快速傅里叶变换的应用发展浅述

摘要：快速傅里叶变换是数字信号处理的常用数学工具，以运算速度快和信噪

比阈值低为特点。随着时代的进步与科技的日新月异，FFT(快速傅里叶变换)已

经广泛应用于现代数字信号处理的各个领域，如雷达信号处理、卫星通信、无线

通信，故障诊断等，本文将对FFT 在各行业的应用进行综合总述。

一快速傅里叶变换的产生及定义

1.快速傅里叶变换的产生

快速傅里叶变换的产生来源于离散傅里叶变换。有限长序列可以通过离散傅里叶

变换(DFT)将其频域也离散化成有限长序列.但其计算量太大,很难实时地处理问

题,因此引出了快速傅里叶变换(FFT). 1965年，Cooley 和Tukey 提出了计算离散

傅里叶变换（DFT ）的快速算法，将DFT 的运算量减少了几个数量级。从此，

对快速傅里叶变换（FFT ）算法的研究便不断深入，数字信号处理这门新兴学科

也随FFT 的出现和发展而迅速发展。

2.根据对序列分解与选取方法的不同而产生了FFT 的多种算法，基本算法是基２

DIT 和基２DIF 。FFT 在离散傅里叶反变换、线性卷积和线性相关等方面也有重

要应用。快速傅里叶变换（FFT ）是计算离散傅里叶变换（DFT ）的快速算法。DFT 的定义式为

)(k X =)()(1

0k R W n x N N n kn N ∑-=

在所有复指数值kn N W 的值全部已算好的情况下，要计算一个)(k X 需要N 次复数

乘法和N －1次复数加法。算出全部N 点)(k X 共需2N 次复数乘法和)1(-N N 次

复数加法。即计算量是与2N 成正比的。

FFT 的基本思想：将大点数的DFT 分解为若干个小点数DFT 的组合，从而

减少运算量。

3. 快速傅里叶变换原理

快速傅里叶变换并不象模拟信号或离散信号的傅里叶变换那样的积分变换，它仅

是离散傅里叶变换的快速算法，它是在196年由美国的库里( C o o l e y ，J ．W ．) 和图基( J ．W ．Tu k e y ) [ 二人提出来的，它的出现使博里叶变换的数字实现

大为提高．使信号分析的面貌

为之改观，具有极大的科学价值。

]2[

二快速傅里叶变换的应用

2.在卫星通信的应用

数字图像处理( Di g i t a l i ma g e p r o c e s s i n g ) 作为一门学科可以追溯到2 0世纪6 0年代初期。。1 9 6 4年美国喷气推进实验室( J P L ) 使用计算机对“徘徊者7号”太空飞船发回的四千多张月球照片处理后，使原本模糊不清的

图像变得清晰逼真，收到了令人满意的效果]6,5,4[。此后几年这项技术在空间研究

计划中得以继续使用，同时也标志了数字图像处理这门学科的诞生。几十年来，数字图像处理技术向着更深入、更广泛的方向发展，在军事气象、生物医学工程、通讯、遥感等许多领域大显身手，成为现代高技术中一个生机勃勃的研究方向。一般来说，进行图像处理的目的在于提高图像质量，使原本模糊不清的图像变得清晰；提取图像的有效特征，以便进行模式识别；通过图像变换和有效编码来压缩其频带或数据，以便传输和存储。对图像进行傅里叶变换，是将图像信号变换到频域进行分析，它不仅反映图像的灰度结构特征，而且能使快速卷积、目标

识别等许多算法易于实现]7[。这种变换域分析广泛使用在各个科学领域，它是简

化问题求解的一种技巧，在网像处理中是一种重要有效的分析手段。

图6是模拟远程高空卫星照片，图四是利用Maltab5.3中的图像处理工具

(Image Processing Toolbox )提供的图像处理函数将图像信号读入，经傅里

叶变换将空间域网像信号变换到空间频率域信号．使快速卷积、目标识别等许多算法易于实现，然后对图像信号的频谱分布进行分析，用Butterworth带通滤波器和二维维纳滤波进行滤波处理，去除除陶像信号中的低频十扰信号和噪声信号，然后利用傅里叶反变换将信号还原。所得到的模拟远程高空卫星照片。从图7可看到，整个模拟远程高空卫星轮廓清晰可见，达到了较为理想的效果对下一步利用光学系统装置采集的远程目标的进一步识别提供了有利的条件。

图6：远程高空卫星照片图7：拟远程高空卫星照片

( 校正前) ( 校正后)

Fig6:Remote high-altiude secondary Fig7：Remote high-altiude Planet

Planet photo(uncorrecting) secondary Planet photo（corrected）由此可见，利用离散傅立叶变换在实现时存在快速算法．即快速傅立叶变换( F F T ) 和有效的滤波处理，对模拟远程高空卫星照片进行了较为有效的处理；

处理后的整个模拟远程高空卫星轮廓清晰可见，达到了较为理想的效果]10[。对卫星通信的发展起了极大作用。

3.在轧辊偏心补偿控制中的应用

随着各行各业对板带材质量要求的不断提高，在现代板带材轧制过程中必须考虑由于轧辊偏心对轧材出口厚度的影响。轧辊偏心( 主要指支撑辊偏心)主要是由轧辊和轧辊轴承形状的非圆性所引起的]11[。为了消除由于轧辊偏心对带材

厚度的影响，以提高产品质量，现在已有多种控制方法，其中较好的是基于快速傅里叶变换( F F T ) 的轧辊偏心补偿控制

策略。其原理如下：

图8：轧辊偏心补偿控制原理图

Fig8：Principle diagram of roll eccentricity compensation 运用了该方法后的效果如下：

图9：轧辊偏心补偿效果图

Fig9: Results of roll eccentricity compensation

与其它类型的轧辊偏心补偿控制策略相比，采用基于快速傅里叶变换( F F T ) 的轧辊偏心补偿控制策略具有投入成本较低、控制算法清晰、易于实现的优点。通过采用轧辊偏心补偿控制，不仅可以有效地减小轧材出口厚度的偏差范围，提高产品质量，而且还有助于降低消耗，提高产品成材率，是现代板带轧机不可

缺少的重要功能]12[。

4.在电声系统测量与分析的应用

在许多电声部件、设备、电声系统及声学系统中经常要进行电声测量与分析，通过测量与分析，了解其声学特性，掌握电声技术指标，改进并完善系统性能，优化系统结构。其间，常常碰到随时间变化的时域信号与随频率变化的频域信号相互转换的问题，为完成这种转换广泛应用快速傅里叶变换，这种变换快捷、有效，给记录数据分析提供了极大的方便。

