江苏省南京市人民中学2020-2021学年高二上学期月考数学试卷(9月份)(解析版)
2020-2021学年江苏省南京市玄武区人民中学高二（上）月考数
学试卷（9月份）
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上.
1．（5分）计算sin43°cos13°﹣cos43°sin13°的结果等于（）
A．B．C．D．
2．（5分）已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且，则sin B＝（）
A．B．C．D．
3．（5分）若方程x2+y2﹣4x+2y+5k＝0表示圆，则实数k的取值范围是（）
A．（﹣∞，1）B．（﹣∞，1]C．[1，+∞）D．R
4．（5分）圆柱的侧面展开图是一个边长为2的正方形，那么这个圆柱的体积是（）A．B．C．D．
5．（5分）已知M（﹣3，0），N（3，0），|PM|﹣|PN|＝6，则动点P的轨迹是（）A．一条射线B．双曲线右支C．双曲线D．双曲线左支6．（5分）设抛物线y2＝12x的焦点为F，点P在此抛物线上且横坐标为5，则|PF|等于（）A．4B．6C．8D．10
7．（5分）下列三图中的多边形均为正多边形，M，N是所在边的中点，双曲线均以图中的F1，F2为焦点，设图示①②③中的双曲线的离心率分别为e1，e2，e3、则e1，e2，e3的大小关系为（）
A．e1＞e2＞e3B．e1＜e2＜e3C．e2＝e3＜e1D．e1＝e3＞e2 8．（5分）某同学数星星的时候，突然想到了哈雷彗星：信息技术老师给他找了一幅哈雷慧星图片和轨道图片，地理老师告诉他哈雷慧星近日点距离太阳约0.6A．U．，将于2023年
12月9日出现的远日点距离太阳约35A．U．（A．U．是天文单位，天文学中计量天体之间距离的一种单位，其数值取地球和太阳之间的平均距离，1A．U．＝149，597，870千米）物理老师告诉他该彗星的周期约76年，质量约1015kg．化学老师说：彗核的成分以水冰为主，占70%，它只是个很松散的大雪堆而已，数学老师问：哈雷慧星的轨迹可以近似看成椭圆，那么该椭圆的离心率约是多少呢？（）
A．1.03B．0.97C．0.83D．0.77
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上，全部选对得5分，部分选对得3分，不选或有错选的得0分
9．（5分）以下命题（其中a，b表示直线，α表示平面），其中错误的是（）
A．若a∥b，b?α，则a∥α
B．若a∥α，b∥α，则a∥b
C．若a∥b，b∥α，则a∥α
D．若a∥α，a?β，α∩β＝b，则a∥b
10．（5分）关于双曲线C1：＝1与双曲线C2：＝﹣1，下列说法正确的是（）
A．它们有相同的渐近线B．它们有相同的顶点
C．它们的离心率不相等D．它们的焦距相等
11．（5分）已知方程mx2+ny2＝1，其中m2+n2≠0，则（）
A．mn＞0时，方程表示椭圆
B．mn＜0时，方程表示双曲线
C．n＝0时，方程表示抛物线
D．n＞m＞0时，方程表示焦点在x轴上的椭圆
12．（5分）如图A（2，0），B（1，1），C（﹣1，1），D（﹣2，0），是以OD为直径的圆上一段圆弧，是以BC为直径的圆上一段圆弧，是以OA为直径的圆上一段圆弧，
三段弧构成曲线Ω．则下面说法正确的是（）
A．曲线Ω与x轴围成的面积等于
B．与的公切线方程为：
C．所在圆与所在圆的交点弦方程为：x﹣y＝0
D．用直线y＝x截所在的圆，所得的弦长为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填写在答题卡相应位置上13．（5分）抛物线y＝4x2的准线方程为．
14．（5分）双曲线﹣＝1的焦点到其渐近线的距离为．
15．（5分）已知点A（﹣2，1），y2＝﹣4x的焦点是F，P是y2＝﹣4x上的点，为使|P A|+|PF|取得最小值，P点的坐标是．
16．（5分）如图，AB为圆O的直径，点C在圆周上（异于点A，B），直线P A垂直于圆O 所在的平面，点M是线段PB的中点．有以下四个命题：
①MO∥平面P AC；
②P A∥平面MOB；
③OC⊥平面P AC；
④平面P AC⊥平面PBC．
其中正确的命题的序号是．
四、解答题：本大题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.
