理论力学习题解答第九章

9－1在图示系统中，均质杆OA 、AB 与均质轮的质量均为m ，OA 杆的长度为1l ，AB 杆的长度为2l ，轮的半径为R ，轮沿水平面作纯滚动。在图示瞬时，OA 杆的角速度为ω，求整个系统的动量。

ω12

ml ，方向水平向左

题9－1图题9－2图

9－2 如图所示，均质圆盘半径为R ，质量为m ，不计质量的细杆长l ，绕轴O 转动，角速度为ω，求下列三种情况下圆盘对固定轴的动量矩：（a ）圆盘固结于杆；

（b ）圆盘绕A 轴转动，相对于杆OA 的角速度为ω-；（c ）圆盘绕A 轴转动，相对于杆OA 的角速度为ω。

（a ）ω)l R (m L O 222

+=；（b ）ω2

ml L O =；（c ）ω)l R (m L O 22+= 9－3水平圆盘可绕铅直轴z 转动，如图所示，其对z 轴的转动惯量为z J 。一质量为m 的质点，在圆盘上作匀速圆周运动，质点的速度为0v ，圆的半径为r ，圆心到盘中心的距离为l 。开始运动时，质点在位置0M ，圆盘角速度为零。求圆盘角速度ω与角?间的关系，轴承摩擦不计。

9－4如图所示，质量为m 的滑块A ，可以在水平光滑槽中运动，具有刚性系数为k 的弹簧一端与滑块相连接，另一端固定。杆AB 长度为l ，质量忽略不计，A 端与滑块A 铰接，B 端装有质量1m ，在铅直平面可绕点A 旋转。设在力偶M 作用下转动角速度ω为常数。求滑块A 的运动微分方程。

t l m m m x m m k

ωωsin 21

11+=++

9－5质量为m，半径为R的均质圆盘，置于质量为M的平板上，沿平板加一常力F。设平板与地面间摩擦系数为f，平板与圆盘间的接触是足够粗糙的，求圆盘中心A点的加速度。

9－6均质实心圆柱体A 和薄铁环B 的质量均为m ，半径都等于r ，两者用杆AB 铰接，无滑动地沿斜面滚下，斜面与水平面的夹角为θ，如图所示。如杆的质量忽略不计，求杆AB 的加速度和杆的力。

θsin 7

g a =

； 9－7均质圆柱体A 和B 的质量均为m ，半径为r ，一绳缠在绕固定轴O 转动的圆柱A 上，绳的另一端绕在圆柱B 上，如图所示。摩擦不计。求：（1）圆柱体B 下落时质心的加速度；（2）若在圆柱体A 上作用一逆时针转向，矩为M 的力偶，试问在什么条件下圆柱体B 的质心加速度将向上。

9－8平面机构由两匀质杆AB，BO组成，两杆的质量均为m，长度均为l，在铅垂平面运动。在杆AB上作用一不变的力偶矩M，从图示位置由静止开始运动。不计摩擦，试求当A即将碰到铰支座O时A端的速度。

9－9长为l、质量为m的均质杆OA以球铰链O固定，并以等角速度ω绕铅直线转动，如图所示。如杆与铅直线的夹角为θ，求杆的动能。

题9－9图题9－10图

9－10物质量为1m ，沿楔状物D 的斜面下降，同时借绕过滑车C 的绳使质量为2m 的物体B 上升，如图所示。斜面与水平成θ角，滑轮和绳的质量和一切摩擦均略去不计。求楔状物D 作用于地板凸出部分E 的水平压力。

θθcos g m m m m sin m F x 12

1+-=

9－11鼓轮I 重N 500=W ，对轮心O 点的回转半径为m 2.0=ρ，物块A 重N 300=Q ，均质圆轮II 半径为R ，重为N 400=P ，在倾角为α的斜面上只滚动不滑动，其中m 1.0=r ，m 2.0=R ，弹簧刚度系数为k ，绳索不可伸长，定滑轮D 质量不计。在系统

处于静止平衡时，给轮心B 以初速度0B v ，求轮沿斜面向上滚过距离s 时，轮心的速度v B 。

解：轮B O 、作平面运动，物块A 作平动

2211V T V T +=+ ①

020*********

1/21/21/21/21B B B A A J g Pv g W g Wv g Qv T ωωρ++++=

()()r R v r R rv v R v B B A B B +=+==/,

/,/000000ωω

g PR J B /2

()[]

