高考数学高频考点原创与改编试题

2016年高考数学高频考点原创与改编试题

一、选择题与填空题创新题

原创题或改编题1：已知)(x f 为定义在R 上的奇函数，当0>x 时，都有

2016)()2(-=?+x f x f ，且当(]2,0∈x 时，12)(+=x x f ，则

=+-)2016()2015(f f （ ）

A

51344

B 5

1344- C 672 D 672-

解：0>x Θ时，.2016)()2(-=+x f x f

)

(2016

)2(x f x f -

=+∴ )()

2(2016

)4(x f x f x f =+-

=+∴

52016

1

22016)2(2016)4()2016(2-=+-=-

==∴f f f ()()()()6721

22016

120163201520151=+==

-=-=-f f f f ()()5

1344

20162015=

+-∴f f 原创题或改编题2：已知椭圆和双曲线有共同的焦点21,F F ，P 是它们的一个交点，

且0

2160=∠PF F ，记椭圆和双曲线的离心率分别为21,e e ，则2

11

e e 取最大值时，2

1,e e 的值分别是（ ）

A

26,22 B 25,21 C

6,33 D 3,4

2

解法一：设椭圆的长轴长为12a ，双曲线的实轴长为22a （21a a >）。设

.||,||2211r PF r PF ==不妨设21r r >。 2211212,2a r r a r r =-=+∴ 212211,a a r a a r -=+=

在21PF F ?中：()()()()()0

21212

212

212

60cos 22a a a a a a a a c -+--++=

2

221234a a c +=∴

()2

12

212

2

2

1

2

22

113

23

2

11114e e e e e e a c a c =≥+

=

???

? ??+

???

? ??=

∴ （当且仅当

2131e e =时，取=）由,3

3

21,32112==e e e e 得26,2221==e e 。 ∴选A

解法二：设椭圆的长轴长为12a ，双曲线的实轴长为22a （21a a >）。设

.||,||2211r PF r PF ==不妨设21r r >。 2211212,2a r r a r r =-=+∴

22

2212212141

c

r r c a a e e -==∴ 在21PF F ?中，,60,60,600

120

210

21αα-=∠+=∠∴=∠P F F P F F PF F

()

00

600

<<α由正弦定理：

()()

020160sin 260sin 60sin c

r r =-=+αα，

()

()

αα-=

+=

∴020160sin 3

4,60sin 3

4c r c r

()()()

ααα2sin 3

3

260sin 60sin 341020221=--+=∴

e e ∴当045=α时，

33

2|1max 21=

e e 此时,3

26426341c c r +=+?= c r 3

262-=

，22211=

∴=∴e c a ，2

6

2=e 。∴选A 原创题或改编题3：已知ABC ?的重心为G ，内C B A ,,角的对边分别为c b a ,,，

若03

3

22=+

+GC b GB a GA c ，则ABC ?为（ ） A 等边三角形 B 锐角三角形 C 直角三角形 D 钝角三角形

答案：C

原创题或改编题4：.一个几何体的三视图及其尺寸如图所示，则这个几何体的

所有棱的长度之和是（ ） （A ）8+22（B ）12

（C ）6+32 （D ）

4+42

答案：A

原创题或改编题5：有一个棱锥的三视图及其尺寸如图所

示，则该棱锥侧

棱与底面所成角的正弦值为（ ）

（A ）4

5

（B ）23417

（C ）2

3

（D 317

答案：B

原创题或改编题6：已知一个几何体的三视图及其尺寸如图所示，则它的外接球的表面积为_____.

答案：12π

（二）15题原创题及详解。

原创题或改编题7：若函数()f x 在其图象上存在不同的两点1122(,),(,)A x y B x y ，其

坐标满足条件：

2222

12121122

||x x y y x y x y +-++的最大值为0，则称()f x 为“柯西函数”， 则下列函数：

①1

()(0)f x x x x

=+

> ；② ()ln (03)f x x x =<<；

③()f x

④()f x =.

其中为“柯西函数”的有______(填出所有正确答案的番号

)

1212||||||||,()x x y y OA OB OA OB O A B y kx y f x +??≤???==u u u r u u u r u u u r 解：0且能取等号

、、三点共线

存在过原点的直线与的图象 有两个不同交点

①1

()(0)f x x x x

=+

>思考1：用图象 y x y kx ==它以为渐近线，与最多一个交点.

