中华古诗文读本—子集

中华古诗文读本—子集
中华古诗文读本—子集

中华古诗文读本——《子集》

1《论语》六章

一子曰:“三军可夺帅也,匹夫不可夺志也。”

二子曰:“温故而知新,可以为师矣。”

三子曰:“君子成人之美,不成人之恶。小人反是。”

四子曰:“志于道,据于德,依于仁,游于艺。”

五子曰:“德不孤,必有邻。”

六子在川上曰:“逝者如斯夫,不舍昼夜。”

2《老子》二章

一名与身孰亲?身与货孰多?得与亡孰病?是故甚爱必大费;多藏必厚亡。知足不辱,知止不殆,可以长久。

二民不畏威,则大威至。无狎其所居,无厌其所生。夫唯不厌,是以不厌。是以圣人自知不自见;自爱不自贵。故去彼取此。

3《孟子》二则

一孟子曰:“鱼,我所欲也,熊掌,亦我所欲也,二者不可得兼,舍鱼而取熊掌者也。生,亦我所欲也,义,亦我所欲也,二者不可得兼,舍生而取义者也。”二孟子曰:“孔子登东山而小鲁,登泰山而小天下,故观于海者难为水,游于圣人之门者难为言。观水有术,必观其澜。日月有明,容光必照焉。流水之为物也,不盈科不行;君子之志于道也,不成章不达。”

4《庄子》一则

天地有大美而不言,四时有明法而不议,万物有成理而不说。圣人者,原天地之美而达万物之理。是故至人无为,大圣不作,观于天地之谓也。

5《礼记》一则

虽有佳肴,弗食不知其旨也;虽有至道,弗学不知其善也。是故学然后知

不足,教然后知困。知不足然后能自反也,知困,然后能自强也。故曰:教学相长也。“兑命”曰:“学学半。”其此之谓乎!

6《吕氏春秋》一则

吕不韦天下轻于身,而士以身为人。以身为人者如此其重也,而人不知以奚道相得。贤主必自知士,故士尽力竭智,直言交争,而不辞其患。豫让公孙弘,是矣。当是时也,智伯孟尝君知之矣。世之人主,得地百里则喜,四境皆贺;得士则不喜,不知相贺,不通乎轻重也。汤武千乘也,而士皆归之;桀纣天子也,而士皆去之。孔墨布衣之士也,万乘之主千乘之君不能与之争士也。自此观之,尊贵富大不足以来士矣,必自知之然后可。

7《傅子》一则傅玄

古之仁人,推所好以训天下,而民莫不尚德;推所恶以诫天下,而民莫不知耻。或曰:耻者其至者乎,曰未也。夫至者自然由仁;何耻之有?赴谷必坠,失水必溺,人见之也。赴阱必陷,失道必沉,人不见之也,不察之故,君子慎乎所不察。不闻大论,则志不宏;不听至言,则心不固。思唐虞于上世,瞻仲尼于中古,而知夫小道者之足羞也。相伯夷于首阳,省四皓于商山,而知夫秽志者之足耻也。存张骞于西极,念苏武于朔垂,而知怀闾室者之足鄙也。推斯类也,无所不至矣。德比于上,欲比于下。德比于上故知耻,欲比于下故知足。耻而知之,则圣贤其可几;知足而已,则固陋其可安也。圣贤斯几,况其为慝乎?固陋斯安,况其为侈乎?是谓有检,纯乎纯哉其上也。其次得概而已矣,莫非概也。渐其概,苟无邪,斯可矣。君子内省其身,怒不乱德,喜不乱义也。孔子曰:“仁远乎哉?我欲仁,斯仁至矣。”此之谓也。若子方惠及于老马,西巴不忍而放麑,皆仁之端也。推而广之,可以及乎远矣。

8《与朱元思书》吴均

风烟俱净,天山共色。从流飘荡,任意东西。自富阳至桐庐,一百许里,奇山异水,天下独绝。水皆缥碧,千丈见底。游鱼细石,直视无碍。急湍甚箭,猛浪若奔。夹岸高山,皆生寒树,负势竞上,互相轩邈,争高直指,千

百成峰。泉水激石,泠泠作响;好鸟相鸣,嘤嘤成韵。蝉则千转不穷,猿则百叫无绝。鸢飞戾天者,望峰息心;经纶世务者,窥谷忘反。横柯上蔽,在昼犹昏;疏条交映,有时见日。

9 黔之驴柳宗元

黔无驴,有好事者船载以入。至则无可用,放之山下。虎见之,庞然大物也,以为神。蔽林间窥之。稍出近之,慭慭然莫相知。他日,驴一鸣,虎大骇,远遁,以为且噬己也,甚恐。然往来视之,觉无异能者。益习其声,又近出前后,终不敢搏。稍近,益狎,荡倚冲冒,驴不胜怒,蹄之。虎因喜,计之曰:“技止此耳!”因跳踉大?,断其喉,尽其肉,乃去。

10记承天寺夜游苏轼

元丰六年十月十二日夜,解衣欲睡,月色入户,欣然起行。念无与乐者,遂至承天寺寻张怀民。怀民亦未寝,相与步于中庭。庭下如积水空明,水中藻、荇交横,盖竹柏影也。何夜无月?何处无竹柏?但少闲人如吾两人者耳!

