农三大定理
香农第一定理：可变长无失真信源编码定理。采用无失真最佳信源编码可使得用于每个信源符号的编码位数尽可能地小，但它的极限是原始信源的熵值。超过了这一极限就不可能实现无失真的译码。 香农第二定理：有噪信道编码定理。当信道的信息传输率不超过信道容量时，采用合适的信道编码方法可以实现任意高的传输可靠性，但若信息传输率超过了信道容量，就不可能实现可靠的传输。 香农第三定理：保真度准则下的信源编码定理，或称有损信源编码定理。只要码长足够长，总可以找到一种信源编码，使编码后的信息传输率略大于率失真函数，而码的平均失真度不大于给定的允许失真度，即 D'<=D. 一:香农第一定理(可变长无失真信源编码定理) 设信源S的熵[shāng]H(S),无噪离散信道的信道容量为C,于是,信源的输出可以进行这样的编码,使得信道上传输的平均速率为每秒 (C/H(S)-a)个信源符号.其中a可以是任意小的正数, 要使传输的平均速率大于(C/H(S))是不可能的。 二:香农第二定理（有噪信道编码定理） 设某信道有r个输入符号,s个输出符号,信道容量为C,当信道的信息传输率R 公式：C=B*log2(1+S/N) 注：B为信道带宽；S/N为信噪比，通常用分贝（dB）表示。 三:香农第三定理（保失真度准则下的有失真信源编码定理） 设R(D)为一离散无记忆信源的信息率失真函数,并且选定有限的失真函数,对于任意允许平均失真度D>=0,和任意小的a>0,以及任意足够长的码长N,则一定存在一种信源编码W,其码字个数为 M<=EXP{N[R(D)+a]}，而编码后码的平均失真度D'(W)<=D+a。 现代通信与香农三大定理 姓名：杨伟章学号：201110404234 摘要：当我们提起信息论，就不得不把香农和信息论联系在一起，因为正是香农为通信理论的发展所做出的划时代贡献，宣告了一门崭新的学科——信息论的诞生。从此，在香农信息论的指导下，为了提高通信系统信息传输的有效性和可靠性，人们在信源编码和信道编码两个领域进行了卓有成效的研究，取得了丰硕的成果。其实，信息论是人们在长期通信实践活动中，由通信技术与概率论、随机过程、数理统计等学科相互结合而逐步发展起来的一门新兴交叉学科。 关键词：信息论基础现代通信系统香农三大定理 上个世纪四十年代，半导体三极管还未发明，电子计算机也尚在襁褓之中。但是通信技术已经有了相当的发展。从十九世纪中叶，电报就已经很普遍了。电报所用的摩斯码（Morse Code），就是通信技术的一项杰作。摩斯码用点和线（不同长度的电脉冲）来代表字母，而用空格来代表字母的边界。但是每个字母的码不是一样长的。常用的字母E只有一个点。而不常用的Z有两划两点。这样，在传送英语时，平均每个字母的码数就减少了。事实上，摩斯码与现代理论指导下的编码相比，传送速度只差15%。这在一百五十多年前，是相当了不起了。 在二次世界大战时，雷达和无线电在军事上广泛应用。无线电受各种噪声的干扰很厉害，这也给通讯技术提出了新的课题。各种不同的调制方式也纷纷问世。于是就出现了这样一个问题：给定信道条件，有没有最好的调制方式，来达到最高的传送速率？ “传输速率是波特率与每波特所含比特数的乘积。波特率受频宽的限制，而每波特所含比特数受噪声的限制。”前一个限制，由那奎斯特（Harry Nyquist）在1928年漂亮地解决了。而后一个问题则更复杂。1928年，哈特利（R. V. L. Hartley）首先提出了信息量的概念，并指出编码（如摩斯码）在提高传送速度中的重要作用。但是他未能完整定量地解决这个问题。二战期间，维纳（Norbert Wiener）发展了在接收器上对付噪声的最优方法。但是传输速率的上限还是没有进展。 在这种情况下，香农（Claude E Shannon）在1948年发表了《通信的一个数 信道容量 根据香农信息论，对于连续信道，如果信道带宽为B ，并且收到加性高斯白噪声的干扰，则信道容量的理论公式为 信息速率：信道可能传输的最大：信噪比 ：信号的平均功率 ：白噪声的平均功率 C N S S N bps N S B C ) )......