把音频的时域信号变换成复数频域信号，蕴藏在频谱数据中的信息包含着信号的各个正弦波成分的幅度和相位，则是运用数学变换，把随时间连续变化信号转换成与其相对应的频域部分，即正向变换：

。此外，应用逆变换可把复数频域信号数据变

回到时域数据中，而且不会丢失任何信息，即：。因此，时域数据和频域数据是等效的，两者是从不同角度考察同一信号。

快速傅里叶变换是简单有效计算数字信号傅里叶变换的方法，其工作在有限

长度的采样数据上，称为快速傅里叶变换帧幅，用表示。位) 。时域与频域之间分辨率呈相反关系。采纳较长的 F F T容量可提供更高辨率的相反关系。采纳较长的F F T容量可提供更高

的频谱数据分辨率，但这会使时间响应更缓慢。相反，采用较小的 F F T容量，会使频谱数据分辨率下降，但时间响应会更快。图10显示出在频域中改变 F F T 分辨率参数所产生的

图10：快速傅里叶变换的参数在频率分辨率方面的影响]8[

由此，我们可知，快速傅里叶变换在电声系统中的应用是不可忽视的，了解

其变换规律，能更有效地对电声系统进行优化]13[。

三结束语

快速傅里叶变换因为大大降低变换计算量，因此，使用时能够节省大量计算量]14[，在各行业的应用越来越广泛。在今后的发展中将更加能发挥其巨大作用。

四参考文献：

[1]郭滨滨.快速傅里叶变换信号识别能力分析[B]．现代电子技术,2007, 7(246)

58～60

[3] 周新伦．柳健. 刘华志．数字图像处理[M] ．北京：国防工业出版社，

1986．36～79

[4]赵荣春.数字图像处理导论[M].西安：西北工业大学出版社.1995.25～73

[5] 孙系国.图像信息系统设计原理[M].北京：科学出版社.1990.243～249

[6]布莱恩EO.快速傅里叶变换[M].上海：上海科学技术出版社，1979．15～

[7]伯晓晨．MATLAB6．0程序设计与实例应用[ M]，北京：中国铁道出版社，

2001．147一l83

[ 8 ] 伯晓晨，李涛，刘路． MATLAB工具箱应用指南一一信息工程篇[ M]．北京：电子工业出版社，2000．20-140

[9]杨丽娟，张白桦，叶旭桢．快速傅里叶变换FFT及其应用[ J ].光电

工程.2004,31( B12)1-3,7

[10] 朱义国，毛志忠，刘赤兵．带钢轧制中轧辊偏心控制问题的综述

[ J ] ．基础自动化， 1 9 9 8 ( 3 ) ： 1 - 4

[11] 吴俊杰．快速傅里叶变换在轧辊偏心补偿控制中的应用[ J ] ．

自动化与仪表．2008,23(10):9～11

[12]邹炜胜．电声系统测量与分析常用的重要技法——快速傅里叶变换（FFT）[ J ] ．音响技术.2007,8:57～62

[13] 杨绿溪．现代数字信号处理[M]，北京：科学出版社，2007,10～14

傅里叶变换到计算机实现

傅里叶变换到计算机实现 2013/8/16 Guan Jun 就拿我自身的例子来说，开始接触FFT （快速傅里叶变换）的时候并不是很熟悉，但是这种计算方法的确实很好用。那么，这个doc 我想说的就是，如何从三角变换到FFT 。 01 11 ()(c o s ()s i n ()) n n n f x a a n t b n t ωω+∞ ==++∑,这是说一个周期性函数(T 1)可以分解为不同频率的三角函数的叠加，1 1 1 1 11cos()(e e )/2,sin()(e e )/2jn t jn t jn t jn t n t n t j ωωωωωω--=+=-，带到原函数中，经过整理，令1()()/2n n F n a jb ω=-，1 1()()e jn t f x F n ωω+∞-∞ =∑，再把,n n a b 的表达式（高数书或者信号与系统说的很清楚）带入1()F n ω中，我们就可以得到11 111 ()()e jn t T F n f x dt T ωω-= ?。以上是周期性函数的傅里叶变换，注意的是1()F n ω画出来的图是：在x 轴上频率ω的坐标为 11111...2,1,0,1,2... n ωωωωωω==--,即一系列间隔为1ω的点，另外也就是说，周期函数的傅里叶变换为频域之后，是分立的频谱，不是连续的。举个栗子，cos(2)x π函数是周期性函数吧，其频率（角频率）为2π，也可写成1，也就是在11f ω±±或者会有值，其余地方就没有。其实到这里，真的不难，因为求1()F n ω也就是带入公式的事么，不借助软件我们都能算好。但是，偏偏有那么一些人没事干非要去研究非周期性函数的傅里叶函数，然后搞出一大堆理论，让我们去学… 废话不多说，如果是非周期性，是不是可以理解为周期无限大？这里的非周期函数也可由周期函数组成，例如在-1x ≤≤1上，()cos(2)f x x π=，其余等0.这是不是非周期性函数？答案很显然.如果非周期性，那么公式不再适用，为什么？这得问数学系的人了。怎么办，把公式变变，1T 移到左边，1n ωω写成(此时频谱是连续的了，为什么，我也不晓得…)那么我们就将看到最为熟悉的函数：+-()()e j t F f x dt ωω∞ -∞ = ? ，+-1 ()()e 2j t f x F d ωωωπ ∞ ∞ = ?(也有书本写成： +2-()()e j ft F f f x dt π∞ -∞ = ? ，+2-()()e j ft f x F f d f π∞ ∞ = ?).就是把f ωπ写成2，而()() F F f ω中的坐标换成自此，我们就开始学习一大堆公式，性质啊,我觉得这些性质不是不重要，而是没有实际的应用！为什么我这么说，因为我们用傅里叶变换，是为了什么？服务于我们的数据，没错，是数据！一堆数据给你，你能看出这函数包含的频率？你能提炼出原函数吗？Okay ，你什么都没有，怎么办，望洋兴叹。最近写的论文中，我就用到了FFT ，我有图像的曲线，有曲线的数据，而且曲线明显是正余弦函数(只相差/2π相位).大概的频率我也能看出来，但是！这个曲线并不完美，有瑕疵，但是我束手无策，这时计算机粉墨登场了，经过分析我也看出原来还是有很小的其他频率成分包含在里面。也许对傅里叶变换感兴趣的童鞋看过不少人的介绍，说时间连续，时间不连续，频谱连续，频谱不连续。2?2=4，这4种绕来绕去足以崩溃你（这里崩溃作动词).其实，时间连续，就是我上面讲的两种，但一个是周期性函数，一个是非周期，对应的频谱就是分立，连续。那么时间（有时候不一定是时间，也可能是位置）不连续怎么办，其实大多数应用的就是这种方法，就是我们说的采谱，说简单点就是每隔一段时间（距离）采一个点，采点间隔相同，一个点一个值.