11湖心亭看雪张岱

崇祯五年十二月,余住西湖。大雪三日,湖中人鸟声俱绝。是日,更定矣,余拏一小舟,拥毳衣炉火,独往湖心亭看雪。雾淞沆砀,天与云与山与水,上下一白。湖上影子,惟长提一痕,湖心亭一点,与余舟一芥,舟中人两三粒而已。到亭上,有两人铺毡对坐,一童子烧酒,炉正沸。见余大喜,曰:“湖中焉得更有此人!”拉余同饮,余强饮三大白而别。问其姓氏,是金陵人,客此。及下船,舟子喃喃曰:“莫说相公痴,更有痴似相公者。”

12为学一首示子侄彭端淑

天下事有难易乎?为之,则难者亦易矣;不为,则易者亦难矣。人之为学有难易乎?学之,则难者亦易矣;不学,则易者亦难矣。吾资之昏,不逮人也;吾材之庸,不逮人也;旦旦而学之,久而不怠焉,迄乎成,而亦不知其昏与庸也。吾资之聪,倍人也;吾材之敏,倍人也;屏弃而不用,其与昏与庸无以异

也。圣人之道,卒于鲁也传之。然则昏庸聪敏之用,岂有常哉?蜀之鄙有二僧,其一贫,其一富。贫者语于富者曰:“吾欲之南海,何如?”富者曰:“子何恃而往?”曰:“吾一瓶一钵足矣。”富者曰:“吾数年来欲买舟而下,犹未能也。子何恃而往?”越明年,贫者自南海还,以告富者,富者有惭色。西蜀之去南海,不知几千里也,僧富者不能至,而贫者至焉。人之立志,顾不如蜀鄙之僧哉?是故聪与敏,可恃而不可恃也;自恃其聪与敏而不学者,自败者也。昏与庸,可限而不可限也;不自限其昏与庸而力学不倦者,自力者也。

13《诗经》一首木瓜

投我以木瓜,报之以琼琚。匪报也,永以为好也!投我以木桃,报之以琼瑶。匪报也,永以为好也!投我以木李,报之以琼玖。匪报也,永以为好也!

14 汉乐府长歌行

青青园中葵,朝露待日晞。阳春布德泽,万物生光辉。常恐秋节至,焜黄华叶衰。百川东到海,何时复西归?少壮不努力,老大徒伤悲!

15《咏史》其五左思

皓天舒白日,灵景耀神州。列宅紫宫里,飞宇若云浮。峨峨高门内,蔼蔼皆王侯。自非攀龙客,何为歘来游?被褐出阊阖,高步追许由。振衣千仞冈,濯足万里流。

16《移居》其二陶渊明

春秋多佳日,登高赋新诗。过门更相呼,有酒斟酌之。农务各自归,闲暇辄相思。相思则披衣,言笑无厌时。此理将不胜,无为忽去兹。衣食当须纪,力耕不吾欺。

17《子夜四时歌》春歌

春风动春心,流目瞩山林.山林多奇彩,阳鸟吐清音。

18春晓孟浩然

春眠不觉晓,处处闻啼鸟。夜来风雨声,花落知多少。

19九月九日忆山东兄弟王维

独在异乡为异客,每逢佳节倍思亲。遥知兄弟登高处,遍插茱萸少一人。

20《静夜思》李白

床前明月光,疑是地上霜。举头望明月,低头思故乡。

21望岳杜甫

岱宗夫如何?齐鲁青未了。造化钟神秀,阴阳割昏晓。荡胸生层云。决眦入归鸟。会当凌绝顶,一览众山小。

22江南春绝句杜牧

千里莺啼绿映红,水村山郭酒旗风。南朝四百八十寺,多少楼台烟雨中。

23苏幕遮怀旧范仲淹

碧云天,黄叶地,秋色连波,波上寒烟翠。山映斜阳天接水,芳草无情,更在斜阳外。黯乡魂,追旅思,夜夜除非,好梦留人睡。明月楼高休独倚,酒入愁肠,化作相思泪。

24浣溪沙晏殊

一曲新词酒一杯,去年天气旧亭台。夕阳西下几时回?无可奈何花落去,似曾相识燕归来。小园香径独徘徊。

25卜算子李之仪

我住长江头,君住长江尾。日日思君不见君,共饮长江水。此水几时休?此恨何时已?只愿君心似我心,定不负相思意。

26夏日绝句李清照

生当作人杰,死亦为鬼雄。至今思项羽,不肯过江东。

27观书有感朱熹

半亩方塘一鉴开,天光云影共徘徊。问渠哪得清如许? 为有源头活水来。

28天净沙·秋思马致远

枯藤老树昏鸦,小桥流水人家,古道西风瘦马。夕阳西下,断肠人在天涯。

29石灰吟于谦

千锤万凿出深山,烈火焚烧若等闲。粉身碎骨浑不怕,要留清白在人间。

30明日歌钱鹤滩

明日复明日,明日何其多。我生待明日,万事成蹉跎!世人苦被明日累,春去秋来老将至。朝看水东流,暮看日西坠。百年明日能几何?请君听我《明日歌》。

集合的子集与真子集的区别与联系(图文介绍)

两张图彻底搞清楚一个集合的子集和真子集 一、子集和真子集的分类 1.A A A ???①的真子集的子集包括:②本身 2.A B A B A B A ≠的真子集:若是的子集且,则是的真子集。 二、子集和真子集的韦恩图表示 规定:空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集。 三、子集和真子集异同点比较 1.相同点:一个集合A 的子集和真子集都是由来自集合A 中的部分元素构成的集合,都不含集合A 之外的元素。 2.不同点:集合A 的所有子集=集合A 的所有真子集+集合A 本身。即比集合A 小的所有子集都称为集合A 的真子集,而集合A 的所有真子集加上集合A 本身就是集合A 的所有子集。 四、例题详解 1.已知集合{}1,2A =,求:集合A 的所有子集,并指出集合A 的所有真子集。 【解】集合A 中有两个元素,故一共有224=个子集,分别为:?,{}1,{}2,{}1,2共4个。 其中真子集有2213-=个,分别为:?,{}1,{}2。非空真子集有2222-=个,分别为:{}1,{}2。 【备注】n 元集合共有2n 个子集,共有21n -个真子集,共有22n -个非空真子集。 2.若集合{},,B a b c =,列出集合B 的所有子集,并指出其中的真子集、非空真子集。 【解】:集合B 中有三个元素,故共有328=个子集,分别为:?;{}a ,{}b ,{}c ;{},a b ,{},a c ,{},b c ;{},,a b c 共8个。 其中真子集共有3217-=个,分别为?;{}a ,{}b ,{}c ;{},a b ,{},a c ,{},b c 。 (真子集:B A )A B 1.B 是A 的真子集:B A <≠? 2.B 是A 的子集:B A <或B A =A B () A B 或(子集:B A ?)

1.2 集合之间的关系(含答案)(优选.)