(1(log 2+= 根据香农公式可以得出以下结论： ①：任何一个信道，都有一个信道容量。如果信源的信息速率R 小于或等于信道容量C ，那么理论上存在一种方法使信源能以任意小的差错率通过信道传输；如果R 大于C ，则无差错传输再理论是不可能的。 ②：给定的信道容量可以用不同的带宽和信道比的组合来传输。若减小带宽，则必须加大信号功率，来增大信噪比。或者，若有较大的传输带宽，则同样的C 能够用较小的信号功率（即较小的信噪比）来传输。这表明宽度系统表现出较好的抗干扰特性。因此当信噪比太小而不能保证通信质量时，常采用宽带系统，用增加带宽来提高信道容量，以改善通信质量。这就是通常所谓的用带宽换功率的措施。但是应当指出，带宽和信噪比的互换并不是自动的，必须变换信号使之具有所要求带宽。实际上是通过调制和编码来完成的。调制和编码的过程就是实现带宽与信噪比之间互换的手段。 ③：当信道噪声为高斯白噪声时，假定白噪声的功率谱密度为n 0(W/Hz)，则噪声功率 N=B*n 0，则香农公式变换为： 0020244.1)1(log lim lim ))......(1(log n S B n S B C bps B n S B C B B ≈+=+=∞→∞→ 由此可知，当S 和n 0一定时，信道容量随着带宽B 增大而增大，然而当B->无穷大时， C 不会无限增大，而是趋向于一个常数。 ④：由于信息速率C=1/T,T 为传输时间，代入得出： )1(log 12N S TB += 可见，当S/N 一定时，给定的信息量可以用不同的带宽和时间的组合来传输。和带宽与信噪比可以互换类似，带宽与时间也可以互换。 谈香农定理 克劳德.香农,1916年4月30日出生于美国密歇根州的加洛德，他是信息时代的奠基人。他这一生的两大贡献之一便就是信息论，信息熵的概念提出和香农公式。信息传输给出基本数学模型的核心人物是香农。1948年香农长达数十页的论文“通信的数学理论”成了信息论正式诞生的里程碑。在他的通信数学模型中，清楚地提出信息的度量问题，他把哈特利的公式扩大到概率pi不同的情况，得到了著名的计算信息熵H的公式：H=∑-pi log pi 如果计算中的对数log是以2为底的，那么计算出来的信息熵就以比特(bit)为单位。今天在计算机和通信中广泛使用的字节 (Byte)、KB、MB、GB等词都是从比特演化而来。“比特”的出现标志着人类知道了如何计量信息量。香农的信息论为明确什么是信息量概念作出决定性的贡献。香农在进行信息的定量计算的时候，明确地把信息量定义为随机不定性程度的减少。这就表明了他对信息的理解：信息是用来减少随机不定性的东西。或香农逆定义：信息是确定性的增加。事实上，香农最初的动机是把电话中的噪音除掉，他给出通信速率的上限，这个结论首先用在电话上，后来用到光纤，现在又用在无线通信上。我们今天能够清晰地打越洋电话或卫星电话，都与通信信道质量的改善密切相关。 香农定理：香农定理描述了有限带宽、有随机热噪声信道的最大传输速率与信道带宽、信号噪声功率比之间的关系. 在有随机热噪声的信道上传输数据信号时，数据传输率Rmax与信道带宽B，信噪比S/N关系为： Rmax=B*Log2(1+S/N)。 在信号处理和信息理论的相关领域中，通过研究信号在经过一段距离后如何衰减以及一个给定信号能加载多少数据后得到了一个著名的公式，叫做香农（Shannon）定理。它以比特每秒（bps）的形式给出一个链路速度的上限，表示为链路信噪比的一个函数，链路信噪比用分贝（dB）衡量。因此我们可以用香农定理来检测电话线的数据速率。 香农定理由如下的公式给出: C=B*log2(1+S/N) 其中C是可得到的链路速度也就是信道容量，B是链路的带宽，S是平均信号功率,N是平均噪声功率，信噪比（S/N）通常用分贝（dB）表示，分贝数=10×log10（S/N）。 