傅里叶变换在信号处理中的应用

傅里叶变换在信号处理中的应用傅里叶变换在物理学、电子类学科、数论、组合数学、信号处理、

概率论、统计学、密码学、声学、光学、海洋学、结构动力学等领域都有着广泛的应用（例如在信号处理中，傅里叶变换的典型用途是将信号分解成幅值谱——显示与频率对应的幅值大小）。尽管最初傅立叶分析是作为热过程的解析分析的工具，但是其思想方法仍然具有典型的还原论和分析主义的特征。"任意"的函数通过一定的分解，都能够表示为正弦函数的线性组合的形式，而正弦函数在物理上是被充分研究而相对简单的函数类，这一想法跟化学上的原子论想法何其相似！奇妙的是，现代数学发现傅立叶变换具有非常好的性质，使得它如此的好用和有用，让人不得不感叹造物的神奇： 1.傅立叶变换是线性算子，若赋予适当的范数，它还是酉算子； 2.傅立叶变换的逆变换容易求出，而且形式与正变换非常类似； 3.正弦基函数是微分运算的本征函数，从而使得线性微分方程的求解可以转化为常系数的代数方程的求解.在线性时不变的物理系统内，频率是个不变的性质，从而系统对于复杂激励的响应可以通过组合其对不同频率正弦信号的响应来获取； 4.著名的卷积定理指出：傅立叶变换可以化复杂的卷积运算为简单的乘积运算，从而提供了计算卷积的一种简单手段； 5.离散形式的傅立叶变换可以利用数字计算机快速的算出（其算法称为快速傅立叶变换算法（FFT)). 正是由于上述的良好性质，傅里叶变换在物理学、数论、组合数学、信号处理、概率、统计、密码学、声学、光学等领域都有着广泛的应用。

有関傅立叶变换的FPGA实现傅立叶变换是数字信号处理中的基本操作，广泛应用于表述及分析离散时域信号领域。但由于其运算量与变换点数N的平方成正比关系，因此，在N较大时，直接应用DFT算法进行谱变换是不切合实际的。然而，快速傅立叶变换技术的出现使情况发生了根本性的变化。本文主要描述了采用FPGA来实现2k/4k/8k点FFT的设计方法。离散傅里叶变换的应用 DFT在诸多多领域中有着重要应用，下面仅是颉取的几个例子。需要指出的是，所有DFT的实际应用都依赖于计算离散傅里叶变换及其逆变换的快速算法，即快速傅里叶变换（快速傅里叶变换（即FFT）是计算离散傅里叶变换及其逆变换的快速算法。）。 1.频谱分析 DFT是连续傅里叶变换的近似。因此可以对连续信号x(t)均匀采样并截断以得到有限长的离散序列，对这一序列作离散傅里叶变换，可以分析连续信号x(t)频谱的性质。前面还提到DFT应用于频谱分析需要注意的两个问题：即采样可能导致信号混叠和截断信号引起的频谱泄漏。可以通过选择适当的采样频率（见奈奎斯特频率）消减混叠。选择适当的序列长度并加窗可以抑制频谱泄漏。 2.数据压缩由于人类感官的分辨能力存在极限，因此很多有损压缩算法利用

傅里叶变换_百度文库.

傅里叶变换,拉普拉斯变换和Z 变换的意义来源:于理扬的日志傅里叶变换在物理学、数论、组合数学、信号处理、概率论、统计学、密码学、声学、光学、海洋学、结构动力学等领域都有着广泛的应用（例如在信号处理中, 傅里叶变换的典型用途是将信号分解成幅值分量和频率分量。傅里叶变换能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数（正弦和/或余弦函数或者它们的积分的线性组合。在不同的研究领域, 傅里叶变换具有多种不同的变体形式, 如连续傅里叶变换和离散傅里叶变换。傅里叶变换是一种解决问题的方法,一种工具,一种看待问题的角度。理解的关键是:一个连续的信号可以看作是一个个小信号的叠加, 从时域叠加与从频域叠加都可以组成原来的信号,将信号这么分解后有助于处理。我们原来对一个信号其实是从时间的角度去理解的,不知不觉中,其实是按照时间把信号进行分割, 每一部分只是一个时间点对应一个信号值, 一个信号是一组这样的分量的叠加。傅里叶变换后, 其实还是个叠加问题, 只不过是从频率的角度去叠加, 只不过每个小信号是一个时间域上覆盖整个区间的信号, 但他确有固定的周期,或者说,给了一个周期,我们就能画出一个整个区间上的分信号,那么给定一组周期值（或频率值,我们就可以画出其对应的曲线,就像给出时域上每一点的信号值一样,不过如果信号是周期的话,频域的更简单,只需要几个甚至一个就可以了,时域则需要整个时间轴上每一点都映射出一个函数值。傅里叶变换就是将一个信号的时域表示形式映射到一个频域表示形式;逆傅里叶变换恰好相反。这都是一个信号的不同表示形式。它的公式会用就可以,当然把证明看懂了更好。对一个信号做傅里叶变换,可以得到其频域特性,包括幅度和相位两个方面。幅度是表示这个频率分量的大小, 那么相位呢, 它有什么物理意义?频域的相位与时域的相位有关系吗?信号前一段的相位（频域与后一段的相位的变化是否与信号的频率成正比关系。

