一轮复习等差等比数列证明练习题
4 4
n
1
n +1 n
n
a a +2 n
2S - 1 n S ? ?
?
1.已知数列{a }是首项为a = 1 ,公比 q = 1
的等比数列,b n 1 n + 2 = 3log
1 4
a
n
(n ∈ N *) ,数列 {c }满足 c = a ? b .
n n
n
n
(1)求证:{b n
}是等差数列;
{a }
a = 2, a
= a 2 + 6a + 6(n ∈ N * )
2.数列
满足
,
设 c n = log 5 (a n + 3)
.
(Ⅰ)求证: {c n }
是等比数列;
3.设数列 { n
}的前 n 项和为 S
n
,已知 a + 2a + 3a +
1 2 3
+ na = (n - 1)S + 2n (n ∈ N * ) .
n n
(2)求证:数列{S + 2}是等比数列;
n
4.数列{a } 满足 a = 1, a n 1 n +1
= 2 n +1 a
n
n (n ∈ N ) +
2 n
(1)证明:数列{ } 是等差数列;
a
n
5.数列 {a }首项 a n 1 2S 2
= 1 ,前 n 项和 S 与 a 之间满足 a = ( n ≥ 2)
n n n n
(1)求证:数列 ? 1 ? 是等差数列
? n
6.数列{ a }满足 a = 3 , a n 1
n +1 = 2
a + 1
n
,
(1)求证:{ a n - 1
} 成等比数列;
a + 2
n
7.已知数列{a } 满足 a
n
n +1
= 3a + 4 , (n ∈ N * ) 且 a = 1 ,
n 1
(Ⅰ)求证:数列{a + 2}是等比数列;
n
n +1
= ,n=1,2,…
? S ?
是等差数列,并求 S ; n ?
?
a 3 (Ⅰ)证明:数列 ? n ? 为等差数列;
=
a
a
(1)求证: ?? 1 + ? 是等比数列,并求 {a }的通项公式 a ; ? a n 2 ?
, a = ,且当 n ≥ 2 时,
2 4
8. 数列{a } 满足: a = 1, n ? a
n
1
n +1
= (n + 1) ? a + n ? (n + 1), n ∈ N *
n
a
(1)证明:数列{ n } 是等差数列;
n
9.已知数列{a n }的首项 a 1= 2 3
, a
2a
n
a + 1 n
(1)证明:数列 ? 1
?
- 1? 是等比数列;
? a n
?
10.已知数列{a } 的前 n 项和为 S , a = n
n 1
1 2
, S = n 2a - n (n - 1),n = 1,2,L . n n
(1)证明:数列 ? n + 1
? n
?
n
11.(16 分)已知数列{a } 的前 n 项和是 S ,且 S = 2a - n
n
n
n
n
(1)证明: { + 1}为等比数列;
n
12.数列{a } 满足: a = 2, a = 3, a
n
1
2
n +2
= 3a
n +1
- 2a (n
∈ N *) n
(1)记 d = a n n +1 - a n ,求证:数列{d n } 是等比数列;
13.已知数列{a } 的相邻两项 a , a
n
n n +1 是关于 x 方程 x 2 - 2n x + b = 0 的两根,且 a = 1 .
n 1
1
(1)求证:数列{a - ? 2n } 是等比数列;
n
14.(本题满分 12 分)已知数列{a } 中, a = 5 且 a = 2a
n
1
n
? a - 1 ?
? 2n ?
n -1
+ 2n - 1 ( n ≥ 2 且 n ∈ N
* ).
15.已知数列 {
n }中, a 1 = 1, a n a + 3 n
(n ∈ N * )
1 ?
n n
16.设数列{a }的前 n 项和为 S n
n
, n ∈N *.已知 a = 1 , a =
1 2
3 5
3
4S
n +2
+ 5S
= 8S n
n +1
+ S n -1 .
(1)求 a 的值;
4
(2)证明: ?a
- a ? 为等比数列; S - 3n (1)求证:数列 ? n ? 是等比数列; n 1.(1)见解析;(2) S =
2
- ? ( )n ;(3) m ≥ 1或 m ≤ -5 3 3 4
4 52n - 9
4.(1)详见解析;(2) a =
;(3) (2n - 3)2n +1 + 6
n + 1
5.(1)详见解析;(2)∴ a = ? 2
;(3) 3 . ? (2n - 1)(2n - 3)
? ? n +1 1 ?
2 n
?
17.设数列 {a }的前 n 项和为 S n
n ,且首项 a ≠ 3, a 1
n +1
= S + 3n (n ∈ N * ) .
n
(Ⅰ)求证:{ }
是等比数列; n
18.(本小题满分 10 分)已知数列 {a
n
}满足 a
1 = -1 , a n +1 =
(3n + 3)a + 4n + 6
n n
, n ∈ N * .
? a + 2 ? ? ?
参考答案
(3n + 2) 1 n
2.(Ⅰ)见解析;(Ⅱ)
a = 52n -1 n
- 3.
;(Ⅲ) 1 1
T =- - n
.
3.(1)
a = 4, a = 8
2 3
;(2)见解析;(3)5
2n
n
?1
(n = 1) ? 2 n - ( n ≥ 2) 3
?
6.(1)证明{ a n - 1
} 成等比数列的过程详见试题解析;
a + 2
n
2 = 1 ,对 n ≥ 2 成立.又
S = 1,
n
n - 1
1
? n n ? n
n + 1 n 3 + 3n 2
(n + 1)(n + 3) 2 n + 1 n + 3
,
2 2 4
3 5 n n + 2 n + 1 n + 3 2 6 n + 2 n + 3 12
11.(1)见解析;(2)解析;(3)存在, ? 或 ? 或 ? . m = 18 m = 5 m = 2 -
n 为偶数
?? 3 3
- 1 n 为奇数 ? 2 n +1 (2n - 1)? ? 1 ?? .
7
8
? 2 ?
?
1 - 3
3 - 1 ≤ t ≤
.
(2)实数 t 的取值范围为 2
2
7.详见解析
(2n - 1)? 3n +1 + 3
8.(1)见解析;(2) S =
4
n
n n (n + 1)
9.(1)详见解析(2) S = 2 -
1
- +
2n
2
n
n -1
10 .( 1 ) 由 S = n 2 a - n (n - 1) 知 , 当 n ≥ 2 时 , S = n 2 (S - S
n
n
n
n
n -1
) - n (n - 1) , 即
(n 2 - 1)S - n 2 S
n
n -1
= n (n - 1)
,所以
n + 1 n 1 + 1 S - S
n n -1 1
? n + 1 ?
n + 1 所以 ? S ? 是首项为 1 ,公差为 1 的等差数列.所以 S = 1 + (n - 1)? 1,即 n
n 2
S =
.
n
(
2 )
因 为 b =
S n n
1 1 1 1
= = ( - )
所 以
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 5 1 1 5
b + b + L + b = ( - + - + L + - + - ) = ( - - ) < 1 2 n
.
?k = 18 ?k = 6 ?k = 4
?
?
?
12.(1) d = 1? 2n -1 (2) a = 2n -1 + 1
n n
?
2n +1 2
13.(1)见解析;(2) S = ?
,(3) (-∞,1)
n
? 3
3
14.(Ⅰ)详见解析(Ⅱ) S = n ? 2n +1
n 15.(1)证明详见解析;(2) -2 < λ < 3.
n -1
16.(1)
;(2)证明见解析;(3) a =
n
17.(Ⅰ)详见解析; (Ⅱ) (-9,3) ? (3, +∞)