1

()(0)y kx f x x x x

==+>思考2：将代入 ，21)1,k x -=得(

(1)1(2)1k k ≤>时无解；时,有一个解不合题意.

② 00()ln ,y kx f x x x y ==设与的图象的切点为()

000001

,1,(01(),3)

y x x e x x f x x '==∴==∴∈Q 得ln 结合图象得，是,“柯西函数”

③221(0)84

y x y y =-=≥ 22

184

y x y kx -==图象是双曲线的上支，给合其渐近线，

与它的图象只有一个交点，不合题意。

220,k x y y y y k >=>=±若解方程组，易得时，原因是否还没解，就忽略了的隐含条件：从而（点拔：解方程组必须解所有未知数哟！）

④22

1(0)48

x y y y =?

-=≥ 22

184x y x x x -=图象是双曲线在轴上或轴上方的部分

在轴上有两个交点，合题意。

原创题或改编题8：若函数()f x 在其定义域的一个子集[,]a b 上存在实数()m a m b <<，

使()f x 在m 处的导数()f m '满足()()()()f b f a f m b a '-=-，则称m 是函数()f x 在[,]a b 上的一个“中值点”。则下列命题： ①函数

2()3ln f x x x x =-+在1[,3]4

上恰有两个“中值点”；

②函数3

21()ln 23

x f x x =

-在[5,5]-上恰有两个“中值点”； ③函数321()3f x x x =

-在[0,]b 上恰有两个“中值点”，则实数b 的取值范围是3

(,3)2； ④函数321

()3

f x x x b =-+在[0,]b 上恰有一个“中值点”，则实数b 的取值范围是

3

(0,][3,)2

+∞U 其中正确的有________(填出所有正确答案的番号)． 2解： 设(,(),(,())A a f a B b f b ，则

()()()()f b f a f m b a '-=-()()

()f b f a f m b a

-'?=

-()AB f m k '?=

①求导，结合图象，正确。 ②

2()2x f x x '=-=0，有三个解（教材结论），图象有三个极值点，

由图象得②错

③

22

()(0)1()2,,

03

f b f f x x x b b b -'=-=--设

22122222

21

,20(0,),

3

1(0)032()013()2,,33

321

44403x x x x b b b g b b g b b b g x x x b b b b b b --+=?

=-+>??

?=->?=--+<?

??=+->??

由已知得为方程在上两个不同根令则 ④321()3f x x x b =

-+可由321

3

y x x =-上下平移得，不影响“中值点”的个数；

由③的解答过程知，它不可能有三个及其以上的“中值点”， 由图象得，连续函数至少有1个“中值点”，④实际就是③的否定. ④正确.

综上，填①③④

原创题或改编题9：.已知点P 为棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -的表面上除点A 外的

任意一点，作以

A 为圆心，P 到A 的距离r 为半径的球面与正方体的表面相交，设交线为

m ，定义函数()c r 为m 的长度，则下列命题：

① 当r ∈时，m 在侧面11BCC B 上的部分在以B 为

圆心的圆上； ②(1)2c π=；

③ (

36

c =；

④函数()c r 在上是增函数，()c r 在上是减函数. 其中正确的有________(填出所有正确答案的番号)．

3解：① 当r ∈时，P 可在侧面11BCC B 上，

这时AB ⊥Q

侧面11BCC B AB BP BP ∴⊥∴=，，

②当1r =时，P 点的轨迹是以A 为圆心以1 为半径在三个面1111,,ABB A ABCD ADD A 上圆心角

为

2

π

的圆弧，3(1)312

2

f π

π

=?

?=

，所以②错

③当3r =

时，在面11B C CB 内点B 到圆弧的距离为3，此圆弧的长为

32π=6

同样在面1111A B C D , 11DCC D .

又当P 在侧棱1BB 上时，,63

PAB AP π∠==； 同理

P 在侧棱11A B 上时1,6

PAA π∠=在面11ABB A 内P 点的轨迹均是以A 为圆心，以

3为半径的中心角为16

π的圆弧，弧长为1639π?

=，

同理，在平面ABCD ,11ADD A 内的弧长也为

9

所以(

3()3696

c =+=，所以③正确.