傅里叶变换在信号处理中的应用

傅里叶变换在信号处理中的应用姓名董柱班级电气工程及其自动化学号1109141013 摘要：傅里叶变换是一种特殊的积分变换。通过傅里叶变换把信号的从时域变换到频域研究，采用频域法较之经典时域的方法有很多突出的优点，虽然傅里叶分析不是信息科学与技术领域中唯一的变换域方法，但是不得不承认，在此领域中，傅里叶变换分析始终有着广泛的应用，通过傅里叶变换实现信号的滤波，调制，抽样是傅里叶变换在信号处理中最主要的作用。通过对信号的调制可以将信号的低频成分调制到高频，实现频谱搬移，减少马间串扰，提高抗噪声新能，有利于信号的远距离传输，另外，对信号采样可以使连续信号离散化，有利于用计算机对信号进行处理，总之，傅里叶变换在信号处理中有着非常重要的作用。傅里叶变换是学习其他频域变换的基础。关键词：傅里叶变换，时域，频域，信号处理，信息科学与技术，滤波，调制，抽样。一傅里叶变换 1.定义 f(t）是t的函数，如果t满足狄里赫莱条件：具有有限个间断点；具有有限个极值点；绝对可积。则有下图①式成立。称为积分运算f(t）的傅立叶变换， ②式的积分运算叫做F（ω）的傅立叶逆变换。F（ω）叫做f(t）的像函数，f(t）叫做 F（ω）的像原函数。F（ω）是f(t）的像。f(t）是F（ω）原像。 ① 傅里叶变换傅里叶逆变换 2.分类连续傅立叶变换：一般情况下，若“傅立叶变换”一词的前面未加任何限定语，则指的是“连续傅立叶变换”。“连续傅立叶变换”将平方可积的函数f(t) 表示成复指数函数的积分或级数形式。 f(t) = \mathcal^[F（ω）] = \frac{\sqrt{2π}} \int\limits_{-\infty}^\infty F（ω）e^{iωt}\,dω.

深入浅出的讲解傅里叶变换

深入浅出的讲解傅里叶变换我保证这篇文章和你以前看过的所有文章都不同，这是12年还在果壳的时候写的，但是当时没有来得及写完就出国了……于是拖了两年，嗯，我是拖延症患者…… 这篇文章的核心思想就是：要让读者在不看任何数学公式的情况下理解傅里叶分析。傅里叶分析不仅仅是一个数学工具，更是一种可以彻底颠覆一个人以前世界观的思维模式。但不幸的是，傅里叶分析的公式看起来太复杂了，所以很多大一新生上来就懵圈并从此对它深恶痛绝。老实说，这么有意思的东西居然成了大学里的杀手课程，不得不归咎于编教材的人实在是太严肃了。（您把教材写得好玩一点会死吗？会死吗？）所以我一直想写一个有意思的文章来解释傅里叶分析，有可能的话高中生都能看懂的那种。所以，不管读到这里的您从事何种工作，我保证您都能看懂，并且一定将体会到通过傅里叶分析看到世界另一个样子时的快感。至于对于已经有一定基础的朋友，也希望不要看到会的地方就急忙往后翻，仔细读一定会有新的发现。 ————以上是定场诗———— 下面进入正题：抱歉，还是要啰嗦一句：其实学习本来就不是易事，我写这篇文章的初衷也是希望大家学习起来更加轻松，充满乐趣。但是千万！千万不要把这篇文章收藏起来，或是存下地址，心里想着：以后有时间再看。这样的例子太多了，也许几年后你都没有再打开这个页面。无论如何，耐下心，读下去。这篇文章要比读课本要轻松、开心得多…… 一、嘛叫频域从我们出生，我们看到的世界都以时间贯穿，股票的走势、人的身高、汽车的轨迹都会随着时间发生改变。这种以时间作为参照来观察动态世界的方法我们称其为时域分析。而我们也想当然的认为，世间万物都在随着时间不停的改变，并且永远不会静止下来。但如果我告诉你，用另一种方法来观察世界的话，你会发现世界是永恒不变的，你会不会觉得我疯了？我没有疯，这个静止的世界就叫做频域。先举一个公式上并非很恰当，但意义上再贴切不过的例子：在你的理解中，一段音乐是什么呢？

傅里叶变换在信号与系统系统中的应用

河北联合大学本科毕业设计（论文）题目傅里叶变换在信号与系统中的应用院系理学院专业班级07数学一班学生姓名刘帅学生学号200710050113 指导教师佟玉霞 2011年5月24日

题目傅里叶变换在信号与系统中的应用专业数学与应用数学姓名刘帅学号200710050113 主要内容、基本要求、主要参考资料等主要内容傅里叶变换是一种重要的变换，且在与通信相关的信号与系统中有着广泛的应用。本文主要研究傅里叶变换的基本原理；其次，掌握其在滤波，调制、解调，抽样等方面中的应用。分析了信号在通信系统中的处理方法，通过傅里叶变换推导出信号调制解调的原理，由此引出对频分复用通信系统的组成原理的介绍。基本要求通过傅里叶变换实现一个高通滤波，低通滤波，带通滤波。用傅里叶变换推导出信号调制解调的原理。通过抽样实现连续信号离散化，简化计算。另外利用调制的原理推导出通信系统中的时分复用和频分复用。参考资料 [1]《信号与系统理论、方法和应用》徐守时著中国科技大学出版社 2006年3月修订二版 [2]《信号与系统》第二版上、下册郑君里、应启珩、杨为理著高等教育出版社 [3]《通信系统》第四版 Simon Haykin 著宋铁成、徐平平、徐智勇等译沈连丰审校电子工业出版社 [4]《信号与系统—连续与离散》第四版 Rodger E.Ziemer 等著肖志涛等译腾建辅审校电子工业出版社 [5]《现代通信原理》陶亚雄主编电子工业出版社 [6]《信号与系统》乐正友著清华大学出版社 [7]《信号与线性系统》阎鸿森、王新风、田惠生编西安交通大学出版社 [8]《信号与线性系统》张卫钢主编郑晶、徐琨、徐建民副主编西安电子科技大学出版社 [9] https://www.360docs.net/doc/3818585169.html,/view/191871.htm//百度百科傅里叶变换 [10]《通信原理》第六版樊昌信曹丽娜编著国防工业出版社 [11]A．V．Oppenheim,A.S.Willsky with S.H.Nawab.Siganals and systems(Second edition).Prentice-Hall,1997.中译：刘树棠。信号与系统。西安交通工业大学出版社完成期限指导教师专业负责人

