对实数域的认识

实数域认识

摘要：

实数, 是一种能和数轴上的点有一对一的对应关系的数。本来实数只唤作数，後来引入的虚数概念，原本的数称作“实数”——意义是“实在的数”。

关键词：实数域，特性，传递性，公理系统阿基米德（Archimedes）性，稠密性，唯一性

正文：

实数可以分为有理数和无理数两类，或代数数和超越数两类，或正实数，负实数和零三类。有理数可以分成整数和分数，而整数可以分为正整数、零和负整数。分数可以分为正分数和负分数。无理数可以分为正无理数和负无理数。实数集合通常用字母R 或R^n 表示。而R^n 表示n 为实数空间。实数是不可数的。实数是实分析的核心研究对象实数可以用来测量连续的量的。实数是不可数的。理论上，任何实数都可以用无限小数的方式表示，小数点的右边是一个无穷的数列(可以是循环的，也可以是非循环的)。在实际运用中，实数经常被近似成一个有限小数(保留小数点後n位，n为正整数)。在计算机领域，由于计算机只能存储有限的小数位数，实数经常用浮点数(floating point numbe）。

实数可以用来测量连续的量。理论上，任何实数都可以用无限小数的方式表示，小数点的右边是一个无穷的数列（可以是循环的，也可以是非循环的）。在实际运用中，实数经常被近似成一个有限小数

（保留小数点后n 位，n 为正整数，包括整数）。在计算机领域，由于计算机只能存储有限的小数位数，实数经常用浮点数来表示。

1）相反数（只有符号不同的两个数，他们的和为零，我们就说其中一个是另一个的相反数）实数a的相反数是-a。

2）绝对值（在数轴上一个数a与原点0的距离）实数a的绝对值是：|a|

①a为正数时，|a|=a

②a为0时，|a|=0

③a为负数时，|a|=a

(任何数的绝对值都大于或等于0，因为距离没有负的。)

3）倒数（两个实数的乘积是1，则这两个数互为倒数）实数a 的倒数是：1/a （a≠0）

4）数轴

（1）数轴的三要素：原点、正方向和单位长度。

（2）数轴上的点与实数一一对应。

实数域- 历史

埃及人早在公元前1000年就开始运用分数了。在公元前500年左右，以毕达哥拉斯为首的希腊数学家们就意识到了无理数存在的必要性。印度人于公元600年左右发明了负数，据说中国也曾发明负数，但稍晚于印度。在1871年，德国数学家康托尔最早地全面地给出了实数的定义。

从有理数构造实数

实数可以用通过收敛于一个唯一实数的十进制或二进制展开如{3, 3.1, 3.14, 3.141, 3.1415,…} 所定义的序列的方式而构造为有理数的补全。实数可以不同方式从有理数构造出来。这里给出其中一种，其他方法请详见实数的构造。

公理的方法

设R 是所有实数的集合，则：

集合R 是一个域：可以作加、减、乘、除运算，且有如交换律，结合律等常见性质。

域R 是个有序域，即存在全序关系≥ ，对所有实数x, y 和z：

若x ≥ y 则x + z ≥ y + z；

若x ≥ 0 且y ≥ 0 则xy ≥ 0。

集合R 满足完备性，即任意R 的有空子集S ( S∈R，S≠Φ)，若S 在R 内有上界，那么S 在R 内有上确界。

最后一条是区分实数和有理数的关键。例如所有平方小于 2 的有理数的集合存在有理数上界，如 1.5；但是不存在有理数上确界（因为√2 不是有理数）。

实数通过上述性质唯一确定。更准确的说，给定任意两个有序域R1 和R2，存在从R1 到R2 的唯一的域同构，即代数学上两者可看作是相同的。

实数域- 公理系统

实数可实现的基本运算有加、减、乘、除、乘方等，对非负数（即正数和0）还可以进行开方运算。实数加、减、乘、除（除数不

为零）、平方后结果还是实数。任何实数都可以开奇次方，结果仍是实数，只有非负实数，才能开偶次方其结果还是实数。

a.实数对于四则运算封闭性

实数集R对加、减、乘、除（除数不为零）四则运算具有封闭性，即任意两个实数的和、差、积、商（除数不为零）仍然是实数。实数集有序性

实数集是有序的，即任意两个实数a、b必定满足下列三个关系之一：ab.

