7【题组七】双变量的恒成立与存在性问题
经典问题： 问题一：任意与任意 【例1】设()x x x a x f ln +=
，()32
3--=x x x g ，如果对于任意的s ，??
????∈2,21t ，都有()()t g s f ≥成立，求实数a 的取值范围。
【例2】已知函数()()()x
x
x g R m mx ex x x f ln , 13123=
∈++-=
。 （1）求函数()x f 的单调区间；
（2）若对()+∞∈?,0,21x x ，()()2'1x f x g <恒成立，求实数m 的取值范围。
【变式1】已知函数(),1682
k x x x f -+=()x x x x g 4522
3
++=，其中R ∈k ,对任意 1x ，
[]3,32-∈x ，都有()()21x g x f >成立，求实数k 的取值范围。
【变式2】设0>a 函数(),2
x
a x x f +=()x x x g ln -=，如果对任意 1x ，[]e x ,12∈，都
有()()21x g x f >成立，求实数a 的取值范围。
【变式3】已知函数()(),13
123
R ∈++-=
m mx ex x x f ()x x x g ln =，若对任意 1x ，()∞+∈，02x ，都有()()2'1x f x g <成立，求实数m 的取值范围。
问题二：任意与存在 【例1】已知函数()()(),ln 2122
12R ∈++-=
a x x a ax x f ()x x x g 22
-=，若对任意 (]201，∈x ，均存在(]202，∈x ，使得()()21x g x f <，求a 的取值范围。
【例2】已知()，2
x x f =()m x g x
-??
? ??=21，若对任意的 []3,11-∈x ，存在[]202，
∈x ，使得()()21x g x f ≥，求实数m 的取值范围是___________。
【例3】已知函数()()1ln 12+++=ax x a x f 。 （1）讨论函数()x f 的单调区间； （2）设()322++-=bx x x g ，当3
1
-
=a 时，若对()+∞∈?,01x ，[]2,12∈?x 使得()()21x g x f ≤，求实数b 的取值范围。
【变式1】已知函数()(),ln R ∈+=a x ax x f ()222
+-=x x x g ，若对任意 ()∞+∈，
01x ，均存在[]102，
∈x ，使得()()21x g x f <，求a 的取值范围。
【变式2】已知函数(),222
+-=x x x f ()x ax x g ln +=，若1->a 且对任意 []1,01∈x ，
均存在[]e x ，12∈，使得()()21x g x f <，求a 的取值范围。
【变式3】已知函数()x
x x f 2
ln -
=()222+-=x x x g ，若对任意 ()∞+∈，01x ，均存在[]102，
∈x ，使得()()21x g x f <，求a 的取值范围。
【变式4】已知向量()
k x e x
+=ln ,m ，()()x f ,1=n ，n m //（k 为常数，e 是自然对数
的底数），曲线()x f y =在点()()x f ,1处的切线与y 轴垂直，()()x f
xe x F x
'
=。
（I ）求k 的值及()x F 的单调区间；
(II)已知函数()ax x x g 22
+-=（a 为正实数）若对于任意 []102，∈x ，总存在()∞+∈，
01x ，使得()()12x F x g <，求实数a 的取值范围。
【变式5】已知函数()(),1ln R ∈-+
-=a x a
ax x x f ()422+-=bx x x g ，当4
1=a 时，若对任意 ()201，
∈x ，存在[]212，∈x ，使得()()21x g x f ≥，求实数b 的取值范围。
【变式6】已知函数()x b ax x f ln 2
-=在点()()1,1f 处的切线方程为13-=x y 若对任意
()∞+∈，0x ，均存在[]3,1∈t ，使得()x f ct t c t ≤++++-6
1
2ln 213123，试求实数c 的取
值范围。
问题三：存在与存在 【例1】设函数()x a x x x f ln 1--
=.当2≤a 时，设函数()e
x x x g 1
ln --=，若在[]e ,1上存在,,21x x 使得()()21x g x f ≥成立，求实数a 的取值范围。
【变式1】函数()，
c x x x f --=2872
()x x x x g 40422
3
-+=， 存在1x ，[]332，-∈x ，使得()()21x g x f <，求实数c 的取值范围。
【变式2】已知函数(),ln x
x
x g =
()()ax x g x f -= （I ）求函数()x g 的单调区间；
(II)若函数()x f 在()∞+，
1上是减函数，求实数a 的最小值。 （III ）若存在[]
2
21,,e e x x ∈，使得()()a x f
x f +≤2'
1成立，求a 的取值范围。
问题四：任意=存在
【例题1】已知()()()()x
xe x g x x a x f R a -=---=∈1,ln 212,函数
（1）若函数()x f 在区间??