17．（10分）已知函数f（x）＝x．
（1）求函数f（x）的值域；
（2）求函数f（x）单调递增区间．
18．（12分）已知直线l1：x+2ay+1＝0，直线l2：（3a﹣1）x﹣ay﹣7＝0．
（1）若l1⊥l2，求实数a的值；
（2）若l1∥l2，求实数a的值．
19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是边长为2的菱形，PD⊥底面ABCD．
（1）求证：AC⊥平面PBD；
（2）若PD＝2，直线PB与平面ABCD所成的角为45°，求四棱锥P﹣ABCD的体积．
20．（12分）已知抛物线y2＝2px（p＞0）的准线方程为x＝﹣1．
（Ⅰ）求p的值；
（Ⅱ）直线l：y＝x﹣1交抛物线于A、B两点，求弦长|AB|．
21．（12分）已知点P（﹣2，1）在椭圆C：+＝1（a＞0）上，动点A，B都在椭圆上，且直线AB不经过原点O，直线OP经过弦AB的中点．
（1）求椭圆C的方程和直线AB的斜率；
（2）求△P AB面积的最大值．
22．（12分）已知离心率为的椭圆E：+＝1（a＞b＞0）经过点A（1，）．（1）求椭圆E的方程；
（2）若不过点A的直线l：y＝x+m交椭圆E于B，C两点，求△ABC面积的最大值．
参考答案与试题解析
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上.
1．【分析】观察所求的式子发现满足两角和与差的正弦函数公式sinαcosβ﹣cosαsinβ＝sin（α﹣β），故利用此公式及特殊角的三角函数值化简即可求出原式的值．
【解答】解：sin43°cos13°﹣cos43°sin13°
＝sin（43°﹣13°）
＝sin30°
＝．
故选：A．
2．【分析】由已知利用正弦定理即可求解sin B的值．
【解答】解：因为，
由正弦定理，可得．
故选：A．
3．【分析】由方程x2+y2﹣4x+2y+5k＝0配方可得（x﹣2）2+（y+1）2＝5﹣5k，此方程表示圆，则5﹣5k＞0，解得即可．
【解答】解：由方程x2+y2﹣4x+2y+5k＝0可得（x﹣2）2+（y+1）2＝5﹣5k，此方程表示圆，则5﹣5k＞0，解得k＜1．
故实数k的取值范围是（﹣∞，1）．
故选：A．
4．【分析】由题意求出圆柱的高和底面圆半径，再求圆柱的体积．
【解答】解：如图所示，
圆柱的侧面展开图是一个边长为2的正方形，
则圆柱的高为h＝2，
底面圆的周长为2πr＝2，
解得r＝，
∴圆柱的体积是V＝πr2h＝π??2＝．
故选：A．
5．【分析】先计算|MN|，从而有|PM|﹣|PN|＝|MN|，故可确定点P的轨迹．
【解答】解：由题意，|MN|＝3+3＝6，
∵|PM|﹣|PN|＝6，
∴|PM|﹣|PN|＝|MN|，
∴点P的轨迹是射线．
故选：A．
6．【分析】利用抛物线的标准方程，求出p，通过定义转化求解即可．
【解答】解：抛物线y2＝12x的焦点在x轴上，P＝6，
由抛物线的定义可得：．
故选：C．
7．【分析】根据题设条件，分别建立恰当的平面直角坐标系，求出图示①②③中的双曲线的离心率e1，e2，e3，然后再判断e1，e2，e3的大小关系．
【解答】解：①设等边三角形的边长为2，以底边为x轴，以底边的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，
则双曲线的焦点为（±1，0），且过点（，），
∵（，）到两个焦点（﹣1，0），（1，0）的距离分别是和，∴，c＝1，∴．
②正方形的边长为，分别以两条对角线为x轴和y轴，建立平面直角坐标系，
则双曲线的焦点坐标为（﹣1，0）和（1，0），且过点（）．
∵点（）到两个焦点（﹣1，0），（1，0）的距离分别是和，
∴，c＝1，∴．