最新文件---------------- 仅供参考--------------------已改成-----------word 文本 --------------------- 方便更改 赠人玫瑰,手留余香。 1.2 集合之间的关系 【课堂例题】 例1.设,,A B C 是三个集合,若A B ?且B C ?,试证A C ?. 例2.试判定下列两个集合的包含关系或相等关系并简述理由. (1)? {|23}x x -<<-; (2){|5}x x > {|6}x x >; (3){|n n 是12的正约数} {1,2,3,4,6,8,12}; (4){|n n 是4的正整数倍} {|2,}n n k k Z + =∈. 例3.求出所有符合条件的集合C (1){1,2,3}C ?;

(2){,}C a b ; (3){1,2,3} {1,2,3,4,5}C ?. (选用)例4.已知{|21,},{|A x x k k Z B x x ==+∈=是被4除余3的整数},判断,A B 之间的关系并证明之. . 1.2 集合之间的关系 【知识再现】 1.对于两个集合A 与B , (1)如果 ,那么集合A 叫做集合B 的子集,记作________或________,读作 或者_________________; (2)如果A 是B 的子集并且___________________________________,那么集合A 与集合B 相等,记作 ; (3)如果A 是B 的子集并且___________________________________,那么集合A 叫做集合

集合的概念、子集、交集、并集、补集

集合的概念、子集、交集、并集、补集 课 题 集合的概念、子集、交集、并集、补集 教学目标 1、了解集合的概念 2、理解子集、补集以及全集的概念 3、结合图形使学生理解交集并集的概念性质 重点、难点 重点:集合、子集、补集和全集的概念 难点:交集并集的概念,符号之间的区别与联系 考点及考试要求 理解集合及其表示;掌握子集、交集、并集、补集的概念。 教学内容 一、知识回顾 1、集合的概念。 2、集合的分类。 3、集合的性质。 4、常用的数集。 5、集合的表示。 6、元素与元素和集合与元素的关系以及集合与集合之间的关系。 二、全集与补集 1 补集:一般地,设S 是一个集合,A 是S 的一个子集(即S A ?), 由S 中所有不属于A 的元素组成的集合,叫做S 中子集A 的补集(或余集),记作A C S ,即 C S A=},|{A x S x x ?∈且 2、性质:C S (C S A )=A ,C S S=φ,C S φ=S 3、全集:如果集合S 含有我们所要研究的各个集合的全部元素,这个集合就可以看作一个全集,全集通常用U 表示 S A

三、典例分析 例1、(1)若S={1,2,3,4,5,6},A={1,3,5},求C S A (2)若A={0},求证:C N A=N* A 例2、已知全集U=R,集合A={x|1≤2x+1<9},求C U B的关系例3、已知S={x|-1≤x+2<8},A={x|-2<1-x≤1},B={x|5<2x-1<11},讨论A与C S 四、课堂练习 1、已知全集U={x|-1<x<9},A={x|1<x<a},若A≠φ,则a的取值范围是() (A)a<9(B)a≤9(C)a≥9(D)1<a≤9 2、已知全集U={2,4,1-a},A={2,a2-a+2}如果C U A={-1},那么a的值是? 3、已知全集U,A是U的子集,φ是空集,B=C U A,求C U B,C Uφ,C U U 4、设U={梯形},A={等腰梯形},求C U A.

《集合间的基本关系》教学设计(精品)

集合间的基本关系 (一)教学目标; 1.知识与技能 (1)理解集合的包含和相等的关系. (2)了解使用Venn图表示集合及其关系. (3)掌握包含和相等的有关术语、符号,并会使用它们表达集合之间的关系. 2.过程与方法 (1)通过类比两个实数之间的大小关系,探究两个集合之间的关系. (2)通过实例分析,获知两个集合间的包含与相等关系,然后给出定义. (3)从自然语言,符号语言,图形语言三个方面理解包含关系及相关的概念. 3.情感、态度与价值观 应用类比思想,在探究两个集合的包含和相等关系的过程中,培养学习的辨证思想,提高学生用数学的思维方式去认识世界,尝试解决问题的能力. (二)教学重点与难点 重点:子集的概念;难点:元素与子集,即属于与包含之间的区别. (三)教学方法 在从实践到理论,从具体到抽象,从特殊到一般的原则下,一方面注意利用生活实例,引入集合的包含关系. 从而形成子集、真子集、相等集合等概念. 另一方面注意几何直观的应用,即Venn图形象直观地表示、理解集合的包含关系,子集、真子集、集合相等概念及有关性质. (四)教学过程

图表示为: =2}. }.

备选训练题 例1 能满足关系{a ,b }?{a ,b ,c ,d ,e }的集合的数目是( A ) A .8个 B .6个 C .4个 D .3个 【解析】由关系式知集合A 中必须含有元素a ,b ,且为{a ,b ,c ,d ,e }的子集,所以A 中元素就是在a ,b 元素基础上,把{c ,d ,e }的子集中元素加上即可,故A = {a ,b },A = {a , b , c },A = {a ,b , d },A = {a ,b , e },A = {a ,b ,c ,d },A = {a ,b ,c ,e },A = {a ,b ,d ,e },A = {a ,b ,c ,d ,e },共8个,故应选A. 例2 已知A = {0,1}且B = {x |x A ?},求B . 【解析】集合A 的子集共有4个,它们分别是:?,{0},{1},{0,1}. 由题意可知B = {?,{0},{1},{0,1}}. 例3 设集合A = {x – y ,x + y ,xy },B = {x 2 + y 2,x 2 – y 2,0},且A = B ,求实数x 和y 的值及集合A 、B . 【解析】∵A = B ,0∈B ,∴0∈A . 若x + y = 0或x – y = 0,则x 2 – y 2 = 0,这样集合B = {x 2 + y 2,0,0},根据集合元素的互异性知:x + y ≠0,x – y ≠0. ∴22 220 xy x y x y x y x y =?? -=-??+=+? (I ) 或22 220xy x y x y x y x y =?? -=+??+=-? (II ) 由(I )得:00x y =?? =?或01x y =??=?或1 0x y =??=? 由(II )得:00x y =?? =?或01x y =??=-?或1 0x y =??=? ∴当x = 0,y = 0时,x – y = 0,故舍去. 当x = 1,y = 0时,x – y = x + y = 1,故也舍去. ∴01x y =?? =?或0 1x y =??=-? , ∴A = B = {0,1,–1}. 例4 设A = {x | x 2 – 8x + 15 = 0},B = {x | ax – 1 = 0},若B A ?,求实数a 组成的集合,并写出它的所有非空真子集. 【解析】A = {3,5},∵B A ?,所以

