不同坐标系统间的转换和精度平差

不同坐标系统间的转换和精度平差

2010286190128 张璇

一、常用的坐标系椭球及参数

坐标转换涉及的基准主要有1954年北京坐标系、1980西安坐标系、WGS84坐标系、

二、坐标转换模型介绍

1. 空间直角坐标系统之间的坐标转换模型

（1）Bursa - Wolf 模型

当两个空间直角坐标系的坐标换算既有旋转又有平移时，则存在三个平移参数和三个旋转参数，再顾及两个坐标系尺度不尽一致，从而还有一个尺度变化参数，共计有七个参数。

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??

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?????+??????????+????????????????????---+?????????????=??????????S S S S S S Z Y X S

S

S S S S T T T Z Y X Z Y X m X Y X Z Y Z Z Y X Z Y X εεε000

上式为两个不同空间直角坐标直角的转换模型（布尔莎-沃尔夫（Bursa-Wolf ）模型），

也称默特（Helmert ）模型，其转换参数分别是3个平移参数（Δx ，Δy ，Δz ），三个旋转参数（εx ，εy ，εz ）和一个尺度参数m 。

为了求得这7个转换参数，至少需要3个公共点，当多于3个公共点时，可按最小二乘法求得7个参数的最或是值。

（2）Molodensky 模型

如果旋转与尺度是相对于参考点P K ，即以参考点P K 作变换中心。则有Molodensky 模型。

()()???

?? ??'-''-''-'++????? ??'''+????? ??=????? ??K i

K i K

i Z Y X K K K i i i Z Z Y Y X X Z Y X Z Y X Z Y X εεεδμ,,1000R

旋转角为小角度时，上式可简化为：

δμεεεεεε????

?

??'-''

-''-'+????? ??'-''-''-'????? ??---+????? ??'

-''-''-'+????? ??'''+????? ??=????? ??K

i K i K i K i K i K

i X

Y X Z Y Z

K i K i K i

K K K i i i Z Z Y Y X X Z Z Y Y X X Z Z Y Y X X Z Y X Z Y X Z Y X 000

000 上式同样可以简化为求解转换参数的形式如下：

δμεεε????

?

??'?'?'?+????? ???????

?

?'?'

?-'?'?'?'?-+????? ??'''+????? ??=????? ??iK

iK iK Z Y X iK

iK iK

ik

iK

iK

i i i i i i Z Y X X Y X Z Y Z Z Y X Z Y X Z Y X 000

000 其中，

?

??

?? ??'-''-''-'=?????

??'?'?'?K i

K i K

i iK iK

iK

Z Z Y Y X X Z Y X

相应于Molodensky 模型的坐标差的转换模型与Bursa-Wolf 模型相同。

（3）范士转换模型

若旋转角是围绕参考点的站心地平坐标系的坐标轴，即为范士转换模型。将三维空间坐

标系的旋转角与站心系旋转角的关系代入Molodensky 模型，即得范士转换模型如下：

??

?

?

?

??????? ?

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?-'?'?'?'?-+????

?

??'?'?'?+????? ??'''+????? ??=????? ??z y x K

K K K K

K

K K K K K K iK

iK iK ik

iK iK

iK iK

iK

i i i i i i B B L B L L B L B L L B X Y X Z Y Z Z Y X Z Y X Z Y X Z Y X ωωωδμsin 0

cos sin cos cos sin sin cos cos sin cos sin 000 000

2. 大地坐标系统之间的坐标转换模型

（1）二维七参数转换模型

● 原理：

当利用卫星技术获得的地心大地坐标（由地心空间大地直角坐标获得）而欲求参心大地坐标时，如为了测图等需要仅要求二维平面控制，且鉴于大地高存在较大的误差，将它们弃去，可以相对地提高坐标转换的精度，在三维不同大地坐标系的变换模型中，当进行WGS84或CGCS2000和我国参心大地坐标系的变换时，由于参心大地高的精度不高（一般可能有3m 左右的误差），因此我们考虑选择二维大地坐标系的变换模型，所谓二维七参数转换模型。 ● 公式：

222

2sin cos ""0cos cos sin cos sin sin cos """0cos sin 1sin cos 0sin cos "00(2sin )sin cos "1x y z L L X L N B N B

Y B B L B L B Z M M M tgB L tgB L m N L L e B B M

N e B e B B Ma ρρρρρεερερ?????-???????=?+???????????--?????