③设正六边形的边长为2，以F1F1所在直线为x轴，以F1F1的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，
则双曲线的焦点为（﹣2，0）和（2，0），且过点（1，），
∵点（1，）到两个焦点（﹣2，0）和（2，0）的距离分别为2和2，
∴a＝﹣1，c＝2，∴．
所以e1＝e3＞e2．
故选：D．
8．【分析】设椭圆的长半轴长为a，半焦距为c，由题意列方程求得a与c的值，则离心率可求．
【解答】解：设椭圆的长半轴长为a，半焦距为c，
由题意可得，解得a＝17.8，c＝17.2，
∴e＝．
故选：B．
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上，全部选对得5分，部分选对得3分，不选或有错选的得0分
9．【分析】对于A，a∥α或a?α；对于B，a与b相交、平行或异面；对于C，a∥α或a?α；对于D，由线面平行的性质得a∥b．
【解答】解：由a，b表示直线，α表示平面，知：
对于A，若a∥b，b?α，则a∥α或a?α，故A错误；
对于B，若a∥α，b∥α，则a与b相交、平行或异面，故B错误；
对于C，若a∥b，b∥α，则a∥α或a?α，故C错误；
对于D，若a∥α，a?β，α∩β＝b，则由线面平行的性质得a∥b，故D正确．
故选：ABC．
10．【分析】求解两个双曲线的顶点坐标，渐近线方程，离心率，焦距判断选项即可．
【解答】解：双曲线C1：＝1的顶点坐标（±3，0），渐近线方程：4x±3y＝0，离心率为：，焦距为10．
双曲线C2：＝﹣1，即：，它的顶点坐标（±4，0），
渐近线方程：3x±4y＝0，离心率为：，焦距为10．
所以它们的离心率不相等，它们的焦距相等．
故选：CD．
11．【分析】由椭圆方程和双曲线方程、抛物线方程的特点，可判断结论．
【解答】解：方程mx2+ny2＝1，其中m2+n2≠0，
当m＜0，n＜0时，方程不表示椭圆，故A错；
当mn＜0时，方程表示双曲线，故B对；
当n＝0时，mx2＝1，m＞0，方程表示两条直线；m≤0时，不表示任何图象，故C错；
n＞m＞0时，方程表示焦点在x轴上的椭圆，故D对．
故选：BD．
12．【分析】首先利用分割法的应用求出曲线Ω与x轴围成的曲变形的面积，进一步利用点到直线的距离和直线的平行的应用求出圆的公切线的方程，最后利用垂径定理的应用和勾股定理的应用求出结果．
【解答】解：根据题意：圆弧AB表示为以（1，0）为圆心，1为半径的圆的周长的．圆弧BC表示为以（0，1）为圆心，1为半径的圆的周长的．
圆弧CD是以（﹣1，0）为圆心，1为半径的圆的周长的．
所以把图形进行分割，如图所示：
①所以曲线Ω与x轴围成的图形的面积为S＝
，故选项A错误．
②由于圆弧AB表示为以（1，0）为圆心，1为半径的圆．
圆弧BC表示为以（0，1）为圆心，1为半径的圆．
所以和所在的圆的公切线平行于经过（1，0）和（0，1）的直线，
所以设直线的斜率k＝﹣1，
设直线的方程为x+y+b＝0，
所以（0，1）到直线x+y+b＝0的距离d＝，解得b＝或，
根据图象得：公切线的方程为x+y﹣，故选项B正确．
③以和所在的圆的方程为（x﹣1）2+y2＝1.所在的圆的方程为x2+（y﹣1）2＝1，两圆相减得：x﹣y＝0．
④所在的圆的方程为（x+1）2+y2＝1，
所以圆心（﹣1，0）到直线x﹣y＝0的距离d＝，
所以所截的弦长为l＝2，故选项D错误．
故选：BC．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填写在答题卡相应位置上13．【分析】先把抛物线方程整理成标准方程，进而求得p，再根据抛物线性质得出准线方程．
【解答】解：整理抛物线方程得x2＝y，∴p＝
