2018-2019学年上海市浦东新区华师大二附中高二(上)10月月考数学试卷

2018-2019学年上海市浦东新区华师大二附中高二（上）10月月

考数学试卷

一、填空题

1. _________________________________________________ （3分）直线1: 5x- 12y+5 = 0的单位方向向量为 _______________________________________ .

2. ____________________________________________________________________________ （3分）已知:「厂.J 「让f,且「.与.的夹角为锐角，贝V实数k的取值范围是_______________ .

3. _______________ （3分）若直线i 过点V5）, 且与直线显?.；广【［的夹角为——，则直线I 的

方程是_________ .

4. （3分）若直线I: y= kx- .「:与直线2x+3y-6= 0的交点位于第一象限，则直线I的倾斜角的

取值范围是

5. （3分）已知直线I: x- y- 1= 0, l1: 2x- y- 2= 0.若直线l2与l1关于I对称，则l2的

方程为_______ .

6. _________________________________________________ （3分）函数尹彳工十彳J + 1的最小值为 _____________________________________________ .

7. （3分）在厶ABC中，D、E分别是AB, AC的中点，M是直线DE上的动点，若△ ABC

& （3分）如图同心圆中，大、小圆的半径分别为2和1,点P在大圆上，PA与小圆相切于点A, Q为小圆上的点，^ U丨J的取值范围是___________ .

—?—* 1 j-=*

9. （3分）已知平面上三个不同的单位向量^, bi,匚满足a. ?b =b‘cp，若。为平面内的

任意单位向量，则卜L?|+|21「叫+3|??|的最大值为_________ .

10. （3分）在平面直角坐标系中，如果x与y都是整数，就称点（x, y）为整点，下列命题13.

中正确的是 _______ （写出所有正确命题的编号）. ① 存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点 ② 如果k 与b 都是无理数，则直线 y = kx+b 不经过任何整点 ③ 直线I 经过无穷多个整点，当且仅当

I 经过两个不同的整点

④ 直线y = kx+b 经过无穷多个整点的充分必要条件是： k 与b 都是有理数

⑤ 存在恰经过一个整点的直线. 二、选择题

11. （3分）已知△ ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为 a 、b 、c , O ABC 内一点，若分 别 满足下列四个条件：

② tanA? -.+tanB? .l.+tanC?i '= 11 ③ sin2A? -.+sin2B? ，+sin2C?□ ④ ，■+ l'.+ i=i'i

则点O 分别为△ ABC 的（ ） A .外心、内心、垂心、重心 C .垂心、内心、重心、外心

12. （3分）如图，在同一平面内，点 P 位于两平行直线11、l 2同侧，且P 到11, 12的距离分

B .内心、外心、垂心、重心 D .内心、垂心、外心、重心

别为1, 3，点M , N 分别在I 1, |2上，「”+1 J|= 8，则f?【啲最大值为（

)

)

点P

13.

如屯.若m M 分别为⑴1+幻+

丑）？qqq ）的最小值、最大值，其中{i ,

j , k}?{1，2，3，4，5}，{r ，s ，t}?{1，2，3，4，5}，则 m 、M 满足（ ）

A . m = 0， M > 0

B . m v 0， M > 0

C . m v 0， M = 0

D . m v 0， M v 0

三、解答题

16. 已知直线 l : （ 2a+b ） x+ （a+b ） y+a - b = 0 及点 P （3，4）.

（1 ）证明直线I 过某定点，并求该定点的坐标. （2）当点P 到直线l 的距离最大时，求直线I 的方程. 17. 如图所示，/ PAQ 是某海湾旅游区的一角，其中/

PAQ = 120°，为了营造更加优美的

旅游环境，旅游区管委员会决定在直线海岸

AP 和AQ 上分别修建观光长廊 AB 和AC ，

其中AB 是宽长廊，造价是 800元/米；AC 是窄长廊，造价是 400元/米；两段长廊的总 造价为120万元，同时在线段 BC 上靠近点B 的三等分点D 处建一个观光平台，并建水 上直线通道AD

（平台

14. （3分）已知点 M （a , b ）与点N （0，- 1）在直线3x - 4y+5 = 0的两侧，给出以下结 论:

① 3a - 4b+5 > 0;

② 当a >0时，a+b 有最小值，无最大值； ③ a 2+b 2> 1;

④ 当a >0且1时，的取值范围是（-8,

a-1

正确的个数是（ ）

C . 3

15. （3分）在边长为1的正六边形ABCDEF 中，记以A 为起点，其余顶点为终点的向量分

.；以D 为起点，其余顶点为终点的向量分别为 5

D ?一： :

大小忽略不计），水上通道的造价是1000元/米.