通常音频电话连接支持的频率范围为300Hz到3300Hz，则B=3300Hz－300Hz=3000Hz，而一般链路典型的信噪比是30dB，即S/N=1000，因此我们有C=3000×log2（1001），近似等于30Kbps，是28.8Kbps调制解调器的极限，因此如果电话网络的信噪比没有改善或不使用压缩方法，调制解调器将达不到更高的速率。 香农公示还有几个重要结论：当心道德传输宽带一定时，接收端的信噪比越大，其系统的信噪容量越大。当噪声功率趋近0时，信道容量趋近无穷。当接收端的信噪比一定时，信道的传输宽带越大，其系统的信道容量也越大。当信道带宽趋于无穷时，信道容量并不趋于无穷，而是趋于一个固定值。当信道容量一定时，信道带宽与信噪比可以互换。比如，可以通过增加系统的传输带宽来降低接收机对信噪比的要求，即以牺牲系统的有效性来换取系统的可靠性，这也正是扩频通信的理论基础。 09物电四班何玲 2009070416 香农采样定理 采样定理，又称香农采样定理，奈奎斯特采样定理，是信息论，特别是通讯与信号处理学科中的一个重要基本结论.E. T. Whittaker(1915年发表的统计理论),克劳德·香农与Harry Nyquist都对它作出了重要贡献。另外,V. A. Kotelnikov 也对这个定理做了重要贡献。 采样是将一个信号（即时间或空间上的连续函数）转换成一个数值序列（即时间或空间上的离散函数）。采样定理指出， 如果信号是带限的，并且采样频率高于信号带宽的一倍，那么，原来的连续信号可以从采样样本中完全重建出来。 带限信号变换的快慢受到它的最高频率分量的限制，也就是说它的离散时刻采样表现信号细节的能力是有限的。采样定理是指，如果信号带宽小于奈奎斯特频率（即采样频率的二分之一），那么此时这些离散的采样点能够完全表示原信号。高于或处于奈奎斯特频率的频率分量会导致混叠现象。大多数应用都要求避免混叠，混叠问题的严重程度与这些混叠频率分量的相对强度有关。 采样简介 从信号处理的角度来看，此采样定理描述了两个过程：其一是采样，这一过程将连续时间信号转换为离散时间信号；其二是信号的重建，这一过程离散信号还原成连续信号。 连续信号在时间（或空间）上以某种方式变化着，而采样过程则是在时间（或空间）上，以T为单位间隔来测量连续信号的值。T称为采样间隔。在实际中，如果信号是时间的函数，通常他们的采样间隔都很小，一般在毫秒、微秒的量级。采样过程产生一系列的数字，称为样本。样本代表了原来地信号。每一个样本都对应着测量这一样本的特定时间点，而采样间隔的倒数，1/T即为采样频率，fs，其单位为样本/秒，即赫兹(hertz)。 信号的重建是对样本进行插值的过程，即，从离散的样本x[n]中，用数学的方法确定连续信号x(t)。 从采样定理中，我们可以得出以下结论： 如果已知信号的最高频率f H，采样定理给出了保证完全重建信号的最低采样频率。这一最低采样频率称为临界频率或奈奎斯特频率，通常表 5. 克劳德. 艾尔伍德. 香农（Claude Elwood Shannon）——数学家、信息论的创始人 克劳德·艾尔伍德·香农（1916—2001）——1916年4月30日出生于美 国密歇根州的加洛德（Petoskey），1936年毕业于密歇根大学并获得数学和电 子工程学士学位，1940年获得麻省理工学院（MIT）数学博士学位和电子工 程硕士学位。1941年他加入贝尔实验室数学部，工作到1972年。1956年他 成为麻省理工学院（MIT）客座教授，并于1958年成为终生教授，1978年成 为名誉教授。香农博士于2001年2月26日去世，享年84岁。 香农在普林斯顿高级研究所（The Institute for Advanced Study at Princeton）期 间，开始思考信息论与有效通信系统的问题。经过8年的努力，从1948年6月到10月，香农在《贝尔系统技术杂志》（Bell System Technical Journal）上连载发表了影像深远的论文《通讯的数学原理》。