? ??210，上不存在零点，求a 的最小值；
（2）对于(](]()2,1,0,,00=∈?i x e e x i 上总存在两个不同的在区间使得()()0x g x f i =成立，求a 的取值范围。
【例题2】 已知函数()x x x f -=ln ，函数()0,3
13
≠-=
b bx bx x g ，
若对任意的[]211，∈x ，总存在()21
2，∈x ，使得()()21x g x f =，求实数b 的取值范围。
【变式1】已知()x x x f 22
-=，()()02>+=a ax x g ，对任意的[]21
1，-∈x ，存在[]212，-∈x ，使得()()21x f x g =，则a 的取值范围___________。
【变式2】已知函数()()R ∈>=x a ax x x f ,03
2-
3
2. （I ）求()x f 的单调区间和极值；
(II)若对于任意的()∞+∈，
21x ，都存在()∞+∈，12x ，使得()()121=?x f x f ，求a 的取值范围。
【变式3】已知函数()()m
x x f x mx x f -??
?
??=+=21,1642
21，其中R ∈m 且0≠m 。设函数
()()()???<≥=,2,,
2,2
1x x f x x f x g 当2≥m 时，若对任意的[]∞+∈，21x ，总存在唯一的()22，
∞-∈x ，使得()()21x g x g =成立，试求m 的取值范围。
【变式4】已知函数()142+=
x x x f ，(),ln x ax x g -=，若对任意的??
?
???∈2211，x ，总存在唯一有??
?
???∈e e x 1,122，使得()()12x f x g =，求实数a 的取值范围。
问题五：存在=存在
【例1】已知函数()?????????????∈+-???
??∈+=,
21,0,613
1,1,21,123x x x x x x f ()0,226sin >+-??? ??=a a x a x g π若存在
[]1,0,21∈x x 使得()()21x g x f =，则实数a 的取值范围是（ ）。
【变式1】已知函数()1-=x
e x
f ，()342
-+-=x x x g ，若有()()b g a f =，则b 的取值
范围（ ）。
()22,22.+-A []
222-2.+，B []31.，
C ()31.，D
【变式2】已知函数()[]1,0,22
∈+=x k x k x f ，
()(
)
51232
2+++-=x k k x x g ，[]0,1-∈x 存在[]1,01∈x ，[]0,12-∈x ，使得()()12x f x g =成立，求k 的取值范围。
【变式3】已知函数(),222
+-=x x x f ，()x ax x g ln +=，若存在1x ，(]402，
∈x ，使得()()21x g x f =，求a 的取值范围。
恒成立与存在性问题的基本解题策略
“恒成立问题”与“存在性问题”的基本解题策略 一、“恒成立问题”与“存在性问题”的基本类型 恒成立、能成立、恰成立问题的基本类型 1、恒成立问题的转化：()a f x >恒成立?()max a f x >；()()min a f x a f x ≤?≤恒成立 2、能成立问题的转化：()a f x >能成立?()min a f x >；()()max a f x a f x ≤?≤能成立 3、恰成立问题的转化：()a f x >在M 上恰成立?()a f x >的解集为M ()()R a f x M a f x C M ?>???≤?? 在上恒成立 在上恒成立 另一转化方法：若A x f D x ≥∈)(,在D 上恰成立，等价于)(x f 在D 上的最小值A x f =)(min ，若,D x ∈B x f ≤)(在D 上恰成立，则等价于)(x f 在D 上的最大值B x f =)(max . 4、设函数()x f 、()x g ，对任意的[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≥，则()()x g x f min min ≥ 5、设函数()x f 、()x g ，对任意的[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≤，则()()x g x f max max ≤ 6、设函数()x f 、()x g ，存在[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≥，则()()x g x f min max ≥ 7、设函数()x f 、()x g ，存在[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≤，则()()x g x f max min ≤ 8、设函数()x f 、()x g ，对任意的[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f =，设f(x)在区间[a,b]上 的值域为A ，g(x)在区间[c,d]上的值域为B,则A ?B. 9、若不等式()()f x g x >在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上函数()y f x =和图象在函数()y g x =图象上方； 10、若不等式()()f x g x <在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上函数()y f x =和图象在函数()y g x =图象下方； 恒成立问题的基本类型 在数学问题研究中经常碰到在给定条件下某些结论恒成立的命题. 