2集合之间的关系

1.2 集合之间的关系 【知识解读】 1、集合与集合之间的关系: (1)子集:对于两个集合A 和B ,若集合A 中______元素都属于集合B ,那么集合A 叫做集 合B 的子集,记作_______(或B A ?),读作“___________”或“B 包含A ”。 如:每个整数都是有理数,就是说:整数集中Z 的每个元素都属于有理数集Q ,即Z Q ?,同理Q R ?,即N _____Z ______Q ______R ; 注意: 任何集合都是它自身集合的子集,如A_____A 。 (2)相等的集合:对于集合A 和B ,如果______且_______,那么叫做集合A 与集合B 相等。 记作A=B ,读作“集合A 等于集合B ”。因此,如果两个集合所含的元素完全相同,那么这两个集合相等。 注意: 当A=B 时,A 一定是B 的子集,B 一定是A 的子集,即A=B ,A B B A ???。 (3)真子集:对于两个集合A ,B ,如果________,且B 中至少有一个元素不属于A ,那么 集合A 叫做集合B 的真子集,记作A ___ B 或(B _____A ),读作“A 真包于B ”或是“B 真包含A ”。由真子集的定义可见,真子集是子集关系中的特殊关系。 如:对于数集N ,Z ,Q ,R 来说,有N _____ Z _______ Q _______ R ; 注意: 空集是任何集合的子集,空集是任何非空集合的真子集。 2、有关有限集的子集个数的结论: 若集合A 是含有n 个元素的有限集,则集合A 的子集共有____________个, 集合A 的非空子集有__________个,集合A 的非空真子集有_____________个; 【例题讲解】 例1、 确定实数,x y ,使{}{}2,7,4x x y +=。 例2、确定下列每组两个集合的包含关系或相等关系; (1){|A n n =为12的正约数 }与}{1,3,2,4,6,12B =; (2)}{ *|2,C m m k k N ==∈与{|D m m =为4的正整数倍数}。

高一数学集合符号总结

高一集合符号总结 定范围的,确定的,可以区别的事物,当作一个整体来看待,就叫做集合,简称集,其中各事物叫做集合的元素或简称元。任何集合是它自身的子集. 元素与集合的关系: 元素与集合的关系有“属于”与“不属于”两种。 集合的分类: 并集:以属于A或属于B的元素为元素的集合称为A与B的并(集),记作A∪B(或B∪A),读作“A并B”(或“B并A”),即A∪B={x|x∈A,或x∈B} 交集:以属于A且属于B的元素为元素的集合称为A与B的交(集),记作A∩B(或B∩A),读作“A交B”(或“B交A”),即A∩B={x|x∈A,且x∈B} 例如,全集U={1,2,3,4,5} A={1,3,5} B={1,2,5} 。那么因为A和B中都有1,5,所以A∩B={1,5} 。再来看看,他们两个中含有1,2,3,5这些个元素,不管多少,反正不是你有,就是我有。那么说A∪B={1,2,3,5}。图中的阴影部分就是A∩B。 无限集:定义:集合里含有无限个元素的集合叫做无限集 有限集:令N+是正整数的全体,且Nn={1,2,3,……,n},如果存在一个正整数n,使得集合A与Nn一一对应,那么A叫做有限集合。 差:以属于A而不属于B的元素为元素的集合称为A与B的差(集) 注:空集包含于任何集合,但不能说“空集属于任何集合”. 补集:属于全集U不属于集合A的元素组成的集合称为集合A的补集,记作CuA,即CuA={x|x∈U,且x不属于A} 空集也被认为是有限集合。 例如,全集U={1,2,3,4,5} 而A={1,2,5} 那么全集有而A中没有的3,4就是CuA,是A的补集。CuA={3,4}。 在信息技术当中,常常把CuA写成~A。 某些指定的对象集在一起就成为一个集合,含有有限个元素叫有限集,含有无限个元素叫无限集,空集是不含任何元素的集,记做Φ。空集是任何集合的子集,是任何非空集的真子集,任何集合是它本身的子集,子集,真子集都具有传递性。

集合之间的关系(子集

集合之间的关系(子集 篇一:集合之间的关系教案 1.2集合之间的关系与运算 1.2.1 集合之间的关系 【学习要求】 1.理解子集、真子集、两个集合相等的概念. 2.掌握有关子集、真子集的符号及表示方法,能利用Venn图表达集合间的关系. 3.会求已知集合的子集、真子集. 4.能判断两集合间的包含、相等关系,并会用符号准确地表示出来. 【学法指导】 通过使用基本的集合语言表示有关的数学对象,感受集合语言在描述客观现实和数学问题中的意义;培养用集合的观点分析问题、解决问题的能力;学习用数学的思维方式解决问题、认识世界. 填一填:知识要点、记下疑难点 1.子集:一般地,如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素,那么集合A叫做集合B的子集,记作A?B或B?A,读作“A包含于B”,或“B包含A”. 2.子集的性质:①A?A(任意一个集合A都是它本身的子集);

②??A(空集是任意一个集合的子集). 3.真子集:如果集合A是集合B的子集,并且B中至少有一个元素不属于A,那么集合A叫做集合B的真子集,记作A B (或B A),读作“A真包含于B ”,或“B真包含A ”. 4.维恩图:我们常用平面内一条封闭曲线的内部表示一个集合,这种图形通常叫做维恩(Venn)图. 5.集合相等:一般地,如果集合A的每一个元素都是集合B的元素,反过来,集合B的每一个元素也都是集合A的元素,我们就说集合A等于集合B ,记作A=B .用数学语言表示为:如果A?B ,且B?A ,那么A=B . 6.一般地,设A={x|p(x)},B={x|q(x)},如果A?B,则x∈A?x∈B,即p(x)?q(x) .反之,如果p(x)?q(x),则A?B 研一研:问题探究、课堂更高效 [问题情境] 已知任意两个实数a,b,则它们的大小关系可能是ab,那么对任意的两个集合A,B,它们之间有什么关系?今天我们就来研究这个问题. 探究点一子集与真子集的概念 导引前面我们学习了集合、集合元素的概念以及集合的表示方法.下面我们来看这样三组集合: (1)A={1,3},B={1,3,5,6};(2)C={x|x是长方形},D={x|x是平行四边形};(3)P={x|x是菱形},Q={x|x是正方形}. 问题1 哪些集合表示方法是列举法?哪些集合表示方法是描述