(){

}

()g r R Qr r W P v T B 4//232

2222

01++++=ρ

代入已知数据得：()g v T B 9/41002

01=

同理()g v T B 9/41002

取平衡位置为各物体重力势能的零位置，有：212

1st k V δ=

()()()r R r s W Q sP s k V st +?+-++=

/sin 2

2αδ 为确定st δ，考虑静平衡时，A O 、及轮B ，由∑=0E

，

得：

()()r R r Q W T ++=/1

由

∑=0H

，有：st k F F P T δα==--001,0sin

()()k P rk Rk r Q W st /sin /αδ-++=

代入①，有

()()()

()()

r R sr W Q sP s k g v k g v st B st B ++-+++=+

/sin 2

19/4100219/41002222

0αδδ 解得：(

)

/12

08200/9gks v v B B -=

题9－11图

9－12 均质棒AB 的质量为kg 4=m ，其两端悬挂在两条平行绳上，棒处在水平位置，如图所示。设其中一绳突然断了，试用刚体平面运动方程求此瞬时另一绳的力F 。

N 8.9=F

9－13图示机构中，物块A 、B 的质量均为m ，两均质圆轮C 、D 的质量均为m 2，半径均为R 。C 轮铰接于无重悬臂梁CK 上，D 为动滑轮，梁的长度为R 3，绳与轮间无滑动。系统由静止开始运动，求：（1）A 物块上升的加速度；（2）HE 段绳的拉力；（3）固定端K 处的约束反力。

g a A 61=

；mg F 3

=；mgR M mg F F k ky kx 5.135.40===，，

C B

D K

E H

题9－13图题9－14图

9－14匀质细杆AB，长为l，放在铅直面与水平面成0?角，杆的A端靠在光滑的铅直墙上，B端放在光滑的水平面上，杆由静止状态在重力作用下倒下。求：（1）杆在任意位置?时的角速度和角加速度；（2）当杆的A端脱离墙时，杆与水平面所成的角1?多大？

)sin 3

2arcsin(01??=

9－15鼓轮重N 1200，置于水平面上，外半径cm 90=R ，轮轴半径cm 60=r ，对质心轴

C 的回转半径cm 60=ρ。缠绕在轮轴上的软绳水平地连于固定点A ，缠在外轮上的软绳

水平地跨过质量不计的定滑轮，吊一重物B ，B 重N 400=P 。鼓轮与水平面之间的动摩擦系数为0.4，求轮心C 的加速度。

解：分别取轮和重物为研究对象，轮作平面运动，设其角加速度为ε，轮心C 加速度C a ，由题知εr a C =，物B 加速度ε)(r R a B += 对轮列平面运动微分方程：

F T T a g W C +-=12)/( （1）

W N f F W N W N 4.00='==-=，，（2）

)

(

)

(

即：)

(

)

(

)

)(

(

W-

+ε

ρ（3）

对重物：

)

，

即：

)

)(

P-

+ε（4）

（2）代入（3）式，有：

)

(

4.0

)

(

)

)(

(

W-

+ε

ρ（5）

)

(

)4(r

R+

?：)

(

)

(

)

)(

(

P+

+ε（6）

（5）+（6）：)

(

4.0

)

(

)

)(

(

)

)(

W-

+ε

rad/s

)6.0

9.0

)(

8.9/

400

(

)

6.0

)(

8.9

1200

3.0

1200

4.0

)5.1(

400

)

)(

(

)

)(

(

)

(

4.0

)

(

题9－15图题9－16图

9－16 三根匀质细杆CA

AB，

，的长均为l，质量均为m，铰接成一等边三角形，在铅垂平面悬挂在固定铰接支座A上。在图示瞬时C处的铰链销钉突然脱落，系统由静止进入运动，试求销钉脱落的瞬时，（1）杆AC的角加速度AC

ε；（2）杆AB

BC、的角加速度AB

ε，。

解：（1）取AC为研究对象，杆长为l，质量为m，?