函数在给定区间上某结论成立问题,其表现形式通常有: 在给定区间上某关系恒成立; 某函数的定义域为全体实数R;●某不等式的解为一切实数;?某表达式的值恒大于a 等等… 恒成立问题，涉及到一次函数、二次函数的性质、图象,渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，有利于考查学生的综合解题能力，在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用。因此也成为历年高考的一个热点。 恒成立问题在解题过程中大致可分为以下几种类型： ①一次函数型；②二次函数型；③变量分离型；④根据函数的奇偶性、周期性等性质；⑤直接根据函数的图象。 二、恒成立问题解决的基本策略 大家知道，恒成立问题分等式中的恒成立问题和不等式中的恒成立问题。等式中的恒成立问题，特别是多项式恒成立问题，常简化为对应次数的系数相等从而建立一个方程组来解决问题的。 （一）两个基本思想解决“恒成立问题” 思路1、max )]([)(x f m D x x f m ≥?∈≥上恒成立在 思路2、min )]([)(x f m D x x f m ≤?∈≤上恒成立在 如何在区间D 上求函数f(x)的最大值或者最小值问题,我们可以通过习题的实际,采取合理有效的方法进行求解,通常可以考虑利用函数的单调性、函数的图像、二次函数的配方法、三角函数的有界性、均值定理、函数求导
导数中恒成立问题(最值问题)
导数中恒成立问题（最值问题） 恒成立问题是高考函数题中的重点问题， 也是高中数学非常重要的一个模块， 不管是小题，还 是大题，常常以压轴题的形式出现。 知识储备（我个人喜欢将参数放左边，函数放右边） 先来简单的（也是最本质的）如分离变量后， a f （x ）恒成立，则有a f （X ）max 2. 对于双变量的恒成立问题 f(x) min g(x)min 今天呢，我会花很多时间来讲解一道二次函数，因为二次函数是最本质的， （甚至我提出这样 一个观点，所有导数的题目95%3根结底就是带参数二次函数在已知定义域上根的讨论， 3%是 ax b 与ax 3 b 这种形式根的讨论，2%!观察法得到零点，零点通常是1,-,e 之类），所以如果 e 我们真正弄清楚了二次函数，那么对于千变万化的导数题，我们还会畏惧吗。 那么我们先从一道练习题说起 一?二次函数型（通常方法是讨论对称轴，根据图像求最值） 例题1.已知f （x ） ■ 2x2 2ax a 1定义域为R ，求a 的取值围 思考：①引入定义域（非R ） ② 参数在二次项，就需考虑是否为0 1 ③ 引入高次（3次，4次，—，I nx , e x 等等） x ④ 引入a 2, a 3等项（导致不能分离变量） f （x ）恒成立，则有a f ( x) min （若是存在性问题，那么最大变最小, 最小变最大） 如：化简后我们分析得到, a,b ， f (x) 0恒成立，那么只需 f ( x) min a,b ，使得 f(x) 0,那么只需f （X ）max 0 如：化简后我们分析得到, X i ,X 2 a,b ， f(xj g(X 2)，那么只需 f (X)min g ( X) max 如：化简后我们分析得到, X i a,b ， x 2 c, d 使f （xj gg ），那么只需 如：化简后我们分析得到, X i a,b ，X 2 C,d 使 f (X i ) g(X 2),那么只需 f (X)max g(x)min 还有一些情况了，这里不一一列举， 一个变量，再处理另一个变量） 3.对于带绝对值的恒成立问题， 成立问题（2014.03锡常镇一模那题特别典型） 总之一句话 （双变量的存在性与恒成立问题，都是先处理 我们往往先根据函数的单调性，去掉绝对值，再转变成恒
(完整版)恒成立存在性问题
专题 恒成立存在性问题 知识点梳理 1、恒成立问题的转化：()a f x >恒成立?()max a f x >；()()min a f x a f x ≤?≤恒成立 2、能成立问题的转化：()a f x >能成立?()min a f x >；()()max a f x a f x ≤?≤能成立 3、恰成立问题的转化：()a f x >在M 上恰成立?()a f x >的解集为M ()()R a f x M a f x C M ?>???≤??在上恒成立 在上恒成立 另一转化方法：若A x f D x ≥∈)(,在D 上恰成立，等价于)(x f 在D 上的最小值A x f =)(min ，若,D x ∈B x f ≤)(在D 上恰成立，则等价于)(x f 在D 上的最大值B x f =)(max . 4、设函数()x f 、()x g ，对任意的[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≥，则()()x g x f min min ≥ 5、设函数()x f 、()x g ，对任意的[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≤，则()()x g x f max max ≤ 6、设函数()x f 、()x g ，存在[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≥，则()()x g x f min max ≥ 7、设函数()x f 、()x g ，存在[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≤，则()()x g x f max min ≤ 8、若不等式()()f x g x >在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上函数()y f x =和图象在函数()y g x =图象 上方； 9、若不等式()()f x g x <在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上函数()y f x =和图象在函数()y g x =图象下方； 题型一、常见方法 1、已知函数12)(2 +-=ax x x f ，x a x g = )(，其中0>a ，0≠x ． 