b.如果R 是所有实数的集合，则：

集合R 是一个体：可以作加、减、乘、除运算，且有如交换律，结合律等运算规律。

集合R 是有序的：设x, y 和z 为实数，则：

若x ≥ y 则x + z ≥ y + z;

若x ≥ 0 且y ≥ 0 则xy ≥ 0.

集合R 是完整的：设R 的一个非空的子集合S ($S\; \backslash in\; R,\; S\backslash ne\backslash emptyset$), 如果S 在R 内有上限，那幺S 在R 内有最小上限。

最後一条是区分实数和有理数的关键。例如所有平方小于2的有理数的集合存在有理数上限(1.5), 但是不存在有理数最小上限($\backslash sqrt2$)。

实数是唯一适合似上等特性的集合：亦即如有两个如此集合，则两者之间必存在代数学上所称的域同构，即代数学上两者可看作是

相同的。

特性

1.实数大小具有传递性，即若a>b,b>c,则有a>c.

2.实数的阿基米德性

实数具有阿基米德（Archimedes）性，即对任何a，b ∈R，若

b>a>0,则存在正整数n，使得na>b.

3.实数的稠密性

实数集R具有稠密性，即两个不相等的实数之间必有另一个实数，既有有理数，也有无理数.

4.实数唯一性

如果在一条直线（通常为水平直线）上确定O作为原点，指定一个方向为正方向（通常把指向右的方向规定为正方向），并规定一个单位长度，则称此直线为数轴。任一实数都对应与数轴上的唯一一个点；反之，数轴上的每一个点也都唯一的表示一个实数。于是，实数集R与数轴上的点有着一一对应的关系。完备性作为度量空间或一致空间，实数集合是个完备空间，它有以下性质：所有实数的柯西序列都有一个实数极限。有理数集合就不是完备空间。例如，(1, 1.4, 1.41, 1.414, 1.4142, 1.41421, ...) 是有理数的柯西序列，但没有有理数极限。实际上，它有个实数极限√2。实数是有理数的完备化——这亦是构造实数集合的一种方法。极限的存在是微积分的基础。实数的完备性等价于欧几里德几何的直线没有“空隙”。

“完备的有序域”

实数集合通常被描述为“完备的有序域”，这可以几种解释。

首先，有序域可以是完备格。然而，很容易发现没有有序域会是完备格。这是由于有序域没有最大元素（对任意元素z，z + 1 将更大）。所以，这里的“完备”不是完备格的意思。

另外，有序域满足戴德金完备性，这在上述公理中已经定义。上述的唯一性也说明了这里的“完备”是指戴德金完备性的意思。这个完备性的意思非常接近采用戴德金分割来构造实数的方法，即从（有理数）有序域出发，通过标准的方法建立戴德金完备性。

这两个完备性的概念都忽略了域的结构。然而，有序群（域是种特殊的群）可以定义一致空间，而一致空间又有完备空间的概念。上述完备性中所述的只是一个特例。（这里采用一致空间中的完备性概念，而不是相关的人们熟知的度量空间的完备性，这是由于度量空间的定义依赖于实数的性质。）当然，R 并不是唯一的一致完备的有序域，但它是唯一的一致完备的阿基米德域。实际上，“完备的阿基米德域”比“完备的有序域”更常见。可以证明，任意一致完备的阿基米德域必然是戴德金完备的（当然反之亦然）。这个完备性的意思非常接近采用柯西序列来构造实数的方法，即从（有理数）阿基米德域出发，通过标准的方法建立一致完备性。