13.

(1 )若规划在三角形ABC区域内开发水上游乐项目，要求△ ABC的面积最大，那么AB 和AC

的长度分别为多少米？

(2)在(1 )的条件下，建直线通道AD还需要多少钱?

(1)已知点P在矩阵A的变换后得到的点Q的坐标为农.乓，就，试求点P的坐标;

(2)是否存在这样的直线：它上面的任一点经矩阵A变换后得到的点仍在该直线上？若

存在，试求出所有这样的直线；若不存在，则说明理由.

19.小郭是一位热爱临睡前探究数学问题的同学，在学习向量三点共线定理时，我们知道当

P、A、B三点共线，O为直线外一点，且-：..，时，x+y = 1 (如图1)第二天，

小郭提出了如下三个问题，请同学帮助小郭解答.

(1)当x+y> 1或x+y v 1时，O、P两点的位置与AB所在直线之间存在什么关系？写出

你的结论，并说明理由

(2)如图2,射线OM // AB,点P在由射线OM、线段OA及BA的延长线围成的区域内

(不含边界)运动，且' .r〕，求实数x的取值范围，并求当丁-二时，实数y的取值范围.

(3)过O作AB的平行线，延长AO、BO,将平面分成如图3所示的六个区域，且

I -,. ..,,请分别写出点P在每个区域内运动(不含边界)时，实数x, y应满足

的条件.(不必证明)

A B P

18.定义“矩阵”的一种运算

■

-c d J ?cx+dy；

变换下成点’’.设矩阵A=| 1

该运算的意义为点x, y)在矩阵的

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2018-2019学年上海市浦东新区华师大二附中高二（上）10月月

考数学试卷

参考答案与试题解析

一、填空题

1 □% I I io| I r I

1. （3分）直线l: 5x - 12y+5 = 0的单位方向向量为（=，亍7），（-=7，-寸7）.

13_ 13_ 13 13【分析】取直线l: 5x- 12y+5 = 0的方向向量为±（12，5），即可求出直线的单位方向向量.

【解答】解：取直线1: 5x- 12y+5 = 0的方向向量为±（12，5），

则该直线的单位方向向量为（垒_，旦），（-丄2，-旦），

13 13 13 13

故答案为：（丄2,旦），（-」=，-$_）

13 13 13 13

【点评】本题考查了直线的方向向量、单位向量，考查了推理能力与计算能力，属于基

础题.

2. （3分）已知a =7-27* b =T +k7，且轨与?的夹角为锐角，贝V实数k的取值范围是（-

8,- 2）U （- 2, _）.

￡

【分析】根据两向量的夹角为锐角知0且八1?不共线，由此求出k的取值范围.

【解答】解：;b = i +k7，且金与t■的夹角为锐角，

???「？1?=1 - 2k>0,解得k v—,

又.：、I，不共线，??? k z- 2,

?实数k的取值范围是（-8,- 2）U （- 2,二）.

故答案为：（-8,- 2）U （- 2,寺）.

【点评】本题考查了平面向量数量积与夹角的应用问题，是基础题.

3. （3分）若直线l过点［丄「；，且与直线■ :■- 的夹角为——，则直线l

的方程是x=- 2，或x+ 「:y- 1 = 0 .

I 分析】先求出直线m 的倾斜角，再根据直线l 和直^m 夹角为一，可得直线］的倾斜 角，进而得到直线I 的斜率，从而求得直线I 的方程.

【解答】解：???直线I 过点正；,且与直线

-1 = 0,

故答案为： x =- 2，或 x+ :■:y - 1 = 0.

【点评】本题主要考查直线的倾斜角和斜率，用点斜式求直线的方程，属于基础题. 4. （ 3分）若直线I : y = kx - .「:与直线2x+3y - 6= 0的交点位于第一象限，则直线

角的取值范围是

【分析】联立两直线方程到底一个二元一次方程组，求出方程组的解集即可得到交点的 坐标，根据交点在第一象限得到横纵坐标都大于

0，联立得到关于k 的不等式组，求出不

等式组的解集即可得到 k 的范围，然后根据直线的倾斜角的正切值等于斜率

k ,根据正切

函数图象得到倾斜角的范围.