∵抛物线方程开口向上，
∴准线方程是y＝﹣
故答案为：．
14．【分析】先由题中条件求出焦点坐标和渐近线方程，再代入点到直线的距离公式即可求出结论．
【解答】解：由题得：其焦点坐标为（﹣，0），（，0）．渐近线方程为y＝±x，即x﹣2y＝0，
所以焦点到其渐近线的距离d＝＝．
故答案为：．
15．【分析】过P作PK⊥l（l为抛物线的准线）于K，则|PF|＝|PK|，进而问题转化为求|P A|+|PK|的最小值，当P，A，K三点共线时即当P点的纵坐标与A点的纵坐标相同时，|P A|+|PK|最小，把y＝1代入抛物线方程求得x，则点P的纵坐标可得，进而求得P的坐标．
【解答】解：过P作PK⊥l（l为抛物线的准线）于K，则|PF|＝|PK|，
∴|P A|+|PF|＝|P A|+|PK|．
∴当P点的纵坐标与A点的纵坐标相同时，
|P A|+|PK|最小，此时P点的纵坐标为1，把y＝1代入y2＝﹣4x，得x＝﹣，
即当P点的坐标为（﹣，1）时，|P A|+|PF|最小．
故答案为：．
16．【分析】①先证明MO∥P A，即可判定MO∥平面P AC；
②P A在平面MOB内，可得②错误；
③可证P A⊥BC，BC⊥平面P AC．即可证明OC⊥平面P AC不成立；
④由③知BC⊥平面P AC，即可证明平面P AC⊥平面PBC．
【解答】解：①因为MO∥P A，MO?平面P AC，P A?平面P AC，所以MO∥平面P AC；
②因为P A在平面MOB内，所以②错误；
③因为P A垂直于圆O所在的平面，所以P A⊥BC．
又BC⊥AC，AC∩P A＝A，所以BC⊥平面P AC．因为空间内过一点作已知平面的垂线有且只有一条，所以OC⊥平面P AC不成立，③错误；
④由③知BC⊥平面P AC，且BC?平面PBC，所以平面P AC⊥平面PBC．
正确命题的序号是①④．
故答案为：①④．
四、解答题：本大题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.
17．【分析】（1）利用辅助角公式进行化简，结合三角函数的有界性进行求解即可．
（2）根据三角函数的单调性的性质进行求解即可．
【解答】解：（1）f（x）＝x＝sin2x+1+cos2x＝2sin（2x+）+1，∵﹣1≤sin（2x+）≤1，∴﹣2≤2sin（2x+）≤2，﹣1≤2sin（2x+）+1≤3，
即﹣1≤f（x）≤3，即f（x）的值域为[﹣1，3]．
（2）由2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈Z，
得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z，
即函数的单调递增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．
18．【分析】（1）由相互垂直的直线的系数关系求出a的值；
（2）由相互平行的系数关系求出a的值．
【解答】解：（1）若l1⊥l2，由题意可得1×（3a﹣1）+2a×（﹣a）＝0，即2a2﹣3a+1＝0，解得a＝或a＝1；
（2）若l1∥l2，由题意可得1?（﹣a）＝2a?（3a﹣1），且1×（﹣7）≠1×（3a﹣1），解得a ＝0或a＝．
19．【分析】（1）由四边形ABCD是菱形，得AC⊥BD，再由PD⊥平面ABCD，得PD⊥AC，然后利用直线与平面垂直的判定可得AC⊥平面PBD；
（2）由PD⊥平面ABCD，得∠PBD是直线PB与平面ABCD所成的角，可得∠PBD＝45°，再由已知求得BD＝2．由AB＝AD＝2，求出菱形ABCD的面积，代入棱锥体积公式求四棱锥P﹣ABCD的体积．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，