1）对任意]2,1[∈x ，都有)()(x g x f >恒成立，求实数a 的取值范围； 2）对任意]4,2[],2,1[21∈∈x x ，都有)()(21x g x f >恒成立，求实数a 的取值范围； 2、设函数b x x a x h ++=)(，对任意]2,21[∈a ，都有10)(≤x h 在]1,4 1 [∈x 恒成立，求实数b 的取值范围． 3、已知两函数2 )(x x f =，m x g x -?? ? ??=21)(，对任意[]2,01∈x ，存在[]2,12∈x ，使得()21)(x g x f ≥，则实 数m 的取值范围为
高中数学恒成立与存在性问题
高中恒成立问题总结 解决高考数学中的恒成立问题常用以下几种方法: ①函数性质法; ②主参换位法; ③分离参数法; ④数形结合法。 XXX 核心思想: 1.恒成立问题的转化: 恒成立; 2.能成立问题的转化: 能成立; 3.恰成立问题的转化: 若在D 上恰成立在D 上的最小值; 若在D 上恰成立在D 上的最大值. 4.设函数,，对任意的，存在，使得，则 ; 设函数,，对任意的，存在，使得，则 ; 设函数,，存在，存在，使得，则 ; 设函数,，存在，存在，使得，则; 5.若不等式在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上函数和图象在函数图象上方; 若不等式在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上函数和图象在函数图象下方. 6.常见二次函数 ①.若二次函数（或）在R 上恒成立，则有（或）; ②.若二次函数（或）在指定区间上恒成立，可以利用韦达定理以及根的分布等知识求解. ()a f x >?()max a f x >()()min a f x a f x ≤?≤恒成立()a f x >?()min a f x >()()max a f x a f x ≤?≤能成立A x f D x ≥∈)(,?)(x f A x f =)(min ,D x ∈B x f ≤)(?)(x f B x f =)(max ()x f ()x g []b a x ,1∈[]d c x ,2∈()()21x g x f ≥()()x g x f min min ≥()x f ()x g []b a x ,1∈[]d c x ,2∈()()21x g x f ≤()()x g x f max max ≤()x f ()x g []b a x ,1∈[]d c x ,2∈()()21x g x f ≥()()x g x f min max ≥()x f ()x g []b a x ,1∈[]d c x ,2∈()()21x g x f ≤()()x g x f max min ≤()()f x g x >()y f x =()y g x =()()f x g x <()y f x =()y g x =2()(0)0f x ax bx c a =++≠>0<00a >???0<
有解无解恒成立问题的处理
有解无解恒成立与双变量问题的处理 宜章一中 吴 斌 “有解无解恒成立与双变量问题”是高中阶段的非常常见的一类函数问题，如何求解困扰了很多学生，那么遇到这类问题的常规思路与方法是什么呢？现例说几种问题的常规解法： 一．“有解”问题： 1° ()k x f ≤有解()k x f ≤?min ； 2° ()k x f ≥有解()k x f ≥?max ； 3° ()k x f =有解()x f k ∈?的值域； 例1、①已知函数()12+-=ax x x f 在]2,1[∈x 有零点，求实数a 的取值范围； ②已知不等式012≥+-ax x 在]2,1[∈x 有解，求实数a 的取值范围； ③已知不等式012≤+-ax x 在]2,1[∈x 有解，求实数a 的取值范围． 分析：①()x x a x f 10+=?=，而]25,2[1∈+x x ，则]2 5,2[∈a ； ②x x a 1+≤有解25)1(max =+≤?x x a ；即：2 5≤a ； ③x x a 1+≥有解2)1(min =+≥?x x a ；即：2≥a ． 二．“无解”问题： 1° ()k x f ≤无解()k x f >?min ； 2° ()k x f ≥无解()k x f ?x x a ；即：2 5>a ． 三．“恒成立”问题： ()k x f ≤恒成立()k x f ≤?max ；()k x f ≥恒成立()k x f ≥?min ； 例3、函数()ax e x x f x +?=在区间]2,1[上单调递增，求实数a 的取值范围． 分析：即()0'≥+?+=a e x e x f x x 在]2,1[∈x 恒成立；
恒成立能成立问题总结详细