解得：k >

故答案为：（寻*）. 且直线m

1 =V3 V3

3

设直直线 I 的倾斜角为0,贝y 0=

7T 丄兀 7T __ + __ = ___ 6

故直线m 2 的斜率不存在，或直线 m 的斜率为ta —— 6

7T T

= -ta 」-,

3

，或0=n+ (- )="

故直线I 的方程为x =- 2,或y - . ■:=

-

_（x+2），即直线l 的方程为

x =- 2，或 x+ 一 ■: y

I 的倾斜

【解答】解：联立两直线方程得:

2x+3y-6=0 ②'

将①代入②得：x =

3V3+6

"2+3F

把③代入①，求得y =

2+3k

所以两直线的交点坐标为（

"2+3k

因为两直线的交点在第一象限，所以得到 ek-2V3

2H-3k~

2+3k

),

7T ~

). 的斜率为

，即直线m 的倾斜角为 设直线I 的倾斜角为0,则tan

，所以0（

—

【点评】此题考查学生会根据两直线的方程求出交点的坐标,掌握象限点坐标的特点,

掌握直线倾斜角与直线斜率的关系，是一道综合题.

5. （ 3分）已知直线I : x - y - 1= 0,11： 2x - y - 2= 0.若直线12与|1关于I 对称，则|2的

方程为 x - 2y - 1 = 0

.

【分析】先解方程组得I 与11的交点（1, 0）也在l 2上，然后在l 1上去一点（2, 2）,则

该点关于I

的对称点（3, 1）也在12上，用两点式即可求得 l 2的方程.

在l 1上取点（2, 2）,依题意该点关于I 的对称点（3, 1）在l 2上

由两点式得I 2的方程为—，化简得x -2y - 1 = 0

1-0 3-1

故答案为：x - 2y - 1 = 0.

【点评】本题考查了直线与直线关于直线对称，属中档题. 6. （ 3分）函数 护詁彳買2十［的最小值为_JT^_.

【分析】利用函数的表达式，转化为 x 轴上的点与（1, - 3）, （0, 1）距离和的最小值. 【解答】解:函数门??：：??■.=「?： i 门几I ：,「：? I -：

, 就是x 轴上的点与（1,- 3）以及（0, 1）距离之和的最小值, 可得最小值为：

V (0-1)莓(!_￡)2=四.

故答案为：.：

【点评】本题考查函数的最值的求法，转化思想的应用.

7. （ 3分）在厶ABC 中，D 、E 分别是 AB , AC 的中点，M 是直线 DE 上的动点，若△ ABC

【分析】由三角形的面积公式，S A ABC = 2S ^MBC ，则S A MBC =—，根据三角形的面积公式

及向量的数量积，利用余弦定理，即可求得则H 「2,利用导数求得函数的单调性， 即可求得则m 「2的最小值;

【解答】

联立 p _y_1=°

解得

产[2i-y-2=0

1 y=0

1 , 0)

解: 所以三条直线的交点为（

方法二：利用辅助角公式及正弦函数的性质，即可求得 '+ .：'1 2的最小值.

【解答】解：??? D 、E 是AB 、AC 的中点, ? A 到BC 的距离=点 A 到BC 的距离的一半,

? S ^ABC = 2S A MBC ，而△ ABC 的面积 1,则厶 MBC 的面积 S ^MBC = S AMBC =丄 I MB I X I MC I sin / BMC

2

???丨 MB |X| MC 丨=

MB I X I MC I cos / BMC = -」-一-叽.

sinZBMC

CM I 2 - 2 I BM I X I CM I cos / BMC ,

显然，BM 、CM 都是正数,

? I BM 丨 2+ 丨 CM 丨 2>2 丨 BM |X

此时函数在（0,二）上单调减，在（

? cos/ BMC 宀时 取得最小值为「， 「？ W ；2的最小值是「；,

由余弦定理，I BC I 2=I BM I 2+ I I CM I,

?I BC I 2=| BM I 2+ | CM I 2-2

I BM |x| CM I cos /BMC = 2 X

gin/BMC

-2 X EHU

sinZMC ..

?丽?旋+葩》

cos^BMC slnZBHC 方法一：令y =: 一 —二一 +2 X sinZBMC

L-2cosZBMC

8必 &HC =Aco 自/BAIC sinZBHC sinZBMC

si nZ BMC ，则 y '= sin 2ZBHC

，令 '= °，则 COs/ BMC 一

-2 X

=2, tan a=

°的最小值是.?, 故答案为：.；.,1）上单调增,

方法二：令y 2-cos.ZBMC

sinZMC

，则ysin/ BMC+cos/ BMC = 2,贝贝.严.? sin (/BMC + a)

则sin (/ BMC+ a)=w 1,解得:y》.「:,

【点评】本题考查了向量的线性运算、数量积运算、辅助角公式，余弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.

& ( 3分)如图同心圆中，大、小圆的半径分别为2和1,点P在大圆上，PA与小圆相切于点A, Q为小圆上的点，^ U IJ的取值范围是[3 - ：：, 3+ ：;].