1.1.2集合间的基本关系练习题

1.1.2集合间的基本关系 一、选择题 1.对于集合A ,B ,“A ?B ”不成立的含义是( ) A . B 是A 的子集 B .A 中的元素都不是B 的元素 C .A 中至少有一个元素不属于B D .B 中至少有一个元素不属于A [答案] C [解析] “A ?B ”成立的含义是集合A 中的任何一个元素都是B 的元素.不成立的含义是A 中至少有一个元素不属于B ,故选C. 2.集合M ={(x ,y )|x +y <0,xy >0},P ={(x ,y )|x <0,y <0}那么( ) A .P M B .M P C .M =P D .M P [答案] C [解析] 由xy >0知x 与y 同号,又x +y <0 ∴x 与y 同为负数 ∴??? x +y <0 xy >0等价于??? x <0 y <0∴M =P . 3.设集合A ={x |x 2=1},B ={x |x 是不大于3的自然数},A ?C ,B ?C ,则集合C 中元素最少有( ) A .2个 B .4个 C .5个 D .6个 [答案] C [解析] A ={-1,1},B ={0,1,2,3}, ∵A ?C ,B ?C , ∴集合C 中必含有A 与B 的所有元素-1,0,1,2,3,故C 中至少有5个元素. 4.若集合A ={1,3,x },B ={x 2,1}且B ?A ,则满足条件的实数x 的个数是( ) A .1 B .2 C .3 D .4 [答案] C [解析] ∵B ?A ,∴x 2∈A ,又x 2≠1 ∴x 2=3或x 2=x ,∴x =±3或x =0.故选C. 5.已知集合M ={x |y 2=2x ,y ∈R }和集合P ={(x ,y )|y 2=2x ,y ∈R },则两个集合间的

集合的分划与子集族(打印)

集合的划分与子集族(即奥林匹克小丛书《集合》一册的第4、5讲) 一、集合的划分 例1、将集合{}1,2,,1989 分为117个互不相交的子集()1,2,,117i A i = 使得: (1)每个i A 都含有17个元素;(2)每个i A 中各元素之和都相同。 例2、对一个由非负整数组成的集合S ,定义()s r n 是满足下述条件的有序对()12,s s 的对数:12,s s S ∈ 且1212,s s s s n ≠+=,问能否将非负整数集分划为两个集合A 和B ,使得对任意n 均有()()A B r n r n = 例3、设集合{}1,2,,A m = ,求最小的正整数m ,使得对A 的任意一个14-分划1214,,,A A A , 一定存在某个集合()114i A i ≤≤,在i A 中由两个元素,a b ,满足43b a b <≤ 例4、证明:可以把自然数集分划为100个非空子集,使得对任何3个满足关系式99a b c +=的自然 数,,a b c ,都可以从中找出两个数属于同一子集 例5、设集合12,,,n A A A 和12,,,n B B B 是集合M 的两个n -分划,已知对任意两个交集为空集的集合(),1,i j A B i j n ≤≤,均有i j A B n ≥ ,求证:2 2 n M ≥

例6、设自然数分划成r 个互不相交的子集:12r N A A A = ,求证其中必有某个子集A ,它具有如下性质P :存在,m N ∈使对任何正整数k ,都能找到12,,,k a a a A ∈ ,满足 11,11j j a a m j k +≤-≤≤≤- 例7、将正整数集拆分成两个不相交的子集,A B ,满足条件:(1)1A ∈;(2)A 中没有两个不同的元素,使它们的和形如()220,1,2,k k += ;(3)B 中也没有两个不同的元素,其和具有上述形式。 证明:这种拆分可以以惟一的方式实现,并确定2007,2008,2009所属的子集 例8、平面上横纵坐标均为有理数的点叫有理点,求证:平面上的全部有理点可以分成3个两两互不相交的集合,满足条件:(1)在以每个有理点为圆心的任一圆内一定包含3个点分属这3个集合; (2)下任何一条直线上都不可能有3个点分属这3个集合 例9、设{}{}1,2,,2008,1004,2009,3014A M == ,对A 的任一非空子集B ,当B 中任意两数之和不属于M 时,称B 为M -自由集,如果1212,,A A A A A ==? 且12,A A 均为M -自由集,那么称有序对为()12,A A 为A 的一个M -划分,试求A 的所有M -划分的个数 二、C 族 例10、试证:任一有限集的全部子集可以排定次序,使得任何相邻的两个子集都相差一个元素

集合的包含关系

1.1.2集合的包含关系 教学目的:了解集合之间的包含、相等关系的含义;理解子集、真子集的概念;能利用Venn 图表达集合间的关系;了解与空集的含义。 教学重点:1、集合的包含关系、子集、真子集、集合相等的概念以及符号表示。 2、全集的概念,一个集合的补集的概念,符号表示。 教学难点: 1、 属于、包含关系的区别,包含与相等关系的区别,空集是任何非空集合的真子集。 2、 对补集概念的理解。 课 型:新授课 引入新课 (一)集合的子集和真子集 1.由元素与集合间的关系:A a ∈、A a ?, (1)0 N ;(2)2 Q ;(3)-1.5 R 2.考虑集合A 与集合B 之间会有什么样的关系。类比实数的大小关系,如5<7,2≤2,试想集合间是否有类似的“大小”关系? 子集概念 如果集合B 的每一个元素都是集合A 的元素,这时就说B 是A 的子集。也可以说B 包含于A ,或A 包含B 。记为B ?A 或A ?B 。 “B 是A 的子集”也可以表述为 如果对于任意的B x ∈都能推出A x ∈,则可推断B ?A 。Venn 图的表示: A B ?(B A ?) 例说明 1) A={1,2,3},B={1,2,3,4,5} (让学生用定义来解释A为什么属于B?) 2) A=“高一2班所有男生”,B=“高一2班的所有学生” 3) A={x | x 为等腰三角形},B={x | x 为两条边相等的三角形} 集合相等:A B B A ??且(B A =中的元素是一样),记作B A = 真子集的概念 若集合AB?,存在元素BA且?∈x x ,则称集合B 是A 的真子集。