④当r =

P 在面11B C CB 内的轨迹是以B 为圆心，1为半径的圆弧，长

为

2

π

，同理在面1111A B C D ,11DCC D 内的弧长也为

2

π

，所以32

c π=

由②知3(1)312

2

c c π

π

=??=

=，所以④错误。 综上，填① ③

二、 三角函数

1.原创题或改编题：在ABC ?中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且

2

2sin sin()sin()cos()sin 12

A B

A B A B A B C -+--+-=, (Ⅰ)求A ;

(Ⅱ)若6c =

，b =点D 在BC 边上，2BD DC =，求AD 的长.

原创题或改编题解析：【答案】(Ⅰ)34

A π

= (Ⅱ)2AD = 【解析】略

2.原创题或改编题：在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，且

2

sin 2)2cos(12

C

B A +=++π （Ⅰ）求角A 的大小；

（Ⅱ）若2b =，ABC ?

的面积S =a 的值。

原创题或改编题解析：答案：（Ⅰ） 3

π

=

A （Ⅱ）

3. 原创题或改编题：

三、数列

1.原创题或改编题：1．设{}n a 是公比大于1的等比数列，n S 为数列{}n a 的前n 项和．已

2.原创题或改编题： 已知正项数列{n a }的前项和为n S ，且对任意n N ∈，都

有1n S +，1n a +，4成等比数列. （Ⅰ）求{n a }的通项公式； （Ⅱ）设1

1

n n n b a a +=

,求数列{n b }的前n 项和n T ，并证明16n T <.

原创题或改编题解析：（Ⅰ）21n +（Ⅱ）11

646

n -+

四、概率 （理科）

1.原创题或改编题：某市进行中学生排球比赛，以“五局三胜”制进行决赛，根据以往战况，中学甲球队每一局赢中学乙球队的概率为35

.已知比赛中，第一局中学乙球队先胜一局，在

这个条件下，

（Ⅰ）求中学甲取胜的概率；

（Ⅱ）设决赛中比赛总的局数为ξ，求ξ的分布列及ξE .（两问均用分数作答） 【解】（Ⅰ）解：中学甲取胜的情况有两种：

中学甲连胜三局;

②中学甲在第2局到第4局中赢两局，且第5局赢.……………………2分

故中学甲取胜的概率为

3

2

2

33332()C ()5555

p =+?? …………………………………………………4分

27162297.125625625

=+=

故所求概率为297.625

………………………………………………………………5分

（Ⅱ）比赛局数,ξ

则2

24(3)();525

P ξ===

13

2335122(4)();555

5125

P C ξ==???+=

1222

3333327054222(5)()().55

5555625125

P C C ξ==???+??==………………8分

的分布列为:

……………………10分

125

534

1255451255142543=

?+?+?

=ξE .……………………………………………12分 2.原创题或改编题：据有关调查统计，2015年某大城市私家车平均每天增加36辆，

公交车也增长过快，造成交通拥堵现象日益严重，现有A 、B 、C 三辆车从同一地点出发，

开往甲、乙、丙三地，已知A 、B 、C 这三辆车在驶往目的地的过程中，出现堵车的概率依次为

51，51，3

1

，且每辆车是否被堵互不影响。 ⑴求这三辆车恰有两辆车被堵的概率；

⑵用ξ表示这三辆车被堵的车辆数，求ξ的分布列及数学期望E ξ。

答案：⑴25

2

31545131515432512

=??+??+???? ??=P

⑵()7532

325402

=???? ??==ξP ，()75323154325451212

=???? ??+???==ξP

()75102=

=ξP ，()7513151513=??==ξP 。15

11

=ξE 。 3.原创题或改编题：科幻片《星际穿越》上映后，全球累计票房高达 6亿美元，为了

了解某市观众的满意度，某影院随机调查了本市观看此影片的观众，并用“100分制”对满意度进行评分，分数越高满意度越高，若分数不低于90分，则称该观众为“满意观众”。现从调查人群中抽取15名。如图所示的茎叶图记录了他们的满意度分数。 ⑴求从这样15人中随机选取3人，至少有2人为“满意观众”的概率；

⑵以本次抽样的频率作概率，从某市观看此影片的观众中任选4人，记ξ表示抽到“满意观众”的人数，求ξ分布列及数学期望E ξ。

答案：⑴91693

1531015210=+?=C C C C P ，⑵ξ服从??

?

