南通大学实验报告材料
大学实验报告
定积分与定积分的近似计算
学院：理学院
班级：数师153班
学号： 1502012072
：顾阳
第一部分实验报告书解读
一、实验目的
实验主要是分析用矩阵公式，梯形公式，辛普森公式求定积分的近似值，并比较它们与定积分的近似情况。
可以先学习定积分的数值计算方法，理解定积分的定义，掌握牛顿-莱布尼茨公式。
二、实验材料
1.1定积分的数值计算
计算定积分?b a dx x f )(的近似值，可将积分区间n 等分而得矩形公式
程序为
n a b n a b i a f dx x f n
i b a ---+≈∑?=])
1([)(1 或 n a
b n a b i a f dx x f n i b a --+≈∑?=][)(1
也可用梯形公式近似计算 n
a b b f a f n a b i a f dx x f n i b a -++-+≈∑?-=]2)()()([)(11 如果要准确些，可用辛普森公式 n a b b f a f a b i a f n a b i
a f dx x f n i n i
b a 6)]()()2)21((4)(2[)(111-++--++-+≈∑∑?=-= 对于?10sin xdx ，矩形公式、梯形公式、辛普森公式的Mathematica 程序为
a=0;b=1;k=10;
f[x_]:=Sin[x];
d=N[Integrate[f[x],{x,a,b}],k];（计算精确值）
s1[m_]:=N[Sum[f[a+i*(b-a)/m]*(b-a)/m,{i,0,m-1}],k];（取小区间左端点的矩形公式）
s2[m_]:=N[Sum[f[a+(i+1/2)*(b-a)/m]*(b-a)/m,{i,0,m-1}],k]（取小区间中点的矩形公式）
s3[m_]:=N[Sum[f[a+i*(b-a)/m]*(b-a)/m,{i,1,m}],k]; （取小区间右端点的矩形公式）
s4[m_]:=N[Sum[(f[a+i*(b-a)/m]+f[a+(i+1)*(b-a)/m])/2*(b-
a)/m,{i,0,m-1}],k]; （梯形公式） s5[m_]:=N[(b-a)/m/6*((f[a]+f[b])+2*Sum[f[a+i*(b-a)/m],{i,1,m-1}]
+4*Sum[f[a+(i-1/2)*(b-a)/m],{i,1,m}]),k];（辛普森公式） t=Table[{s1[m],r1[m],s2[m],r2[m],s3[m],r3[m],s4[m],r4[m],s5[m],r 5[m]}, {m,100,1000,100}]
1.2可积的条件
设f(x)=sinx,取a=0,b=1
对于?1
0sin xdx ，矩形公式、梯形公式、辛普森公式的Mathematica 程序为
a=0;b=1;k=10;
f[x_]:=Sin[x];
d=N[Integrate[f[x],{x,a,b}],k];（计算精确值）
s1[m_]:=N[Sum[f[a+i*(b-a)/m]*(b-a)/m,{i,0,m-1}],k];（取小区间左端点的矩形公式）
s2[m_]:=N[Sum[f[a+(i+1/2)*(b-a)/m]*(b-a)/m,{i,0,m-1}],k]（取小区间中点的矩形公式）
s3[m_]:=N[Sum[f[a+i*(b-a)/m]*(b-a)/m,{i,1,m}],k]; （取小区间右端点的矩形公式）
s4[m_]:=N[Sum[(f[a+i*(b-a)/m]+f[a+(i+1)*(b-a)/m])/2*(b-
a)/m,{i,0,m-1}],k]; （梯形公式） s5[m_]:=N[(b-a)/m/6*((f[a]+f[b])+2*Sum[f[a+i*(b-a)/m],{i,1,m-1}] +4*Sum[f[a+(i-1/2)*(b-a)/m],{i,1,m}]),k];（辛普森公式） r1[m_]:=d-s1[m];r2[m_]:=d-s2[m];r3[m_]:=d-s3[m];r4[m_]:=
t=Table[{s1[m],r1[m],s2[m],r2[m],s3[m],r3[m],s4[m],r4[m],s5[m],r 5[m]}, {m,100,1000,100}]
1.3牛顿-莱布尼茨公式
设函数)(x f 在[]b a ,上连续，而且)(x F 是)(x f 的一个原函数，则有牛顿-莱布尼兹公式?-=b a a F b F dx x f )()()(。
函数?