记作BA. 读作:B真包含于A(或A真包含B) 规定: 空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集。 思考:你能写出N,Z,Q,R这几个集合之间的包含关系吗? 例1.已知集合A ={-1,3,2m -1},集合B ={3,2 m }.若B ?A ,则实数m = . 2.已知集合}5|{<<=x a x A ,x x B |{=≥}2,且满足B A ?,求实数a 的取值范围。 3.写出集合{a ,b ,c}所有的子集. 思考:(1) 写一个集合的子集时,怎样做到不发生重复和遗漏现象? (2) 分别写出下列各集合的子集及其个数:?,{}a ,{},a b ,{},,a b c . 集合M 中含有n 个元素,总结当0n =,1n =,2n =,3n =时子集的个数规律, 归纳猜想出集合M 有多少个子集?多少个真子集 结论:含n 个元素的集合{}n a a a ,,21 的所有子集的个数是n 2,所有真子集的个数 是n 2-1,非空真子集数为22-n 易混符号 ①“∈”与“?”:元素与集合之间是属于关系;集合与集合之间是包含关系如,,1,1R N N N ??-∈Φ?R ,{1}?{1,2,3} ②{0}与Φ:{0}是含有一个元素0的集合,Φ是不含任何元素的集合 如 Φ?{0}不能写成Φ={0},Φ∈{0} (二)全集和补集 全集: 要讨论的对象都是集合I的元素和子集,就可以约定把集合I叫作全集(或基本集) 补集:若A是全集I的子集,I中不属于A的元素组成的子集叫作A的补集(或余集)记作ACI.显然,ACI 的补集就是A. 注: 是对于给定的全集 而言的,当全集不同时,补集也会不同. 提问:1、设I=Z ,A 为奇数集合,它的补集是什么?(偶数集) 2、设I=R ,Q 的补集是什么? (无理数集) 3、 设I=R ,+R 的补集是什么? (非正实数集,-R 加上0,{x |R x x ∈≤,0}) 4、设I=R ,]5,(--∞的补集是什么? ((-5,∞+),{x |R x x ∈->,5})

集合子集个数

一集合A的子集个数 1 n个元素每个都有两种选择,即有或没有,那么n个元素就有2^n种 2 有n个元素,每个元素进行一次判断要不要把它选出来放进子集里,。。。这样子判断n次,产生了2^n种不同子集 二若集合A有n个元素,则集合A的子集个数为2^n(即2的n次方)真子集个数是什么非空真子集个数是什么并证明 最佳答案 2^n - 1, 2^n - 2 证:设元素编号为1, 2, ... n。每个子集对应一个长度为n的二进制数, 数的第i位为1表示元素i在集合中,0表示元素i不在集合中。 00...0(n个0) ~ 11...1(n个1) [二进制] 一共有2^n个数,因此对应2^n个子集,去掉11...1(即全1,表示原来的集合A)则有2^n-1个真子集,再去掉00...0(即全0,表示空集)则有2^n-2个非空真子集 比如说集合{a, b, c}元素编号为a--1, b--2, c--3 111 <--> {a, b, c} --> 即集合A 110 <--> {a, b, } --> 元素1(a), 元素2(b)在子集中 101 <--> {a, , c} --> 元素1(a), 元素3(c)在子集中 ... ... 001 <--> { , , c} 000 <--> { , , } --> 即空集 如果你学过排列组合,可以有更简单的证明。 三关于含有n个元素的集合的真子集个数问题 最近发现这么一类问题,让你求对于含有n个元素的集合,其含有m个元素真子集的个数是多少?(n>m) 这里有一道例题: 1个集合里有10个元素,那么他有3个元素的子集是多少个? 首先,我们来逐步解决这个问题。 引入一:1个集合里有10个元素,那么他有1个元素的子集是多少个? 答:这个貌似不用说都知道吧。。。10个。。。这个小学生都会做。。。即有n个 引入二:1个集合里有10个元素,那么他有2个元素的子集是多少个? 答:这个就有一些难度了,但并不很难,这里有一个思路: 先定住一个元素,然后另一个元素逐渐往后移动,可能我说不清楚,请看图解: (◎定住元素★移动元素☆其他元素,下同) ◎★☆☆☆☆☆☆☆☆ 下一步是:

1.2 集合之间的关系(含答案)

【课堂例题】 例1.设,,A B C 是三个集合,若A B ?且B C ?,试证A C ?. 例2.试判定下列两个集合的包含关系或相等关系并简述理由. (1)? {|23}x x -<<-; (2){|5}x x > {|6}x x >; (3){|n n 是12的正约数} {1,2,3,4,6,8,12}; (4){|n n 是4的正整数倍} {|2,}n n k k Z + =∈. 例3.求出所有符合条件的集合C (1){1,2,3}C ?; (2){,}C a b ü; (3){1,2,3}{1,2,3,4,5}C ?ü. (选用)例4.已知{|21,},{|A x x k k Z B x x ==+∈=是被4除余3的整数},判断,A B 之间的关系并证明之. .