“完备的阿基米德域”最早是由希尔伯特提出来的，他还想表达一些不同于上述的意思。他认为，实数构成了最大的阿基米德域，即所有其他的阿基米德域都是R 的子域。这样R 是“完备的”是指，

在其中加入任何元素都将使它不再是阿基米德域。这个完备性的意思非常接近用超实数来构造实数的方法，即从某个包含所有（超实数）有序域的纯类出发，从其子域中找出最大的阿基米德域。

高级性质

实数集是不可数的，也就是说，实数的个数严格多于自然数的个数（尽管两者都是无穷大）。这一点，可以通过康托尔对角线方法证明。实际上，实数集的势为2ω（请参见连续统的势），即自然数集的幂集的势。由于实数集中只有可数集个数的元素可能是代数数，绝大多数实数是超越数。实数集的子集中，不存在其势严格大于自然数集的势且严格小于实数集的势的集合，这就是连续统假设。该假设不能被证明是否正确，这是因为它和集合论的公理不相关。

所有非负实数的平方根属于R，但这对负数不成立。这表明R 上的序是由其代数结构确定的。而且，所有奇数次多项式至少有一个根属于R。这两个性质使R成为实封闭域的最主要的实例。证明这一点就是对代数基本定理的证明的前半部分。

实数集拥有一个规范的测度，即勒贝格测度。

实数集的上确界公理用到了实数集的子集，这是一种二阶逻辑的陈述。不可能只采用一阶逻辑来刻画实数集：1. Löwenheim-Skolem定理说明，存在一个实数集的可数稠密子集，它在一阶逻辑中正好满足和实数集自身完全相同的命题；2. 超实数的集合远远大于R，但也同样满足和R 一样的一阶逻辑命题。满足和R 一样的一阶逻辑命题的有序域称为R 的非标准模型。这

就是非标准分析的研究内容，在非标准模型中证明一阶逻辑命题（可能比在R 中证明要简单一些），从而确定这些命题在R 中也成立。拓扑性质

实数集构成一个度量空间：x 和y 间的距离定为绝对值|x - y|。作为一个全序集，它也具有序拓扑。这里，从度量和序关系得到的拓扑相同。实数集又是1 维的可缩空间（所以也是连通空间）、局部紧致空间、可分空间、贝利空间。但实数集不是紧致空间。这些可以通过特定的性质来确定，例如，无限连续可分的序拓扑必须和实数集同胚。以下是实数的拓扑性质总览：

令a 为一实数。a 的邻域是实数集中一个包括一段含有 a 的线段的子集。

R 是可分空间。

Q 在R 中处处稠密。

R的开集是开区间的联集。

R的紧子集是有界闭集。特别是：所有含端点的有限线段都是紧子集。

每个R中的有界序列都有收敛子序列。

R是连通且单连通的。

R中的连通子集是线段、射线与R本身。由此性质可迅速导出中间值定理。

实数集可以在几种不同的方面进行扩展和一般化：最自然的扩展可能就是复数了。复数集包含了所有多项式的根。但是，复数集不是

一个有序域。

实数集扩展的有序域是超实数的集合，包含无穷小和无穷大。它不是一个阿基米德域。

有时候，形式元素+∞ 和-∞ 加入实数集，构成扩展的实数轴。它是一个紧致空间，而不是一个域，但它保留了许多实数的性质。

希尔伯特空间的自伴随算子在许多方面一般化实数集：它们可以是有序的（尽管不一定全序）、完备的；它们所有的特征值都是实数；它们构成一个实结合代数。

参考文献：

1.《现代数学观点下的中学数学》胡炳生吴俊等编高等教育出版社

2.<实数的构造理论>王建午曹之江著

3.中学数学教学参考丛书-实数张镜清霍纪良编上海教育出版社

4.龙门专题:实数(初中数学)(最新修订) 沈立新著