1949年，香农又在该杂志上发表了另一著名论文《噪声下的通信》。在这两篇论文中，香农解决了过去许多悬而未决的问题：阐明了通信的基本问题，给出了通信系统的模型，提出了信息量的数学表达式，并解决了信道容量、信源统计特性、信源编码、信道编码等一系列基本技术问题。两篇论文成为了信息论的基础性理论著作。那时，他才不过刚刚三十出头。 香农的成就轰动了世界，激起了人们对信息论的巨大热情，它向各门学科冲击，研究规模象浪雪球一样越来越大。不仅在电子学的其他领域，如计算机、自动控制等方面大显身手，而且遍及物理学、化学、生物学、心理学、医学、经济学、人类学、语音学、统计学、管理学……等学科。它已远远地突破了香衣本人所研究和意料的范畴，即从香农的所谓“狭义盾息论”发展到了“广义信息论”。香农一鸣惊人，成了这门新兴学科的寞基人。20世纪80年代以来，当人们在议论未来的时候，人们的注意力又异口同声的集中到信息领域。按照国际一种流行的说法，未来将是一个高度信息化的社会。信息工业将发展成头号工业，社会上大多数的人将是在从事后息的生产、加工和流通。这时，人们才能更正确地估价香农工作的全部含义。信息论这个曾经只在专家们中间流传的学说，将来到更广大的人群之中。香农这个名字也飞出了专家的书斋和实验室，为更多的人所熟悉和了解。 香农被尊称为是“信息论之父”。人们通常将香农于1948年10月发表于《贝尔系统技术学报》上的论文《通信的数学原理》作为现代信息论研究的开端。这一文章部分基于哈里·奈奎斯特和拉尔夫·哈特利先前的成果。在该文中，香农给出了熵的定义： 这一定义可以用来推算传递经二进制编码后的原信息所需的信道带宽。熵的概念量度的是消息中所含的信息量，而去除了消息中固有结构所决定的部分，比如，语言结构的冗余性以及语言中字母、词的使用频度等统计特性。 对做题很有帮助哦 奈奎斯特定理与香农定理 早在1924年，A T&T的工程师奈奎斯特（Henry Nyquist）就认识到在任何信道中，码元传输的速率都是有上限的，并推导出一个计算公式，用来推算无噪声的、有限带宽信道的最大数据传输速率，这就是今天的奈奎斯特定理。由于这个定理只局限在无噪声的环境下计算信道最大数据传输速率，而在有噪声的环境下仍然不能有效计算出信道最大数据传输速率，因此在1948年，香农（Claude Shannon）把奈奎斯特的工作进一步扩展到了信道受到随机噪声干扰的情况，即在有随机噪声干扰的情况计算信道最大数据传输速率，这就是今天的香农定理。下面分别介绍这两个定理。 1．奈奎斯特定理 奈奎斯特证明，对于一个带宽为W赫兹的理想信道，其最大码元（信号）速率为2W波特。这一限制是由于存在码间干扰。如果被传输的信号包含了M个状态值（信号的状态数是M），那么W赫兹信道所能承载的最大数据传输速率（信道容量）是： C =2×W×log2M（bps） 假设带宽为W赫兹信道中传输的信号是二进制信号（即信道中只有两种物理信号），那么该信号所能承载的最大数据传输速率是2Wbps。例如，使用带宽为3KHz的话音信道通过调制解调器来传输数字数据，根据奈奎斯特定理，发送端每秒最多只能发送2×3000个码元。如果信号的状态数为2，则每个信号可以携带1个比特信息，那么话音信道的最大数据传输速率是6Kbps；如果信号的状态数是4，则每个信号可以携带2个比特信息，那么话音信道的最大数据传输速率是12Kbps。 因此对于给定的信道带宽，可以通过增加不同信号单元的个数来提高数据传输速率。然而这样会增加接收端的负担，因为，接收端每接收一个码元，它不再只是从两个可能的信号取值中区分一个，而是必须从M个可能的信号中区分一个。传输介质上的噪声将会限制M 的实际取值。 2．香农定理 奈奎斯特考虑了无噪声的理想信道，而且奈奎斯特定理指出，当所有其他条件相同时，信道带宽加倍则数据传输速率也加倍。但是对于有噪声的信道，情况将会迅速变坏。现在让我们考虑一下数据传输速率、噪声和误码率之间的关系。噪声的存在会破坏数据的一个比特或多个比特。