??32,4B ，38324=?=ξE 4.原创题或改编题：某工厂在试验阶段大量生产一种零件，这种零件有A 、B 两项指标需

要检验，设各项技术指标达标与否互不影响。若有且只有一项技术指标达标的概率为36

11

，

至少一项技术指标达标的概率为

36

35；按质量检验规定：两项技术指标达标的零件为合格品。 ⑴求一个零件经过检验为合格品的概率是多少？

⑵任意依次抽出5个零件进行检验，求其中至多3个零件是合格品的概率是多少？ ⑶任意依次抽取该种零件4个，设ξ表示其中合格品的个数，求ξ的分布列和数学期望E ξ。

答案：⑴设A ，B 项指标达标的概率分别为,,21P P 一个零件为合格品的概率为P

()()()(),36

35111,361111212121=---=-+-P P P P P P 3

2

21=

=∴P P P ⑵24313132313215

554

45=

??

? ??-???? ??-C C ⑶ξ服从??

? ??32,4B ，3

8324=?

=ξE 文科：

1、甲、乙二人用4张扑克牌（分别是红桃4，红桃5，红桃6，方块4）玩游戏，他们将扑克牌洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一张。 ⑴设（j i ,）分别表示甲、乙抽到的牌的数字，写出甲、乙二人抽到的牌的所有情况； ⑵若甲抽到红桃5，则乙抽出的牌的牌面数字比5小的概率是多少？

⑶甲乙约定：若甲抽到的牌的牌面数字比乙大，则甲胜；否则乙胜。你认为此游戏是否公平并说明理由。

答案：⑴()()()

()()()'

'

4

,5,6,5,4,5,4,4,6,4,5,4()()()()()()64,5,4,4,4,4,6,5,6,4,6'

,

'

'

共12

个； ⑵3

2=

P ⑶用A 表示甲胜，用B 表示乙胜，()()12

7

,125==

B P A P ；∴不公平

2、某食品厂为了检查甲、乙两条自动包装流水线的生产情况，随机在这两条流水线上各取40件产品作为样本，并称出它们的重量（单位：克），重量值落在[)510,495内的产品为合格品，否则为不合格品。表1是甲流水线样本的频率分布表，图1是乙流水线样本的频率分布直方图。

⑴根据上面表1中的数据作出甲流水线样本的频率分布直方图；

⑵若以频率作概率，试估计从两条流水线上分别任取一件产品，该产品恰好为合格品的概率分别是多少？

表1 甲流水线样本的频数分布表 答案：⑴略； ⑵,4

3

40301==

P ()9.0503.009.006.02=?++=P

五、

立体几何

原创题或改编题1：如图，在底面是正方形的四棱锥P -ABCD 中，平面PCD ^平面ABCD ，

PC =PD =CD =2.

（Ⅰ）求证：PD BC ^；

（Ⅱ）求二面角B PD C --的大小； （Ⅲ）求点A 到平面PBC 的距离.

方法一：（Ⅰ）证明：Q 平面PCD ^平面ABCD , 又平面PCD I 平面ABCD =CD ，BC CD ^, BC \^平面PCD , ---------------------------3分 PD ìQ 平面PCD ,

BC PD \^； ---------------------------4分 （Ⅱ）解：取PD 的中点E ，连接CE 、BE ，

PCD QV 为正三角形， CE PD \^，

由（Ⅰ）知BC ^平面PCD ,

CE \是BE 在平面PCD 内的射影, BE PD \^,

P

A B

D

C

E F

P

D

C

1

A

CEB

\?为二面角B-PD-C的平面角, ------------------7

分在CEB

V中, 90

BCE

?o

, BC=2, CE=

tan

BC

CEB

CE

\?=,

\二面角B-PD-C的大小为；-------------10分（Ⅲ）解：Q底面ABCD为正方形，//

AD BC

\,

AD?

Q平面PBC, BCì平面PBC,

//

AD

\平面PBC,

\点A到平面PBC的距离等于点D到平面PBC的距离,

过D作DF PC

^于F,

BC^

Q平面PCD，

BC DF

\^,

PC BC C

=

Q I,

DF

\^平面PBC, 且DF I平面PBC=F,

DF

\为点D到平面PBC的距离, --------------13分

在等边PCD

V中,

2,,

DC DF PC

=^

1,

CF DF

\==

,

\点A到平面PBC. -------------14分

原创题或改编题2：如图,已知四棱柱

1111

ABCD A B C D

-的底面ABCD

是正方形,点

1

A

在底面上的射影O是正方形ABCD的中心,且

1

AB AA

==

(Ⅰ) 证明:

1

A C⊥平面

11

BDD B

(Ⅱ) 求二面角

1

B OB C

--的余弦值.

