考研数学一真题及答案
2005年考研数学一真题
令狐采学
一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分。答案写在题中横线上）
(1)曲线的斜渐近线方程为。
【答案】
【解析】
所以斜渐近线方程为。
综上所述，本题正确答案是。
【考点】高等数学—一元函数微分学—函数图形的凹凸性、拐点及渐近线
(2)微分方程满足的解为。
【答案】
【解析】
原方程等价于
所以通解为
将代入可得
综上所述，本题正确答案是。
【考点】高等数学—常微分方程—一阶线性微分方程(3)设函数,单位向量，则
。
【答案】
【解析】
因为
所以
综上所述，本题正确答案是。
【考点】高等数学—多元函数微分学—方向导数和梯度(4)设是由锥面与半球面围成的空
间区域，是的整个边界的外侧，则
。
【答案】。
【解析】
综上所述，本题正确答案是。
【考点】高等数学—多元函数积分学—两类曲面积分的概念、性质及计算
(5)设均为三维列向量，记矩阵
如果，那么。
【答案】2。
【解析】
【方法一】
【方法二】
由于
两列取行列式，并用行列式乘法公式，所以
综上所述，本题正确答案是2。
【考点】线性代数—行列式—行列式的概念和基本性质，行列式按行(列)展开定理
(6)从数中任取一个数，记为，再从中任一个
数，记为,则。
【答案】。
【解析】
【方法一】
先求出的概率分布，因为是等可能的取，故关于的边缘分布必有,而只从中抽取，又是等可能抽取的概率为
所以即：
X Y1234
1000
200
30
4
所以
【方法二】
综上所述，本题正确答案是。
【考点】概率论与数理统计—多维随机变量及其分布—二维离散型随机变量的概率分布、边缘分布和条件分布二、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。）
(7)设函数,则
(A)处处可导 (B)恰有一个不可导点
(C)恰有两个不可导点 (D)恰有三个不可导点
【答案】C。
【解析】
由知
由的表达式和其图像可知在处不可导，在其余点均可导。
1
综上所述，本题正确答案是C 。
【考点】高等数学—一元函数微分学—导数和微分的概念
(8)设
是连续函数的一个原函数，
表示的充分
必要条件是，则必有
(A)是偶函数是奇函数 (B)是奇函数是偶函数 (C)是周期函数是周期函数 (D)
是单调函数
是单调函数
【答案】A 。 【解析】 【方法一】 若
是偶函数，由导函数的一个基本结论“可导的偶函
数其导函数为奇函数”，反之， 若
为奇函数，则
为偶函数，
的任意一个原
函数可表示为
则
是偶函数，故应选A 。
【方法二】 排除法：取，显然
连续，,且
是偶函数，周期函数。但
不是奇
函数
,也不是周期函数，排除B 和C 选项。
若取,排除D，故应选A。
综上所述，本题正确答案是A。
【考点】高等数学—一元函数积分学—原函数和不定积分的概念，积分上限的函数及其导数
(9)设函数,其中函数具
有二阶导数，具有一阶导数，则必有
(A) (B)
(C)(D)
【答案】B。
【解析】
可见有
综上所述，本题正确答案是B。
【考点】高等数学—多元函数微积分学—多元函数的偏导数和全微分
(10)设有三元方程,根据隐函数存在定理，存
在点的一个邻域，在此邻域内该方程
(A)只能确定一个具有连续偏导数的隐函数
(B)可确定两个具有连续偏导数的隐函数和
(C)可确定两个具有连续偏导数的隐函数和
(D)可确定两个具有连续偏导数的隐函数和
【答案】D。
【解析】
则
且
由此可确定的隐函数为和
综上所述，本题正确答案是D。
【考点】高等数学—多元函数微分学—隐函数的求导法(11)设是矩阵的两个不同的特征值，对应的特征向量分
别为，则线性无关的充分必要条件是
(A) (B)
(C)(D)
【答案】B。
【解析】
【方法一】
设
即有①
由于特征值不同特征向量线性无关，所以线性无关，由①可得
线性无关只有零解
【方法二】
因为=
那么线性无关
由于线性无关，则
线性无关
综上所述，本题正确答案是B。
【考点】线性代数—向量—向量组的线性相关与线性无关，向量组的秩与矩阵的秩之间的关系
(12)设为阶可逆矩阵，交换的第1行与第2行得矩
阵,
分别为的伴随矩阵，则
(A)交换的第一列和第二列得
(B)交换的第一行和第二行得
(C)交换的第一列和第二列得
(D)交换的第一行和第二行得
【答案】C。
【解析】
设为3阶矩阵，因为作初等行变换得到，所以有
从而
又因为,故
即交换的第一列和第二列得
综上所述，本题正确答案是C。
【考点】线性代数—矩阵—矩阵的初等变换