【知识再现】 1.对于两个集合A 与B , (1)如果 ,那么集合A 叫做集合B 的子集,记作________或________,读作 或者_________________; (2)如果A 是B 的子集并且___________________________________,那么集合A 与集合B 相等,记作 ; (3)如果A 是B 的子集并且___________________________________,那么集合A 叫做集合B 的真子集,记作____________或______________. 2.空集?是__________________的子集;空集?是__________________的真子集. 【基础训练】 1.(1)下列写法正确的是( ) (A ){0}?ü (B )0?ü (C ){0}?∈ (D )0∈? (2)下列四个关于空集的命题中:①空集没有子集;②任何集合至少有两个子集;③空集是任何集合的真子集;④若A ??≠,则.A ≠? 其中正确的个数是( ) (A )0 (B )1 (C )2 (D )3 2.用恰当的符号填空(,,=??) (1){1,3,5} {5,1,3}; (2){|(3)(2)0}x x x -+= 3{| 0}3 x x x -=+; (3){|2}x x > {|2}x x ≥; (4){|,}2n x x n Z =∈ 1{|,}2 x x n n Z =+∈. 3.(1)已知2{,}{2,2}x y x x =,则x = ,y = . (2)2{1,3,}{1,}x x ?,则实数x ∈ . 4.指出下列各集合之间的关系,并用文氏图表示: {|A x x =是平行四边形},{|B x x =是菱形}, {|C x x =是矩形},{|D x x =是正方形} 5.类比“?”、“?≠”的定义,请给出符号“?”的定义: 如果 ,则称集合A 不是集合B 的子集,用符号“A B ?”表示,读作“A 不包含于B ”. 6.已知集合M 满足{0,1,2,3,4}M ?且{0,2,4,8}M ?, 写出所有符合条件的集合M . 7.已知2 {1},{|30}A B x x x a ==-+=, ①若A B ü,求实数a 的值;②是否存在实数a 使得A B =?

集合练习题(子集真子集)

集合练习题 班级 姓名 评价 1.写出集合{}c b a ,,的所有子集,真子集有几个 2.写出满足{2,3}A ?{2,3,4,5,6,7}的所有集合A. 3.下列表述正确的是( ) A .}0{=? B.}0{?? C. }0{?? D. }0{∈? 4.下列关系中正确大的序号是 ①0∈{0},②?{0},③{0,1}?{(0,1)},④{(,)}a b ={(,)}b a 5.下列说法中正确的是 (1)空集没有子集(2)任何集合至少有两个子集(3)空集是任何集合的真子集 6.下列图形中,表示N M ?的是( ) 例题:已知集合2{320}, {10}M x x x N x ax =-+==+=,若N M ,求a 的值。 练习:已知集合2{430},{10}M x x x N x ax =-+==-=,若N M ,求a 的值。 M N A . M N B . N M C . M N D .

例题:集合A={52≤≤-x x },B={121-<≤+a x a x },若A ?B ,求实数a 的取值范围. 练习:已知集合M={10<+

集合与集合之间的关系

课时1 集合与集合之间的关系(第一课时) 一、高考考纲要求 1.理解交集、并集的概念. 2.理解补集的概念,了解全集的意义. 3.会用交集、并集、补集正确地表示一些简单的集合. 二、高考考点回顾 1.集合的概念 (1)集合的概念:我们把研究对象统称为,把一些元素组成的总体叫做 (简称为集). (2)集合的分类:根据集合中元素的多少,可以分为三类:有限集、无限集、空集. (3)元素与集合之间的关系:若a是集合A的元素,记作;若b不是集合A的元素,记作; (4)元素的特征:①、②、③ . (5)常用数集及其记法:自然数集,记作N;正整数集,记作N*或N+;整数集,记作Z; 有理数集,记作Q;实数集,记作R. 2.集合有三种表示方法: 3.集合之间的关系: (1)对于两个集合A和B,如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素,那么集合A叫做集合B的,记作或 . (2)如果集合A是集合B的子集,并且B中至少有一个元素不属于集合A,那么集合A叫做集合B的,记作或 . (3)集合相等:构成两个集合的元素完全一样。若A?B且B?A,则称集合A等于集合B,记作; 简单性质:①A?A;②??A;③若A?B,B?C,则A?C. 4.空集 空集是指的集合,它是任何一个集合的子集,是任何一个非空集合的真子集.记作?. 5.有限集的子集、真子集的个数 若集合A中含有n个元素的集合,则集合A有个子集(其中个真子集).

课时1 集合与集合之间的关系(第二课时) 三、课前检测 1.已知集合{,,}S a b c =中的三个元素是ABC ?的三边长,那么ABC ?一定不是( ) A .锐角三角形 B .直角三角形 C .钝角三角形 D .等腰三角形 2.集合8{|,}3M y Z y x Z x =∈= ∈+的元素的个数是( ) A .2个 B .4个 C .6个 D .8个 3. 已知集合2{|320}M x x x =+->,{|}N x x a =>,若M N ?,则实数a 的取值范围是( ) A .[3,)+∞ B .(3,)+∞ C .(,1]-∞- D .(,1)-∞- 4.已知集合2{|32,}M x x a a a R ==-+∈,2{|,}N x x b b b R ==-∈,则M 、N 的关系是( ) A .M N ≠? B .M N ≠? C .M N = D .不确定 5.已知集合{1,3,21}A m =--,集合2{3,}B m =,若B A ?,则实数m = 6.(2016·新课标全国Ⅰ,1)设集合A ={1,3,5,7},B ={x |2≤x ≤5},则A ∩B =( ) A.{1,3} B.{3,5} C.{5,7} D.{1,7} 7.(2016·新课标全国Ⅱ,1)已知集合A ={1,2,3},B ={x |x 2<9},则A ∩B =( ) A.{-2,-1,0,1,2,3} B.{-2,-1,0,1,2} C.{1,2,3} D.{1,2} 8.(2016·新课标全国Ⅲ,1)设集合A ={0,2,4,6,8,10},B ={4,8},则?A B =( ) A.{4,8} B.{0,2, 6} C.{0,2,6,10} D.{0,2,4,6,8,10}

集合练习题(子集真子集)

" 集合练习题 班级 姓名 评价 1.写出集合{}c b a ,,的所有子集,真子集有几个 2.写出满足{2,3}A ?{2,3,4,5,6,7}的所有集合A. ? 3.下列表述正确的是( ) A .}0{=? B.}0{?? C. }0{?? D. }0{∈? 4.下列关系中正确大的序号是 ①0∈{0},②?{0},③{0,1}?{(0,1)},④{(,)}a b ={(,)}b a 5.下列说法中正确的是 (1)空集没有子集(2)任何集合至少有两个子集(3)空集是任何集合的真子集 6.下列图形中,表示N M ?的是( ) 例题:已知集合2{320}, {10}M x x x N x ax =-+==+=,若N M ,求a 的值。 ^ 练习:已知集合2{430},{10}M x x x N x ax =-+==-=,若N M ,求a 的值。 - $ N A . M N B . N M C . M N ]