恒成立问题的类型和能成立问题及方法处理 函数与不等式的恒成立、能成立、恰成立问题是高中数学中的一个重点、难点问题。这类问题在各类考试以及高考中都屡见不鲜。感觉题型变化无常，没有一个固定的思想方法去处理，一直困扰着学生，感到不知如何下手。在此为了更好的准确地把握快速解决这类问题，本文通过举例说明这类问题的一些常规处理。 一、函数法 （一）构造一次函数 利用一次函数的图象或单调性来解决 对于一次函数],[),0()(n m x k b kx x f ∈≠+=有： ?? ?<>????>>?>0 )(0 )(0)(; )(0 )(0)(00)(00)(n f m f x f n f m f n f k m f k x f 恒成立或恒成立 例1 若不等式m mx x ->-2 12对满足22≤≤-m 的所有m 都成立，求x 的范 围。 解析：将不等式化为：0)12()1(2 <---x x m ， 构造一次型函数：)12()1()(2---=x m x m g 原命题等价于对满足22≤≤-m 的m ，使0)( 恒成立问题与存在性问题 思路一： （1）若函数)(x f 在D 区间上存在最小值min )(x f 和最大值max )(x f ，则 不等式a x f >)(在区间D 上恒成立a x f >?min )(； 不等式a x f ≥)(在区间D 上恒成立a x f ≥?min )(； 不等式a x f <)(在区间D 上恒成立a x f )(或))((a x f ≥在区间D 上恒成立a m ≥?； 不等式a x f <)(或a x f ≤)(在区间D 上恒成立a n ≤?。 例题1： 已知函数.ln )(x x x f = （1）求函数.ln )(x x x f =的最小值； （2）若对所有的1≥x 都有1)(-≥ax x f ，求实数a 的取值范围。 答案：（1）11min )()(---==e e f x f ；（2）]1,(-∞ 变式：设函数)1ln(2)1()(2x x x f +-+= （1）求函数)(x f 的单调区间； （2）若当]1,1[1--∈-e e x 时，不等式m x f <)(恒成立，求实数m 的取值范围； （3）若关于x 的方程a x x x f ++=2)(在区间]2,0[上恰有两个相异实根，求实数a 的取 值范围。 答案：（1）递增区间是),0(+∞；递减区间是)0,1(- （2）22 ->e m （3）)3ln 23,2ln 22(-- 双变量问题的几种处理策略 策略一：合的思想 问题1：已知函数x x f ln )(=的图象上任意不同的两点， ，线段的中点为 ，记直线的斜率为，试证明：． 解析：因为 ∴, ∴,又 不妨设 ， 要比较与的大小，即比较与的大小， 又∵，∴ 即比较与 的大小． 令,则, ∴在上位增函数． 又，∴， ∴，即 二：分的思想 问题2：若1 ln )(++=x a x x g ，且对任意的(]2,1,21∈x x ，， 都有， 求a 的取值范围． 解析∵ ，∴ 由题意得在区间(]2,1上是减函数． ∴ () 11,y x A () 22,y x B AB ),(00y x C AB k )(0x f k '>x x f ln )(=x x f 1)(='210021)(x x x x f +=='121212121212ln ln ln )()(x x x x x x x x x x x f x f k -= --=--=12x x >k )(0x f '1 212 ln x x x x -2 12 x x +12x x >12ln x x 1)1( 2) (21 2 1 2 2 112+-=+-x x x x x x x x )1(1) 1(2ln )(≥+--=x x x x x h 0) 1()1()1(41)(2 22≥+-=+-='x x x x x x h )(x h [)+∞,1112>x x 0)1()(12 =>h x x h 1)1( 2ln 1 2 1 2 1 2+->x x x x x x )(0x f k '>21x x ≠1 ) ()(1 212-<--x x x g x g 1)()(1 212-<--x x x g x g []0)()(121122<-+-+x x x x g x x g x x g x F +=)()(1)1(1)(2 ++-= 'x a x x F 恒成立与存在性问题 基本方法： 恒成立问题： 1. 对于(),x a b ?∈，()f x k ≥恒成立等价于min ()f x k ≥. 2. 对于(),x a b ?∈，()f x k ≤恒成立等价于max ()f x k ≤. 3. 对于[]12,,x x a b ?∈，12()()f x g x ≥等价于min max ()()f x g x ≥. 4. 对于[]12,,x x a b ?∈，12()()f x g x ≤等价于max min ()()f x g x ≤. 5. 对于[],x a b ?∈，()()f x g x ≥，等价于构造函数()()()h x f x g x =-，()h x 在区间[],a b 上的最小值min ()0h x ≥. 6. 对于[],x a b ?∈，()()f x g x ≤，等价于构造函数()()()h x f x g x =-，()h x 在区间[],a b 上的最大值max ()0h x ≤. 7. ()f x 在区间[],a b 上单调递增，等价于[]min ()0,,f x x a b '≥∈. 8. ()f x 在区间[],a b 上单调递减，等价于[]max ()0,,f x x a b '≤∈. 存在性问题： 1. ()0,x a b ?∈，使得()f x k ≥成立，等价于max ()f x k ≥. 