傅里叶变换本质及其公式解析

傅里叶变换的本质傅里叶变换的公式为 dt e t f F t j ?+∞ ∞ --= ωω)()( 可以把傅里叶变换也成另外一种形式： φπt j e t f F ωπ ω),(21 )(= 可以看出，傅里叶变换的本质是内积，三角函数是完备的正交函数集，不同频率的三角函数的之间的内积为0，只有频率相等的三角函数做内积时，才不为0。 )(2,21)(2121Ω-Ω==?Ω-ΩΩΩπδdt e e e t j t j t j φπ 下面从公式解释下傅里叶变换的意义因为傅里叶变换的本质是内积，所以f(t)和t j e ω求内积的时候，只有f(t)中频率为ω的分量才会有内积的结果，其余分量的内积为0。可以理解为f(t)在t j e ω上的投影，积分值是时间从负无穷到正无穷的积分，就是把信号每个时间在ω的分量叠加起来，可以理解为f(t)在t j e ω上的投影的叠加，叠加的结果就是频率为ω的分量，也就形成了频谱。傅里叶逆变换的公式为 ωωπ ωd e F t f t j ? +∞ ∞ -= )(21 )( 下面从公式分析下傅里叶逆变换的意义傅里叶逆变换就是傅里叶变换的逆过程，在)(ωF 和t j e ω-求内积的时候，)(ωF 只有t 时刻的分量内积才会有结果，其余时间分量内积结果为0，同样积分值是频率从负无穷到正无穷的积分，就是把信号在每个频率在t 时刻上的分量叠加起来，叠加的结果就是f(t)在t 时刻的值，这就回到了我们观察信号最初的时域。对一个信号做傅里叶变换，然后直接做逆变换，这样做是没有意义的，在傅里叶变换和傅里叶逆变换之间有一个滤波的过程。将不要的频率分量给滤除掉，然后再做逆变换，就得到了想要的信号。比如信号中掺杂着噪声信号，可以通过滤波器将噪声信号的频率给去除，再做傅里叶逆变换，就得到了没有噪声的信号。优点：频率的定位很好，通过对信号的频率分辨率很好，可以清晰的得到信号所包含的频率成分，也就是频谱。缺点：因为频谱是时间从负无穷到正无穷的叠加，所以，知道某一频率，不能判断，该频率的时间定位。不能判断某一时间段的频率成分。例子：平稳信号：x(t)=cos(2*pi*5*t)+cos(2*pi*10*t)+cos(2*pi*20*t)+cos(2*pi*50*t)

(完整版)傅里叶变换分析

第一章信号与系统的基本概念 1．信号、信息与消息的差别？信号：随时间变化的物理量；消息：待传送的一种以收发双方事先约定的方式组成的符号，如语言、文字、图像、数据等信息：所接收到的未知内容的消息，即传输的信号是带有信息的。 2．什么是奇异信号？函数本身有不连续点或其导数或积分有不连续点的这类函数统称为奇异信号或奇异函数。例如：单边指数信号（在t =0点时，不连续），单边正弦信号（在t =0时的一阶导函数不连续）。较为重要的两种奇异信号是单位冲激信号δ(t )和单位阶跃信号u(t )。 3．单位冲激信号的物理意义及其取样性质？冲激信号：它是一种奇异函数，可以由一些常规函数的广义极限而得到。它表达的是一类幅度很强，但作用时间很短的物理现象。其重要特性是筛选性，即： ()()()(0)(0)t x t dt t x dt x δδ∞ ∞ -∞ -∞ ==? ? 4．什么是单位阶跃信号？单位阶跃信号也是一类奇异信号，定义为： 10()00t u t t >?=?

12()()()x t ax t bx t =+，其中a 和b 是任意常数时，输出信号()y t 是1()y t 和2()y t 的线性叠加，即：12()()()y t ay t by t =+；且当输入信号()x t 出现延时，即输入信号是0()x t t -时，输出信号也产生同样的延时，即输出信号是0()y t t -。其中，如果当12()()()x t x t x t =+时，12()()()y t y t y t =+，则称系统具有叠加性；如果当1()()x t ax t =时，1()()y t ay t =则称系统具有均匀性。线性时不变系统是最基本的一类系统，是研究复杂系统，如非线性、时变系统的基础。 6．线性时不变系统的意义与应用？线性时不变系统是我们本课程分析和研究的主要对象，对线性时不变性进行推广，可以得到线性时不变系统具有微分与积分性质，假设系统的输入与输出信号分别为()x t 和()y t ，则当输入信号为 ()dx t dt 时，输出信号则为() dy t dt ；或者当输入信号为()t x d ττ-∞ ?时，输出信号则为()t y d ττ-∞ ?。另外，线性时不变系统对信号的处理作用可以用冲激响应（或单位脉冲响应）、系统函数或频率响应进行描述。而且多个系统可以以不同的方式进行连接，基本的连接方式为：级联和并联。假设两个线性时不变系统的冲激响应分别为：1()h t 和2()h t ，当两个系统级联后，整个系统的冲激响应为：12()()*()h t h t h t =；当两个系统并联后，整个系统的冲激响应为：12()()()h t h t h t =+；当0t <时，若()0h t =，则此系统为因果系统；若|()|h t dt ∞ -∞<∞?，则此系统为稳定系统。第二章连续时间系统的时域分析 1．如何获得系统的数学模型？数学模型是实际系统分析的一种重要手段，广泛应用于各种类型系统的分析和控制之中。不同的系统，其数学模型可能具有不同的形式和特点。对于线性时不变系统，其数学模型

傅里叶变换及应用

傅里叶变换在MATLZB里的应用摘要：在现代数学中，傅里叶变换是一种非常重要的变换，且在数字信号处理中有着广泛的应用。本文首先介绍了傅里叶变换的基本概念、性质及发展情况；其次，详细介绍了分离变数法及积分变换法在解数学物理方程中的应用。傅立叶变换将原来难以处理的时域信号转换成了易于分析的频域信号，再利用傅立叶反变换将这些频域信号转换成时域信号。应用MATLAB实现信号的谱分析和对信号消噪。关键词：傅里叶变换；MA TLAB软件；信号消噪 Abstract: In modern mathematics,Fourier transform is a transform is very important ,And has been widely used in digital signal processing.This paper first introduces the basic concepts, properties and development situation of Fourier transform ;Secondly, introduces in detail the method of separation of variables and integral transform method in solving equations in Mathematical Physics.Fourier transformation makes the original time domain signal whose analysis is difficult easy, by transforming it into frequency domain signal that can be transformed into time domain signal by inverse transformation of Fourier. Using Mat lab realizes signal spectral analysis and signal denoising. Key word: Fourier transformation, software of mat lab ,signal denoising 1、傅里叶变换的提出及发展在自然科学和工程技术中为了把较复杂的运算转化为较简单的运算，人们常常采用所谓变换的方法来达到目的"例如在初等数学中，数量的乘积和商可以通过对数变换化为较简单的加法和减法运算。在工程数学里积分变换能够将分析运算（如微分，积分）转化为代数运算，正是积分变换这一特性，使得它在微分方程和其它方程的求解中成为重要方法之一。 1804年，法国科学家J-.B.-J.傅里叶由于当时工业上处理金属的需要，开始从事热流动的研究"他在题为<<热的解析理论>>一文中，发展了热流动方程，并且指出如何求解"在求解过程中，他提出了任意周期函数都可以用三角级数来表示的想法。他的这种