证明:(Ⅰ) Q

1

A O⊥底面ABCD，且O是正方形ABCD的中心

1

BD AC BD AO

∴⊥⊥

，

1

,

AC AO O BD

=∴⊥

Q I平面

11

A AC BD AC

∴⊥

，

O

D 1

B 1

C 1

D

A

C

A 1

1111111111

//OA OA OC AA AC AA BB BB AC ∴==∴⊥∴⊥Q ，，，

又1BB BD B =Q I ， 1A C ∴⊥平面11BDD B (Ⅱ) 如图建立空间直角坐标系O xyz -

则(1,0,0),(0,1,0),OB OC ==u u u r u u u r

11111(0,0,1)(1,1,0)(1,1,1)OB OA A B OA AB =+=+=+=u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r

设平面1OB B 的法向量(,,)n x y z =r

，则 0

x x y z =??

++=?，可取(0,1,1)n =-r 设平面1OB C 的法向量111(,,)m x y z =u r

，则 111100

y x y z =?

?

++=?，可取(1,0,1)m =-u r 1

cos ,2

||||22m n m n m n ?∴===?u r r

u r r u r u u r ∴二面角1C OB B --的余弦值1

2

=-（点拔：这里法向量夹角与二面角互补）

法2：传统法。过B 作1BE OB ⊥于E ，连结CE ，由两次全等三角形证1CE OB ⊥L

原创题或改编题3：（文科）如图, 已知四棱柱1111ABCD A B C D -的底面ABCD 是正方形,

点1A 在底面上的射影O 是正方形ABCD 的中心 ,且12AB AA ==.

(Ⅰ) 证明: 1A C ⊥平面11BDD B (Ⅱ) 求四棱锥11C BB D D -的体积.

证明:(Ⅰ) Q 1A O ⊥底面ABCD ，且O 是正方形ABCD 的中心 1

BD AC BD AO ∴⊥⊥， 1,AC AO O BD =∴⊥Q I 平面11

A AC BD AC ∴⊥，

111

111

1111

//

OA OA OC AA AC

AA BB BB AC

∴==∴⊥

∴⊥

Q

，

，

，

又

1

BB BD B

=

Q I，

1

A C

∴⊥平面

11

BDD B

(Ⅱ) Q四棱柱

1111

ABCD A B C D

-中，

11

BB D D是平行四边形

11

//

A B底面ABCD，

1111

1

112

222211

333

C BB

D D C BB D B BDC BCD

V V V S AO

---?

∴===???=???=

原创题或改编题4：、已知斜三棱柱

111

ABC A B C

-中，D是AB的中点．

（Ⅰ）求证：1

BC

1

A DC

111

2,2,60

AB AA AC CA CB BAA?

=====∠=

11

D B C B

--11

ABC A B C

-

1

AC

1

A C E DE E是

1

AC的中点

D

Q是AB的中点，

1

1

//

2

DE BC

∴=

1

BC?

Q平面

1

A DC

1

BC

∴

1

A DC

11

2,60

AB AA BAA?

==∠=

Q，

1

ABA

∴?D

Q是AB的中点，11

3

A D A

B A D

∴⊥，

222

1111

2,1

2+

CA CB CD AB CD

AC CD A D AC CD A D

==∴⊥=

=∴=∴⊥

Q

Q

，

，，

如图，建立空间直角坐标系D xyz

-，则

111

11

(3,0),(3,0),

(1,0,1)

DB BB AA

B C BC

=-==-

==

u u u u r u u u r u u u r

u u u u r u u u r

设平面

11

DB C的法向量(,,)

n x y z

=

r

，则

2+30

x

x z

?-=

?

?

+=

??

，可取(3,2,3)

n=

r

设平面

11

BB C的法向量

111

(,,)

m x y z

=

u r

，则

11

11

30

x

x z

?-+=

?

?

+=

??

，可取3,1,3)

m=

u r

470

cos,

35

||||107

m n

m n

m n

?

∴===

?

u r r

u r r

u r u u r

Q二面角

1

C OB B

--为锐角，∴它的余弦值

70

35

=

法2：传统法。过D作1

DF BB

⊥于F，连结CF，再过D作DH CF

⊥于H，再过H作11

HP B C

⊥于P，且BC于Q L，。

原创题或改编题5：（文科）、已知斜三棱柱

11

ABC A B C

-中，D是AB的中点．（Ⅰ）求证：

1

BC

1

A DC

11

AA B B⊥ABC，

11

AA B B

1

60

BAA?