假如数据传输速率增加了，每比特所占用的时间会变短，因而噪声会影响到更多比特，则误码率会越大。 对于有噪声信道，我们希望通过提高信号强度来提高接收端正确接收数据的能力。衡量信道质量好坏的参数是信噪比（Signal-to-Noise Ratio，S/N），信噪比是信号功率与在信道某一个特定点处所呈现的噪声功率的比值。通常信噪比在接收端进行测量，因为我们正是在接收端处理信号并试图消除噪声的。如果用S表示信号功率，用N表示噪声功率，则信噪比表示为S/N。为了方便起见，人们一般用10log10（S/N）来表示信噪比，单位是分贝（dB）。S/N的值越高，表示信道的质量越好。例如，S/N为1000，其信噪比为30dB；S/N为100，其信噪比为20dB；S/N为10，其信噪比为10dB。 对于通过有噪声信道传输数字数据而言，信噪比非常重要，因为它设定了有噪声信道一个可达的数据传输速率上限，即对于带宽为W赫兹，信噪比为S/N的信道，其最大数据传输速率（信道容量）为： C = W×log2(1+S/N)（bps） 例如，对于一个带宽为3KHz，信噪比为30dB（S/N就是1000）的话音信道，无论其使用多少个电平信号发送二进制数据，其数据传输速率不可能超过30Kbps。值得注意的是，香农定理仅仅给出了一个理论极限，实际应用中能够达到的速率要低得多。其中一个原因是 香农定理及其相关 一、香农第一、二和三编码定理 香农第一定理和香农第二定理指明：无论是无噪声信道,还是有噪声信道，只要信道的信息传输率小于信道容量，总能找到一种编码，在信道上以任意小的错误概率和任意接近信道容量的信息传输率传输信息。反之，若信道信息传输率大于信道容量，一定不能使传输错误概率任意小，传输必然失真。 信息率失真函数R(D)是满足保真度准则(D)时所必须具有的最小信息率，在进行信源压缩之类的处理时，R(D)就成为一个界限，不能让实际的信息率低于R(D),即限失真信源编码定理，也就是通常所说的香农第三编码定理。 二、无失真信源编码和限失真信源编码 ? 1.无失真信源编码： 适用：离散信源或数字信号 不适用：连续信源或模拟信号。 ? 2.限失真信源编码： 连续信源的每个样值所能载荷的信息量是无限大，对连续信源不引入失真是不可能的. 连续信号所对应的信宿一般是人,当失真在某一限度以下时是不易被感觉到的,因此是容许的. 三、香农编码定理→信源编码方法 1. 无记忆信源 ?理论：条件熵必然不大于无条件熵,而且常远小于后者. ?编码方法：解除符号间的相关性可进一步压缩码率. 2.有记忆信源 ?编码方法：多个符号合成为一个新符号,并设新符号组成的序列是独立序列,这样就可用上述方法进行编码. ?缺陷：合并的符号数少时,新符号间的相关性不能解除;合并符号数多时,复杂性将大为提高,而且对实时处理十分不利. ?改进：预测编码和变换编码 ?预测编码：利用前几个符号来预测后一个符号的值,预测值与实际值之差,亦即预测误差作为待编码的符号,这些符号间的相关性就大为减弱,这样可提高压缩比。 ?变换编码：样值空间的变换,例如从时域变到频域,在某些情况下,可减弱相关性,取得良好的压缩比. 四、理论→实践 ?在实际生活中，通常只是要求在保证一定质量的前提下在信宿近似地再现信源输出的信息，或者说在保真度准则下，允许信源输出的信息到达信宿时有一定的失真。 ?限失真信源编码的信息率失真理论是信号量化、模数转换、频带压缩和数据压缩的理论基础，在图像处理、数字通信等领域得到广泛的应用。 图像编码 ?图像编码可能性：图像像素之间，行方向和列方向，存在相关性，即存在冗余。 ?方案：提取或减少冗余 ?目的：少的编码来表征相同的信息量。最小信息率→↑有效性 图像中存在的冗余 ?空间冗余：同一景物表面样点连贯性。 ?结构冗余：图像像素值存在明显的分布结构。 ?知识冗余：图像有固定的结构（由先验知识和背景知识获得）。 ?视觉冗余：视觉系统对图像场的敏感是非均匀和非线性的。 ?区域相同性冗余：两个或多个区域对应像素相近或相同。 思考：如何提取或减少冗余？ 