????????

-??????+??????--????????+--sin cos "a B B f f ρ??

????????????????

其中：

ΔB ，ΔL 同一点位在两个坐标系下的维度差、经度差、单位为弧度， Δa ，Δf 椭球长半轴差（单位米）、扁率差（无量纲）， ΔX ，ΔY ，ΔZ 平移参数，单位为米， εx ，εy ，εz 旋转参数，单位为弧度， m 尺度参数（无量纲）。

（2）平面四参数转换模型

● 原理：

对于不同高斯投影平面坐标转换，因范围较小，可考虑采用平面四参数转换模型，它属于两维坐标转换，对于三维坐标，需将坐标通过高斯投影变换得到平面坐标再计算转换参数。 ● 公式：

??

?

?????????-++??????=??????110022cos sin sin cos )1(y x m y x y x αα

αα

其中，x 0，y 0为平移参数，α为旋转参数，m 为尺度参数。X 2，y 2为2000国家大

地坐标系下的平面直角坐标系，X 1，y 1为原坐标系下平面直角坐标。坐标单位为米。

（3）三维七参数转换模型

● 原理：

不同空间大地直角坐标系换算公式一般涉及七个参数，即三个平移参数、三个旋转参数（欧勒角）和一个尺度变化参数。对于不同大地坐标系的换算，还应增加两个转换参数，这就是两种大地坐标系所对应的地球椭球参数。顾及全部七参数和椭球大小变化的转换公司又称为广义大地坐标微分公式或广义变换椭球微分公式。当已知一些公共点在两个不同坐标系中的大地坐标时，即可求得不同坐标系间的转换参数，反之，如果已知两坐标系间的转换参数，即可依据这两个公式，将点的大地坐标由一个坐标系换算到另一个坐标系。 ● 公式：

2222sin cos ""0()cos ()cos sin cos sin sin cos """()()()cos cos sin sin sin (1)(1)cos sin 1()sin L L X L N H B

N H B Y B B L B L B M H M H M H Z H B L B L B N e H N e H tgB L tgB L N H N H N H Ne B ρρρρρ??-????++??????????=?+???????--??+++??????????

??????

-+-+-+++--2222

2

2222

222()sin 0sin cos 0sin cos sin sin cos cos 0sin cos "()sin 00(2sin )sin cos "sin cos "

1(1sin )(11x

y z B N H Ne B L L M H M H Ne B B L Ne B B L N e B B m M N H Ne e B N B B e B B f Ma N M e B a a εεερρρ??????????

+-????????++????-????

??

??

??-+????+-??-+-----222sin )sin a f e B B ????????????????

????

????

ΔB ，ΔL ，ΔH 同一点位在两个坐标系下的维度差、精度差、大地高差，经纬度差

单位为弧度，大地高差单位为米，

ρ=180×3600/π 弧度秒

Δa 椭球长半轴差，单位为米， Δf 扁率差，无量纲，

Δx ，Δy ，Δz 平移参数，单位为米， εx ，εy ，εz 旋转参数，单位为弧度， m 尺度参数，无量纲

3. 坐标转换模型的适用范围

三、坐标转换精度及平差 1. 坐标转换精度要求

对于1954年北京坐标系、1980西安坐标系与2000国家大地坐标系转换分区转换及数

据库转换点位的平均精度应小于图上的0.1mm 。具体：

● 对于1:5千坐标转换，1980西安坐标系与2000国家大地坐标系转换分区转换平均

精度≤0.5m ；1954年北京坐标系与2000国家大地坐标系转换分区转换平均精度≤1.0m ；

● 1:5万基础地理信息数据库坐标转换精度≤5.0m ； ● 1:1万基础地理信息数据库坐标转换精度≤1.0m ； ● 1:5千基础地理信息数据库坐标转换精度≤0.5m 。