傅里叶变换的应用

傅立叶变换在图像处理中有非常非常的作用。因为不仅傅立叶分析涉及图像处理的很多方面，傅立叶的改进算法，比如离散余弦变换，gabor与小波在图像处理中也有重要的分量。印象中，傅立叶变换在图像处理以下几个话题都有重要作用： 1.图像增强与图像去噪绝大部分噪音都是图像的高频分量，通过低通滤波器来滤除高频——噪声; 边缘也是图像的高频分量，可以通过添加高频分量来增强原始图像的边缘； 2.图像分割之边缘检测提取图像高频分量 3.图像特征提取：形状特征：傅里叶描述子纹理特征：直接通过傅里叶系数来计算纹理特征其他特征：将提取的特征值进行傅里叶变换来使特征具有平移、伸缩、旋转不变性 4.图像压缩可以直接通过傅里叶系数来压缩数据；常用的离散余弦变换是傅立叶变换的实变换；傅立叶变换傅里叶变换是将时域信号分解为不同频率的正弦信号或余弦函数叠加之和。连续情况下要求原始信号在一个周期内满足绝对可积条件。离散情况下，傅里叶变换一定存在。冈萨雷斯版<图像处理>里面的解释非常形象：一个恰当的比喻是将傅里叶变换比作一个玻璃棱镜。棱镜是可以将光分解为不同颜色的物理仪器，每个成分的颜色由波长（或频率）来决定。傅里叶变换可以看作是数学上的棱镜，将函数基于频率分解为不同的成分。当我们考虑光时,讨论它的光谱或频率谱。同样,傅立叶变换使我们能通过频率成分来分析一个函数。傅立叶变换有很多优良的性质。比如线性，对称性（可以用在计算信号的傅里叶变换里面）; 时移性：函数在时域中的时移，对应于其在频率域中附加产生的相移，而幅度频谱则保持不变；频移性：函数在时域中乘以e^jwt，可以使整个频谱搬移w。这个也叫调制定理，通讯里面信号的频分复用需要用到这个特性（将不同的信号调制到不同的频段上同时传输）；卷积定理：时域卷积等于频域乘积；时域乘积等于频域卷积（附加一个系数）。（图像处理里面这个是个重点）信号在频率域的表现在频域中，频率越大说明原始信号变化速度越快；频率越小说明原始信号越平缓。当频率为0时，表示直流信号，没有变化。因此，频率的大小反应了信号的变化

图像傅里叶变换详解

图像傅里叶变换冈萨雷斯版<图像处理>里面的解释非常形象：一个恰当的比喻是将傅里叶变换比作一个玻璃棱镜。棱镜是可以将光分解为不同颜色的物理仪器，每个成分的颜色由波长（或频率）来决定。傅里叶变换可以看作是数学上的棱镜，将函数基于频率分解为不同的成分。当我们考虑光时,讨论它的光谱或频率谱。同样, 傅立叶变换使我们能通过频率成分来分析一个函数。 Fourier theory讲的就是：任何信号（如图像信号）都可以表示成一系列正弦信号的叠加，在图像领域就是将图像brightness variation 作为正弦变量。比如下图的正弦模式可在单傅里叶中由三个分量编码：频率f、幅值A、相位γ这三个value可以描述正弦图像中的所有信息。1.frequency frequency在空间域上可由亮度调节，例如左图的frequency比右图的frequency 低…… 2.幅值magnitude（amplitude）sin函数的幅值用于描述对比度，或者说是图像中最明和最暗的峰值之间的差。（一个负幅值表示一个对比逆转，即明暗交换。） 3.相位表示相对于原始波形，这个波形的偏移量（左or右）。=================================================================一个傅里叶变换编码是一系列正弦曲线的编码，他们的频率从0开始（即没有调整，相位为0，平均亮度处），到尼奎斯特频率（即数字图像中可被编码的最高频率，它和像素大小、resolution有关）。傅里叶变换同时将图像中所有频率进行编码：一个只包含一个频率f1的信号在频谱上横坐标f为f1的点处绘制一个单峰值，峰值高度等于对应的振幅amplitude，或者正弦曲线信号的高度。如下图所示。

傅里叶变换和拉普拉斯变换的性质及应用

1.前言 1.1背景利用变换可简化运算，比如对数变换，极坐标变换等。类似的，变换也存在于工程，技术领域，它就是积分变换。积分变换的使用，可以使求解微分方程的过程得到简化，比如乘积可以转化为卷积。什么是积分变换呢？即为利用含参变量积分，把一个属于A函数类的函数转化属于B函数类的一个函数。傅里叶变换和拉普拉斯变换是两种重要积分变换。分析信号的一种方法是傅立叶变换，傅里叶变换能够分析信号的成分，也能够利用成分合成信号。可以当做信号的成分的波形有很多，例如锯齿波，正弦波，方波等等。傅立叶变换是利用正弦波来作为信号的成分。拉普拉斯变换最早由法国数学家天文学家 Pierre Simon Laplace （拉普拉斯）（1749-1827）在他的与概率论相关科学研究中引入，在他的一些基本的关于拉普拉斯变换的结果写在他的著名作品《概率分析理论》之中。即使在19世纪初，拉普拉斯变换已经发现，但是关于拉普拉斯变换的相关研究却一直没什么太大进展，直至一个英国数学家，物理学家，同时也是一位电气工程师的Oliver Heaviside奥利弗·亥维赛（1850-1925）在电学相关问题之中引入了算子运算，而且得到了不少方法与结果，对于解决现实问题很有好处，这才引起了数学家对算子理论的严格化的兴趣。之后才创立了现代算子理论。算子理论最初的理论依据就是拉普拉斯变换的相关理论，拉普拉斯变换相关理论的继续发展也是得益于算理理论的更进一步发展。这篇文章就是针对傅里叶变换和拉普拉斯变换的相关定义，相关性质，以及相关应用做一下简要讨论，并且分析傅里叶变换和拉普拉斯变换的区别与联系。 1.2预备知识

典型信号的地傅里叶变换

例9.1 试将图9.3中所示的非正弦周期信号（称为方波信号）展成傅里叶级数。解根据图上所示信号的波形，可知其既对称于纵轴，又具有半波对称性质，所以它是兼有奇谐波函数性质的偶函数。依照上述定理，此信号的傅里叶级数中必定只含有余弦的奇次谐波项，因此只需按公式 ()2 04cos T km A f t k tdt T ω= ? 计算A km 。对图上的波形图可以写出 ()04 42 T A t f t T T A t ?