编码的理论方案 ?预测编码：利用以往的样本值对新样本值进行预测，将实际值与预测值相减得到误差值，对误差 曾莉萍通信四班 2009070471 由香农定理想开 克劳德〃艾尔伍德〃香农，1916年4月39日出生于美国密歇根州，1936年毕业于密歇根大学并获得数学和电子工程学士学位，1940年获得麻省理工学院（MIT）数学博士学位和电子工程硕士学位。 香农的大部分时间是在贝尔实验室和MIT(麻省理工学院)度过的。1948年至1949年间，他先后发表了《通讯的数学原理》和《噪声下的通信》，文章阐明了通信的基本问题，给出了通信系统的模型，提出了信息量的数学表达式，并解决了信道容量、信源统计特性、信源编码、信道编码等一系列基本技术问题。这两篇论文被视为信息论奠基之作。香农也因此一鸣惊人，被誉为“信息论之父”。 香农定理指出，如果信息源的信息速率R小于或者等于信道容量C，那么，在理论上存在一种方法可使信息源的输出能够以任意小的差错概率通过信道传输。该定理还指出：如果R>C，则没有任何办法传递这样的信息，或者说传递这样的二进制信息的差错率为1/2。香农定理描述了有限带宽、有随机热噪声信道的最大传输速率与信道带宽、信号噪声功率比之间的关系. 联想到所熟悉的通信技术，很容易对香农公式进行定性地验证，首先来看看因特网的接入方式。最早使用的拨号上网方式都离不开“猫”(调制解调器)，这是一种在模拟链路（音频电话线）上传输数据的设备，并且没有太高的错误率。但细心的人一定会 发现“猫”的标称速度为56Kbps了，但实际网络传输的速度都远低于56Kbps。究其原因就会发现瓶颈在电话线上。 自100多年前无线通信诞生以来，通信技术发生了翻天覆地的变化。香农的信息论不仅对传统的通信技术进行了概括总结，而且对当今及未来社会的信息化发展起到了决定性的指导作用。 奈奎斯特定理与香农定理 1.奈奎斯特定理 奈奎斯特定理又称奈氏准则，它指出在理想低通（没有噪音、带宽有限）的信道中，极限码元传输率为2WBaud。其中，W是理想低通信道的带宽，单位是HZ。若用V表示每个码元离散电平的数目，则极限数据率为 理想低通信道下的极限数据传输率=2Wlog2 V （单位：b/s） 对于奈氏准则，可以得到以下结论： 1）在任何信道中，码元传输的速率是有上限的。若传输速率超过上限，就会出现严重的码间串扰问题（是指在接受段收到的信号的波形失去了码元之间的清晰界限），使接受段对码元的完全正确识别成为不可能。 2）信道的频带越宽（即能通过的信号高频分量越多），就可以用更高的速率进行码元的有效传输。 3）奈氏准则给出了码元传输速率的限制，但并没有对信息传输速率给出限制。由于码元的传输速率受奈氏准则的制约，所以要提高数据的传输速率，就必须设法使每个码元能携带更多个比特的信号量，这就需要采用多元制的调制方法。对于采样定理：在通信领域带宽是指信号最高频率和最低频率之差，单位是HZ。因此将模拟信号转换成数字信号时，假设原始信号中的最大频率为f,那么采样频率f(采样)必须大于等于最大频率f的两倍,才能保证采样后的数字信号完整保留原始模拟信号的信息。另外，采样信息又称为奈奎斯特定理。 2.香农定理 香农定理给出了带宽受限且有高斯白噪声干扰的信道的极限数据传输速率，当用此速率进行传输时，做到不产生误差。香农定理定义为 信道的极限数据传输速率=wlog2 (1+S/N) (单位：b/s) 式中，W为信道的带宽，S为信道所传输信号的平均功率，N为信道内部的高斯噪声功率，S/N为信噪比，即信号的平均功率和噪声的平均功率之比，信噪比（单位：dB）=10 log10 (S/N)(dB)，如，当S/N=10时，信噪比为10dB,而当S/N=1000时，信噪比为30dB。 对于香农定理，可以得出以下结论： 1）信道的带宽或信道中的信噪比越大，则信号的极限传输速率就越高。 2）对一定的传输带宽和一定的信噪比，信息传输速率的上限就确定了。 3）只要信息的传输速率低于信道的极限传输速率，就一定能找到某种方法来实现无差错的传输。 