2. ()0,x a b ?∈，使得()f x k ≤成立，等价于min ()f x k ≤. 3. []12,,x x a b ?∈，使得12()()f x g x ≥成立，等价于max min ()()f x g x ≥. 4. []12,,x x a b ?∈，使得12()()f x g x ≤，等价于min max ()()f x g x ≤. 5. [],x a b ?∈，使得()()f x g x ≥，等价于构造函数()()()h x f x g x =-，()h x 在区间[],a b 上的最大值max ()0h x ≥. 6. [],x a b ?∈，使得()()f x g x ≤，等价于构造函数()()()h x f x g x =-，()h x 在区间[],a b 上的最小值min ()0h x ≤. 参变分离： 解决有关参数的恒成立问题或存在性问题时经常会用到参变分离的方法：就是在 双变量问题典例 1、已知函数()ln 1f x x a x =--（a 为常数）与x 轴有唯一的公共点A ． （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间； （Ⅱ）曲线()y f x =在点A 处的切线斜率为23a a --，若存在不相等的正实数12x x ，满足 12|()||()|f x f x =，证明：121x x <． 答案第2页，总7页 2．已知函数()2ln f x a x =， ()()1g x f x x x =+- . （1）当1a =时，求函数()f x 的曲线上点()() ,e f e 处的切线方程； （2）当1a ≤时，求()g x 的单调区间； （3）若()g x 有两个极值点1x ， 2x ，其中110,3 x ??∈ ?? ? ，求()()12g x g x -的最小值 3．已知函数()22ln ax b f x x x -=-的图象在1x =处的切线过点()0,22a -， ,R a b ∈. （1）若8 5 a b += ，求函数()f x 的极值点； （2）设()1212,x x x x ≠是函数()f x 的两个极值点，若 11 1e x <<，证明： ()()211f x f x -<.（提示2e 7.40≈） 答案第4页，总7页 4、已知函数)1ln()12()(2 ++-+=x x a ax x f 有两个极值点21,x x (1)求a 的取值范围；(2)证明:452ln 2)()(21-<+x f x f 5、 已知函数1 ()ln f x x a x x =-+．（2018全国1卷理数第21题） （1）讨论()f x 的单调性； （2）若()f x 存在两个极值点12,x x ，证明：()() 1212 2f x f x a x x -<--． 专题训练 恒成立存在性问题 知识点梳理 1、恒成立问题的转化：()a f x >恒成立?()max a f x >；()()min a f x a f x ≤?≤恒成立 2、能成立问题的转化：()a f x >能成立?()min a f x >；()()max a f x a f x ≤?≤能成立 3、恰成立问题的转化：()a f x >在M 上恰成立?()a f x >的解集为M ()()R a f x M a f x C M ?>??? ≤??在上恒成立 在上恒成立 另一转化方法：若A x f D x ≥∈)(,在D 上恰成立，等价于)(x f 在D 上的最小值A x f =)(min ，若, D x ∈B x f ≤)(在D 上恰成立，则等价于)(x f 在D 上的最大值B x f =)(max . 4、设函数()x f 、()x g ，对任意的[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≥，则 ()()x g x f min min ≥ 5、设函数()x f 、()x g ，对任意的[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≤，则 ()()x g x f max max ≤。 6、设函数()x f 、()x g ，对任意的[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()12=f x g x ，则()f x 在 []b a x ,1∈上的值域M 是()x g 在[]d c x ,2∈上的值域N 的子集。即：M ?N 。 7、设函数()x f 、()x g ，存在[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≥，则()()x g x f min max ≥ 8、设函数()x f 、()x g ，存在[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≤，则()()x g x f max min ≤ 9、若不等式()()f x g x >在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上函数()y f x =和图象在函数 ()y g x =图象上方； 10、若不等式()()f x g x <在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上函数()y f x =和图象在函数 ()y g x =图象下方； 题型一、常见方法 1、已知函数12)(2 +-=ax x x f ，x a x g = )(，其中0>a ，0≠x ． 