人教版八年级数学上三角形及其角平分线、中线和高线

初中数学试卷

金戈铁骑整理制作

三角形及其角平分线、中线和高线

知识导引

1、三角形的有关概念：

定义：由不在通一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。

外角：三角形一条边的延长线和另一条相邻的边组成的角。

三角形的中线：连结三角形的一个顶点与该顶点的对边中点的线段，叫做三角形的中线。三角形的高线：从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线。

三角形的角平分线：在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。

注意：三角形的中线、高线、角平分线都是线段。

2、三角形的边角关系：

边与边的关系：三角形的任意一边大于另外两边之差，并小于另外两边之和。

角与角的关系：三角形的内角和等于180°，外角和等于360°；三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，且大于任何一个和它不相邻的内角。

边与角的关系：在一个三角形中，等角对等边，等边对等角，大角对大边，大边对大角。3三角形的分类：

按角分：三角形可分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。

按边分：三角形可分为不等边三角形、等腰三角形。

典例精析

例1：现有2cm，4cm，5cm，8cm长的四根木棒，任意选取三根组成一个三角形，那么可以组成三角形的个数为（）

A、1个

B、2个

C、3个

D、4个

例2：如图，AD是△ABC的角平分线，AE是BC边上的高线，∠B=20°，∠C=40°，求∠DAE 的度数。

A

例3：如图所示，平面上的六个点A、B、C、D、E、F构成一个封闭的折线图形。求∠

＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F 的值。

例3—1：求如图1所示图形中∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E 的大小。

例3—2：如图所示，（∠1＋∠2－∠3）＋（∠4＋∠5－∠6）＋（∠7＋∠8－∠9）=

例4：如图所示，在△ABC 中，∠ABC 的平分线与∠ACB 的外角平分线交于点D ，且∠D=30°，求∠A 的度数。

例4—1：如图，点C 在直线BE 上，∠ABC 与∠ACE 的角平分线交于点1A 。

（1）若∠A=60°，求∠1A 的度数；

（2）若∠A=m 度求∠1A 的度数；

（3）在（2）的条件下，若再作∠1A BE ，∠1A CE 的平分线，交于点2A ；作∠2A BE ，∠2A CE 的平分线，交于点3A ；…；以此类推，则∠2A ，∠3A ，…，∠n A 分别为多少度？

例5：（1）如图，BE是∠ABD的平分线，CF是∠ACD的平分线，BE与CF交于点G，若∠BDC=140°，∠BGC=110°，求∠A的大小。

（2）在△ABC中，∠A=50°，高线BE，CF交于点O，且点O不与点B，C重合，求∠BOC 的度数。

探究活动

例：（1）用长度相等的100根火柴棒，摆成一个三角形，使最大边的长度是最小边长度的3倍，求满足此条件的每个三角形的各边所用火柴棒的根数。

（2）现有长150cm的铁丝，要截成n（n＞2）小段，每段的长为不小于1cn的整数，如果其中任意3小段都不能拼成三角形，试求n的，此时有几种方法将该铁丝截成满足条件的n段？

学力训练

A 组 务实基础

1、下列条件：①∠A ＋∠B=∠C ；②∠A:∠B:∠C=2:3:4；③∠A ＝90°－∠B ；④∠A ＝∠B ＝2

1∠C ；其中，能确定△ABC 是直角三角形的条件有（ ） A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个

2、如图，在△ABC 中，CD ⊥BC 于点C ，点D 在AB 的延长线上，则CD 是△ABC 的（ ）

A 、BC 边上的高线

B 、AB 边上的高线

C 、AC 边上的高线

D 、以上都不对

（第2题图） （第3题图） （第4题图）

3、如图，工人师傅砌门时，常用木条EF 固定长方形门框ABCD ，使其不变形，这样做的根据是（ ）

A 、两点之间线段最短

B 、三角形具有稳定性

C 、长方形是轴对称图形

D 、长方形的四个角都是直角

4、如图，一只花猫发现一只老鼠溜进了一个内部连通的鼠洞，鼠洞只有三个出口A ，B ，C ，要想同时顾及这三个出口以防老鼠出洞，这只花猫最好蹲守在（ ）

A 、△ABC 的三边高线的交点处

B 、△AB

C 的三条角平分线的交点处

C 、△ABC 的三边中线的交点处

D 、△ABC 的三边中垂线的交点处

5、三角形三边的长分别为8，19，a ，则最大的边a 的取值范围是

6、如图，∠A=65°，∠B=75°，将纸片的一角折叠，使点C 落在△ABC 内，若∠1=20°，则∠2的度数为

（第6题图） （第7题图）

7、把一副常用的三角尺按如图所示拼在一起，那么∠ADE 是 度

8、用9根相同的火柴棒拼成一个三角形，火柴棒不允许剩余、重叠和折断，则能摆出不同

的三角形的个数是 个。

9、已知：如图，在△ABC 中，∠BAC=80°，AD ⊥BC 于点D ，AE 平分∠DAC ，∠B=60°，求∠AEC 的度数。

10、请你找一张长方形纸片，按以下步骤动手进行操作：

步骤一：在CD 上取一点P ，将∠D 和∠C 向上翻折，这样将形成折痕PM 和PN ，如图所示；

步骤二：翻折后，使点D ，C 落在原长方形所在的平面内，即点‘D 和’

