振动理论

对于任意的具有n 个自由度的振动系统，通过对系统中任意质量m i 进行受力分析，可以很方便地写出其运动方程。对i =1，2，…，n 个质量，可写出n 个方程。考虑到其它任意质量m j 对与质量m i 运动的相互耦合作用及它们对m i 运动的影响，可写出其矩阵形式

M x + C x + K x = F t (1)

其中， x 、 x 、 x 和F t 分别是n 个质量的加速度、速度、位移以及作用于系统的外力列向量， M 、 C 和 K 分别是系统的惯性矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵，它们都是n×n 阶方阵。

把式(4-2)所示的时域矩阵方程变换到拉氏域（变量为p ，p=σ+jω，σ为阻尼因子常数，ω为圆频率），并且假定初始位移和初始速度为零，则得：

)}({)}(]){[][][(2p F p X K C p M p =++

简写为 )}({)}()]{([p F p X p Z = (4-3) 其中，][][][)]([2K C p M p p Z ++=

为系统的动刚度矩阵。

由(4-3)式，可以得出系统的传递函数矩阵)]([p H 的定义：

)}()]{([)}({p F p H p X = (4-4)

根据矩阵理论，显然有

)

()])

(adj([])([)]([1p Z p Z p Z p H =

=- (4-5)

式中，)])(adj([p Z 为动刚度矩阵)]([p Z 的伴随矩阵，等于|]|[ij ij Z ε。

其中，||ij Z 为矩阵)]([p Z 去掉第i 行第j 列之后的行列式，?

?

?+-+=为奇数如果为偶数

如果j i j i ij

11ε； 分母|)(|p Z ，为矩阵)]([p Z 的行列式。

系统的特征方程为：0|][][][||)(|2=++=K C p M p p Z 。

求解特征方程 0|)(|=p Z ，即可得到系统极点r λ，它决定了系统的固有特性－共振频率。2n 个系统极点是特征方程的2n 个呈复共轭对的特征

根：

?????????

???????????++=?????????????????

???=??????????Λn n 1

1n n 11*n *1n 1j -0j -j 0j 00\\ωσωσωσωσλλλλ (4-6) 其中，系统极点r λ的实部r σ为阻尼因子，虚部r ω为非线性阻尼固有

频率，1-=j 。

相应地，特征方程的每一个特征根对应一个具体的特征向量r }{ψ，即系统的模态向量。

一般情况下，这些模态向量都含有复值模态位移，因而它们的元素的相位可能不同。在对应的极点r λ上，这些向量使得系统方程式（4-3）中的力向量)}({p F ＝0，即

}0{})]{([}]){[][][(2=ψ=ψ++r r r r r Z K C M λλλ (4-7) 因为r λ和＊r λ（r=1，2，…，n ）是系统特征方程0|)(|=p Z 的根，所以可将传递函数公式（4-5）重新整理为：

)

()])

(adj([))(()])

(adj([)]([21

*

1r n

r r r n

r p E p Z p p E p Z p H λλλ-∏=

--∏=

== (4-8)

式中，E 为常数，n s , 2, 1,,*s s n ==+λλ。 展成部分分式形式，为

∑????????-+-==n

r r r

r r p A p A p H 1**))(][))(][)]([λλ (4-9)

其中，r A ][和*][r A 为留数。根据留数定理，有

()r

p r r p p H A λ

λ=-=))](([][ (4-10)

将(1-8)式代入(1-10)式，得

)])

(adj([)

()])

(adj([][2,1p Z P E p Z A r s r n

r s s r =-∏=

≠=λλ (4-11)

显然，式中r P 为一与极点有关的常数。因此，式(1-9)可写为：

∑????

????-+-==n

r r r r r p Z P p Z P p H 1*

*r *r ))()])(adj([))()])(adj([)]([λλλλ (4-12)

由式(4-5)，有

?????

??

??