例题:集合A={52≤≤-x x },B={121-<≤+a x a x },若A ?B ,求实数a 的取值范围. · 练习:已知集合M={10<+

集合及子集的有关概念

1.1集合及子集的有关概念 一、考纲解析与复习目标:理解集合、子集的概念,了解空集的意义,了解属于、包含、相等关系的意义,掌握有关术语和符号,并会用它们正确表示集合. 二、知识梳理: 1、集合的基本概念: (1)一般地,我们把___________统称为元素,.把__________组成的______叫做集合.集合中的元素具有__________性、__________性、__________性等特性. (2)___________________________________叫空集,记作________. (3)集合表示方法主要有_________法、________法,也常用区间和文氏图表示集合. (4)常见数集符号:,,,,,N N Z Q R C g (5)元素与集合之间的关系:“属于”、“不属于”,符号表示为___、___. 2、集合与集合的关系: (1)子集的概念():_______________________________. (2)子集的性质:① _________,② _________,③______________. (3)真子集、集合相等的概念及符号表示:___________________. (4)含n 个元素的集合A 的所有子集的个数是______________________. 3、几点注意:(1)考虑集合问题应有“空集优先”意识;(2)集合用描述法表示时,要分析代表元素是什么,尤其分清“数集”与“点集”,还要分析清楚元素的限制条件;(3)集合中的确定参数值的问题,要注意集合中元素性质的检验;(4)解题时注意分类讨论、数形结合等数学思想方法. 三、典型例题: 1、(1)下列选项不能形成集合的的是 ( ) A 、大于2的全体实数 B 、不等式352x -<的所有解 C 、直线31y x =+上所有点 D 、x 轴附近的点 (2)下列命题中真命题的个数是_______个 ①0∈φ②{}φ∈φ③0{0}∈④{}a φ∈ ⑤ {}φ?φ ⑥ {0}φ? (3)设集合2{,}A x x x =-,则x 须满足的条件是________________. 2、用列举法表示下列集合 (1)A x Z Z x 62? ?=∈∈??-?? ,_______________________________________. (2)2{6,,}B y y x x N y N ==-+∈∈,_________________________. (3)2{(,)6,,}C x y y x x N y N ==-+∈∈g g ,_____________________. (4){(,)6,,}D x y x y x N y N =+=∈∈g g

集合之间的关系-沪教版必修1教案

§. 子集、真子集 教学目标: 1、理解子集、真子集概念 2、会判断和证明两个集合包含关系 3、理解“≠?”、“= ?”的含义 4、会判断简单集合的相等关系 5、渗透问题相对的观点 教学重点: 子集的概念、真子集的概念. 教学难点: 元素与子集、属于与包含间区别、描述法给定集合的运算. 教学方法: 讲、议结合法 教学过程: 一、复习回顾 集合的表示方法、集合的分类、集合与元素之间的关系。 二、讲授新课 1、观察下列实例,探讨集合A 与集合B 具有什么关系 (1) A={1,2,3},B={1,2,3,4,5}. (2) A={上海市公民},B={中华人民共和国公民}. (3)A={正方形},B={四边形}. (4)A={}z k k x x ∈=,6,B={}z m m x x ∈=,2 2、子集的概念: 一般地,对于两个集合A 与B ,如果集合A 中的任何一个元素都是集合B 的元素,我们就说集合A 是集合B 的子集,记作A ?B (或B ?A ),读作集合A 包含于集合B ,或集合B 包含集合A 。 注:①若集合A 不包含于集合B ,或集合B 不包含集合A ,则记作A ? B (或B ?A ) ②我们如何判定A 是B 的子集 ③规定,空集是任何集合子集, A ,A 为任何集合. ④任何一个集合是它本身的子集。 3、相等的集合 研究集合:}065{2=+-=x x x E ,}3,2{=F ,它们之间存在什么关系(E F F E ??,) 定义:一般地,对于两个集合A 与B ,如果A ?B ,同时B ?A ,那么我们就说集合A 等于集合B ,记作A=B 。

集合、子集

集合、子集 一、学习目标 1.理解集合的概念. 2.掌握集合的表示法:列举法、描述法、图示法. 3.理解子集的概念,掌握“属于、包含、相等”三种关系的有关术语和符号,形成正确、简明的集 合语言. 二、例题 第一阶梯 1.什么是集合、集合的元素?怎样表示元素与集合的关系?集合有哪些基本性质? 参考答案: 一组对象的全体,就形成一个集合.集合里的各个对象叫做集合的元素.集合用大写拉丁字母表示, 如N、Z、Q等.元素用小写拉丁字母表示,如a. 集合和元素的关系是“属于”和“不属于”的关系,其符号是“∈”和“”.,如a是集合A的元素, 记作a∈A,如果a不是集合B的元素,记作a B. 集合的元素有两个基本性质: (1)确定性对于集合A和元素x有明确的关系,是x∈A,还是x A,二者必居其一. (2)互异性在同一集合中,任何两个元素必须是不同的,相同的元素,只能算作一个.例如方程x2+ 2x+1=0有相等二根:x1=-1,x2=-1,但在集合语言,方程x2 +2x+1=0的解集应是{-1},而不 可写为{-1,-1}.

任何集合的元素都有上述两个共性,所以我们把元素的确定性和互异性称为集合的基本性质. 说明: 集合和元素是最原始的不定义概念,就和“点”、“线”、“面”一样,都是不加定义的.因此,你 不要追求集合的严格定义,只能用它的两个基本性质理解它.由元素的确定性和互异性,必然推出集 合的元素具有无序性,例如,{1,2,3}={1,3,2}. 请记住常用数集的代号: N={自然数}={正整数},Z={整数}, Q={有理数},Q+={正有理数}, R={实数},R+={正实数} 2.怎样表示集合? 参考答案:

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