C ，细心调整折痕

PN ，PM 的位置，使P ‘D ，P ’C 重合，如图，设折角α=∠'MPD ，β=∠‘NPC 。 （1）猜想∠MPN 的度数；

（2）若重复上面的操作过程，并改变α的大小，猜想：随着α大小的变化，∠MPN 的度数怎样变化？请说明你猜想的正确性。

B 组 瞄准中考

1、（连云港中考）小华在电话中问小明：“已知一个三角形的三边长分别是4，9，12，如何求这个三角形的面积？”小明提示说：“可通过作最长边上的高来求解。”小华根据小明的提示作出的图形正确的是（ ）

A B C D

2、（昆明中考）如图，在△ABC 中，CD 是∠ACB 的平分线，∠A=80°，∠ACB=60°，那么∠BDC 等于（ ）

A 、80°

B 、90°

C 、100°

D 、110°

3、（鄂州中考）如图，AD 是△ABC 中∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 交AB 于点E ，DF ⊥AC 交AC 于点F ，7 ABC S △，DE=2，AB=4，则AC 的长是（ ）

A 、4

B 、3

C 、6

D 、5

（第2题图） （第3题图）

4、（河南中考）如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠B=30°，AB=6，点D 在AB 边上，点E 是BC 边上一点（不与点B ，C 重合），且AD=DE ，则AD 的取值范围是

5、（宁波中考）如图，在△ABC 中，AB=AC ，D ，E 是△ABC 内两点，AD 平分∠BAC ，∠EBC=∠E=60°，若BE=6cm ，DE=2cm ，则BC= cm 。

（第4题图） （第5题图）

6、（蚌埠中考）三角形纸片内有100个点，连同三角形的顶点共103个点，其中任意三点 都不共线，现以这些点为顶点作三角形，并把纸片剪成小三角形，则这样的三角形的个数 为

7、（德州中考）如图，有一块三角形的地，现要平均分给四个农户种植（即四等分三角形的面积），请你在图上作出分法。（不写作法，保留作图痕迹）

8、（日照中考）如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，DE ∥AC ，EF ⊥AD 交BC 延长线于点F 。求证：∠FAC=∠B 。

9、（1）如图1，在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线交于点O ，则有∠BOC=90°+21∠A ，请说明理由。

（2）如图2，在△ABC 中，内角∠ABC 的平分线和外角∠ACD 的平分线交于点O ，请直接写出∠BOC 与∠BAC 的关系，不必说明理由。

（3）如图3，AP ，BP 分别平分∠CAD ，∠CBD ，则有∠P=2

1（∠C+∠D ），请说明理由。 （4）如图4，AP ，BP 分别平分∠CAM ，∠CBD ，则有请直接写出∠P 与∠C ，∠D ）的关系，不必说明理由。

10、（包头中考）如图，已知在△ABC 中，AB=AC=10厘米，BC=8厘米，点D 为BC 的中点。

（1）如果点P 在线段BC 上以3厘米/秒的速度由点B 向点C 运动，同时，点Q 在线段CA 上由点C 向点A 运动。

①若点Q 的运动速度与 点P 的运动速度相等，经过1秒后，△BPD 与△CQP 是否全等？请说明理由。

②若点Q 的运动速度与 点P 的运动速度不相等，当点Q 运动速度为多少时，能够使△BPD 与△CQP 全等？

（2）若点Q 以②中的运动速度从点C 出发，点P 以原来的运动速度从点B 同时出发，都逆时针沿三角形三边运动，则经过多长时间点P 与点Q 第一次在哪条边上相遇？

C 组 冲击金牌

1、设△ABC 的三边长分别为a 、b 、c ，其中a ，b 满足0)4(62=+-+-+b a b a ，则第三边长c 的取值范围是（ ）

A 、3＜c ＜5

B 、2＜c ＜4

C 、4＜c ＜6

D 、5＜c ＜6

2、有一块试验地的形状为等边三角形（设其为△ABC ），为了解情况，管理员甲从顶点A 出发，沿AB→BC→CA 的方向走了一圈回到顶点A 处；管理员乙从BC 边上一点D 出发，沿DC→CA→AB→BD 的方向走了一圈回到出发点D 处，甲、乙两位管理员从出发到回到原处，在途中身体（ ）

A 、甲、乙都转过180°

B 、甲、乙都转过360°

C 、甲转过120°，乙转过180°

D 、甲转过240°，乙转过360°

3、若OM 是∠AOB 的平分线，ON 是∠BOC 的平分线，∠AOB=50°，∠BOC=80°，则∠MON 为

4、某个三角形的三边长是三个连续的整数，若最短的边长是周长的30%，则最长的边长 是

5、如图1，点O 为直线AB 上一点，过O 点作直线OC ，使∠BOC=120°，将一直角三角板的直角顶点放在O 处，一边OM 在射线OB 上，另一边ON 在直线AB 下方。

（1）将图1中的三角板绕点O 按逆时针方向旋转至图2，使一边OM 在∠BOC 的内部，且恰好平分∠BOC ，问：直线ON 是否平分∠AOC ？请说明理由。

（2）将图1中的三角板绕点O 按每秒6°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转过程中，直线ON 恰好平分∠AOC 时，求旋转时间t 的值。

（3）将图1中的三角板绕点O 按顺时针方向旋转至图3的位置，使ON 在∠AOC 的内部，请探究∠AOM 与∠NOC 之间的数量关系并说明理由。