图9.3 方波信号图9.4 三角波信号例9.2 试求图9.4所示三角波信号的傅里叶级教。解视察一下所给的波形可以知道，它既是原点对称又是半波横轴对称。因此，其傅里叶级数仅由正弦奇次谐波分量组成。由于 ()404 4242 A T t t T f t A T T t A t T ???=??-+??≤≤≤≤ 故有 2044444sin 2sin T T km T A A B t k tdt t A k tdt T T T T ωω??= -- ??? ?? 参照积分公式 211 sin sin cos x axdx ax x ax a a = -? 可算出 22 22 81,5,9,83,7,11km A k k B A k k ππ?=??=??-=??L L 于是所欲求的傅里叶级数 ()2222 8111sin sin 3sin 5sin 7357A f t t t t t ωωωωπ?? = -+-+ ??? L 。例9.3 已知一如图9.5所示的信号波形，试求其傅里叶级数。图9.5 例9.3用图

快速傅里叶变换原理及其应用(快速入门)

快速傅里叶变换的原理及其应用摘要快速傅氏变换（FFT），是离散傅氏变换的快速算法，它是根据离散傅氏变换的奇、偶、虚、实等特性，对离散傅立叶变换的算法进行改进获得的。它对傅氏变换的理论并没有新的发现，但是对于在计算机系统或者说数字系统中应用离散傅立叶变换，可以说是进了一大步。傅里叶变换的理论与方法在“数理方程”、“线性系统分析”、“信号处理、仿真”等很多学科领域都有着广泛应用,由于计算机只能处理有限长度的离散的序列,所以真正在计算机上运算的是一种离散傅里叶变换. 虽然傅里叶运算在各方面计算中有着重要的作用，但是它的计算过于复杂，大量的计算对于系统的运算负担过于庞大，使得一些对于耗电量少，运算速度慢的系统对其敬而远之，然而，快速傅里叶变换的产生，使得傅里叶变换大为简化，在不牺牲耗电量的条件下提高了系统的运算速度，增强了系统的综合能力，提高了运算速度，因此快速傅里叶变换在生产和生活中都有着非常重要的作用，对于学习掌握都有着非常大的意义。关键词快速傅氏变换；快速算法；简化；广泛应用

Abstract Fast Fourier Transform (FFT), is a discrete fast Fourier transform algorithm, which is based on the Discrete Fourier Transform of odd and even, false, false, and other characteristics of the Discrete Fourier Transform algorithms improvements obtained. Its Fourier transform theory has not found a new, but in the computer system or the application of digital systems Discrete Fourier Transform can be said to be a big step into. Fourier transform theory and methods in the "mathematical equation" and "linear systems analysis" and "signal processing, simulation," and many other areas have a wide range of applications, as the computer can only handle a limited length of the sequence of discrete, so true On the computer's operation is a discrete Fourier transform. Fourier Although all aspects of computing in the calculation has an important role, but its calculation was too complicated, a lot of computing system for calculating the burden is too large for some Less power consumption, the slow speed of operation of its system at arm's length, however, have the fast Fourier transform, Fourier transform greatly simplifying the making, not in power at the expense of the conditions to increase the speed of computing systems, and enhance the system The comprehensive ability to improve the speed of operation, the Fast Fourier Transform in the production and life have a very important role in learning to master all have great significance. Key words Fast Fourier Transform; fast algorithm; simplified; widely used

详解FFT(快速傅里叶变换FFT.

kn N W N N 第四章快速傅里叶变换有限长序列可以通过离散傅里叶变换(DFT)将其频域也离散化成有限长序列.但其计算量太大,很难实时地处理问题,因此引出了快速傅里叶变换 (FFT). 1965 年，Cooley 和 Tukey 提出了计算离散傅里叶变换（DFT ）的快速算法，将 DFT 的运算量减少了几个数量级。从此，对快速傅里叶变换（FFT ）算法的研究便不断深入，数字信号处理这门新兴学科也随 FFT 的出现和发展而迅速发展。根据对序列分解与选取方法的不同而产生了 FFT 的多种算法，基本算法是基２DIT 和基２DIF 。FFT 在离散傅里叶反变换、线性卷积和线性相关等方面也有重要应用。快速傅里叶变换（FFT ）是计算离散傅里叶变换（DFT ）的快速算法。 DFT 的定义式为 N ?1 X (k ) = ∑ x (n )W N R N (k ) n =0 在所有复指数值 W kn 的值全部已算好的情况下，要计算一个 X (k ) 需要 N 次复数乘法和 N －1 次复数加法。算出全部 N 点 X (k ) 共需 N 2 次复数乘法和 N ( N ? 1) 次复数加法。即计算量是与 N 2 成正比的。 FFT 的基本思想：将大点数的 DFT 分解为若干个小点数 DFT 的组合，从而减少运算量。 W N 因子具有以下两个特性，可使 DFT 运算量尽量分解为小点数的 DFT 运算：（1）周期性： ( k + N ) n N = W kn = W ( n + N ) k （2）对称性：W ( k + N / 2 ) = ?W k N N 利用这两个性质，可以使 DFT 运算中有些项合并，以减少乘法次数。例子：求当 N ＝4 时，X(2)的值