4）香农定理得出的为极限信息传输速率，实际信道能达到的传输速率要比它低不少。 从香农定理可以看出，若信道带宽W或信噪比S/N没有上限（实际的信道当然都是不可能这样的），那么信道的极限传输速率也就没有上限。 香农第一定理(可变长无失真信源编码定理) 设离散无记忆信源X包含N个符号{x1,x2,…,xi,..,xN}，信源发出K重符号序列，则此信源可发出N^k个不同的符号序列消息，其中第j个符号序列消息的出现概率为PKj，其信源编码后所得的二进制代码组长度为Bj，代码组的平均长度B为 B=PK1B1+PK2B2+…+PN^kBN^k 当K趋于无限大时，B和H(X)之间的关系为B/K=H(X)(K趋近无穷） 香农第一定理又称为无失真信源编码定理或变长码信源编码定理。 香农第一定理的意义：将原始信源符号转化为新的码符号，使码符号尽量服从等概分布，从而每个码符号所携带的信息量达到最大，进而可以用尽量少的码符号传输信源信息。 香农第二定理（有噪信道编码定理） 有噪信道编码定理。当信道的信息传输率不超过信道容量时，采用合适的信道编码方法可以实现任意高的传输可靠性，但若信息传输率超过了信道容量，就不可能实现可靠的传输。 设某信道有r个输入符号，s个输出符号，信道容量为C，当信道的信息传输率R 香农信息论初阶1 1.说明信息、消息、信号的关系。 信息是消息所含有的内容；消息是信息的外在表现形式；信号是消息的具体物理体现。 所以：信息?消息?信号。 2.论述Shannon 信息论的不足之处。 Shannon 信息论主要有两大不足： 第一，Shannon 信息论中对信息的定义仅考虑由概率统计和随机过程所引起的因果关系的不确定（外延明确的不确定），未考虑其他因素引起的不确定性，如模糊不确定性（外延不明确的不确定）、混沌（chaos ）不确定性（确定中的不确定）、灰色不确定性（贫信息的不确定）等。 第二，Shannon 信息论中对信息的定义未涉及信息具有的主观性。 3.画出信息传输系统的模型，并对各主要部件进行阐述。 信源 → 编码器 → 信道 → 译码器 → 信宿 ↑ 噪声源 由于通信中的噪声源的存在，信息传输系统有以下5个部分： （1）信源是产生消息和消息序列的源； （2）编码器是把消息变成信号的部件，一般有信源编码、信道编码、加密编码； （3）信道是指通信系统把载荷消息的信号从甲地传输到乙地的媒介或通道； （4）译码器是把信道输出的编码信号进行反变换的部件，一般有解密译码、信道译码、信源译码； （5）信宿是消息传送的对象。 4.Shannon 信息论的框架结构。 Shannon 信息论 压缩理论（研究信息表示的有效性） 有失真信源编码定理 信源编码理论 具体的信源编码 无失真信源编码定理 传输理论（研究信息传输的可靠性） 信道编码定理 信道编码理论 具体的信道编码 保密理论（研究信息的保密性） 保密编码定理 保密编码理论 具体的保密编码 5.何为自信息和平均自信息？ 自信息定义为：) (1 log )(2i i a p a I = 平均自信息定义为：)(1 log )()(21i n i i a p a p X H ∑== 平均自信息是自信息的统计平均。 信息论的应用 13348108 吴泽焕13331138梁伟军 （中山大学信息科学与技术学院通信工程广州510006） 摘要：信息论是关于信息的本质和传送规律的科学理论，其主要特点是理论的成功应用。而信息论不仅仅在通信领域起作用，还在所有与信息有关的领域都发挥着重要作用。本文主要对信息论的一些原理做一个简单的综述。同时，将香农的信息论原理与人的主观世界结合，对主观领域定量分析，并利用信息论解释人的认识过程和记忆、遗忘的原因，拓展信息论的应用领域。 