1）对任意]2,1[∈x ，都有)()(x g x f >恒成立，求实数a 的取值范围； 2）对任意]4,2[],2,1[21∈∈x x ，都有)()(21x g x f >恒成立，求实数a 的取值范围； 【分析：】 1）思路、等价转化为函数0)()(>-x g x f 恒成立，在通过分离变量，创设新函数求最值解决． 2）思路、对在不同区间内的两个函数)(x f 和)(x g 分别求最值，即只需满足)()(max min x g x f >即可． 简解：（1）由1 20122 32 ++-+-x x x a x a ax x 成立，只需满足12)(23++=x x x x ?的最小值大于a 即可．对1 2)(2 3++=x x x x ?求导，0)12(12)(2224>+++='x x x x ?，故)(x ?在]2,1[∈x 是增函数，3 2)1()(min = =??x ，所以a 的取值范围是32 0< 导数中恒成立问题（最值问题） 恒成立问题是高考函数题中的重点问题，也是高中数学非常重要的一个模块，不管是小题，还是大题，常常以压轴题的形式出现。 知识储备（我个人喜欢将参数放左边，函数放右边） 先来简单的（也是最本质的）如分离变量后，()a f x ≥恒成立，则有max ()a f x ≥ ()a f x ≤恒成立，则有min ()a f x ≤ （若是存在性问题，那么最大变最小，最小变最大） 1.对于单变量的恒成立问题 如：化简后我们分析得到，对[],x a b ?∈，()0f x ≥恒成立，那么只需min ()0f x ≥ [],x a b ?∈，使得()0f x ≥，那么只需max ()0f x ≥ 2.对于双变量的恒成立问题 如：化简后我们分析得到，对[]12,,x x a b ?∈，12()()f x g x ≥，那么只需min max ()()f x g x ≥ 如：化简后我们分析得到，对[]1,x a b ?∈，[]2,x c d ?∈使12()()f x g x ≥，那么只需 min min ()()f x g x ≥ 如：化简后我们分析得到，[]1,x a b ?∈，[]2,x c d ∈使12()()f x g x ≥，那么只需max min ()()f x g x ≥ 还有一些情况了，这里不一一列举，总之一句话（双变量的存在性与恒成立问题，都是先处理一个变量，再处理另一个变量） 3.对于带绝对值的恒成立问题，我们往往先根据函数的单调性，去掉绝对值，再转变成恒成立问题（201 4.03苏锡常镇一模那题特别典型） 今天呢，我会花很多时间来讲解一道二次函数，因为二次函数是最本质的，（甚至我提出这样一个观点，所有导数的题目95%归根结底就是带参数二次函数在已知定义域上根的讨论，3%是 ax b +与3ax b +这种形式根的讨论，2%是观察法得到零点，零点通常是1 1,,e e 之类） ，所以如果我们真正弄清楚了二次函数，那么对于千变万化的导数题，我们还会畏惧吗。 那么我们先从一道练习题说起 一．二次函数型（通常方法是讨论对称轴，根据图像求最值） 例题1.已知()f x =R ，求a 的取值范围 思考：① 引入定义域（非R ） ②参数在二次项，就需考虑是否为0 ③引入高次（3次，4次，1 x ，ln x ，x e 等等） ④引入2a ，3a 等项（导致不能分离变量） 存在性与恒成立问题 1.已知函数f(x)=? ??ln(1-x) x<0(x-1)3+1 x≥0 ,若存在x 0,使得f(x 0) 专题32 函数的存在与恒成立问题 一、题型选讲 题型一 、 函数的存在问题 函数的恒成立问题往往采取分离参数法，参变分离法的适用范围：判断恒成立问题是否可以采用参变分离法，可遵循以下两点原则： ①()(),x D g a f x ?∈≤，则只需要()()max g a f x M ≤= ()(),x D g a f x ?∈<，则只需要()()max g a f x M <= ②()(),x D g a f x ?∈≥，则只需要()()min g a f x m ≥= ()(),x D g a f x ?∈>，则只需要()()min g a f x m >= 例1、【2019年高考浙江】已知a ∈R ，函数3 ()f x ax x =-，若存在t ∈R ，使得2 |(2)()|3 f t f t +-≤ ，则实数a 的最大值是___________. 例2、(2016泰州期末） 若命题“存在x ∈R ，ax 2＋4x ＋a ≤0”为假命题，则实数a 的取值范围是________． 例3、(2016苏锡常镇调研） 已知函数f (x )＝x ||x 2－a ，若存在x ∈[]1，2，使得f (x )<2，则实数a 的取值范围是________． 题型二、 函数的恒成立问题 函数的恒成立问题往往采取分离参数法，参变分离法的适用范围：判断恒成立问题是否可以采用参变分离法，可遵循以下两点原则： （1）已知不等式中两个字母是否便于进行分离，如果仅通过几步简单变换即可达到分离目的，则参变分离法可行。但有些不等式中由于两个字母的关系过于“紧密”，会出现无法分离的情形，此时要考虑其他方法。（2）要看参变分离后，已知变量的函数解析式是否便于求出最值（或临界值），若解析式过于复杂而无法求出最值（或临界值），则也无法用参变分离法解决问题。（可参见”恒成立问题——最值分析法“中的相关题目） 参变分离后会出现的情况及处理方法：（假设x 为自变量，其范围设为D ，()f x 为函数；a 为参数，()g a 为其表达式）（1）若()f x 的值域为[],m M ①()(),x D g a f x ?