[大全]傅里叶变换实质及其公式解析

[大全]傅里叶变换实质及其公式解析傅里叶变换的本质傅里叶变换的公式为，,j,t, F(,),f(t)edt,,, 可以把傅里叶变换也成另外一种形式: 1j,t, F(),,f(t),e,,2 可以看出，傅里叶变换的本质是内积，三角函数是完备的正交函数集，不同频率的三角函数的之间的内积为0，只有频率相等的三角函数做内积时，才不为0。 ()j,tj,tj,,,t1212 ,e,e,,edt,2,,(,,,)12, 下面从公式解释下傅里叶变换的意义 j,t因为傅里叶变换的本质是内积，所以f(t)和求内积的时候，只有f(t)中频率为的分量e, j,t才会有内积的结果，其余分量的内积为0。可以理解为f(t)在e上的投影，积分值是时间从负 j,t无穷到正无穷的积分，就是把信号每个时间在的分量叠加起来，可以理解为f(t)在e上的投, 影的叠加，叠加的结果就是频率为的分量，也就形成了频谱。 , 傅里叶逆变换的公式为，,1j,t f(t),F(,)ed,,2,,, 下面从公式分析下傅里叶逆变换的意义 ,j,te傅里叶逆变换就是傅里叶变换的逆过程，在和求内积的时候，只有t时F(,)F(,)刻的分量内积才会有结果，其余时间分量内积结果为0，同样积分值是频

率从负无穷到正无穷的积分，就是把信号在每个频率在t时刻上的分量叠加起来，叠加的结果就是f(t)在t时刻的值，这就回到了我们观察信号最初的时域。对一个信号做傅里叶变换，然后直接做逆变换，这样做是没有意义的，在傅里叶变换和傅里叶逆变换之间有一个滤波的过程。将不要的频率分量给滤除掉，然后再做逆变换，就得到了想要的信号。比如信号中掺杂着噪声信号，可以通过滤波器将噪声信号的频率给去除，再做傅里叶逆变换，就得到了没有噪声的信号。优点:频率的定位很好，通过对信号的频率分辨率很好，可以清晰的得到信号所包含的频率成分，也就是频谱。缺点:因为频谱是时间从负无穷到正无穷的叠加，所以，知道某一频率，不能判断，该频率的时间定位。不能判断某一时间段的频率成分。例子: 平稳信号:x(t)=cos(2*pi*5*t)+cos(2*pi*10*t)+cos(2*pi*20*t)+cos(2*pi*50*t) 傅里叶变换的结果:

快速傅里叶变换的应用发展浅述

快速傅里叶变换的应用发展浅述摘要：快速傅里叶变换是数字信号处理的常用数学工具，以运算速度快和信噪比阈值低为特点。随着时代的进步与科技的日新月异，FFT(快速傅里叶变换)已经广泛应用于现代数字信号处理的各个领域，如雷达信号处理、卫星通信、无线通信，故障诊断等，本文将对FFT 在各行业的应用进行综合总述。一快速傅里叶变换的产生及定义 1.快速傅里叶变换的产生快速傅里叶变换的产生来源于离散傅里叶变换。有限长序列可以通过离散傅里叶变换(DFT)将其频域也离散化成有限长序列.但其计算量太大,很难实时地处理问题,因此引出了快速傅里叶变换(FFT). 1965年，Cooley 和Tukey 提出了计算离散傅里叶变换（DFT ）的快速算法，将DFT 的运算量减少了几个数量级。从此，对快速傅里叶变换（FFT ）算法的研究便不断深入，数字信号处理这门新兴学科也随FFT 的出现和发展而迅速发展。 2.根据对序列分解与选取方法的不同而产生了FFT 的多种算法，基本算法是基２ DIT 和基２DIF 。FFT 在离散傅里叶反变换、线性卷积和线性相关等方面也有重要应用。快速傅里叶变换（FFT ）是计算离散傅里叶变换（DFT ）的快速算法。DFT 的定义式为 )(k X =)()(1 0k R W n x N N n kn N ∑-= 在所有复指数值kn N W 的值全部已算好的情况下，要计算一个)(k X 需要N 次复数乘法和N －1次复数加法。算出全部N 点)(k X 共需2N 次复数乘法和)1(-N N 次复数加法。即计算量是与2N 成正比的。 FFT 的基本思想：将大点数的DFT 分解为若干个小点数DFT 的组合，从而减少运算量。 3. 快速傅里叶变换原理快速傅里叶变换并不象模拟信号或离散信号的傅里叶变换那样的积分变换，它仅是离散傅里叶变换的快速算法，它是在196年由美国的库里( C o o l e y ，J ．W ．) 和图基( J ．W ．Tu k e y ) [ 二人提出来的，它的出现使博里叶变换的数字实现大为提高．使信号分析的面貌为之改观，具有极大的科学价值。

MATLAB离散傅里叶变换及应用资料

MATLAB 离散傅里叶变换及应用一、DFT 与IDFT 、DFS 、DTFT 的联系 1、序列的傅里叶变换(DFT)和逆变换(IDFT) 在实际中常常使用有限长序列。如果有限长序列信号为x(n)，则该序列的离散傅里叶变换对可以表示为 1N ,0,1,k , W x(n)DFT [x(n)]X(k)1 N 0n nk N -===∑-= (12-1) 1N ,0,1,n , W X(k)N 1IDFT[X(k)]x(n)1N 0 k nk N -===∑-=- (12-2) 已知x(n)＝［0，1，2，3，4，5，6，7］，求x(n)的DFT 和IDFT 。要求： (1)画出序列傅里叶变换对应的|X(k)|和arg ［X(k)］图形。 (2)画出原信号与傅里叶逆变换IDFT ［X(k)］图形进行比较。程序源代码： xn=[0,1,2,3,4,5,6,7]; N=length(xn); n=0:(N-1);k=0:(N-1); Xk=xn*exp(-j*2*pi/N).^(n'*k); x=(Xk*exp(j*2*pi/N).^(n'*k))/N; subplot(2,2,1),stem(n,xn); title('x(n)');

subplot(2,2,2),stem(n,abs(x)); title('IDFT|X(k)|'); subplot(2,2,3),stem(k,abs(Xk)); title('|X(k)|'); subplot(2,2,4),stem(k,angle(Xk)); title('arg|X(k)|'); 运行图如下： x(n) IDFT|X (k)| 2 4 6 8 |X (k)| 2 4 6 8 arg|X (k)| 从得到的结果可见，与周期序列不同的是，有限长序列本身是仅有N 点的离散序列，相当于周期序列的主值部分。因此，其频谱也对应序列的主值部分，是含N 点的离散序列。 2、序列DFT 与周期序列DFS 已知周期序列的主值x(n)＝［0，1，2，3，4，5，6，7］，