关键词：信息论；学习和记忆；应用 Application of information theory Abstract:Information theory is a scientific theory about the essence and the transmission of information, its main characteristic is the successful application. Whereas the theory not only plays an important role in the field of communication, but also plays an important role in other related fields. This article mainly makes a brief summary on the information theory. At the same time, we will combine Shannon's theory with human's subjective world to quantitatively analyse the subjective field,.and then use the information theory to explain the process of human's learning, as well as the cause of human forgetting, aiming to expand its application field. Key words:Information theory; Learning and memory; Application 0引言 通过课上老师对信息论的总体介绍，我们对信息论有了初步的认识。信息论在科学领域和日常生活中都有着非常重要的应用。 在当今信息社会中，信息是社会与社会生产力发展的动力与资源。信息作为一种资源，如何开发、利用、共享是值得关注的问题。作为通信工程专业的学生，一提起信息论的应用，我们首先想到了其在通信领域中的广泛应用。但是，信息论的实际应用远不止于通信领域，它在其他领域中也发挥着不可忽视的作用。据此，我们将信息论原理结合到学习生活当中，并利用信息论解释人的认识过程和记忆、遗忘的原因，拓展信息论的应用领域。 香农及香农定理 克劳德·艾尔伍德·香农（Claude Elwood Shannon ，1916年4月30日—2001年2月26日）是美国数学家、信息论的创始人。1940年在麻省理工学院获得硕士和博士学位，1941年进入贝尔实验室工作。香农提出了信息熵的概念，为信息论和数字通信奠定了基础。主要论文有：1938年的硕士论文《继电器与开关电路的符号分析》，1948年的《通讯的数学原理》和1949年的《噪声下的通信》。 香农第一定理(可变长无失真信源编码定理) 设离散无记忆信源X包含N个符号{x1,x2,…,xi,..,xN}，信源发出K重符号序列，则此信源可发出N^k个不同的符号序列消息，其中第j个符号序列消息的出现概率为PKj，其信源编码后所得的二进制代码组长度为Bj，代码组的平均长度B为 B=PK1B1+PK2B2+…+PN^k BN^k 当K趋于无限大时，B和H(X)之间的关系为B/K=H(X)(K趋近无穷） 香农第一定理又称为无失真信源编码定理或变长码信源编码定理。 香农第一定理的意义：将原始信源符号转化为新的码符号，使码符号尽量服从等概分布，从而每个码符号所携带的信息量达到最大，进而可以用尽量少的码符号传输信源信息。 香农第二定理（有噪信道编码定理） 有噪信道编码定理。当信道的信息传输率不超过信道容量时，采用合适的信道编码方法可以实现任意高的传输可靠性，但若信息传输率超过了信道容量，就不可能实现可靠的传输。 设某信道有r个输入符号，s个输出符号，信道容量为C，当信道的信息传输率R现代通信与香农三大定理
香农定律
香农定理
香农采样定理
香农的简介
奈奎斯特定理与香农定理详解
香农定理及其相关
由香农定理展开
奈奎斯特定理与香农定理
香农三大定理
香农信息论大意
《信息论的应用》
香农及其香农定理