(13)设二维随机变量的概率分布为
X Y01
00.4
10.1
已知随机事件和相互独立，则
(A) (B)
(C) (D)
【答案】B。
【解析】
由独立性可知
已知
所以有
综上所述，本题正确答案是B。
【考点】概率论与数理统计—多维随机变量及其分布—二维离散型随机变量的概率分布、边缘分布和条件分布，随机变量的独立性和不相关性
(14)设为来自总体的简单随机样本，
为样本均值，为样本方差，则
(A) (B)
(C) (D)
【答案】D。
【解析】
且与相互独立，因此
综上所述，本题正确答案是D。
【考点】概率论与数理统计—数理统计的基本概念—简单随机样本，统计量，样本均值，分布，分布，分布三、解答题（本题共9小题，满分94分。解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤）
(15)（本题满分11分）
设，表示不超过的最大整数。计算二重积分
【解析】
令
则
【考点】高等数学—多元函数积分学—二重积分与三重积分的概念、性质、计算和应用
(16)（本题满分12分）
求幂级数的收敛区间与和函数
【解析】
因为
所以当时，原级数绝对收敛，当时，原级数发散，因此原级数的收敛半径为1，收敛区间为
记
则
由于
所以
又
从而
【考点】高等数学—无穷级数—幂级数及其收敛半径、收敛区间(指开区间)和收敛域，幂级数的和函数，简单幂级数的和函数的求法，初等函数的幂级数展开式
(17)（本题满分11分）
如图曲线的方程为点(3,2)是它的一个拐点，直线与分别是曲线在点与处的切线，其交点设函数具有三阶连续导数，计算定积分
【解析】
由点是曲线的拐点知。由于直线与分别是曲线在点与处的切线，由图易得，直线与
的斜率分别为2和-2知，
且由图易得则
【考点】高等数学—一元函数积分学—定积分的概念和基本性质，不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法(18)（本题满分12分）
已知函数在连续，在内可导，且
证明：
(I)存在，使得；
(II)存在两个不同的点,使得
【解析】
(I)令由题设知，在上连
续，又
由连续函数的零点定理知，存在，使得
即
(II)在区间和上分别对用拉格朗日中值定理得此时，
【考点】高等数学—一元函数微分学—微分中值定理(19)（本题满分12分）
设函数具有连续导数，在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线上，曲线积分的值恒为同一常数
(I)证明：对右半平面内的任意分段光滑简单闭曲线
有；
(II)求函数的表达式。
【解析】
(I)如图，将分解成：,另作一条曲线围绕原点
且与相连，则
(II)设在单连通区域内具有一阶连续偏导数，由（I）知，曲线积分在该区域内与路径无关，故当时，总有
而①
②
比较①，②式的右端得：
可得
【考点】高等数学—多元函数积分学—平面曲线积分与路径无关的条件
(20)已知二次型
的秩为2
(I)求的值；
(II)求正交变换,将化为标准形；
(III)求方程的解
【解析】
(I)二次型矩阵，由于二次型的秩为
2，即,所以有
得
(II)当时，由
得矩阵的特征值是2,2,0。
对于，由
得特征向量
对，由
得特征向量
由于特征向量已经两两正交，只需单位化，于是有
令,那么经过正交变换,有，
(III)【方法一】
由（II）知，在正交变换下，化为
，解得
，从而
即方程的解是为任意常数。
【方法二】
由于
所以
其通解为,其中为任意常数。
【考点】线性代数—二次型—用正交变换和配方法化二次型为标准形
(21)（本题满分9分）
已知三阶矩阵的第一行是不全为零，矩阵
，且，求线性方程组的通解。
【解析】
由，知,又,故
当时，必有，此时由于
,又因为，的列向量是的解。
故的通解为：,是任意常数；
当时，则。此时。
若，则。的通解为；
若
则与同解，由，设,那么的通解为,是任意常数
【考点】线性代数—线性方程组—齐次线性方程组有非零解的充分必要条件，齐次线性方程组的基础解系和通解(22)（本题满分9分）
设二维随机变量的概率密度为
(I)求的边缘概率密度；
(II)的概率密度。
【解析】
(I)当时，；
当时，
当时，
所以
【考点】概率论与数理统计—多维随机变量及其分布—二维连续型随机变量的概率密度、边缘概率密度和条件密度(23)（本题满分9分）
设是来自总体的简单随机样本，是
样本均值，记
(I)求的方差；
(II)与的协方差。
【解析】
【考点】概率论与数理统计—随机变量的数字特征—随机变量函数的数学期望、协方差、相关系数及其性质