依据计算坐标转换模型参数的重合点的残差中误差评估坐标转换精度。对于n 个点，坐标转换精度估计公式如下：

● V （残差）=重合点转换坐标-重合点已知坐标

● 空间直角坐标X 残差中误差

X M =

● 空间直角坐标Y 残差中误差

Y M =

● 空间直角坐标Z 残差中误差Z M =● 点位中误差222Z Y X p M M M M ++=

● 平面坐标x 残差中误差

x M =

● 平面坐标y 残差中误差

y M =

● 大地高H 残差中误差

H M =● 平面点位中误差为2

2y

x p M M M +=

2. 七参数计算和具体平差过程

（1）相关原理

● 七参数：即七个转换参数，即三个平移参数、三个旋转参数和一个尺度缩放因子。

● 七参数平差原理：

对两个不同坐标系经过平移，以及三次旋转，尺度改换，可以得到如下的公式。

最小二乘法：

最小二乘法（又称最小平方法）是一种数学优化技术。它通过最小化误差的平方和寻找数据的最佳函数匹配。利用最小二乘法可以简便地求得未知的数据，并使得这些求得的数据与实际数据之间误差的平方和为最小。最小二乘法还可用于曲线拟

合。其他一些优化问题也可通过最小化能量或最大化熵用最小二乘法来表达。

（2）具体平差过程

●重合点选取：

坐标重合点可采用在两个坐标系下均有坐标成果的点。但最终重合点还需根据所确

定的转换参数，计算重合点坐标残差，根据其残差值的大小来确定，若残差大于3

倍中误差则剔除，重新计算坐标转换参数，直到满足精度要求为止；用于计算转换

参数的重合点数量与转换区域的大小有关，但不得少于5个。

●模型参数计算：

用所确定的重合点坐标，根据坐标转换模型利用最小二乘法计算模型参数。

设有两空间直角坐标系O T-X T Y T Z T与O-XYZ，在空间直角坐标系转换过程中，首

先将一坐标系先后沿X、Y、Z方向平移至另一坐标系原点，具有相同原点的两坐

标系通过3次旋转即可完成空间坐标转换。转换参数分别是3个平移参数Δx，Δy，Δz，3个旋转参数εx，εy，εz和一个尺度参数k。转换关系可用公式（1）描述，

其中X T是O T-X T Y T Z T的三维坐标向量，X是O-XYZ的三维坐标向量，R（ε）是

旋转矩阵。

在七个参数已知的情况下可以根据式（1）将一点的坐标从O-XYZ坐标系变换到O T-X T Y T Z T坐标系。按最小二乘法求解7参数至少需要3个重合点。这里选取3个已知点的空间坐标组成9个方程的超定方程组求解7参数。

?求解步骤如下：

?需拟合的矩阵函数为

其中，空间三维坐标转换模型F(x)=Δx+(1+x4)R(ε)X，且x1、x2、x3分别为平移矩阵Δx的3个参数；x4为尺度参数；x5、x6、x7分别为旋转矩阵R(ε)的3个参数；X为某坐标点转换前三维坐标；y为该坐标点转换后三维坐标。

?根据最小二乘原理确定7参数得到

的极小值问题。

?求解多元函数的极小值：

应用G-N迭代法进行求解。选取初始值进行迭代，在迭代过程中直到两相邻7参数向量差的一范数小于某阈值时停止迭代，即可得最小二乘法则下的最优解。