??≠==0001)(x x x f 在[]2,1-不连续、不存在原函数，但在[]2,1-上可积；函数???>≤-=--00
cos sin 22)(11x x x x x x x g 在[]2,1-不连续，但在[]2,1-上可积。
此外函数????∈=Q
x Q x x D 01)(处处不连续、不存在原函数，在任意区间(长度大于0)上不可积。
求原函数并验证牛顿-莱布尼兹公式的Mathematica 程序
f[x_]:=Sin[x];
Integrate[f(x),x]（求不定积分）
F[x_]:=%（定义原函数）
d=NIntegrate[f(x),{x,a,b}]（求定积分）
df=F[b]-F[a] （计算原函数的增量）
三、实验所用软件及版本
Mathematica 5.0
第二部分 实验计划
（一）定积分的数值计算
1.程序修改
a=0;b=1;k=10;
f[x_]:=Sin[x];
d=N[Integrate[f[x],{x,a,b}],k];
s1[m_]:=N[Sum[f[a+i*(b-a)/m]*(b-a)/m,{i,0,m-1}],k];
s2[m_]:=N[Sum[f[a+(i+1/2)*(b-a)/m]*(b-a)/m,{i,0,m-1}],k] s3[m_]:=N[Sum[f[a+i*(b-a)/m]*(b-a)/m,{i,1,m}],k];
s4[m_]:=N[Sum[(f[a+i*(b-a)/m]+f[a+(i+1)*(b-a)/m])/2*(b-
a)/m,{i,0,m-1}],k];
s5[m_]:=N[(b-a)/m/6*((f[a]+f[b])+2*Sum[f[a+i*(b-a)/m],{i,1,m-1}] +4*Sum[f[a+(i-1/2)*(b-a)/m],{i,1,m}]),k];
r1[m_]:=d-s1[m];r2[m_]:=d-s2[m];r3[m_]:=d-s3[m];r4[m_]:=d-s4[m];r5
[m_]:=d-s5[m];
t=Table[{s1[m],r1[m],s2[m],r2[m],s3[m],r3[m],s4[m],r4[m],s5[m],r5
[m]}, {m,100,1000,100}]
利用以上程序计算，?10dx ，?10xdx ，?102dx x ，?10dx e x ，?+1
0)1(dx x In 并对几个公式比较。
2.实验思路
对以上程序，分别将sinx 的x 替换成1，x ，x 2，e x ，In(1+x)
（二）可积的条件
1.实验思路：
（1）如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在区间[a,b]上可积，反之亦然。
（2）设一连续函数，判断其是否可积。
2.程序修改
a=0;b=1;k=10;
f[x_]:=Sin[x];
d=N[Integrate[f[x],{x,a,b}],k];
s1[m_]:=N[Sum[f[a+i*(b-a)/m]*(b-a)/m,{i,0,m-1}],k]; s2[m_]:=N[Sum[f[a+(i+1/2)*(b-a)/m]*(b-a)/m,{i,0,m-1}],k] s3[m_]:=N[Sum[f[a+i*(b-a)/m]*(b-a)/m,{i,1,m}],k];
s4[m_]:=N[Sum[(f[a+i*(b-a)/m]+f[a+(i+1)*(b-a)/m])/2*(b-
a)/m,{i,0,m-1}],k];
s5[m_]:=N[(b-a)/m/6*((f[a]+f[b])+2*Sum[f[a+i*(b-a)/m],{i,1,m-1}] +4*Sum[f[a+(i-1/2)*(b-a)/m],{i,1,m}]),k];
r1[m_]:=d-s1[m];r2[m_]:=d-s2[m];r3[m_]:=d-s3[m];r4[m_]:=d-s4[m];r5
[m_]:=d-s5[m];
t=Table[{s1[m],r1[m],s2[m],r2[m],s3[m],r3[m],s4[m],r4[m],s5[m],r5
[m]}, {m,100,1000,100}]
利用以上程序计算，?10dx ，?10xdx ，?102dx x ，?10dx e x ，?+1
0)1(dx x In 并对几个公式比较。
（三）牛顿-莱布尼茨公式
1. 程序修改
f[x_]:=Sin[x];
Integrate[f(x),x]
F[x_]:=%
d=NIntegrate[f(x),{x,a,b}]
df=F[b]-F[a]