?=\\

)()])(]adj([)([I

p Z p Z p Z (4-13)

就r λ=p 计算上式，因为r λ是特征方程的一个根，所以有

0=)])(]adj([)([r r λλZ Z (4-14)

考虑)])(adj([r λZ 的任一列，比如第i 列，则有

0)])}(]{adj([)([i r r =λλZ Z (4-15)

显然，此式与式(4-5)相同，表示特征向量r }{ψ的齐次方程。因此，

i r )])}({adj([λZ 与r }{ψ这两个向量之间存在着确定的比例关系，它们都是与

特征值r λ相对应的特征向量，并且对于)])(adj([r λZ 中的任一列向量，都有相同的结论。所以，矩阵)])(adj([r λZ 的秩为1，这也意味着该矩阵的所有各行亦成比例。

因而，就r λ=p 计算出来的这个矩阵满足条件：

r I Z ][}{)])(adj([r r ψ=λ (4-16)

因为遵循Maxwell 互易性定理的系统其质量、刚度、阻尼等矩阵都是对称的，所以系统的动刚度矩阵)]([p Z 及其伴随矩阵)])(adj([p Z 也都是对称的，所以)])(adj([r λZ 的各行均与第r 阶模态向量成比例：

?

?

???

??

?????ψψψψψψψψψψψψψψψψψψ=ψψ=n n n n n n r r R R Z 21

2221

21211

1T

r r r }{}{)])(adj([λ (4-17)

其中，r R 是与r }{ψ换算比例有关的一个常数，上注脚T 表示矩阵转置。 将式(4-17)代入(4-12)，并记r r r R P Q =，则得

∑????????-ψψ+-ψψ==n

r r r r r p Q p Q p H 1*

T *r

*r *T r r ))(}{}{))(}{}{)]([λλ (4-18)

于是，各留数矩阵为：

T r r }{}{][ψψ=r r Q A (4-19) 记 ]}{}{}{}{[][**11n n ψψψψ=Φ ，

T T

***1*111][\\]}{}{}{}{[][V Q Q Q Q Q L n n n

n ????

?????

?=ψψψψ=

并考虑到1

\\

\\-????

?

??????????????

?Λ

-?

????

?

???

?I

p 中含有)(1)(1*

r r p p λλ--和项，所以

(4-18)式可以写成：

T 1

][\\

\\

\\

][)]([Φ????

?

????

?????

?

???

???????????

?Λ

-??????

?

???Φ=-Q

I p p H (4-20) 则，系统的激励力)}({p F 与位移响应)}({p X 之间的关系可以表示为：

)](][[\\

\\

][)]()][([)]([1

p F L I p p F p H p X -????

?

???

???????????

?Λ

-??????

?

???Φ== (4-21) 这里，矩阵][Φ与系统响应有关，是由系统的模态向量组成的矩阵，称为模态向量矩阵或模态振型矩阵；矩阵][L 与系统激励有关，由模态向量的转置与相应的比例换算因子Q 的乘积构成，称为模态参与因子矩阵。可见，矩阵][L 是各自由度激励对各阶模态激励有效性的一种度量。

对于仅沿频率轴计算的传递函数矩阵，即ωσj +=p 中0=σ的情形，式(4-18)变为：

∑????

????-ψψ+-ψψ==n

r r r r r Q Q H 1*

T *r

*r *T r r ))j (}{}{))j (}{}{)]j ([λωλωω (4-22)

这时，)]j ([ωH 一般又称为频响函数矩阵。由式(4-20)和(4-21)，则有：

][\\

\\j ][)]j ([1

L I

H -????

?

???

????????????Λ

-???????

???Φ=ωω (4-23) )]j (][[\\\\j ][)]j ([1

ωωωF L I X -????

?

???

???????????

?Λ

-??????

?

???Φ= (4-24) 可见，通过频响函数矩阵)]j ([ωH ，在频率域内建立起了弹性系统的位移响应与激励载荷之间的联系。所以，对于弹性体振动系统，只要求得了系统的模态特性参数（即系统极点：模

态频率、阻尼系数以及模态向量、模态参与因子），便可以利用这些参量对系统的动态特性进行分析研究，并可将这些参数用于结构设计或重设计，以优化系统的动态特性，并可按照式(4-24)计算得到系统在频域内的动态响应。