又∵PD⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，
∴PD⊥AC，又PD∩BD＝D，
∴AC⊥平面PBD；
（2）解：∵PD⊥平面ABCD，
∴∠PBD是直线PB与平面ABCD所成的角，
于是∠PBD＝45°，
∵PD＝2，∴BD＝PD＝2，又AB＝AD＝2，
∴菱形ABCD的面积为，
故四棱锥P﹣ABCD的体积．
20．【分析】（Ⅰ）利用抛物线的性质，直接求p的值；
（Ⅱ）联立直线l：y＝x﹣1与抛物线方程，通过韦达定理以及弦长公式，转化求解弦长|AB|．【解答】解：（Ⅰ）由抛物线y2＝2px（p＞0）的准线方程为x＝﹣1．
得，所以p＝2；
（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），由消去y，得x2﹣6x+1＝0，
则x1+x2＝6，x1x2＝1，
所以
＝
＝
＝．
21．【分析】（1）将P（﹣2，1）代入+＝1，得椭圆方程为+＝1，设直线AB：
y＝kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2），A，B的中点为M（x0，y0），由，得（1+4k2）
x2+8kmx+4m2﹣8＝0，由此利用韦达定理、中点坐标公式，能求出椭圆C的方程和直线AB 的斜率．
（2）当k＝时，由△＝16﹣4m2＞0，得﹣2＜m＜2，x1+x2＝﹣2m，x1x2＝2m2﹣4，|AB|＝|x1﹣x2|＝2?，点P到直线AB：y＝的距离d＝，△P AB面积S＝|AB|d＝|m﹣2|＝，设f（m）＝﹣（m﹣2）3（m+2），（﹣2＜m＜2），利用导数性质能求出△P AB面积的最大值．
【解答】解：（1）将P（﹣2，1）代入+＝1，得+＝1，
解得a2＝8，
∴椭圆方程为+＝1，
设直线AB：y＝kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2），A，B的中点为M（x0，y0），
由，得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣8＝0，
，，
直线OP经过弦AB的中点，则k OM＝k OP，＝﹣，
＝﹣，∴k AB＝．
（2）当k＝时，由△＝16﹣4m2＞0，得﹣2＜m＜2，x1+x2＝﹣2m，x1x2＝2m2﹣4，
|AB|＝|x1﹣x2|＝?＝2?，
点P到直线AB：y＝的距离d＝，
△P AB面积S＝|AB|d＝|m﹣2|＝，
设f（m）＝﹣（m﹣2）3（m+2），（﹣2＜m＜2），
则f′（m）＝﹣[3（m﹣2）2（m+2）+（m﹣2）3]＝﹣4（m﹣2）2（m+1），
解得f（m）max＝f（﹣1）＝27，
∴S max＝＝3．
22．【分析】（1）根据，设，c＝n，则b＝n，椭圆E的方程为，代入点A的坐标解出即可；
（2）设B（x1，y1），C（x2，y2）．直线l：y＝x+m代入椭圆方程并化简，再利用根与系数的关系、弦长公式、点到直线的距离公式、三角形的面积计算公式、基本不等式的性质即可得出．
【解答】解：（1）因为，所以设，c＝n，则b＝n，椭圆E的方程为．代入点A的坐标得，n2＝1，所以椭圆E的方程为．…（4分）（2）设点B，C的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），
由得，
即，，…（6分）
△＝2m2﹣4（m2﹣1）＞0，m2＜2．…（7分）
＝＝，
点A到直线l的距离，…（9分）
△ABC的面积＝＝…（11分）
，当且仅当m2＝2﹣m2，即m2＝1时等号成立．
所以当m＝±1时，△ABC面积的最大值为．…（12分）