=30

依刚体转动微分方程：

mgl

sin

∵231ml J A =

∴l g ml mgl J mgl A AC 4/33

/41/412===ε （顺时针）（2）分别取AB ，BC 为研究对象：

AB ：l Y l X mgl J B B AB A 2

32141?+??+=

?ε （1）

BC ：B AB X l m -=+?)030cos (ε （2） B BC AB Y mg l l m -=+?)21

30sin (εε （3）

B B

D Y l J ?=?2

ε （4）

由（2）得：AB B l m X ε32

?-= （5）

由（4）得：BC B ml Y ε)6/1(= （6）将（5），（6）式代入（1）式，化简后得：

BC AB ml mgl ml εε22313+= （7）

将（6）式代入（3）式，化简得：

BC AB ml mg ml εε463-= （8）

解（7）与（8）式得：

l g AB 55/18=ε（逆时针）

将AB ε值代入（7）解得：

l g BC 55/69=ε（顺时针）

9－17图示匀质细长杆AB ，质量为m ，长度为l ，在铅垂位置由静止释放，借A 端的水滑轮沿倾斜角为θ的轨道滑下。不计摩擦和小滑轮的质量，试求刚释放时点A 的加速度。

g a θ

sin 31sin 4+=

解：图（a ），初瞬时0=AB ω，以A 为基点，则

τCA a a a a a +=+=A Cy Cx C

即θαθcos 2

cos τl

a a a a A CA A Cx -=-=

（1）

θαθsin 2

sin τl

a a CA Cy == （2）

由平面运动微分方程：

习题9－17图

(a)

sin

ma Cx=

∴θ

sin

=（3）

cos F

ma Cy-

=θ（4）

αsin

即θ

αsin

ml?

=（5）

解（2）、（4）、（5）联立，得

)

sin

2θ

（6）

由（1）、（3），得θ

θsin

cos

（6）代入，得g

Aθ

sin

题9－17图题9－18图

9－18匀质细长杆AB，质量为m，长为l，CD = d，与铅垂墙间的夹角为α，D棱是光滑的。在图示位置将杆突然释放，试求刚释放时，质心C的加速度和D处的约束力。

解：初始静止，杆开始运动瞬时，

v必沿支承处

切向，即沿AB方向，所以

a此时沿AB方向，如图（a），

以D为基点：

由t

tα?

（1）

由AB作平面运动：

sin F

ma Cx-

=α（2）

cos

ma Cy=（3）

?α（4）

由（3），α

cos

解（1）、（2）、（4）联立

sin

a Cx

N12

sin

mgl

习题9－18图

9－19匀质杆AB ，质量为m 、长为L ，两端均以速度v 0下落，且这时杆与铅垂线的夹角为θ。假设碰撞以后杆将绕A 点作定轴转动。试求：（1）碰撞前后的能量损失；（2）B 点与水平面即将接触时的速度。

解：动量矩守恒：θωsin 2

0L mv J A =

()L v 2/sin 30θω=∴

8/sin 321,2122021200θωmv J T mv T A ===

? ??

θ?220sin 341121mv T 倒下着地时：

θωωcos 2

1212122

1mgL J J A A =- ()[]

θθωcos 2

16/4/sin 9222

0212mgL L v mL =-

得：2

/122011

cos 3sin 941?

??+==θθωgL v L u B

题9－19图题9－20图

9－20匀质圆柱体的质量m =10kg 、半径r =30cm ，沿水平轨道以匀速v 0 =2m/s 作纯滚动时，碰到高h = 6cm 的障碍。设恢复系数e = 0，A 处有足够的摩擦力，试求：（1）碰撞结束时圆柱体的角速度；（2）使圆柱能超过障碍的v 0的大小；（3）碰撞时动能的损失；（4）碰撞冲量的水平及竖直分量。

解：由对A 点冲量矩守恒：

()r

v h r mv J J A A /0000=-+=ωωω

得：

()m/s

02.12

s N 4.10sin s

N 13.6cos rad/s

78.5//231102min 000≥=?==?=-==??

? ??-=v mgh

J v mr S r v m S r v r h A Y X 得：应满足：ωαωαωω

9－21两根相同的均质直杆在B 处铰接并铅垂静止地悬挂在铰链C 处，如图所示。设每杆长l=1.2m ，质量m=4kg 。现在下端A 处作用一个冲量为I=14N ?s 的水平碰撞力，求碰撞后BC 杆的角速度。

rad/s 50.2=BC ω（顺时针）

题9－21图题9－22图

9－22 质量为0.2kg 的垒球以水平方向的速度48=v km/h 打在一质量为2.4kg 的匀质木棒上，木棒的一端用细绳悬挂于天花板上。若恢复系数为0.5，求碰撞后棒两端A 、B 的速度。

m /s 30==B A v v ，