r=d-df
2．实验思路
（1）先对一个函数sinx在区间[0,1]时,运行程序计算。
（2）在考虑其他函数，y=1,y=x，y=x2，y=e x，y=In(1+x)，
y=sign(x)在[0,1]时，进行程序计算。
第三部分实验过程与结果
实验一定积分的实验计算
1. 在mathmatica上输入以下程序
a=0;b=1;k=10;
f[x_]:=Sin[x];
d=N[Integrate[f[x],{x,a,b}],k];
s1[m_]:=N[Sum[f[a+i*(b-a)/m]*(b-a)/m,{i,0,m-1}],k];
s2[m_]:=N[Sum[f[a+(i+1/2)*(b-a)/m]*(b-a)/m,{i,0,m-1}],k]
s3[m_]:=N[Sum[f[a+i*(b-a)/m]*(b-a)/m,{i,1,m}],k];
s4[m_]:=N[Sum[(f[a+i*(b-a)/m]+f[a+(i+1)*(b-a)/m])/2*(b-
a)/m,{i,0,m-1}],k];
s5[m_]:=N[(b-a)/m/6*((f[a]+f[b])+2*Sum[f[a+i*(b-a)/m],{i,1,m-1}] +4*Sum[f[a+(i-1/2)*(b-a)/m],{i,1,m}]),k];
r1[m_]:=d-s1[m];r2[m_]:=d-s2[m];r3[m_]:=d-s3[m];r4[m_]:=d-s4[m];r5 [m_]:=d-s5[m];
t=Table[{s1[m],r1[m],s2[m],r2[m],s3[m],r3[m],s4[m],r4[m],s5[m],r5 [m]}, {m,100,1000,100}]
运行结果为：
2.在mathmatica上输入以下程序
a=0;b=1;k=10;
f[x_]:=1
d=N[Integrate[f[x],{x,a,b}],k];
s1[m_]:=N[Sum[f[a+i*(b-a)/m]*(b-a)/m,{i,0,m-1}],k];
s2[m_]:=N[Sum[f[a+(i+1/2)*(b-a)/m]*(b-a)/m,{i,0,m-1}],k]
s3[m_]:=N[Sum[f[a+i*(b-a)/m]*(b-a)/m,{i,1,m}],k];
s4[m_]:=N[Sum[(f[a+i*(b-a)/m]+f[a+(i+1)*(b-a)/m])/2*(b-
a)/m,{i,0,m-1}],k];
s5[m_]:=N[(b-a)/m/6*((f[a]+f[b])+2*Sum[f[a+i*(b-a)/m],{i,1,m-1}] +4*Sum[f[a+(i-1/2)*(b-a)/m],{i,1,m}]),k];
r1[m_]:=d-s1[m];r2[m_]:=d-s2[m];r3[m_]:=d-s3[m];r4[m_]:=d-s4[m];r5 [m_]:=d-s5[m];
t=Table[{s1[m],r1[m],s2[m],r2[m],s3[m],r3[m],s4[m],r4[m],s5[m],r5 [m]}, {m,100,1000,100}]
运行结果为：
3. 在mathmatica上输入以下程序
a=0;b=1;k=10;
f[x_]:=x
d=N[Integrate[f[x],{x,a,b}],k];
s1[m_]:=N[Sum[f[a+i*(b-a)/m]*(b-a)/m,{i,0,m-1}],k];
s2[m_]:=N[Sum[f[a+(i+1/2)*(b-a)/m]*(b-a)/m,{i,0,m-1}],k]
s3[m_]:=N[Sum[f[a+i*(b-a)/m]*(b-a)/m,{i,1,m}],k];
s4[m_]:=N[Sum[(f[a+i*(b-a)/m]+f[a+(i+1)*(b-a)/m])/2*(b-
a)/m,{i,0,m-1}],k];
s5[m_]:=N[(b-a)/m/6*((f[a]+f[b])+2*Sum[f[a+i*(b-a)/m],{i,1,m-1}] +4*Sum[f[a+(i-1/2)*(b-a)/m],{i,1,m}]),k];
r1[m_]:=d-s1[m];r2[m_]:=d-s2[m];r3[m_]:=d-s3[m];r4[m_]:=d-s4[m];r5 [m_]:=d-s5[m];
t=Table[{s1[m],r1[m],s2[m],r2[m],s3[m],r3[m],s4[m],r4[m],s5[m],r5 [m]}, {m,100,1000,100}]