∠=CA CB

=，

1

CC P

11

A P

B B

⊥11

ABC A B C

-

1

AC

1

A C E DE E是

1

AC的中点

D

Q是AB的中点，

1

1

//

2

DE BC

∴=

1

BC?

Q平面

1

A DC

1

BC

∴

1

A DC,

CA CB D AB CD AB

=∴⊥

Q是中点，，Q

11

AA B B⊥ABC AB

，

11CD AA B B

∴⊥111111111111

111111111111111160.////11//241

4

AA B B BAA A B B A B F DF BB G AG DF H DF B B C C AG B B H HP C C P HP AA B B HP B B B B A FP B B A P GF B B PC C C

PC C C A P B B

?∠=∴?⊥⊥⊥∴⊥∴⊥∴⊥∴==⊥Q Q 是菱形，，是正三角形作中点，连结，作中点，连结交于则，，过作于，则平面，平面，，

又，即时，使ABCD 90,4,2A AB BC AD ∠=?===ABCD EF ,AB CD ⊥EF Q ABCD 90,////,A EF AD BC EF AB

∠=?∴⊥EFDA EFBC EF AE AE EFCB ∴⊥⊥∴⊥图2中，平面平面，平面xyz ),,(222-=BD ),,(02t G ),,(02t EG =⊥202402222==+=?-=?t t t EG BD ,),,(),,(⊥(2,0,0)EB =u u u v

EFDA

设平面DCF 的法向量为(,,)n x y z =r

， (0-1,2(210)FD FC ==u u u v u u u v Q ，），，，，

20

,20y z x y -+=?∴?+=?

可取

(1,2,1)n =-r

则6

cos ,||||26

n EB n EB n EB ?<>===r u u u r r u u u r r u u u r 30sin ,n EB ∴<>=r u u u r ，30

C DF E ∴--二面角

六、

解析几何

原创题或改编题：

1..如图，F 1，F 2是双曲线C ：22

221x y a b

-=(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，过F 1的直线l 与C 的

左、右两支分别交于A ，B 两点．若?ABF 2为等边三角形，则双曲线的离心率为 （ C ）

A ．3

B ．2

C ． 7

D ．13

2.已知直线(14)(23)(312)0()k x k y k k R +---+=∈所经过的定点F 恰好是椭圆C 的一个焦点,且椭圆C 上的点到点F 的最大距离为8. （1）求椭圆C 的标准方程；

（2）已知圆2

2

:1O x y +=,直线:1l mx ny +=.试证明当点(,)P m n 在椭圆C 上运动时,直线l 与圆O 恒相交；并求直线l 被圆O 所截得的弦长的取值范围. 解: （1）由(14)(23)(312)0()k x k y k k R +---+=∈, 得(23)(4312)0x y k x y --++-=,则由230

43120

x y x y --=??

+-=?, 解得F （3,0）

设椭圆C 的方程为2

2

221(0)x y a b a b +=>>, 则22238c a c a b c =??+=??=+?,解得5

43

a b c =??

=??=?

所以椭圆C 的方程为

22

12516x y +=.

（2）因为点(,)P m n 在椭圆C 上运动,所以22

2212516m n m n =

+<+, 从而圆心O 到直线:1l mx ny +=的距离221d r m n

=

<=+. 所以直线l 与圆O 恒相交,

又直线l 被圆O 截得的弦长为22

22

121L r d m n =-=-+212191625m =-+由于2

025m ≤≤,所以2

916162525

m ≤

+≤,则1546L ∈, 即直线l 被圆O 截得的弦长的取值范围是15625

L ∈ 3.如图，已知椭圆2

2:14

x C y +=的上、下顶点分别为,A B ，点P 在椭圆上，且异于点,A B ，直线,AP BP 与直线:2l y =-分别交于点,M N ，

（Ⅰ）设直线,

AP BP的斜率分别为

12

,k k，求证：

12

k k?为定值；

（Ⅱ）求线段MN的长的最小值；

（Ⅲ）当点P运动时，以MN为直径的圆是否经过某定点？请证明你的结论．

解析：()()()

00

(1)0,1,0,1,,,

A B P x y

-

Q令则由题设可知

x≠，

∴直线AP的斜率0

1

1

y

k

x

-

=，BP的斜率0

2

1

y

k

x

+

=，又点P在椭圆上，所以()

2

00

1,0,

4

x

y x

+=≠从而有

2

000

112

000

1111

4

y y y

k k

x x x

-+-

?===-

（2）则由题设可知直线AP的方程为()

1

10

y k x

-=-

直线BP的方程为()

2

10

y k x

+=-

由1

1

2

y k x

y

-=

?