∈≤，则只需要()()min g a f x m ≤= ()(),x D g x f x ?∈<，则只需要()()min g a f x m <= ②()(),x D g a f x ?∈≥，则只需要()()max =g a f x M ≥ 专题一：恒成立与存在性（精简型） 一、 恒成立之常用模型及方法一：分离参数法-----在指定的区间下对不等式作等价变形，将参数“a ”与变量“x ”左右分离开------ 模型------ αα>?∈>min )()(x f I x x f 恒成立对一切αα>?∈ 三、存在性之常用模型及方法：常见方法两种，一直接法同上恒成立，二 间接法，先求其否定（恒成立），再求其否定补集即可 例5已知322)(2 +-=ax x x f ，若存在(],2,1∈x 使得()0f 经典问题： 问题一：任意与任意 【例1】设()x x x a x f ln += ，()32 3--=x x x g ，如果对于任意的s ，?? ????∈2,21t ，都有()()t g s f ≥成立，求实数a 的取值范围。 【例2】已知函数()()()x x x g R m mx ex x x f ln , 13123= ∈++-= 。 （1）求函数()x f 的单调区间； （2）若对()+∞∈?,0,21x x ，()()2'1x f x g <恒成立，求实数m 的取值范围。 【变式1】已知函数(),1682 k x x x f -+=()x x x x g 4522 3 ++=，其中R ∈k ,对任意 1x ， []3,32-∈x ，都有()()21x g x f >成立，求实数k 的取值范围。 【变式2】设0>a 函数(),2 x a x x f +=()x x x g ln -=，如果对任意 1x ，[]e x ,12∈，都 有()()21x g x f >成立，求实数a 的取值范围。 【变式3】已知函数()(),13 123 R ∈++-= m mx ex x x f ()x x x g ln =，若对任意 1x ，()∞+∈，02x ，都有()()2'1x f x g <成立，求实数m 的取值范围。 问题二：任意与存在 【例1】已知函数()()(),ln 2122 12R ∈++-= a x x a ax x f ()x x x g 22 -=，若对任意 (]201，∈x ，均存在(]202，∈x ，使得()()21x g x f <，求a 的取值范围。 【例2】已知()，2 x x f =()m x g x -?? ? ??=21，若对任意的 []3,11-∈x ，存在[]202， ∈x ，使得()()21x g x f ≥，求实数m 的取值范围是___________。 【例3】已知函数()()1ln 12+++=ax x a x f 。 （1）讨论函数()x f 的单调区间； （2）设()322++-=bx x x g ，当3 1 - =a 时，若对()+∞∈?,01x ，[]2,12∈?x 使得()()21x g x f ≤，求实数b 的取值范围。 【变式1】已知函数()(),ln R ∈+=a x ax x f ()222 +-=x x x g ，若对任意 ()∞+∈， 01x ，均存在[]102， ∈x ，使得()()21x g x f <，求a 的取值范围。 【变式2】已知函数(),222 +-=x x x f ()x ax x g ln +=，若1->a 且对任意 []1,01∈x ， 均存在[]e x ，12∈，使得()()21x g x f <，求a 的取值范围。 备战2020高考数学冲刺秘籍之恒成立与有解问题解法大全第二篇 专题十六 与双变量有关的恒成立问题 一、问题指引 函数背景下的双变量问题，一直是高考的热点与难点，求解基本方法是利用相关知识转化为一个变量的函数问题． 二、方法详解 （一）构造齐次式，换元 【例】（2020年河南高三期末）已知函数()2ln f x x ax b x =++，曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程 为2y x =. （1）求实数,a b 的值； （2）设()()()()21212,,0F x f x x mx m R x x x x =-+∈<<分别是函数()F x 的两个零点，求证：0F ' <. 【类题展示1】【四川省2020届高三期末】已知函数()()2 1f x x axlnx ax 2a R 2 =-++∈有两个不同的极值点x 1，x 2，且x 1＜x 2． （1）求实数a 的取值范围； （2）求证：x 1x 2＜a 2． 【类题展示2】（2020·湖北高三期末）已知函数()1 2ln f x x a x x =-+?. （1）讨论()f x 的单调性； （2）设()2 ln g x x bx cx =--，若函数()f x 的两个极值点()1212,x x x x <恰为函数()g x 的两个零点，且 ()12122x x y x x g +??'=-? ???的范围是2ln 2,3?? -+∞???? ，求实数a 的取值范围. (二)各自构造一元函数 【例】（2020·河南高三月考）已知函数f （x ）＝lnx ﹣ax +1（a ∈R ）． （1）求f （x ）的单调区间； （2）设g （x ）＝lnx 3 44x x - +，若对任意的x 1∈（0，+∞），存在x 2∈（1，+∞），使得f （x 1）＜g （x 2）成恒成立问题与存在性问题(最新精华)
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