【分析】建立适当的平面直角坐标系，设Q (cos a, si n a), A ( 0,- 1),取P (W3,

-1),

利用平面向量的坐标表示求数量积，根据三角函数的有界性求出它的取值范围.

【解答】解：建立平面直角坐标系，如图所示，

设Q ( COS a, sin a) , A ( 0 , —1),

则p (± . 一: , - 1),不妨取p (- .「: , - 1),

则1 盒=(一「：, 0) , I 1 .1=( COSa+ . : ■:, sin a+1),

「?I 仁？( COS a+』-J)= :'：cos a+3 ；

又COs a《-1 , 1],

/. 3 -^3cos a+3 w 3+ ::,

即―I的取值范围是[3 —讥,3+ 「:].

故答案为：[3-^专,3+\八].

-0) +

寺

【点评】本题考查了平面向量的数量积以及数形结合的数学思想，是基础题.

9. （ 3分）已知平面上三个不同的单位向量 a., b,匚满足a.力=b ?c =二，若包为平面内的 任意单位向量，则■ _|+|2| ■ i|+3| ■ 的最大值为_. .： 1 【分析】柯西不等式可得：（|包|+|2 b ?它|+3|亡*巳| ）

3 4

w （ 12+22+32 ）

2 ~ - 2 ~■ —■■ 2

(| 一 - 1| +| ? T +3| ■ -| )

=14 ((|才创2+怡■引2+|匚■ e |2),再根据向量的数量积公式计算即可.

【解答】解：由柯西不等式可得：(|玄■Q |+|2b ?e |+3|匚■釦)2 w ( 12+22+32 ) (L ■ 1 '|2+| - ? '|2+|' L ?|2)

=14 ((| - ?』2+| ：? 一|2+| - T 2), 由于.o ?=.「=_,

???习与W ,任与2的夹角为斗-,

— 一'2 v 、2 一" —2

下面求 | ?- '|2+| ■ I '|2+| ■ ? '| ,

由于 |b ■辭=| - b ■ e |2, 不妨将 换成-l'.,设I 与 i 夹角为0,

3 2 2 2

则 | . - -| +| - ? '| +| ' L ?| = cos

-0) +

寺

-0 ) +cos 2 ( n -0) +cos 2 (

1 2 2

1 2 I 2

[COS ( ?cos ( n - 0) COS (2 n - 2 0) n — 2 0) +cos2 0+—-+_ cos ( 2 2 3

+ 1 2

2

(弋cos20+J

sin2 0+cos2 0-

cos I 叶 2 0

n- 2 0)] cos2 0- -sin2 0)

=

=—,

2

? （\ ■ - .|+|2-i‘|+3| - I J）2< 14X—= 21

?丨? -「|+|2 - | .\+3\ 的最大值为|

故答案为：.-||

【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查学生正确理解问题的能力，是难题.

10. （3分）在平面直角坐标系中，如果x与y都是整数，就称点（x, y）为整点，下列命题

中正确的是①③⑤（写出所有正确命题的编号）.

①存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点

②如果k与b都是无理数，则直线y= kx+b不经过任何整点

③直线l经过无穷多个整点，当且仅当I经过两个不同的整点

④直线y= kx+b经过无穷多个整点的充分必要条件是：k与b都是有理数

⑤存在恰经过一个整点的直线.

【分析】举例说明命题①⑤是真命题；举反例说明命题②是假命题；假设直线l过两个不同的整点，设直线I为y= kx,把两整点的坐标代入直线I的方程，两式相减得到两整点的横纵坐标之差的那个点也为整点且在直线I上，利用同样的方法，得到直线I经过无穷多个整点，得到命题③为真命题；当k, b都为有理数时，y= kx+b可能不经过整点，例如k=寺，b = ￡■，说明④是假命题.

【解答】解：①令y = x+丄，既不与坐标轴平行又不经过任何整点，命题①正确；

2

②若k=J$ b =伍，则直线y = J二经过（-1, 0）,命题②错误；

③设y= kx为过原点的直线，若此直线I过不同的整点（x1, y1）和（x2, y2）,

把两点代入直线I方程得：y1 = kx1, y2= kx2,

两式相减得：y1 - y2= k （x1 - x2）,

贝卩（x1- x2, y1- y2）也在直线y= kx上且为整点，

通过这种方法得到直线I经过无穷多个整点，则③正确；

④当k, b都为有理数时，y = kx+b可能不经过整点，例如k=* , b==，故④不正确；

iriLi

⑤令直线y=GE x恰经过整点（0, 0）,命题⑤正确.

综上，命题正确的序号有：①③⑤.

故答案为：①③⑤.