?

=-

?1

3

,

2

x

k

y

?

=-

?

∴?

?=-

?

由2

1

2

y k x

y

+=

?

?

=-

?2

1

,

2

x

k

y

?

=-

?

∴?

?=-

?

∴直线AP与直线l的交点

1

3

,2

M

k

??

--

?

??

，直线BP与直线l的交点

2

1

,2

N

k

??

--

?

??

又

11

1

4

k k?=-，∴

11

1211

3133

42443

MN k k

k k k k

=-=+≥?=

等号当且仅当

1

1

3

4k

k

=，即

1

3

k=时取到，故MN线段长的最小值是3 (3)设点(),

Q x y是以MN为直径的圆上任意一点，则0

QM QN

?=

u u u u r u u u r

,故有

()()1231220x x y y k k ????+++++= ????

??? ，又1114k k ?=-，所以以MN 为直径的圆的方程

为

()2

2

113240,x y k x k ??+++-= ??? 令()2

20212

x x y =???++=??

解得02x y =???=-±?? 以MN

为直径的圆经过定点(

(0,20,2-+--和

七、函数与导数

1. 原创题或改编题：

1.已知函数1

2()ln x x

e f x e x x

-=+.

(Ⅰ) 求曲线()y f x =在点（1，(1)f 处的切线方程； （Ⅱ）证明：()1f x >.

解析：

()f x ∞（I ）函数的定义域为(0,+), 112122

'()1x x x x f x e nx e e e x x x

==∴=+-+

∴(1)2,'(1)f f e ==

∴()y f x =在点（1，(1)f 处的切线方程为(1)2y e x =-+ ……5分

122

()1,()11.

()1,'()1.

x x x f x e n e f x x nx xe x e g x x nx g x nx =-=+>>-==（II ）由（I ）知从而等价于设函数则

11

(0,)'()0;(,)'()0.x g x x g x e e ∈<∈+∞>所以当时，当时，

11

(),()g x g x e e

+∞∞故在（0,）单调递减，在（）单调递增，从而在(0,)的最小值为

11

.e e

g()=- ……………………………8分 2

(),'()(1).x x h x xe h x e x e

--=-=-设函数则

(0,1)'()0;(1,)'()0.()x h x x h x h x ∈>∈+∞<所以当时当时，故在（0,1）单调递增，…

1

()(0,)(1).h x h e

∞∞=-在(1,+)单调递减，从而在的最大值为

0()(),() 1.x g x h x f x >>>综上，当时，即…………………………12分

2.原创题或改编题：12.设函数()()21

ln 12

f x x ax x =++-，其中a R ∈.

（Ⅰ）讨论函数()f x 的单调性，并说明理由； （Ⅱ）若()0,x f x ax x ?>≥-成立，求a 的取值范围.

解析：（I ）函数()()21

ln 12f x x ax x =++-的定义域为(1,)-+∞，

2(1)()1

ax a x

f x x +-'∴=+

2()(1)g x ax a x =+-，(1,)x ∈-+∞

（1）当0a =时，()g x x =-

∴令()0g x x =->，10x ∴-<<，

∴()f x 的增区间为：(1,0)-，减区间为：(0,)+∞，

（2）当0a >时，令2()(1)0g x ax a x =+-=，1211

0,1a x x a a

-===-+ ①当01a <<时，21x x >，

∴()f x 的增区间为：(1,0)-，1(1,)a -++∞，减区间为：1

(0,1)a

-+，

②当1a =时，21x x =，2()(1)0g x ax a x =+-≥，()f x 的增区间为：(1,)-+∞ ③当1a >时，1201x x =>>-，

∴()f x 的增区间为：1(1,1)a --+，(0,)+∞，减区间为： 1

(1,0)a

-+，

（3）当0a <时，令2()(1)0g x ax a x =+-=，1211

0,11a x x a a -===-+<-

∴当10x -<<时，()0g x >，当0x >时，()0g x < ∴()f x 的增区间为：(1,0)-，减区间为：(0,)+∞

综上所述：略